函
数
学 优 教 育
朋友式相处 快乐式学习
传
定义
函近代定义：函数是从一个数集到另一个数集的映射 数三定义域 要值域 素
函
对应法则 数的解析法 表列表法 示方图象法
法
传统定义：在区间([a，b]上，若a ≤x 1﹤x 2≤b ，如果f (x 1)﹤f (x x )2)，则
f 在单)[a，b]上递增，[a，b]是递增区间；如果f (x 在[a，b]上递减，[a，b]是递减区间。 1)﹥f (x 2)，则f (x 调性导数定义：在区间[a，b]上，若f (x )﹥0，则f (x )在[a，b]上递增，[a，b]
是递增区间；若f (x )﹤0，则f (x )在[a，b]上递减，[a，b]是递减区间。 最大值：设函数y=f(x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的
x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 函最y=f(x )的最大值。 0∈I ，使得f (x 0)=M，则称M 是函数数值 的最小值：设函数y=f(x )的定义域为基)I ，如果存在实数M 满足：①对于任意
的x ∈I ，都有f (x ≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)=M，则称本M 是函数y=f(x )的最大值。
性质 ①f (-x )= -f(x )，x ∈定义域D ，则f (x )叫做奇函数，其图像关于原点对称。
奇偶性②f 轴对称。
(-x )= f(x )，x ∈定义域D ，则f (x )叫做偶函数，其图像关于y 周期性：在函数f (x )的定义域上恒有f (x +T )= f(x )（T ≠0的常数）则f (x ) 叫做周期函数，T 为周期；T 的最小正值叫做f (x )的最小正周期，简称周期。 ⑴描点连线法：列表、描点、连线
向左平移a 个单位：y 1=y，x 1-a=x⇒y=f(x +a ) 平
向右平移a 个单位：y 移1=y，x 1+a=x⇒y=f(x -变)a ) 向上平移b 个单位：x 1=x，y 1-a=y⇒y-b=f(x 换向下平移b 个单位：x 1=x，y 1-b=y⇒y+b=f(x )
函横坐标变换：把各点的横坐标x 1缩短（当w ﹥1时）或伸长（当0﹤w ﹤
数伸1时）到原来的1/w倍（纵坐标不变），即x 缩1=wx⇒y=f(wx )
图变横坐标变换：把各点的纵坐标y 像的⑵换A 1伸长（当A ﹥1时）或缩短（当0﹤A ﹤
1时）到原来的倍（横坐标不变），即y 1=y/A⇒y=f(x )
画变
法换1
=2x0 =2x0-x
法关于点（x ⇒1⇒2y
0，y 0y+y =2yy 0-y =f (2x 10 1=2y0-y
0-x )关于直线x=xx+x=2xx 10 1=2x0-x
0对称 y=y对
1
⇒ y 1
=y
⇒ y=f(2x 0-x ) 称
x=x1
变关于直线x=x0对称 换y+y1 x =x
1=2y0 y 1『例题精讲』=2y0-y ⇒2y 0-y=f (x )
x=x1
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例1. (1)设A={a,b,c},B={-1,0,1},映射f ：A→B
①若映射f 满足f(a)>f(b)≥f(c),则映射f 的个数为 。（4） 解： ①列表法：∵f(a)>f(b)≥f(c) ∴f(a)只能取0或1,f(c)只能取-1或0. 根据映射的定义, 以f(a)取值从大到小的次序列表考察:
由此可知符合条件的映射是4个.
例2. (1)已知f(x)=x+2x-1(x>2),求f(2x+1)的解析式; 2
(2)已知 ,求
f(x＋1) 的解析式.
