第一章极限与连续
第一节 数列的极限 一、数列极限的概念
按照某一法则，对于每一个n ∈N +，对应一个确定的实数x n ，将这些实数按下标n 从小到大排列，得到一个序列
x 1, x 2, , x n ,
称为数列，简记为数列{x n }，x n 称为数列的一般项。例如：
1212, 231412
,
341843
, ,
n n +11265
n
,
2, 4, 8, , 2n ,
,
,
, ,
,
n +1
1, -1, 1, , (-1) 2, 一般项分别为
,
, 34,
n
, n +(-1)
n
n +1
n -1
, , ,
n
n +1
，2，
12
n
，(-1) ，
n +(-1)
n
n -1
数列{x n }可看成自变量取正整数n 的函数，即x n =f (n ) ，n ∈N + 设数列x n =
n +(-1)
n -1
11
为使|x n -1|=，只需要n >100，即从101项以后各项都满足-1=
n n 1001
， |x n -1|
100n -1
n +(-1) 11
为使|x n -1|=，只需要n >100000，即从100001项以后各项都满足-1=
n n 1000001
|x n -1|
100000n -1
n +(-1) 111
为使|x n -1|=，只需要n >，即当n >以后，-1=
εεn n
各项都满足|x n -1|ε。
n n -1n +(-1)
，来说明数列{x n }以1为极限。
令N =[]，当n >N 时，因此有|x n -1|，
εεε
当n >N 时的一切x n 都满足|x n -1|
定义：设{x n }为一数列，如果存在常数a ，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N ，使得当n >N 时的一切x n 都满足不等式
111
|x n -a |
则说常数a 是数列{x n }的极限，或者说数列{x n }收敛于a ，记为
lim x n =a 或 x n →a (n →∞)
n →∞
如果不存在这样的常数a ，则说数列{x n }没有极限，或者说数列{x n }发散。
数列{x n }以a 为极限的几何意义：任意给定的正数ε，总存在正整数N ，当n >N 时的一切x n ，有 |x n -a |
即 a -ε也就是当n >N 的一切x n 都落在a 的ε邻域U (a , ε) 内，在U (a , ε) 的外边至多有N 项（图） x x a -εx a x a +ε
例1 证明数列
12, 23, 34, ,
n n +1
,
的极限为1。
证明：①分析：为使|x n -a |=
n n +11n +1
-1
1n +1
1
②证明：任意给定小正数ε，取N =[ |x n -1|=因此，lim
n n +1
n →∞
1
ε
，即n >
1
ε
-1
n n +1
-1=
ε
-1]，当n >N 时的一切x n 满足
=1
例2 已知x n =
(-1)
n 2
1111
，只需要，由于，=
n +1(n +1) (n +1) (n +1) (n +1) 11故，或n >-1时 n +1εε1
(n +1)
1
证明：任意给定小正数ε，取N =[-1]，当n >N 时的一切x n 满足
εn
(-1) 11
|x n -0|=-0=
(n +1) n +1(n +1) n
(-1)
因此，lim =0
n →∞(n +1) 2
例3 设|q |
(n +1)
，证明数列{x n }的极限是0。 (-1)
n
分析：为使|x n -a |=
1, q , q , , q 的极限是0。
2n -1
,
证明：任给ε>0（设ε
n -1
-0|=|q |
n -1
ln εln |q |
为使|x n -0|
ln ε
N =[1+]，当n >N 时，有
ln |q |
|x n -0|=|q
n -1
n -1n -1
1+。故取
-0|=|q |
n -1
因此，lim q
n →∞
n -1
=0。
二、收敛数列的性质
定理1（极限的唯一性）如果数列{x n }收敛，则它的极限是唯一的。 证明：反证法：如果x n →a ，x n →b ，不妨设a N 1时，|x n -a |N 2时，|x n -b |
b -a 2b -a 2
b -a
b -a 2b -a 2
b -a 2
。
；
。取N =max{N 1, N 2}，则当n >N 时，a +b 2
，|x n -b |
由|x n -a |
2a +b 2
n -1
，
b -a 2
，由|x n -b |
，矛盾，故必须a =b 。
例4 证明数列x n =(-1)
（n =1, 2, ）是发散的。
对于数列{x n }，如果存在正数M ，使得对于一切x n ，有|x n |≤M ，则说数列{x n }是有界的；否则，则说数列{x n }是无界的。
定理2（收敛数列的有界性）如果数列{x n }有极限，则数列{x n }一定有界。 证明：注意到|x n |=|x n -a +a |≤|x n -a |+|a |，可证明定理2。
定理3（收敛数列的保号性）如果lim x n =a ，且a >0（或a N 时
n →∞
的一切x n ，有x n >0（或x n
证明：取ε=
a 2
即可证明定理。
n →∞
推论 如果数列{x n }从某项起有x n ≥0（或x n ≤0），且lim x n =a ，则a ≥0（或a ≤0）。 对于数列{x n }，从中抽取 x n ，x n ， ，x n ，
1
2
k
称为数列{x n }的一个子数列。
定理4 如果数列{x n }收敛于a ，则数列{x n }的任何子数列都收敛，且收敛于a 。 第二节 函数的极限 一、函数极限的定义
1．自变量趋向于无穷大时函数的极限
数列是特殊的函数，如x n =f (n ) =y =f (x ) =
x x +1
n
n +1
，是否有x →∞时，f (x ) →1？
x x +1
，n =1, 2, ，且n →∞时，x n →1，考虑函数
1x +1
1
任意给定小正数ε，为使|f (x ) -1|=||x +1|>|x |-1，即|x |>
1
-1|
+1即可。 ε
1
任给ε>0，存在正数X =+1，当|x |>X 时，对应的函数值f (x ) 满足
εx
|f (x ) -1|=|-1|
x +1
ε
。由于
即当x →∞时，f (x ) 以1为极限。
定义1设函数f (x ) 当|x |大于某一正数时有定义。如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（不论
它多么小），总存在正数X ，使得x 满足不等式|x |>X 时，对应函数值f (x ) 满足
|f (x ) -A |
则说常数A 为函数f (x ) 当x →∞时的极限，记为
lim f (x ) =A 或 f (x ) →A （当x →∞）
x →∞
lim f (x ) =A ：∀ε>0，∃X >0，当|x |>X 时，|f (x ) -A |
x →∞
例1 证明 lim 分析：为使|
3x
x →∞
=0。
3x
|
3
3x
ε|x |
33
证明：∀ε>0，X =，当|x |>X 时，|-0|
x |x |ε
3lim =0。 x →∞x
3
-0|
3
。
l i m f (x ) =A 的几何解释：∀ε>0，∃X >0，当|x |>X 时，
x →∞
|f (x ) -A |
即 -ε如果∀ε>0，∃X >0，当x >X 时，|f (x ) -A |
x →+∞
lim f (x ) =A ；
如果∀ε>0，∃X >0，当x
x →-∞
lim f (x ) =A
显然，lim f (x ) =A ⇔lim f (x ) =A ，lim f (x ) =A
x →∞
x →+∞
x →-∞
例如：f (x ) =
|x |x
，有lim f (x ) =1，lim f (x ) =-1。
x →+∞
x →-∞
2．自变量趋向于有限值时函数的极限
例1，f (x ) =2x +1，x →2时，f (x ) →5； 例2：f (x ) =
x -1x -1
2
，定义域为x ≠1，但x →1时，f (x ) →2；
任意给定小正数ε，为使|f (x ) -A |=|2x +1-5|=|2x -4|
ε
|x -2|>=δ即可。
2
任意给定小正数ε，为使
|f (x ) -A |=|
x -1x -1
2
-2|=|
(x +1)(x -1)
x -1
-2|
只要|x -1|ε=δ即可。
定义2 设函数f (x ) 在点x 0的某一去心邻域内有定义。如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ，使得x 满足不等式0
|f (x ) -A |
则说常数A 为函数f (x ) 当x →x 0时的极限，记为
x →x 0
lim f (x ) =A 或 f (x ) →A （当x →x 0）
x →x 0
lim f (x ) =A ：∀ε>0，∃δ>0，当0
例2 证明 lim (3x -1) =8。
x →3
分析：为使 |(3x -1) -8|=|3x -9|0
，当0
|f (x ) -8|=|(3x -1) -8|=3|x -3|
ε3
。
ε
时，对应函数值满足
因此，lim (3x -1) =8。
x →3
lim f (x ) =A 的几何解释：∀ε>0，∃δ>0，当0
x →x 0
|f (x ) -A |
即 -ε
即 x ∈U (x 0, δ) 时，f (x ) ∈U (A , ε) 如图所示：
如果∀ε>0，∃δ>0，当x -x 0
x →x 0）时，f (x ) →A ，记为lim +f (x ) =A ，或f (x 0) =A ；
x →x 0
+
+
如果∀ε>0，∃δ>0，当x 0-x
x →x 0）时，f (x ) →A ，记为lim -f (x ) =A ，或f (x 0) =A ；
x →x 0
-
-
