圆孔的应力情况分析及优化方法探究
王添诚
（哈尔滨工程大学船舶工程学院 船舶与海洋工程 2010011318）
摘要：应力集中现象是船体结构和各种海洋工程结构物中普遍存在的现象，平板上开圆孔是普遍的开
孔形式。本文的主要目的是对一种特定情况下的平板开圆孔的应力运用强度理论进行分析，并跟据其应力特征对减小应力的优化方法进行探究。
关键词：圆孔；应力集中；优化 Title
Wang Tian-cheng
(College of Shipbuilding Engineer, Harbin Engineering University, naval architecture and ocean
engineering,2010011318)
Abstract ：Stress concentration phenomenon is hull structure and various kinds of ocean engineering structureswidespread phenomenon, flat on the open hole is a common form of open hole. The main purpose of this article is about a particular case of flat open hole stress strength theory is analyzed, and according to the stress characteristics to explore the optimal method of reducing stress. Key words：Round hole；The stress concentration；optimization
板的大小为
10×10 m。材料属性为：弹性模量：2.06e11Pa 。泊松比：0.3。
板的密度为7850kg/(m^3)。将板的四个角点刚性固定，对板的两条边施加载荷，大小为2.0×10^7(N/m)。 1 应力特征分析
1.1对于单个圆孔的应力集中分析
圆孔位于板的中心，圆孔的半径r 为0.5m 。以圆孔的中心为坐标原点，设板上任意一点到板的中心得距离为d1，任意一点与原点的连线与水平轴的夹角为θ，在θ=（+-）（π/2）的条件下，分别取d1/r为1,1.6,2,3,5计算得到的应力情况如下表：
（1）σ×1m ×0.02m=2.0×10^7(N/m) ×1m
σ=1.0×10(Pa)
9
(2)假设
σ
x
，σy 及τxy 可以表示该点处单元体的应力
θ=（+-）（π/2）对应于α=0.
x
y
x
(+)(-)+×cos(2α)-τσ=σ=22
y
θ
αxy
×sin(2α)=
σ
x
当θ=（+-）（π/2）时，d1
1.2考虑在圆周上（d1=r） 在计算
σ
α
θ
时，α=θ-90
x
y
x
y
(+σ)(-σ)σσ+×cos(2α)-τσ=σ=22
θ
xy
×sin(2α)
高应力的范围集中在50
综上，应力最大的点为（θ=+-
π
）(d1=r) 2
σ
x
=-2.80×10^9Pa, σy =-2.88×10^8Pa, τxy =7.25×10^6Pa =0
主应力为：
σσ
1
2
=
x
+y 2
+
σx +σy ⎫
⎪+τxy 2⎪
⎭⎝
σx +σy ⎫
⎪+τxy 2⎪
⎭⎝
2
2
2
=-2.8798E+8
σ
3
=
x
+y 2
-
2
=-2.8000E+9
用四种强度计算相当应力：
用第二强度理论计算的相当应力为：
σσ
xd 2
=
σ
1
-μ（
σ+σ
2
3
）=9.2639E+8
用第三强度理论计算的相当应力为：
xd 3
=
σ-σ
1
3
=2.8000E+9
用第四强度理论计算相当应力为：
σ
⎡⎢σ1-σ2⎣=xd 4
+σ2-σ3+σ3-σ1]=2.668E+9
2
2
2
2
由计算结果
σ
xd 3
取得最大值，因此对于这种情况，实际中用
σ
xd 3
与材料的许
用应力[σ]进行比较更安全一些，即认为不管是单向应力状态还是复杂应力状态，最大剪应力
τ
max
是引起材料塑性屈服破坏的主要因素。
2 圆孔减小应力集中的措施：