解: (1) ∵f(x)=x2+2x-1 (x>2)
∴以2x+1替代上式中的x 得 f(2x+1)=(2x+1)2+2(2x+1)-1 (2x+1>2)
∴f(2x+1)=4x2+8x+2 (x>1/2 ) (2)由已知得
∴以x 替代上式中的
2
得 f(x)=x-1 (x≥1)
∴f(x+1)=(x＋1) 2-1 (x+1≥1) 即f(x+1)=x2+2x (x≥0) 例3.(1)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且满足f(
)=-f(x)，又f(2)=1，f(1)=a，则a=________。
(2)已知函数f(x)的最小正周期为2T ，且f(T+x)=f(T-x)对一切实数x 都成立，则对f(x)的奇偶性的判定是? 解: (1)由f(
f(-x)=f(x)(x
)=-f(x)知f(x)是周期函数，且3是f(x)的一个周期，又f(x)为偶函数R) ，在此基础上，寻觅已知条件中的f(2)与f(1)的联系:
f(2)=f(-2)=f[(-2)+3]=f(1) 而f(1)=a，f(2)=1， ∴a=1
(2)由f(x)的最小正周期为2T 得f(x+2T)=f(x) ① 又这里f(x+T)=f(T-x) ② 为了靠拢①，在②中以(x+T)替代x 的位置得 f(x+2T)=f[T-(x+T)]=f(-x) ③ ∴由①， ③得f(-x)=f(x) ∴f(x)为偶函数.
『易错题』
例4. 已知函数f(x)=
1-2x 1+x
，y=g(x)的图象与y= 的图象关于直线y=x对称，求
g
⎛1⎫
⎪的值. ⎝2⎭
互为反函数 ① ∴
典型错解: 由题设知g(x)与
=
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②
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∴g(x)=f(x+1) ③ 由此得g()=f()=-
错因分析: 上面①②正确，由②导出③出现错误. 在这里
的反函数是g(x)
，但
的反函数却不是f(x+1).认知:由求反函数的“三部曲”易知y=f(x+1)的反函数不是
y=
，而是y=
-1；
y=
的反函数不是y=f(x+1)，而是y=f(x)-1.
的解析式):
由已知得
=
正确解法: (着力于寻求
=-
1-x 2+x
(x≠-2)
∴
x x +3
(x≠-3)
又由题设知g(x)的反函数为=-
， ∴
= ∴
x x +3
①
令g(
12
)=b，则 =
12
② ∴由①②得-
b b +3
=
12
，解得b=-1， ∴
g(
12
)=-1.
『当堂检测』
1. 设函数f (x ) =⎨
⎧x -3, (x ≥10) ⎩f (x +5), (x
，则f (5)＝ ．2. 已知f (x ) 的定义域为［－2，2］，求f (x 3. 已知f (x )+2f (
2
-1) 的定义域______________
1x
)=3x , 求f (x ) 的解析式____________________.
4. 设f (x ) 是在(－∞,+∞) 上以4为周期的函数，且f (x ) 是偶函数，在区间［2，3］上时，
f (x )=－2(x －3) 2+4，求当x ∈［1,2］时f (x ) 的解析式___________________________.5. 已知函数f (x ) =2ax -
1x
2
, x ∈(0, 1],
（1）若f (x ) 在x (0, 1]是增函数，求a 的取值范围; （2）求f (x ) 在区间(0, 1]上的最大值.