显然，lim f (x ) =A ⇔lim f (x ) =A ，lim f (x ) =A
x →x 0
x →x 0
+
x →x 0
-
⎧x -1, x
f (x ) =⎨0, x =0
⎪x +1, x >0⎩当x →0时，f (x ) 的极限不存在。
例3 设函数
例4 证明 lim c =c
x →x 0
例5 证明 lim x =x 0
x →x 0
例6 证明 lim
x -4x +2sin x x
2
x →-2
=-4
例7 证明 lim
x →+∞
=0
二、函数极限的性质
定理1 （函数极限的唯一性）如果lim f (x ) 存在，则极限是唯一的。
x →x 0
定理2 （函数极限的局部有界性）如果lim f (x ) =A ，则存在正数M 和δ，使得当0
x →x 0
时，有|f (x ) |≤M 。
证明： |f (x ) |=|f (x ) -A +A |≤|f (x ) -A |+|A |
定理3 （函数极限的局部保号性）如果lim f (x ) =A ，且A >0（或A 0，
x →x 0
使得当00（或f (x )
推论 如果在x 0的某去心邻域U (x 0, δ) 内，f (x ) ≥0（或f (x ) ≤0），且lim f (x ) =A ，则A ≥0（或
x →x 0
。 A ≤0）
定理4 （函数极限与数列极限的关系）如果极限lim f (x ) =A ，{x n }为函数f (x ) 定义域内一收敛x 0
x →x 0
的数列，且x n ≠x 0（n ∈N ），则对应的函数值数列{f (x n )}也收敛，且lim f (x n ) =lim f (x ) =A 。
n →∞
x →x 0
+
证明：由于lim f (x ) =A ，则∀ε>0，∃δ>0，当0
x →x 0
又由于lim x n =x 0，故对于上面的δ>0，当n >N 时，有|x n -x 0|
n →∞
因此，∀ε>0，∃N ，当n >N 时，有0
n →∞
第三节 无穷小与无穷大 一、无穷小
定义1 如果函数f (x ) 当x →x 0（或x →∞）时的极限为零，则函数f (x ) 称为当x →x 0（或x →∞）时的无穷小。
1x
1x
例如：lim (x -1) =0，因此(x -1) 为x →1时的无穷小；lim
n →1
n →x 0
n →∞
=0，因此为x →∞时的无穷小。
f (x ) 为x →x 0时的无穷小⇔lim f (x ) =0⇔∀ε>0，∃δ>0，当0
|f (x ) |
f (x ) 为x →∞时的无穷小⇔lim f (x ) =0⇔∀ε>0，∃X >0，当|x |>X 时，|f (x ) |
n →∞
定理1 在自变量的同一变化过程x →x 0（或x →∞）中，函数f (x ) 以A 为极限的充分必要条件是f (x ) =A +α，其中α是无穷小。
证明：必要性：设lim f (x ) =A ，则∀ε>0，∃δ>0，当0
n →x 0
令α=f (x ) -A ，则α是x →x 0时的无穷小，且f (x ) =A +α。
充分性：设f (x ) =A +α，其中A 为常数，α是x →x 0时的无穷小。于是，∀ε>0，∃δ>0，当0
n →x 0
lim f (x ) =A 。
二、无穷大
如果当x →x 0（或x →∞）时，对应的函数值的绝对值|f (x ) |无限增大，则称函数f (x ) 为x →x 0
（或x →∞）时的无穷大。
定义2 设函数f (x ) 在x 0的某一去心邻域内有定义（或|x |大于某一正数时有定义）如果对于任意给定的正数M （不论它多么大），总存在正数δ（或正数X ），当x 满足0X ）时，对应函数值f (x ) 满足
|f (x ) |>M
则说函数f (x ) 为x →x 0（或x →∞）时的无穷大。
如果函数f (x ) 为x →x 0（或x →∞）时的无穷大，也可记为 lim f (x ) =∞（或lim f (x ) =∞）
n →x 0
n →∞
例如：
n →x 0
1
x -1
为x →1时的无穷大；2x +1为x →∞时的无穷大。
lim f (x ) =+∞：∀M >0，∃δ>0，当0M ；
lim f (x ) =-∞：∀M >0，∃X >0，当|x |>X 时，f (x )
n →∞
如果lim f (x ) =∞，则直线x =x 0是函数y =f (x ) 的图形的铅直渐近线；
n →x 0
如果lim f (x ) =A ，则直线y =A 是函数y =f (x ) 的图形的水平渐近线。
n →∞
定理2 在自变量的同一变化过程中，如果f (x ) 为无穷大，则穷小，且f (x ) ≠0，则第四节 极限运算法则
定理1 有限个无穷小的和也是无穷小。 证明：以两个无穷小的和为例：
设α及β是x →x 0时的两个无穷小，令γ=α+β。
1f (x )
1f (x )
为无穷小；反之，如果f (x ) 为无
为无穷大。
由于α是x →x 0时无穷小：∀ε>0，∃δ1>0，当0
ε2
；
又由于β是x →x 0时无穷小：对于ε>0，∃δ2>0，当0
ε2
；
ε
取δ=min{δ1, δ2}，则当0
2ε
与|β|
2
εε
|γ|=|α+β|
2
2
即α+β为x →x 0时的无穷小。
定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小。 推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小。 定理3 如果lim f (x ) =A ，lim g (x ) =B ，则 (1) lim[f (x ) ±g (x )]=lim f (x ) ±lim g (x ) =A ±B (2) lim[f (x ) ⋅g (x )]=lim f (x ) ⋅lim g (x ) =A ⋅B (3) lim
f (x ) g (x )
=
lim f (x ) lim g (x )
=A B
(B ≠0)
证明：以(2)为例，由于lim f (x ) =A ，得f (x ) =A +α，α为无穷小；又由于lim g (x ) =B ，得g (x ) =B +β，β也为无穷小，因此
f (x ) ⋅g (x ) =(A +α) ⋅(B +β) =AB +A β+B α+αβ
由定理与推论，得A β+B α+αβ为无穷小，故A ⋅B 为f (x ) ⋅g (x ) 的极限。
定理3中的(1)和(2)可推广到有限个的情况，即
lim[f (x ) +g (x ) -h (x )]=lim f (x ) +lim g (x ) -lim h (x ) lim[f (x ) ⋅g (x ) ⋅h (x )]=lim f (x ) ⋅lim g (x ) ⋅lim h (x )
推论1 如果lim f (x ) 存在，c 为常数，则 lim[c f (x )]=c lim f (x ) 推论2 如果lim f (x ) 存在，n 为正整数，则 lim[f (x )]n =[limf (x )]n 将定理3应用于数列的情况，得
定理4 如果lim x n =A ，lim y n =B ，则
n →∞
n →∞
(1) lim (x n ±y n ) =A ±B
n →∞
(2) lim (x n ⋅y n ) =A ⋅B
n →∞
(3) lim
x n y n
n →∞
=
A B
(y n ≠0, n =1, 2, , 且B ≠0)
2
例1 求 lim (2x -3x +2)
x →2
例2 求 lim
x -1x -5x +3
2
3
x →2
对于多项式函数
f (x ) =a 0x +a 1x 有
x →x 0
x →x 0n
n -1
+ +a n -1x +a n
n -1
lim f (x ) =lim (a 0x +a 1x
n
x →x 0n
n
+ +a n -1x +a n )
n -1
=a 0(lim x ) +a 1(lim x )
x →x 0
+ +a n -1lim x +a n
x →x 0
对于有理分式函数
=a 0x 0+a 1x 0
n -1
+ +a n -1x 0+a n
=f (x 0)
P (x )
F (x ) =
Q (x )
其中P (x ) ，Q (x ) 都是多项式，于是有
lim P (x ) =P (x 0) ，lim Q (x ) =Q (x 0)
x →x 0
x →x 0
因此，当Q (x 0) ≠0时
lim F (x ) =lim
x →x 0
P (x ) Q (x )
例3 求 lim 例4 求 lim
2x -3
2
x →x 0
=
x →x 0
lim P (x )
=
P (x 0) Q (x 0)
x →1
x 2-5x +4x -6x +8
2
x →x 0
lim Q (x )
=F (x 0)
x →4
例5 求 lim
x 3-5x +243x -6x +83
2
x →∞
一般情况为 lim
a 0x
m n
+a 1x
m -1n -1
+ +a m -1x +a m + +b n -1x +b n
b 0x +b 1x sin x
例6 求 lim
x →∞x
1
例7 求 lim x 2sin
x →0x
x →∞
⎧a 0
⎪b , 当n =m . ⎪0⎪
=⎨0, 当n >m . ⎪∞, 当n
定理6（复合函数的极限运算法则）设函数y =f [g (x )]是由函数y =f (u ) 与函数u =g (x ) 复合而成，f [g (x )]在点x 0的某去心邻域内有定义，若lim g (x ) =u 0，lim f (u ) =A ，且存在δ0>0，当
x →x 0
u →u 0
x ∈U (x 0, δ0) ，有g (x ) ≠u 0，则
lim f [g (x )]=lim f (u ) =A
x →x 0
u →u 0
证明：按照极限定义，需要证明∀ε>0，∃δ>0，使得当0
由于lim f (u ) =A ，故∀ε>0，∃η>0，使得当0
u →u 0
|f (u ) -A |