2.1分别计算r=0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5.处时圆孔的最危险点（θ=（+-）（π/2），d1=r）处的应力集中系数。结果如下：
随着圆孔的增大，圆孔的应力集中系数逐渐增大，对于圆孔，可以通过减小圆孔的半径来减小应力集中系数。 2.2通过加骨材的方式来减小应力集中
对于1中的计算情况在 d1=r处（加宽为0.30902195m ，厚度为0.02m 的骨材）
原来应力集中系数最大点处的应力为： 与圆孔相交处
σ
x
-2.58E+9，σy -6.15E+8, τxy 2.35E+8. 计算得
σ
2
=-5.92E+8，
σ
3
=-2.61E+9，3
>表中σ
θ
。结果表明虽然加骨材可以减小圆孔处的应力集中
现象，但应力的最大点将发生转移。 2.3增加应力集中区域的板厚。 应力最大点（θ=+-π
）(d1=r)与板厚的关系 2
考虑自重的情况下
（2） 在既有自重又有压力的情况下，增加板厚也能使对应的应力集中系数
减小。
（3）可以看出相对于板厚为0.025m （考虑自重）的情况，将应力较大区域
板厚增加到0.05m （考虑自重），在一定程度上减小了应力，但就实际情况而言，不可能将20mm 厚的板一下改为50mm 厚的板，而且实际上由于工艺麻烦，且增厚板与未增厚板的连接处厚度不同，会增加断裂的可能性。因此上述表格只能作为理想的分析状态，实际上由于自重的存在以及板厚不可能减小太多，因此应力不会减小太多。
3 对于1. 的计算结果提出一种将大半径圆用小半径圆替代来减小应力得优化方法： 3.1假设
设一共用n 个小圆孔替代大圆孔，小圆孔的半径为r ，被替代的大圆孔的半径为R ，两圆孔的横向间距及圆孔与边界的距离为d ，板厚为t ，板
的密度为ρ。
（1）圆孔呈矩阵式排列。
（2）根据应力图形观察，当圆孔中心位于板的中心时，观察到在一板的中心为圆心，1m 为半径的圆内应力较复杂，而之外的部分X 向，Y 向，XY 向的应力相对均匀，并且会小一些。忽略圆孔位置的影响，认为在距离圆孔距离之外0.5m 外影响可以忽略，设两相邻圆孔之间的距离及圆孔与板材的边界的距离为d ，这个可以忽略影响的安全距离为a ，a=0.5m。，假设当两圆最小间距d 大于等于a=0.5m或圆与边界d 距离大于等于a=0.5m时认为两圆及圆与边界互不影响。 d/a>=1。
（3）用小圆孔替代大圆孔后整个体系的质量不增加。 n*π*r *t*ρ>=π*R *t*ρ
将假设（2）称为（1）的边界条件，假设（3）称为（1）的质量条件。 3.2思路为已知被替代的大圆半径R 和用来替代的小圆半径r 利用上述三个假设确定小圆的个数n.
3.2.1由假设（1）和假设（2）
设矩阵排列形式下间距d 的个数为x ，利用d/a>=1建立x 的不等式结出x 的范围，再利用x 与n 的关系确定n 的上限。
3.2.2由假设（3）确定n 的下限，
2
2
从而确定n 的取值。
讨论3.2.1
对于n=2的情况，最极限的条件为圆孔之间的间距为1个，圆孔与边界的间距的个数为2个，因此x=3。满足的条件为
3*d+2*（2*r）=10 由d/a>=1
3*a+2*（2*r）
推广得：设x 为间距的个数，则满足矩阵排列方式的原孔应满足的条件为 x*a+(x-1)*(2*r)
系
从上图可以观察的到如下规律：(n为圆孔的个数，x 为圆孔之间及圆孔与
边界的距离的个数的总和)
n=1,x=2}(1) n=2,x=3 n=3,x=3 n=4,x=3 n=5,x=4 n=6,x=4 n=7,x=4 n=8,x=4 n=9,x=4 n=10,x=5 n=11,x=5 n=12,x=5 n=13,x=5 n=14,x=5 n=15,x=5 n=16,x=5 ……
在上面的基础上讨论确定用来替代R=3.5m的小圆的半径r 及n 。 （1） 以2.1作为参考，首先用r=0.5m的小圆进行替代计算。
由 n*π*
r
2
*t*ρ>=π*R *t*ρ
2
解得 n>=49.
由 x*a+(x-1)*(2*r)
按上述规律进行推算：x=7对应的n 的最大值为36，即n
圆进行替代。 （2）
假设用r=1米的小圆做近似替代，则由质量条件可得
n>=12.25,
即n 至少可以取为13.