『直击高考』
1. 函数y=
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( x≤0)的反函数是(B )
A. y= (x≥-1) B. y=－ (x≥-1) C. y= (x≥0) D. y=－ (x≥0)
2.(2004北京卷) 函数f(x)= -2ax-3在区间[1，2]上存在反函数的充分必要条件是(D )
A. a∈(-∞，1] B. a∈[2，+∞) C. a∈[1，2] D. a∈(-∞，1]∪[2，+∞] 3. 设函数f(x)的图象关于点(1，2) 对称，且存在反函数f 5. 已知函数y=f(x)是奇函数，当x≥0时，
f(x)=
，f(4)=0，则f
=_-2__
-1.设f(x)的反函数是y=g(x)，则g(-8)=__-2______
6. 若存在常数p>0，使得函数f(x)满足f(px)=f(px－
p 2
)( x∈R) ，则f(x)的一个正周期为___p/2_
『知识梳理』
零点：对于函数y=f(x )，我们把使f (x )=0的实数x 叫做函数y=f(x )的零点
定理： 如果函数y=f(x )在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )
零
点与根的关系
﹤0，那么，函数y=f(x )在区间[a，b]内有零点。即存在c ∈（a ，b ），使得f (c )=0.这个c 也是方程f (x )=0的根。
关系：方程f (x )=0有实数根⇔函数y=f(x )有零点⇔函数y=f(x )的图像与x 轴有
交点
⑴确定区间[a，b]，验证f (a )·f (b ) ﹤0，给定精确度ε； ⑵求区间[a，b]的中点c ； ⑶计算f (c )；
① 若f (c )=0，则c 就是函数的零点；
② 若f (a )·f (b ) ﹤0，则令b=c（此时零点x 0∈（a ，b ））； ③ 若f (c )·f (b ) ﹤0，则令a=c（此时零点x 0∈（c ，b ））；
⑷判断是否达到精确度ε，即若a -b 〈ε，则得到零点的近似值a （或b ）；否则重复以上步骤。
函
数方程
二分法求方的近似解
『例题精讲』
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2
2
朋友式相处 快乐式学习
1. 已知函数f (x ) =x +(a -1) x +a -2的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围。 解：设方程x +(a -1) x +a -2=0的两根分别为x 1, x 2(x 12
2
2
2
2
23
2
3
3
x 在区间[-1,1]上零点的个数，并说明理由。
(-1)=-4+1+
=-
73
23
=
133
>0
(x )在区间[-1,1]上有零点
2
1⎫⎛
又f (x )=4+2x -2x =-2 x -⎪
22⎭⎝
'
9
2
当-1≤x ≤1时，0≤f
'
(x )≤
92
所以在[-1,1]上单调递增函数，所以f
(x )在[-1,1]上有且只有一个零点。
『易错题』
3. 设f (x )=3+3x -8, 用二分法求方程3+3x -8=0在x ∈(1, 2)内近似解的过程中得
x
x
f (1)0, f (1. 25)
A ．(1,1.25) B ．(1.25,1.5) C ．(1.5,2) D ．不能确定
『当堂检测』
1. 如果二次函数y =x +mx +(m +3) 有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ） A ．(-2, 6) B ．[-2, 6] C ．{-2, 6} D ．(-∞, -2) (6, +∞) 2. 已知函数f (x ) =x 2-1，则函数f (x -1) 的零点是__________
x
3. 若方程a -x -a =0有两个实数解，则a 的取值范围是（ ） A ．(1,+∞) B ．(0,1) C ．(0,2) D ．(0,+∞) 4. 函数f (x ) =x +x -3的实数解落在的区间是( )
5
2
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A ．[0,1] B ．[1,2] C ．[2,3] D ．[3,4] 5. 求函数f (x ) =2x 3-3x +1零点的个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
『直击高考』
1. 设二次函数f (x ) =x +ax +a ，方程f (x ) -x =0的两根x 1和x 2满足0
2
(0)f (1)-f (0)与