又由于lim g (x ) =u 0，故对于上面的η>0，∃δ1>0，使得当0
x →x 0
|g (x ) -u 0|
取δ=min{δ0, δ1}，当0
x →x 0
由定理6可得，当lim g (x ) =∞，lim f (u ) =A ，有
x →x 0
u →∞
x →x 0
lim f [g (x )]=lim f (u ) =A
u →∞
或当lim g (x ) =∞，lim f (u ) =A ，有
x →∞
u →∞
lim f [g (x )]=lim f (u ) =A
x →∞
u →∞
第五节 极限存在准则，两个重要极限
准则Ⅰ如果数列{x n }、{y n }与{z n }满足下列条件： (1) y n ≤x n ≤z n (n =1, 2, ) ， (2) lim y n =a ，lim z n =a ，
n →∞
n →∞
则数列{x n }的极限存在，且 lim x n =a 。
n →∞
准则Ⅰ如果
(1) 当x ∈U (x 0, r ) （或|x |>M ）时
g (x ) ≤f (x ) ≤h (x ) ，
(2) lim g (x ) =A ，lim h (x ) =A ，
x →x 0(x →∞)
x →x 0(x →∞)
则lim
x →x 0(x →∞)
f (x ) 存在，切lim
x →x 0(x →∞)
f (x ) =A 。
利用准则1'证明重要极限lim 由图6-1可以看出：
sin x x
x →0
=1。
∆
AOB 的面积
12
sin x
12
x
12
tan x
即 sin x
π2
，得 x
1
sin x cos x
sin x
或 cos x
x
πsin x sin x
由于为偶函数，故在(-, 0) 内，也有cos x
2x x
由于当0
π
2
时
2
0
x →0
x 2
22
x
2
x
2
由夹逼准则，得 lim cos x =1，由夹逼准则，得 lim
sin x
x →0
例1 求 lim
x →0
例2 求 lim 例3 求 lim
=1
x
1-cos x x arcsin x
x sin x
=1
x →0
x →0
x
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限。
如果数列{x n }满足x 1≤x 2≤ ≤x n ≤x n +1≤ ，数列{x n }称为单调增加数列； 如果数列{x n }满足x 1≥x 2≥ ≥x n ≥x n +1≥ ，数列{x n }称为单调减少数列。 单调增加数列和单调减少数列统称为单调数列。 利用准则Ⅱ，来证明另一个重要极限lim (1+
n 设x n =(1n +
1x
x =(1+
1
) 1
n
x →∞
) 存在。
x
n 11n -1) n ) n n +(1n (n -1(n -2) 1n (n -1) (n -n +1) 1x =(1n +1 =1+⋅2+⋅3+ +⋅n 类似
11! n n 2! 3! n ! n n n 11112112n -1
1+ +1(1-2n ) (1- =1+1+(1-) 1+(11-)(1-) )(1-) 由此看
=1+1+(1-) 1+(-) + +(1-)(! 1-) (1-) 31! -)(n 1+n ++11n +1
2! n 3! n n n ! n n n 出
112n -1n
+(1-)(1-) (1-)(1-)
(n +1) ! n ++1n +1n +1 x n 1
) ，可证明数列{x n }单调有界。由于
n
又由于
x n
1-
12! 1
n
+
13!
+ +
1n !
12
+
12
2
+ +
12
n -1
2=3-1
即数列{x n }也是有界的，由准则Ⅱ，知道数列{x n }有极限，即lim (1+) 存在，设 12n →∞1-n
21n
lim (1+) =e n →∞n
对于任何x >1，存在正整数n 使得n ≤x ≤n +1，因此有 (1+由于
lim (1+
n →∞
1n +1
)
n
1x
)
x
1n
)
n +1
1n +11x
) =lim (1+
n →∞
n
1n
)
n +1
=e
得
x →+∞
lim (1+) =e
x
令x =-(t +1) ，可证明 lim (1+
x →-∞
1x
) =e ，因此
x
lim (1+
x →∞
1
x
1x
例1 求 lim (1-)
x →∞x 1
) =e
x
例2 求 lim (1+x ) x
x →0
例3 求 lim (
x →∞
1+x x
)
2x
+
1n +2π
2
例4 证明 lim n (
n →∞
1n +π
2
+ +
1n +n π
2
) =1
第六节 无穷小的比较
当x →0时，x 2，3x ，sin x 及x 都是无穷小，但是
lim
x
2
x →0
3x
=0，lim
3x x
2
x →0
=∞，lim
sin x x
x →0
=1
定义 设α，β为无穷小 如果 lim 如果 lim 如果 lim 如果 lim 如果 lim
βαβ
=0，则说β是比α高阶的无穷小，记作β=o (α) ； =∞，则说β是比α低阶的无穷小；
αβ
αβαβ
=c ≠0，则说β与α是同阶无穷小； =1，则说β与α是等价无穷小，记作β~α；
=c ≠0，k >0，则说β是关于α的k 阶无穷小。 k
α
2
因此，当x →0时，x 2是比3x 高阶的无穷小x =o (3x ) ；3x 是比x 2低阶的无穷小；sin x 与x 是等
价无穷小，sin x ~x 。
由于 lim
x -9
2
x →3
又由于lim
x -31-cos x
=6，故当x →3时，x -9与x -3是同阶无穷小；
2
x →0
x
2
=
12
，故当x →0时，1-cos x 是关于x 的二阶无穷小；
1
11n
=∞，故当n →∞，是比2低阶的无穷小。
n →∞1n n
'β2
定理2 设αn ~存在，则 α'，β~β'，且lim
'α
ββ'
lim =lim
αα'
βββ'α'β'
证明：lim =lim ⋅⋅=lim
αβ'α'αα'tan 2x
例1 求 lim
x →0sin 5x
sin x
例2 求 lim 3
x →0x +3x
tan x -sin x
例3 求 lim 3x →0sin x
又由于lim
第七节 函数的连续与间断点 一、 函数的连续性
设变量u 从初值u 1变化到终值u 2，则∆u =u 2-u 1称为变量u 的增量。
设函数y =f (x ) 在x 0的某一邻域内有定义，当自变量x 从x 0变化到x 0+∆x 时，函数y 从f (x 0) 变化到f (x 0+∆x ) ，函数y 的增量为（图8-1）
∆y =f (x 0+∆x ) -f (x 0) 如果∆x →0时，∆y →0，即
∆x →0
lim ∆y =0
或 lim [f (x 0+∆x ) -f (x 0)]=0
∆x →0
则说函数y =f (x ) 在x 0处是连续的。
定义 设函数y =f (x ) 在x
0 lim ∆y =lim [f (x 0+∆x ) -f (x 0)]=0
∆x →0
∆x →0
则说函数y =f (x ) 在点x 0连续。
记x =x 0+∆x ，则∆x →0就是x →x 0；又由于
∆y =f (x 0+∆x ) -f (x 0) =f (x ) -f (x 0)
或 f (x ) =f (x 0) +∆y
因此 ∆y →0等价于f (x ) →f (x 0) ，即 lim f (x ) =f (x 0) 。由此可得连续的另一等价定义
x →x 0
定义 设函数y =f (x ) 在x 0的某一邻域内有定义，如果 lim f (x ) =f (x 0)
x →x 0
则说函数y =f (x ) 在点x 0连续。
用极限定义描述为：y =f (x ) 在点x 0连续⇔∀ε>0，∃δ>0，当|x -x 0|
简单说：如果f (x ) 在x 0处有定义；当x →x 0时，f (x ) 有极限；且lim f (x ) =f (x 0) ，则f (x ) 在
x →x 0
点x 0连续。
例如，对于多项式函数P (x ) ，对任何的x 0∈R ，都有 lim P (x ) =P (x 0)
x →x 0
因此，对于多项式函数P (x ) 在任何点处都连续。
，如果Q (x 0) ≠0，则有 Q (x )
P (x 0) P (x )
lim R (x ) =lim ==R (x 0)
x →x 0x →x 0Q (x ) Q (x 0)
P (x )
因此，有理函数R (x ) =在定义域内的每一点都连续。
Q (x )
如果函数y =f (x ) 在某区间上每一点都连续，则说函数y =f (x ) 在该区间上连续，或者说函数y =f (x ) 为该区间上的连续函数。
对于有理函数R (x ) =
P (x )
例1 证明函数y =sin x 在(-∞, +∞) 内是连续的。 证明：设x 0为(-∞, +∞) 内任意一点，由于 ∆y =s i n x (0+∆x ) -s i n x 0=2s i 又由于
|cos(x 0+得
|∆y |=|sin(x 0+∆x ) -sin x 0|≤2|sin 又夹逼准则，得
∆x →0
∆x 2
c o s x (0+
∆x 2
)
∆x 2
) |≤1
∆x 2
|≤|∆x |
lim ∆y =0
因此，y =sin x 在x 0处连续，由于x 0为(-∞, +∞) 内任意一点，得y =sin x 在(-∞, +∞) 内连续。
如果lim f (x ) =f (x 0) ，或f (x 0) =f (x 0) ，则说函数f (x ) 在x 0右连续；
x →x 0
+
+
如果lim f (x ) =f (x 0) ，或f (x 0) =f (x 0) ，则说函数f (x ) 在x 0左连续。
x →x 0
-
-
如果函数f (x ) 在x 0处连续，则f (x ) 在x 0右连续且函数f (x ) 在x 0左连续；反之，当f (x ) 在x 0右连续且f (x ) 在x 0左连续时，函数f (x ) 在x 0处连续。例如