2
116
的大小，并说明理由。
解：令g (x ) =f (x ) -x =x +(a -1) x +a 则由题意可得：
⎧∆>0⎪⎧a >01-a ⎪
⇔2⎨⎨-1
⎪g (1)>0⎪
⎩a 3+⎪
⎪⎩g (0)>0
故所求实数a
的取值范围是(0,3-x
⇔0
。
2. 函数f (x )=2+3x的零点所在的一个区间是（B ） A ．（-2,-1） B（-1，0） C（0，1） D（1，2）
3. 设函数f (x )=4sin（2x+1）-x ，则在下列区间中函数f (x )不存在零点的是（A ） A．[-4,-2] B.[-2,0] C.[0,2] D.[2,4] 4. 函数f (x )=
x -COSx 在[0，+∞﹚内（B ）
A没有零点 B有且仅有一个零点 C有且仅有两个零点 D有无穷多个零点
函
数
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传
定义
函近代定义：函数是从一个数集到另一个数集的映射 数三定义域 要值域 素
函
对应法则 数的解析法 表列表法 示方图象法
法
传统定义：在区间([a，b]上，若a ≤x 1﹤x 2≤b ，如果f (x 1)﹤f (x x )2)，则
f 在单)[a，b]上递增，[a，b]是递增区间；如果f (x 在[a，b]上递减，[a，b]是递减区间。 1)﹥f (x 2)，则f (x 调性导数定义：在区间[a，b]上，若f (x )﹥0，则f (x )在[a，b]上递增，[a，b]
是递增区间；若f (x )﹤0，则f (x )在[a，b]上递减，[a，b]是递减区间。 最大值：设函数y=f(x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的
x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 函最y=f(x )的最大值。 0∈I ，使得f (x 0)=M，则称M 是函数数值 的最小值：设函数y=f(x )的定义域为基)I ，如果存在实数M 满足：①对于任意
的x ∈I ，都有f (x ≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)=M，则称本M 是函数y=f(x )的最大值。
性质 ①f (-x )= -f(x )，x ∈定义域D ，则f (x )叫做奇函数，其图像关于原点对称。
奇偶性②f 轴对称。
(-x )= f(x )，x ∈定义域D ，则f (x )叫做偶函数，其图像关于y 周期性：在函数f (x )的定义域上恒有f (x +T )= f(x )（T ≠0的常数）则f (x ) 叫做周期函数，T 为周期；T 的最小正值叫做f (x )的最小正周期，简称周期。 ⑴描点连线法：列表、描点、连线
向左平移a 个单位：y 1=y，x 1-a=x⇒y=f(x +a ) 平
向右平移a 个单位：y 移1=y，x 1+a=x⇒y=f(x -变)a ) 向上平移b 个单位：x 1=x，y 1-a=y⇒y-b=f(x 换向下平移b 个单位：x 1=x，y 1-b=y⇒y+b=f(x )
函横坐标变换：把各点的横坐标x 1缩短（当w ﹥1时）或伸长（当0﹤w ﹤
数伸1时）到原来的1/w倍（纵坐标不变），即x 缩1=wx⇒y=f(wx )
图变横坐标变换：把各点的纵坐标y 像的⑵换A 1伸长（当A ﹥1时）或缩短（当0﹤A ﹤
1时）到原来的倍（横坐标不变），即y 1=y/A⇒y=f(x )
画变
法换1
=2x0 =2x0-x
法关于点（x ⇒1⇒2y
0，y 0y+y =2yy 0-y =f (2x 10 1=2y0-y
0-x )关于直线x=xx+x=2xx 10 1=2x0-x
0对称 y=y对
1
⇒ y 1
=y
⇒ y=f(2x 0-x ) 称
x=x1
变关于直线x=x0对称 换y+y1 x =x
1=2y0 y 1『例题精讲』=2y0-y ⇒2y 0-y=f (x )
x=x1
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例1. (1)设A={a,b,c},B={-1,0,1},映射f ：A→B
①若映射f 满足f(a)>f(b)≥f(c),则映射f 的个数为 。（4） 解： ①列表法：∵f(a)>f(b)≥f(c) ∴f(a)只能取0或1,f(c)只能取-1或0. 根据映射的定义, 以f(a)取值从大到小的次序列表考察:
由此可知符合条件的映射是4个.
例2. (1)已知f(x)=x+2x-1(x>2),求f(2x+1)的解析式; 2
(2)已知 ,求
f(x＋1) 的解析式.
解: (1) ∵f(x)=x2+2x-1 (x>2)
∴以2x+1替代上式中的x 得 f(2x+1)=(2x+1)2+2(2x+1)-1 (2x+1>2)
∴f(2x+1)=4x2+8x+2 (x>1/2 ) (2)由已知得
∴以x 替代上式中的
2
得 f(x)=x-1 (x≥1)
∴f(x+1)=(x＋1) 2-1 (x+1≥1) 即f(x+1)=x2+2x (x≥0) 例3.(1)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且满足f(
)=-f(x)，又f(2)=1，f(1)=a，则a=________。
(2)已知函数f(x)的最小正周期为2T ，且f(T+x)=f(T-x)对一切实数x 都成立，则对f(x)的奇偶性的判定是? 解: (1)由f(
f(-x)=f(x)(x
)=-f(x)知f(x)是周期函数，且3是f(x)的一个周期，又f(x)为偶函数R) ，在此基础上，寻觅已知条件中的f(2)与f(1)的联系:
f(2)=f(-2)=f[(-2)+3]=f(1) 而f(1)=a，f(2)=1， ∴a=1
(2)由f(x)的最小正周期为2T 得f(x+2T)=f(x) ① 又这里f(x+T)=f(T-x) ② 为了靠拢①，在②中以(x+T)替代x 的位置得 f(x+2T)=f[T-(x+T)]=f(-x) ③ ∴由①， ③得f(-x)=f(x) ∴f(x)为偶函数.
『易错题』
例4. 已知函数f(x)=
1-2x 1+x
，y=g(x)的图象与y= 的图象关于直线y=x对称，求
g
⎛1⎫
⎪的值. ⎝2⎭
互为反函数 ① ∴
典型错解: 由题设知g(x)与
=
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②
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∴g(x)=f(x+1) ③ 由此得g()=f()=-
错因分析: 上面①②正确，由②导出③出现错误. 在这里
的反函数是g(x)
，但
的反函数却不是f(x+1).认知:由求反函数的“三部曲”易知y=f(x+1)的反函数不是
y=
，而是y=
-1；
y=
的反函数不是y=f(x+1)，而是y=f(x)-1.
的解析式):
由已知得
=
正确解法: (着力于寻求
=-
1-x 2+x
(x≠-2)
∴
x x +3
(x≠-3)
又由题设知g(x)的反函数为=-
， ∴
= ∴
x x +3
①
令g(
12
)=b，则 =
12
② ∴由①②得-
b b +3
=
12
，解得b=-1， ∴
g(
12
)=-1.
『当堂检测』
1. 设函数f (x ) =⎨
⎧x -3, (x ≥10) ⎩f (x +5), (x
，则f (5)＝ ．2. 已知f (x ) 的定义域为［－2，2］，求f (x 3. 已知f (x )+2f (
2
-1) 的定义域______________
1x
)=3x , 求f (x ) 的解析式____________________.
4. 设f (x ) 是在(－∞,+∞) 上以4为周期的函数，且f (x ) 是偶函数，在区间［2，3］上时，
f (x )=－2(x －3) 2+4，求当x ∈［1,2］时f (x ) 的解析式___________________________.5. 已知函数f (x ) =2ax -
1x
2
, x ∈(0, 1],
（1）若f (x ) 在x (0, 1]是增函数，求a 的取值范围; （2）求f (x ) 在区间(0, 1]上的最大值.