⎧x +1, x ≥0 f (x ) =⎨
⎩x -1, x
f (x ) 在x 0=0处右连续，但f (x ) 在x 0=0处不是左连续的，因此，f (x ) 在x 0=0处不连续。
二、 函数的间断点
如果函数f (x ) 在x 0处不连续，则x 0称为函数f (x ) 的一个间断点。
(1) 如果f (x ) 在x 0处没有定义，则f (x ) 在x 0处不连续，x 0为f (x ) 的一个间断点；
(2) 如果f (x ) 在x 0处没有极限，则f (x ) 在x 0处不连续，x 0为f (x ) 的一个间断点； (3) 如果lim f (x ) ≠f (x 0) ，则f (x ) 在x 0处不连续，x 0为f (x ) 的一个间断点。
x →x 0
由于y =
1
x
在x =0处没有定义，得x =0为y =
sin x cos x
1x
的一个间断点。
由于y =tan x =由于y =
x -1
2
在x =
π2
处无定义，得x =
π
点。
x -1
⎧x +1,
由于f (x ) =⎨
⎩x -1,
在x =1处无定义，得x =1为y =
x ≥0
为y =tan x 的一个间断点。 22
x -1x -1
的一个间断点。
⎧x +1,
当x →0时没有极限，因此，x =0为f (x ) =⎨x
1x
x ≥0x
的一个间断
由于y =sin
π
1x
在x =0处没有定义，得x =0为y =sin 的一个间断点。
由于lim tan x =∞，说x =
x →
π2
称为y =tan x 的一个无穷间断点。
如果lim
x →x ⎧x
为f (x ) =⎨
⎩x 如果lim
2
但A ≠B ，说x 0为y =f (x ) 的一个跳跃间断点。例如，x =0f (x ) =A ，lim -f (x ) =B ，
x →x 0+1, 0x ≥0
+
-1, x
的一个跳跃间断点。
x →x 0
f (x ) =A ≠f (x 0) ，则x 0称为y =f (x ) 的一个可去间断点。例如，x =1为y =
x -1x -1
2
的
一个可去间断点。
x =0称为y =sin
1x
的一个振荡间断点。
+
-
如果x 0为y =f (x ) 的一个间断点，但f (x 0) 与f (x 0) 都存在，则x 0称为f (x ) 的第一类间断点。不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点。 第八节 连续函数的运算与初等函数的连续性 三、 连续函数的和、差、积、商的连续性
定理1 设函数f (x ) 和g (x ) 在x 0点连续，则f (x ) ±g (x ) 、f (x ) ⋅g (x ) 、连续。
例1 由于sin x ，cos x 在(-∞, +∞) 内连续，得tan x =三角函数在定义域内是连续的。 四、 反函数与复合函数的连续性
定理2 如果函数y =f (x ) 在区间I x 上单调且连续，则它的反函数x =f
I y ={y |y =f (x ), x ∈I x }上单调且连续。
-1
f (x ) g (x )
(g (x 0) ≠0) 在x 0点
sin x cos x
，cot x =
cos x sin x
在定义域内连续。即
(y ) 在对应区间
22
单调增加且连续。同样，y =cos x 在[0, π]上单调减少且连续，因此，其反函数y =arccos x 在对应区间
例2 由于y =sin x 在[-
π
,
π
因此，其反函数y =arcsin x 在对应区间[-1, 1]上]上单调增加且连续，
[-1, 1]上单调减少且连续。
同理可证：y =arctan x 在区间(-∞, +∞) 内单调增加且连续；y =arc cot x 在区间(-∞, +∞) 内单调减少且连续。
综上所述，反三角函数arcsin x ，arccos x ，arctan x ，arc cot x 在定义域内是连续的。
定理3 设函数y =f [g (x )]是有y =f (u ) 与u =g (x ) 复合而成，U (x 0) ⊂D f g 。若lim g (x ) =u 0，
x →x 0
而函数y =f (u ) 在u =u 0处连续，则
lim f [g (x )]=lim f (u ) =f (u 0)
x →x 0
u →u 0
即
x →x 0
lim f [g (x )]=f [lim g (x )]=f (u 0)
x →x 0
若lim g (x ) =u 0，而函数y =f (u ) 在u =u 0处连续，则
x →∞
lim f [g (x )]=f [lim g (x )]=f (u 0)
x x →∞
例3 求 lim 解：y =
x -3
2
x -9
x 3
2
u 与u =
处连续，由定理3，得
lim
x -3x -9
2
x →3
x -9
可看成y =
x -3x -9=
16
2
的复合，由于lim
x -3x -9
2
x →3
=
16
，而且y =u 在u =
16
=lim
x -3x -9
2
x →3
定理4设函数y =f [g (x )]是有y =f (u ) 与u =g (x ) 复合而成。若u =g (x ) 在x =x 0处连续，且g (x 0) =u 0，而函数y =f (u ) 在u =u 0处连续，则复合函数y =f [g (x )]在x =x 0处连续。
1x
例4 讨论函数y =sin 五、 初等函数的连续性
的连续性。
三角函数与反三角函数在其定义域内是连续的
指数函数y =a （a >0, a ≠1）在定义域(-∞, +∞) 内是连续的。 由反函数的连续性，得对数函数y =log 由于幂函数y =x μ可以写成y =x 内是连续的。
综上所述：五种基本初等函数在它们的定义域内是连续的。
由于初等函数是由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合且可由一个算式表达的函数，由定理1和定理4知道：一切初等函数在定义区间内是连续的。
定义区间：包含在定义域内的区间。如y =arcsin u 与u =x 2+1复合得y =arcsin(x +1) 的定义域为x =0，没有定义区间。
如果知道f (x ) 为初等函数，x 0为f (x ) 定义区间内的一点，则 lim f (x ) =f (x 0)
x →x 0
x
a
x （a >0, a ≠1）在定义域(0, +∞) 内是连续的。
μ
=a
μlog a x
，由复合函数连续性定理，得y =x μ在定义域(0, +∞)
2
例1 lim ln sin x =ln sin
x →
π2
π
=0
例2 求lim 例3 求lim
2
+x
2
-1
x →0
x
log a (1+x )
x
x →0
例4 求lim
a -1x
x
x →0
3
1
例5 求lim (1+2x ) sin x
x →0
3x
1
解：因为 (1+2x ) sin
因此
3
=(1+2x ) 2x
⋅
x sin x
⋅6
=e
6⋅
x sin x
⋅ln(1+2x ) 2x
lim (1+2x )
x →0
sin x
=lim e
x →0
6⋅
x sin x
1
1
⋅ln(1+2x ) 2x
=e
lim
x →0
6⋅
x sin x
⋅ln(1+2x ) 2x
=e
6
一般地，对于y =u (x ) v (x ) （u (x ) >0, u (x ) ≠1），如果lim u (x ) =a >0，lim v (x ) =b ，则 lim u (x ) v (x ) =a b 第九节 闭区间上连续函数的性质
如果函数f (x ) 在开区间(a , b ) 内连续，在右端点x =b 处左连续，在左端点x =a 处右连续，则说函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，或者说f (x ) 为闭区间[a , b ]上的连续函数。 一、有界性与最大值最小值定理
设函数f (x ) 在区间I 上有定义，如果有x 0∈I ，使得对于任一x ∈I 都有 f (x ) ≤f (x 0) （f (x ) ≥f (x 0) ） 则称f (x 0) 是函数f (x ) 在区间I 的最大值（最小值）。
定理1 （有界性与最大值最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上有界并取得它的最大值和最小值。
0≤x
⎪
x =1例2 f (x ) =⎨1,
⎪-x +3, 1
⎩上有间断点x =1，而且f (x ) 在[0，2]上无最大值和最小值。 f (x ) 在闭区间[0，2]
例1 y =x ，区间为(0, 1)
二、零点定理与介值定理
如果x 0使得f (x 0) =0，则x 0称为函数f (x ) 的零点。
定理2（零点定理）设函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，且f (a ) 与f (b ) 异号（即f (a ) ⋅f (b )
定理3（介值定理）设函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值，即f (a ) =A ，f (b ) =B ，且A ≠B ，则对于介于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间(a , b ) 内至少有
一点ξ，使得f (ξ) =C 。
证明：令ϕ(x ) =f (x ) -C ，对ϕ(x ) 应用零点定理，得存在ξ∈(a , b ) ，使得ϕ(ξ) =0即 f (ξ) -C =0 或 f (ξ) =C (a
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值。
例3 证明方程x 3-4x 2+1=0在区间(0, 1) 内至少有一个根。