『直击高考』
1. 函数y=
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( x≤0)的反函数是(B )
A. y= (x≥-1) B. y=－ (x≥-1) C. y= (x≥0) D. y=－ (x≥0)
2.(2004北京卷) 函数f(x)= -2ax-3在区间[1，2]上存在反函数的充分必要条件是(D )
A. a∈(-∞，1] B. a∈[2，+∞) C. a∈[1，2] D. a∈(-∞，1]∪[2，+∞] 3. 设函数f(x)的图象关于点(1，2) 对称，且存在反函数f 5. 已知函数y=f(x)是奇函数，当x≥0时，
f(x)=
，f(4)=0，则f
=_-2__
-1.设f(x)的反函数是y=g(x)，则g(-8)=__-2______
6. 若存在常数p>0，使得函数f(x)满足f(px)=f(px－
p 2
)( x∈R) ，则f(x)的一个正周期为___p/2_
『知识梳理』
零点：对于函数y=f(x )，我们把使f (x )=0的实数x 叫做函数y=f(x )的零点
定理： 如果函数y=f(x )在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )
零
点与根的关系
﹤0，那么，函数y=f(x )在区间[a，b]内有零点。即存在c ∈（a ，b ），使得f (c )=0.这个c 也是方程f (x )=0的根。
关系：方程f (x )=0有实数根⇔函数y=f(x )有零点⇔函数y=f(x )的图像与x 轴有
交点
⑴确定区间[a，b]，验证f (a )·f (b ) ﹤0，给定精确度ε； ⑵求区间[a，b]的中点c ； ⑶计算f (c )；
① 若f (c )=0，则c 就是函数的零点；
② 若f (a )·f (b ) ﹤0，则令b=c（此时零点x 0∈（a ，b ））； ③ 若f (c )·f (b ) ﹤0，则令a=c（此时零点x 0∈（c ，b ））；
⑷判断是否达到精确度ε，即若a -b 〈ε，则得到零点的近似值a （或b ）；否则重复以上步骤。
函
数方程
二分法求方的近似解
『例题精讲』
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2
2
朋友式相处 快乐式学习
1. 已知函数f (x ) =x +(a -1) x +a -2的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围。 解：设方程x +(a -1) x +a -2=0的两根分别为x 1, x 2(x 12
2
2
2
2
23
2
3
3
x 在区间[-1,1]上零点的个数，并说明理由。
(-1)=-4+1+
=-
73
23
=
133
>0
(x )在区间[-1,1]上有零点
2
1⎫⎛
又f (x )=4+2x -2x =-2 x -⎪
22⎭⎝
'
9
2
当-1≤x ≤1时，0≤f
'
(x )≤
92
所以在[-1,1]上单调递增函数，所以f
(x )在[-1,1]上有且只有一个零点。
『易错题』
3. 设f (x )=3+3x -8, 用二分法求方程3+3x -8=0在x ∈(1, 2)内近似解的过程中得
x
x
f (1)0, f (1. 25)
A ．(1,1.25) B ．(1.25,1.5) C ．(1.5,2) D ．不能确定
『当堂检测』
1. 如果二次函数y =x +mx +(m +3) 有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ） A ．(-2, 6) B ．[-2, 6] C ．{-2, 6} D ．(-∞, -2) (6, +∞) 2. 已知函数f (x ) =x 2-1，则函数f (x -1) 的零点是__________
x
3. 若方程a -x -a =0有两个实数解，则a 的取值范围是（ ） A ．(1,+∞) B ．(0,1) C ．(0,2) D ．(0,+∞) 4. 函数f (x ) =x +x -3的实数解落在的区间是( )
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A ．[0,1] B ．[1,2] C ．[2,3] D ．[3,4] 5. 求函数f (x ) =2x 3-3x +1零点的个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
『直击高考』
1. 设二次函数f (x ) =x +ax +a ，方程f (x ) -x =0的两根x 1和x 2满足0
2
(0)f (1)-f (0)与
2
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的大小，并说明理由。
解：令g (x ) =f (x ) -x =x +(a -1) x +a 则由题意可得：
⎧∆>0⎪⎧a >01-a ⎪
⇔2⎨⎨-1
⎪g (1)>0⎪
⎩a 3+⎪
⎪⎩g (0)>0
故所求实数a
的取值范围是(0,3-x
⇔0
。
2. 函数f (x )=2+3x的零点所在的一个区间是（B ） A ．（-2,-1） B（-1，0） C（0，1） D（1，2）
3. 设函数f (x )=4sin（2x+1）-x ，则在下列区间中函数f (x )不存在零点的是（A ） A．[-4,-2] B.[-2,0] C.[0,2] D.[2,4] 4. 函数f (x )=
x -COSx 在[0，+∞﹚内（B ）
A没有零点 B有且仅有一个零点 C有且仅有两个零点 D有无穷多个零点