第一章极限与连续
第一节 数列的极限 一、数列极限的概念
按照某一法则，对于每一个n ∈N +，对应一个确定的实数x n ，将这些实数按下标n 从小到大排列，得到一个序列
x 1, x 2, , x n ,
称为数列，简记为数列{x n }，x n 称为数列的一般项。例如：
1212, 231412
,
341843
, ,
n n +11265
n
,
2, 4, 8, , 2n ,
,
,
, ,
,
n +1
1, -1, 1, , (-1) 2, 一般项分别为
,
, 34,
n
, n +(-1)
n
n +1
n -1
, , ,
n
n +1
，2，
12
n
，(-1) ，
n +(-1)
n
n -1
数列{x n }可看成自变量取正整数n 的函数，即x n =f (n ) ，n ∈N + 设数列x n =
n +(-1)
n -1
11
为使|x n -1|=，只需要n >100，即从101项以后各项都满足-1=
n n 1001
， |x n -1|
100n -1
n +(-1) 11
为使|x n -1|=，只需要n >100000，即从100001项以后各项都满足-1=
n n 1000001
|x n -1|
100000n -1
n +(-1) 111
为使|x n -1|=，只需要n >，即当n >以后，-1=
εεn n
各项都满足|x n -1|ε。
n n -1n +(-1)
，来说明数列{x n }以1为极限。
令N =[]，当n >N 时，因此有|x n -1|，
εεε
当n >N 时的一切x n 都满足|x n -1|
定义：设{x n }为一数列，如果存在常数a ，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N ，使得当n >N 时的一切x n 都满足不等式
111
|x n -a |
则说常数a 是数列{x n }的极限，或者说数列{x n }收敛于a ，记为
lim x n =a 或 x n →a (n →∞)
n →∞
如果不存在这样的常数a ，则说数列{x n }没有极限，或者说数列{x n }发散。
数列{x n }以a 为极限的几何意义：任意给定的正数ε，总存在正整数N ，当n >N 时的一切x n ，有 |x n -a |
即 a -ε也就是当n >N 的一切x n 都落在a 的ε邻域U (a , ε) 内，在U (a , ε) 的外边至多有N 项（图） x x a -εx a x a +ε
例1 证明数列
12, 23, 34, ,
n n +1
,
的极限为1。
证明：①分析：为使|x n -a |=
n n +11n +1
-1
1n +1
1
②证明：任意给定小正数ε，取N =[ |x n -1|=因此，lim
n n +1
n →∞
1
ε
，即n >
1
ε
-1
n n +1
-1=
ε
-1]，当n >N 时的一切x n 满足
=1
例2 已知x n =
(-1)
n 2
1111
，只需要，由于，=
n +1(n +1) (n +1) (n +1) (n +1) 11故，或n >-1时 n +1εε1
(n +1)
1
证明：任意给定小正数ε，取N =[-1]，当n >N 时的一切x n 满足
εn
(-1) 11
|x n -0|=-0=
(n +1) n +1(n +1) n
(-1)
因此，lim =0
n →∞(n +1) 2
例3 设|q |
(n +1)
，证明数列{x n }的极限是0。 (-1)
n
分析：为使|x n -a |=
1, q , q , , q 的极限是0。
2n -1
,
证明：任给ε>0（设ε
n -1
-0|=|q |
n -1
ln εln |q |
为使|x n -0|
ln ε
N =[1+]，当n >N 时，有
ln |q |
|x n -0|=|q
n -1
n -1n -1
1+。故取
-0|=|q |
n -1
因此，lim q
n →∞
n -1
=0。
二、收敛数列的性质
定理1（极限的唯一性）如果数列{x n }收敛，则它的极限是唯一的。 证明：反证法：如果x n →a ，x n →b ，不妨设a N 1时，|x n -a |N 2时，|x n -b |
b -a 2b -a 2
b -a
b -a 2b -a 2
b -a 2
。
；
。取N =max{N 1, N 2}，则当n >N 时，a +b 2
，|x n -b |
由|x n -a |
2a +b 2
n -1
，
b -a 2
，由|x n -b |
，矛盾，故必须a =b 。
例4 证明数列x n =(-1)
（n =1, 2, ）是发散的。
对于数列{x n }，如果存在正数M ，使得对于一切x n ，有|x n |≤M ，则说数列{x n }是有界的；否则，则说数列{x n }是无界的。
定理2（收敛数列的有界性）如果数列{x n }有极限，则数列{x n }一定有界。 证明：注意到|x n |=|x n -a +a |≤|x n -a |+|a |，可证明定理2。
定理3（收敛数列的保号性）如果lim x n =a ，且a >0（或a N 时
n →∞
的一切x n ，有x n >0（或x n
证明：取ε=
a 2
即可证明定理。
n →∞
推论 如果数列{x n }从某项起有x n ≥0（或x n ≤0），且lim x n =a ，则a ≥0（或a ≤0）。 对于数列{x n }，从中抽取 x n ，x n ， ，x n ，
1
2
k
称为数列{x n }的一个子数列。
定理4 如果数列{x n }收敛于a ，则数列{x n }的任何子数列都收敛，且收敛于a 。 第二节 函数的极限 一、函数极限的定义
1．自变量趋向于无穷大时函数的极限
数列是特殊的函数，如x n =f (n ) =y =f (x ) =
x x +1
n
n +1
，是否有x →∞时，f (x ) →1？
x x +1
，n =1, 2, ，且n →∞时，x n →1，考虑函数
1x +1
1
任意给定小正数ε，为使|f (x ) -1|=||x +1|>|x |-1，即|x |>
1
-1|
+1即可。 ε
1
任给ε>0，存在正数X =+1，当|x |>X 时，对应的函数值f (x ) 满足
εx
|f (x ) -1|=|-1|
x +1
ε
。由于
即当x →∞时，f (x ) 以1为极限。
定义1设函数f (x ) 当|x |大于某一正数时有定义。如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（不论
它多么小），总存在正数X ，使得x 满足不等式|x |>X 时，对应函数值f (x ) 满足
|f (x ) -A |
则说常数A 为函数f (x ) 当x →∞时的极限，记为
lim f (x ) =A 或 f (x ) →A （当x →∞）
x →∞
lim f (x ) =A ：∀ε>0，∃X >0，当|x |>X 时，|f (x ) -A |
x →∞
例1 证明 lim 分析：为使|
3x
x →∞
=0。
3x
|
3
3x
ε|x |
33
证明：∀ε>0，X =，当|x |>X 时，|-0|
x |x |ε
3lim =0。 x →∞x
3
-0|
3
。
l i m f (x ) =A 的几何解释：∀ε>0，∃X >0，当|x |>X 时，
x →∞
|f (x ) -A |
即 -ε如果∀ε>0，∃X >0，当x >X 时，|f (x ) -A |
x →+∞
lim f (x ) =A ；
如果∀ε>0，∃X >0，当x
x →-∞
lim f (x ) =A
显然，lim f (x ) =A ⇔lim f (x ) =A ，lim f (x ) =A
x →∞
x →+∞
x →-∞
例如：f (x ) =
|x |x
，有lim f (x ) =1，lim f (x ) =-1。
x →+∞
x →-∞
2．自变量趋向于有限值时函数的极限
例1，f (x ) =2x +1，x →2时，f (x ) →5； 例2：f (x ) =
x -1x -1
2
，定义域为x ≠1，但x →1时，f (x ) →2；
任意给定小正数ε，为使|f (x ) -A |=|2x +1-5|=|2x -4|
ε
|x -2|>=δ即可。
2
任意给定小正数ε，为使
|f (x ) -A |=|
x -1x -1
2
-2|=|
(x +1)(x -1)
x -1
-2|
只要|x -1|ε=δ即可。
定义2 设函数f (x ) 在点x 0的某一去心邻域内有定义。如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ，使得x 满足不等式0
|f (x ) -A |
则说常数A 为函数f (x ) 当x →x 0时的极限，记为
x →x 0
lim f (x ) =A 或 f (x ) →A （当x →x 0）
x →x 0
lim f (x ) =A ：∀ε>0，∃δ>0，当0
例2 证明 lim (3x -1) =8。
x →3
分析：为使 |(3x -1) -8|=|3x -9|0
，当0
|f (x ) -8|=|(3x -1) -8|=3|x -3|
ε3
。
ε
时，对应函数值满足
因此，lim (3x -1) =8。
x →3
lim f (x ) =A 的几何解释：∀ε>0，∃δ>0，当0
x →x 0
|f (x ) -A |
即 -ε
即 x ∈U (x 0, δ) 时，f (x ) ∈U (A , ε) 如图所示：
如果∀ε>0，∃δ>0，当x -x 0
x →x 0）时，f (x ) →A ，记为lim +f (x ) =A ，或f (x 0) =A ；
x →x 0
+
+
如果∀ε>0，∃δ>0，当x 0-x
x →x 0）时，f (x ) →A ，记为lim -f (x ) =A ，或f (x 0) =A ；
x →x 0
-
-
显然，lim f (x ) =A ⇔lim f (x ) =A ，lim f (x ) =A
x →x 0
x →x 0
+
x →x 0
-
⎧x -1, x
f (x ) =⎨0, x =0
⎪x +1, x >0⎩当x →0时，f (x ) 的极限不存在。
例3 设函数
例4 证明 lim c =c
x →x 0
例5 证明 lim x =x 0
x →x 0
例6 证明 lim
x -4x +2sin x x
2
x →-2
=-4
例7 证明 lim
x →+∞
=0
二、函数极限的性质
定理1 （函数极限的唯一性）如果lim f (x ) 存在，则极限是唯一的。
x →x 0
定理2 （函数极限的局部有界性）如果lim f (x ) =A ，则存在正数M 和δ，使得当0
x →x 0
时，有|f (x ) |≤M 。
证明： |f (x ) |=|f (x ) -A +A |≤|f (x ) -A |+|A |
定理3 （函数极限的局部保号性）如果lim f (x ) =A ，且A >0（或A 0，
x →x 0
使得当00（或f (x )
推论 如果在x 0的某去心邻域U (x 0, δ) 内，f (x ) ≥0（或f (x ) ≤0），且lim f (x ) =A ，则A ≥0（或
x →x 0
。 A ≤0）
定理4 （函数极限与数列极限的关系）如果极限lim f (x ) =A ，{x n }为函数f (x ) 定义域内一收敛x 0
x →x 0
的数列，且x n ≠x 0（n ∈N ），则对应的函数值数列{f (x n )}也收敛，且lim f (x n ) =lim f (x ) =A 。
n →∞
x →x 0
+
证明：由于lim f (x ) =A ，则∀ε>0，∃δ>0，当0
x →x 0
又由于lim x n =x 0，故对于上面的δ>0，当n >N 时，有|x n -x 0|
n →∞
因此，∀ε>0，∃N ，当n >N 时，有0
n →∞
第三节 无穷小与无穷大 一、无穷小
定义1 如果函数f (x ) 当x →x 0（或x →∞）时的极限为零，则函数f (x ) 称为当x →x 0（或x →∞）时的无穷小。
1x
1x
例如：lim (x -1) =0，因此(x -1) 为x →1时的无穷小；lim
n →1
n →x 0
n →∞
=0，因此为x →∞时的无穷小。
f (x ) 为x →x 0时的无穷小⇔lim f (x ) =0⇔∀ε>0，∃δ>0，当0
|f (x ) |
f (x ) 为x →∞时的无穷小⇔lim f (x ) =0⇔∀ε>0，∃X >0，当|x |>X 时，|f (x ) |
n →∞
定理1 在自变量的同一变化过程x →x 0（或x →∞）中，函数f (x ) 以A 为极限的充分必要条件是f (x ) =A +α，其中α是无穷小。
证明：必要性：设lim f (x ) =A ，则∀ε>0，∃δ>0，当0
n →x 0
令α=f (x ) -A ，则α是x →x 0时的无穷小，且f (x ) =A +α。
充分性：设f (x ) =A +α，其中A 为常数，α是x →x 0时的无穷小。于是，∀ε>0，∃δ>0，当0
n →x 0
lim f (x ) =A 。
二、无穷大
如果当x →x 0（或x →∞）时，对应的函数值的绝对值|f (x ) |无限增大，则称函数f (x ) 为x →x 0
（或x →∞）时的无穷大。
定义2 设函数f (x ) 在x 0的某一去心邻域内有定义（或|x |大于某一正数时有定义）如果对于任意给定的正数M （不论它多么大），总存在正数δ（或正数X ），当x 满足0X ）时，对应函数值f (x ) 满足
|f (x ) |>M
则说函数f (x ) 为x →x 0（或x →∞）时的无穷大。
如果函数f (x ) 为x →x 0（或x →∞）时的无穷大，也可记为 lim f (x ) =∞（或lim f (x ) =∞）
n →x 0
n →∞
例如：
n →x 0
1
x -1
为x →1时的无穷大；2x +1为x →∞时的无穷大。
lim f (x ) =+∞：∀M >0，∃δ>0，当0M ；
lim f (x ) =-∞：∀M >0，∃X >0，当|x |>X 时，f (x )
n →∞
如果lim f (x ) =∞，则直线x =x 0是函数y =f (x ) 的图形的铅直渐近线；
n →x 0
如果lim f (x ) =A ，则直线y =A 是函数y =f (x ) 的图形的水平渐近线。
n →∞
定理2 在自变量的同一变化过程中，如果f (x ) 为无穷大，则穷小，且f (x ) ≠0，则第四节 极限运算法则
定理1 有限个无穷小的和也是无穷小。 证明：以两个无穷小的和为例：
设α及β是x →x 0时的两个无穷小，令γ=α+β。
1f (x )
1f (x )
为无穷小；反之，如果f (x ) 为无
为无穷大。
由于α是x →x 0时无穷小：∀ε>0，∃δ1>0，当0
ε2
；
又由于β是x →x 0时无穷小：对于ε>0，∃δ2>0，当0
ε2
；
ε
取δ=min{δ1, δ2}，则当0
2ε
与|β|
2
εε
|γ|=|α+β|
2
2
即α+β为x →x 0时的无穷小。
定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小。 推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小。 定理3 如果lim f (x ) =A ，lim g (x ) =B ，则 (1) lim[f (x ) ±g (x )]=lim f (x ) ±lim g (x ) =A ±B (2) lim[f (x ) ⋅g (x )]=lim f (x ) ⋅lim g (x ) =A ⋅B (3) lim
f (x ) g (x )
=
lim f (x ) lim g (x )
=A B
(B ≠0)
证明：以(2)为例，由于lim f (x ) =A ，得f (x ) =A +α，α为无穷小；又由于lim g (x ) =B ，得g (x ) =B +β，β也为无穷小，因此
f (x ) ⋅g (x ) =(A +α) ⋅(B +β) =AB +A β+B α+αβ
由定理与推论，得A β+B α+αβ为无穷小，故A ⋅B 为f (x ) ⋅g (x ) 的极限。
定理3中的(1)和(2)可推广到有限个的情况，即
lim[f (x ) +g (x ) -h (x )]=lim f (x ) +lim g (x ) -lim h (x ) lim[f (x ) ⋅g (x ) ⋅h (x )]=lim f (x ) ⋅lim g (x ) ⋅lim h (x )
推论1 如果lim f (x ) 存在，c 为常数，则 lim[c f (x )]=c lim f (x ) 推论2 如果lim f (x ) 存在，n 为正整数，则 lim[f (x )]n =[limf (x )]n 将定理3应用于数列的情况，得
定理4 如果lim x n =A ，lim y n =B ，则
n →∞
n →∞
(1) lim (x n ±y n ) =A ±B
n →∞
(2) lim (x n ⋅y n ) =A ⋅B
n →∞
(3) lim
x n y n
n →∞
=
A B
(y n ≠0, n =1, 2, , 且B ≠0)
2
例1 求 lim (2x -3x +2)
x →2
例2 求 lim
x -1x -5x +3
2
3
x →2
对于多项式函数
f (x ) =a 0x +a 1x 有
x →x 0
x →x 0n
n -1
+ +a n -1x +a n
n -1
lim f (x ) =lim (a 0x +a 1x
n
x →x 0n
n
+ +a n -1x +a n )
n -1
=a 0(lim x ) +a 1(lim x )
x →x 0
+ +a n -1lim x +a n
x →x 0
对于有理分式函数
=a 0x 0+a 1x 0
n -1
+ +a n -1x 0+a n
=f (x 0)
P (x )
F (x ) =
Q (x )
其中P (x ) ，Q (x ) 都是多项式，于是有
lim P (x ) =P (x 0) ，lim Q (x ) =Q (x 0)
x →x 0
x →x 0
因此，当Q (x 0) ≠0时
lim F (x ) =lim
x →x 0
P (x ) Q (x )
例3 求 lim 例4 求 lim
2x -3
2
x →x 0
=
x →x 0
lim P (x )
=
P (x 0) Q (x 0)
x →1
x 2-5x +4x -6x +8
2
x →x 0
lim Q (x )
=F (x 0)
x →4
例5 求 lim
x 3-5x +243x -6x +83
2
x →∞
一般情况为 lim
a 0x
m n
+a 1x
m -1n -1
+ +a m -1x +a m + +b n -1x +b n
b 0x +b 1x sin x
例6 求 lim
x →∞x
1
例7 求 lim x 2sin
x →0x
x →∞
⎧a 0
⎪b , 当n =m . ⎪0⎪
=⎨0, 当n >m . ⎪∞, 当n
定理6（复合函数的极限运算法则）设函数y =f [g (x )]是由函数y =f (u ) 与函数u =g (x ) 复合而成，f [g (x )]在点x 0的某去心邻域内有定义，若lim g (x ) =u 0，lim f (u ) =A ，且存在δ0>0，当
x →x 0
u →u 0
x ∈U (x 0, δ0) ，有g (x ) ≠u 0，则
lim f [g (x )]=lim f (u ) =A
x →x 0
u →u 0
证明：按照极限定义，需要证明∀ε>0，∃δ>0，使得当0
由于lim f (u ) =A ，故∀ε>0，∃η>0，使得当0
u →u 0
|f (u ) -A |
又由于lim g (x ) =u 0，故对于上面的η>0，∃δ1>0，使得当0
x →x 0
|g (x ) -u 0|
取δ=min{δ0, δ1}，当0
x →x 0
由定理6可得，当lim g (x ) =∞，lim f (u ) =A ，有
x →x 0
u →∞
x →x 0
lim f [g (x )]=lim f (u ) =A
u →∞
或当lim g (x ) =∞，lim f (u ) =A ，有
x →∞
u →∞
lim f [g (x )]=lim f (u ) =A
x →∞
u →∞
第五节 极限存在准则，两个重要极限
准则Ⅰ如果数列{x n }、{y n }与{z n }满足下列条件： (1) y n ≤x n ≤z n (n =1, 2, ) ， (2) lim y n =a ，lim z n =a ，
n →∞
n →∞
则数列{x n }的极限存在，且 lim x n =a 。
n →∞
准则Ⅰ如果
(1) 当x ∈U (x 0, r ) （或|x |>M ）时
g (x ) ≤f (x ) ≤h (x ) ，
(2) lim g (x ) =A ，lim h (x ) =A ，
x →x 0(x →∞)
x →x 0(x →∞)
则lim
x →x 0(x →∞)
f (x ) 存在，切lim
x →x 0(x →∞)
f (x ) =A 。
利用准则1'证明重要极限lim 由图6-1可以看出：
sin x x
x →0
=1。
∆
AOB 的面积
12
sin x
12
x
12
tan x
即 sin x
π2
，得 x
1
sin x cos x
sin x
或 cos x
x
πsin x sin x
由于为偶函数，故在(-, 0) 内，也有cos x
2x x
由于当0
π
2
时
2
0
x →0
x 2
22
x
2
x
2
由夹逼准则，得 lim cos x =1，由夹逼准则，得 lim
sin x
x →0
例1 求 lim
x →0
例2 求 lim 例3 求 lim
=1
x
1-cos x x arcsin x
x sin x
=1
x →0
x →0
x
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限。
如果数列{x n }满足x 1≤x 2≤ ≤x n ≤x n +1≤ ，数列{x n }称为单调增加数列； 如果数列{x n }满足x 1≥x 2≥ ≥x n ≥x n +1≥ ，数列{x n }称为单调减少数列。 单调增加数列和单调减少数列统称为单调数列。 利用准则Ⅱ，来证明另一个重要极限lim (1+
n 设x n =(1n +
1x
x =(1+
1
) 1
n
x →∞
) 存在。
x
n 11n -1) n ) n n +(1n (n -1(n -2) 1n (n -1) (n -n +1) 1x =(1n +1 =1+⋅2+⋅3+ +⋅n 类似
11! n n 2! 3! n ! n n n 11112112n -1
1+ +1(1-2n ) (1- =1+1+(1-) 1+(11-)(1-) )(1-) 由此看
=1+1+(1-) 1+(-) + +(1-)(! 1-) (1-) 31! -)(n 1+n ++11n +1
2! n 3! n n n ! n n n 出
112n -1n
+(1-)(1-) (1-)(1-)
(n +1) ! n ++1n +1n +1 x n 1
) ，可证明数列{x n }单调有界。由于
n
又由于
x n
1-
12! 1
n
+
13!
+ +
1n !
12
+
12
2
+ +
12
n -1
2=3-1
即数列{x n }也是有界的，由准则Ⅱ，知道数列{x n }有极限，即lim (1+) 存在，设 12n →∞1-n
21n
lim (1+) =e n →∞n
对于任何x >1，存在正整数n 使得n ≤x ≤n +1，因此有 (1+由于
lim (1+
n →∞
1n +1
)
n
1x
)
x
1n
)
n +1
1n +11x
) =lim (1+
n →∞
n
1n
)
n +1
=e
得
x →+∞
lim (1+) =e
x
令x =-(t +1) ，可证明 lim (1+
x →-∞
1x
) =e ，因此
x
lim (1+
x →∞
1
x
1x
例1 求 lim (1-)
x →∞x 1
) =e
x
例2 求 lim (1+x ) x
x →0
例3 求 lim (
x →∞
1+x x
)
2x
+
1n +2π
2
例4 证明 lim n (
n →∞
1n +π
2
+ +
1n +n π
2
) =1
第六节 无穷小的比较
当x →0时，x 2，3x ，sin x 及x 都是无穷小，但是
lim
x
2
x →0
3x
=0，lim
3x x
2
x →0
=∞，lim
sin x x
x →0
=1
定义 设α，β为无穷小 如果 lim 如果 lim 如果 lim 如果 lim 如果 lim
βαβ
=0，则说β是比α高阶的无穷小，记作β=o (α) ； =∞，则说β是比α低阶的无穷小；
αβ
αβαβ
=c ≠0，则说β与α是同阶无穷小； =1，则说β与α是等价无穷小，记作β~α；
=c ≠0，k >0，则说β是关于α的k 阶无穷小。 k
α
2
因此，当x →0时，x 2是比3x 高阶的无穷小x =o (3x ) ；3x 是比x 2低阶的无穷小；sin x 与x 是等
价无穷小，sin x ~x 。
由于 lim
x -9
2
x →3
又由于lim
x -31-cos x
=6，故当x →3时，x -9与x -3是同阶无穷小；
2
x →0
x
2
=
12
，故当x →0时，1-cos x 是关于x 的二阶无穷小；
1
11n
=∞，故当n →∞，是比2低阶的无穷小。
n →∞1n n
'β2
定理2 设αn ~存在，则 α'，β~β'，且lim
'α
ββ'
lim =lim
αα'
βββ'α'β'
证明：lim =lim ⋅⋅=lim
αβ'α'αα'tan 2x
例1 求 lim
x →0sin 5x
sin x
例2 求 lim 3
x →0x +3x
tan x -sin x
例3 求 lim 3x →0sin x
又由于lim
第七节 函数的连续与间断点 一、 函数的连续性
设变量u 从初值u 1变化到终值u 2，则∆u =u 2-u 1称为变量u 的增量。
设函数y =f (x ) 在x 0的某一邻域内有定义，当自变量x 从x 0变化到x 0+∆x 时，函数y 从f (x 0) 变化到f (x 0+∆x ) ，函数y 的增量为（图8-1）
∆y =f (x 0+∆x ) -f (x 0) 如果∆x →0时，∆y →0，即
∆x →0
lim ∆y =0
或 lim [f (x 0+∆x ) -f (x 0)]=0
∆x →0
则说函数y =f (x ) 在x 0处是连续的。
定义 设函数y =f (x ) 在x
0 lim ∆y =lim [f (x 0+∆x ) -f (x 0)]=0
∆x →0
∆x →0
则说函数y =f (x ) 在点x 0连续。
记x =x 0+∆x ，则∆x →0就是x →x 0；又由于
∆y =f (x 0+∆x ) -f (x 0) =f (x ) -f (x 0)
或 f (x ) =f (x 0) +∆y
因此 ∆y →0等价于f (x ) →f (x 0) ，即 lim f (x ) =f (x 0) 。由此可得连续的另一等价定义
x →x 0
定义 设函数y =f (x ) 在x 0的某一邻域内有定义，如果 lim f (x ) =f (x 0)
x →x 0
则说函数y =f (x ) 在点x 0连续。
用极限定义描述为：y =f (x ) 在点x 0连续⇔∀ε>0，∃δ>0，当|x -x 0|
简单说：如果f (x ) 在x 0处有定义；当x →x 0时，f (x ) 有极限；且lim f (x ) =f (x 0) ，则f (x ) 在
x →x 0
点x 0连续。
例如，对于多项式函数P (x ) ，对任何的x 0∈R ，都有 lim P (x ) =P (x 0)
x →x 0
因此，对于多项式函数P (x ) 在任何点处都连续。
，如果Q (x 0) ≠0，则有 Q (x )
P (x 0) P (x )
lim R (x ) =lim ==R (x 0)
x →x 0x →x 0Q (x ) Q (x 0)
P (x )
因此，有理函数R (x ) =在定义域内的每一点都连续。
Q (x )
如果函数y =f (x ) 在某区间上每一点都连续，则说函数y =f (x ) 在该区间上连续，或者说函数y =f (x ) 为该区间上的连续函数。
对于有理函数R (x ) =
P (x )
例1 证明函数y =sin x 在(-∞, +∞) 内是连续的。 证明：设x 0为(-∞, +∞) 内任意一点，由于 ∆y =s i n x (0+∆x ) -s i n x 0=2s i 又由于
|cos(x 0+得
|∆y |=|sin(x 0+∆x ) -sin x 0|≤2|sin 又夹逼准则，得
∆x →0
∆x 2
c o s x (0+
∆x 2
)
∆x 2
) |≤1
∆x 2
|≤|∆x |
lim ∆y =0
因此，y =sin x 在x 0处连续，由于x 0为(-∞, +∞) 内任意一点，得y =sin x 在(-∞, +∞) 内连续。
如果lim f (x ) =f (x 0) ，或f (x 0) =f (x 0) ，则说函数f (x ) 在x 0右连续；
x →x 0
+
+
如果lim f (x ) =f (x 0) ，或f (x 0) =f (x 0) ，则说函数f (x ) 在x 0左连续。
x →x 0
-
-
如果函数f (x ) 在x 0处连续，则f (x ) 在x 0右连续且函数f (x ) 在x 0左连续；反之，当f (x ) 在x 0右连续且f (x ) 在x 0左连续时，函数f (x ) 在x 0处连续。例如
⎧x +1, x ≥0 f (x ) =⎨
⎩x -1, x
f (x ) 在x 0=0处右连续，但f (x ) 在x 0=0处不是左连续的，因此，f (x ) 在x 0=0处不连续。
二、 函数的间断点
如果函数f (x ) 在x 0处不连续，则x 0称为函数f (x ) 的一个间断点。
(1) 如果f (x ) 在x 0处没有定义，则f (x ) 在x 0处不连续，x 0为f (x ) 的一个间断点；
(2) 如果f (x ) 在x 0处没有极限，则f (x ) 在x 0处不连续，x 0为f (x ) 的一个间断点； (3) 如果lim f (x ) ≠f (x 0) ，则f (x ) 在x 0处不连续，x 0为f (x ) 的一个间断点。
x →x 0
由于y =
1
x
在x =0处没有定义，得x =0为y =
sin x cos x
1x
的一个间断点。
由于y =tan x =由于y =
x -1
2
在x =
π2
处无定义，得x =
π
点。
x -1
⎧x +1,
由于f (x ) =⎨
⎩x -1,
在x =1处无定义，得x =1为y =
x ≥0
为y =tan x 的一个间断点。 22
x -1x -1
的一个间断点。
⎧x +1,
当x →0时没有极限，因此，x =0为f (x ) =⎨x
1x
x ≥0x
的一个间断
由于y =sin
π
1x
在x =0处没有定义，得x =0为y =sin 的一个间断点。
由于lim tan x =∞，说x =
x →
π2
称为y =tan x 的一个无穷间断点。
如果lim
x →x ⎧x
为f (x ) =⎨
⎩x 如果lim
2
但A ≠B ，说x 0为y =f (x ) 的一个跳跃间断点。例如，x =0f (x ) =A ，lim -f (x ) =B ，
x →x 0+1, 0x ≥0
+
-1, x
的一个跳跃间断点。
x →x 0
f (x ) =A ≠f (x 0) ，则x 0称为y =f (x ) 的一个可去间断点。例如，x =1为y =
x -1x -1
2
的
一个可去间断点。
x =0称为y =sin
1x
的一个振荡间断点。
+
-
如果x 0为y =f (x ) 的一个间断点，但f (x 0) 与f (x 0) 都存在，则x 0称为f (x ) 的第一类间断点。不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点。 第八节 连续函数的运算与初等函数的连续性 三、 连续函数的和、差、积、商的连续性
定理1 设函数f (x ) 和g (x ) 在x 0点连续，则f (x ) ±g (x ) 、f (x ) ⋅g (x ) 、连续。
例1 由于sin x ，cos x 在(-∞, +∞) 内连续，得tan x =三角函数在定义域内是连续的。 四、 反函数与复合函数的连续性
定理2 如果函数y =f (x ) 在区间I x 上单调且连续，则它的反函数x =f
I y ={y |y =f (x ), x ∈I x }上单调且连续。
-1
f (x ) g (x )
(g (x 0) ≠0) 在x 0点
sin x cos x
，cot x =
cos x sin x
在定义域内连续。即
(y ) 在对应区间
22
单调增加且连续。同样，y =cos x 在[0, π]上单调减少且连续，因此，其反函数y =arccos x 在对应区间
例2 由于y =sin x 在[-
π
,
π
因此，其反函数y =arcsin x 在对应区间[-1, 1]上]上单调增加且连续，
[-1, 1]上单调减少且连续。
同理可证：y =arctan x 在区间(-∞, +∞) 内单调增加且连续；y =arc cot x 在区间(-∞, +∞) 内单调减少且连续。
综上所述，反三角函数arcsin x ，arccos x ，arctan x ，arc cot x 在定义域内是连续的。
定理3 设函数y =f [g (x )]是有y =f (u ) 与u =g (x ) 复合而成，U (x 0) ⊂D f g 。若lim g (x ) =u 0，
x →x 0
而函数y =f (u ) 在u =u 0处连续，则
lim f [g (x )]=lim f (u ) =f (u 0)
x →x 0
u →u 0
即
x →x 0
lim f [g (x )]=f [lim g (x )]=f (u 0)
x →x 0
若lim g (x ) =u 0，而函数y =f (u ) 在u =u 0处连续，则
x →∞
lim f [g (x )]=f [lim g (x )]=f (u 0)
x x →∞
例3 求 lim 解：y =
x -3
2
x -9
x 3
2
u 与u =
处连续，由定理3，得
lim
x -3x -9
2
x →3
x -9
可看成y =
x -3x -9=
16
2
的复合，由于lim
x -3x -9
2
x →3
=
16
，而且y =u 在u =
16
=lim
x -3x -9
2
x →3
定理4设函数y =f [g (x )]是有y =f (u ) 与u =g (x ) 复合而成。若u =g (x ) 在x =x 0处连续，且g (x 0) =u 0，而函数y =f (u ) 在u =u 0处连续，则复合函数y =f [g (x )]在x =x 0处连续。
1x
例4 讨论函数y =sin 五、 初等函数的连续性
的连续性。
三角函数与反三角函数在其定义域内是连续的
指数函数y =a （a >0, a ≠1）在定义域(-∞, +∞) 内是连续的。 由反函数的连续性，得对数函数y =log 由于幂函数y =x μ可以写成y =x 内是连续的。
综上所述：五种基本初等函数在它们的定义域内是连续的。
由于初等函数是由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合且可由一个算式表达的函数，由定理1和定理4知道：一切初等函数在定义区间内是连续的。
定义区间：包含在定义域内的区间。如y =arcsin u 与u =x 2+1复合得y =arcsin(x +1) 的定义域为x =0，没有定义区间。
如果知道f (x ) 为初等函数，x 0为f (x ) 定义区间内的一点，则 lim f (x ) =f (x 0)
x →x 0
x
a
x （a >0, a ≠1）在定义域(0, +∞) 内是连续的。
μ
=a
μlog a x
，由复合函数连续性定理，得y =x μ在定义域(0, +∞)
2
例1 lim ln sin x =ln sin
x →
π2
π
=0
例2 求lim 例3 求lim
2
+x
2
-1
x →0
x
log a (1+x )
x
x →0
例4 求lim
a -1x
x
x →0
3
1
例5 求lim (1+2x ) sin x
x →0
3x
1
解：因为 (1+2x ) sin
因此
3
=(1+2x ) 2x
⋅
x sin x
⋅6
=e
6⋅
x sin x
⋅ln(1+2x ) 2x
lim (1+2x )
x →0
sin x
=lim e
x →0
6⋅
x sin x
1
1
⋅ln(1+2x ) 2x
=e
lim
x →0
6⋅
x sin x
⋅ln(1+2x ) 2x
=e
6
一般地，对于y =u (x ) v (x ) （u (x ) >0, u (x ) ≠1），如果lim u (x ) =a >0，lim v (x ) =b ，则 lim u (x ) v (x ) =a b 第九节 闭区间上连续函数的性质
如果函数f (x ) 在开区间(a , b ) 内连续，在右端点x =b 处左连续，在左端点x =a 处右连续，则说函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，或者说f (x ) 为闭区间[a , b ]上的连续函数。 一、有界性与最大值最小值定理
设函数f (x ) 在区间I 上有定义，如果有x 0∈I ，使得对于任一x ∈I 都有 f (x ) ≤f (x 0) （f (x ) ≥f (x 0) ） 则称f (x 0) 是函数f (x ) 在区间I 的最大值（最小值）。
定理1 （有界性与最大值最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上有界并取得它的最大值和最小值。
0≤x
⎪
x =1例2 f (x ) =⎨1,
⎪-x +3, 1
⎩上有间断点x =1，而且f (x ) 在[0，2]上无最大值和最小值。 f (x ) 在闭区间[0，2]
例1 y =x ，区间为(0, 1)
二、零点定理与介值定理
如果x 0使得f (x 0) =0，则x 0称为函数f (x ) 的零点。
定理2（零点定理）设函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，且f (a ) 与f (b ) 异号（即f (a ) ⋅f (b )
定理3（介值定理）设函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值，即f (a ) =A ，f (b ) =B ，且A ≠B ，则对于介于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间(a , b ) 内至少有
一点ξ，使得f (ξ) =C 。
证明：令ϕ(x ) =f (x ) -C ，对ϕ(x ) 应用零点定理，得存在ξ∈(a , b ) ，使得ϕ(ξ) =0即 f (ξ) -C =0 或 f (ξ) =C (a
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值。
例3 证明方程x 3-4x 2+1=0在区间(0, 1) 内至少有一个根。