由边界条件得x
假设用r=1.5m的小圆来替代，则由质量条件可得n>=5.444，由边界条件可得x
假设用r=2.0m的小圆来替代，则由质量条件可得
n>=3.0625，
由边界条件可得
x
对应于表上为n
（5）假设用r=2.5m的小圆来替代，则由质量条件
可得n>=1.96
由边界条件可得x
条件也不能成立。
故采用矩阵的方式n=4，用r=2.0m的小圆来代替。
A （r=3.5m） B （r=2m）
通过有限元软件的计算结果我们可以看出X 向应力，Y 向应力及XY 向应力
有所减少，最危险点处的应力集中系数有所减少。 4 采用多种方式减小应力。
3.2中通过改变圆孔的排列方式来减少应力，综合采用各种方式来减少应力。 4.1通过增加应力较大区域的板厚来减少应力。
由（4）可以看出随着板厚的增大，应力最大点处的应力逐渐减少，因此可推知增加圆孔交界处的板厚可以减少应力，但为了与实际情况相符合（考虑自重的影响，板厚又不增加过多），仅增加5mm 作为比较。 4.2考虑自重的影响
质量条件是为了从现实角度出发，在有自重的情况下，减小应力的同时减少材料。
应力集中系数减小。 5. 结论
对于板的大小为10×10 m。材料属性为：弹性模量：2.06e11Pa 。泊松比：0.3。 板的密度为7850kg/(m^3)。将板的四个角点刚性固定，对板的两条边施加载荷，大小为2.0×10^7(N/m)。加自重的计算情况。将R=3.5m的中心开孔板用四的半径R=2m的圆孔来替代可以减小应力集中系数。
缺点：计算情况过于特殊，不具有普遍意义。随着板的参数和开孔的形状，数量位置的改变，需要根据实际情况进行重新计算。矩阵的排列方式不是排列方式的全部，比如如果用r=2.5m进行替代，虽然不能横向排列，但可以进行对角线排列，因此讨论不全面。假设中认为距离圆周界0.5m 应力会明显减小也并不符合实际的情况。
参考文献
[1] 杨在林. 宋天舒. 杨勇. 材料力学. 下. 哈尔滨. 哈尔滨工程大学出版社.2011.4. [2] 杨代盛. 船体强度与结构设计. 国防工业出版社.1998.1.
[3] 张永昌.MSC.Nastran 有限元分析理论基础与应用.--北京：科学出版社.2004.
附：计算数据的图形如下：
1.1及1.2的计算用图:
2.1采用的计算图形： r=0.5时，计算图形同上。 r=1
时
，
r=1.5时
r=2时
r=2.5时，
r=3时，
r=3.5
2.2的计算结果 （1）横向
（2） 纵向
2.3加板厚（位置） r=0.5m 板
0.025m
厚增为
4.2的计算结果
1.R=3.5m（不加自重）结果如2.1中R=3.5m 2.R=3.5m（加自重）计算结果：
3. 4个圆来替代（不考虑自重）
4. 4个圆来替代（增厚5mm ）（不考虑自重）
5. 4个圆来替代（增厚5mm ）（不考虑自重）
6. 4个圆来替代（增厚5mm ）（考虑自重）
圆孔的应力情况分析及优化方法探究
王添诚
（哈尔滨工程大学船舶工程学院 船舶与海洋工程 2010011318）
摘要：应力集中现象是船体结构和各种海洋工程结构物中普遍存在的现象，平板上开圆孔是普遍的开
孔形式。本文的主要目的是对一种特定情况下的平板开圆孔的应力运用强度理论进行分析，并跟据其应力特征对减小应力的优化方法进行探究。
关键词：圆孔；应力集中；优化 Title
Wang Tian-cheng
(College of Shipbuilding Engineer, Harbin Engineering University, naval architecture and ocean
engineering,2010011318)
Abstract ：Stress concentration phenomenon is hull structure and various kinds of ocean engineering structureswidespread phenomenon, flat on the open hole is a common form of open hole. The main purpose of this article is about a particular case of flat open hole stress strength theory is analyzed, and according to the stress characteristics to explore the optimal method of reducing stress. Key words：Round hole；The stress concentration；optimization
板的大小为
10×10 m。材料属性为：弹性模量：2.06e11Pa 。泊松比：0.3。
板的密度为7850kg/(m^3)。将板的四个角点刚性固定，对板的两条边施加载荷，大小为2.0×10^7(N/m)。 1 应力特征分析
1.1对于单个圆孔的应力集中分析
圆孔位于板的中心，圆孔的半径r 为0.5m 。以圆孔的中心为坐标原点，设板上任意一点到板的中心得距离为d1，任意一点与原点的连线与水平轴的夹角为θ，在θ=（+-）（π/2）的条件下，分别取d1/r为1,1.6,2,3,5计算得到的应力情况如下表：
（1）σ×1m ×0.02m=2.0×10^7(N/m) ×1m
σ=1.0×10(Pa)
9
(2)假设
σ
x
，σy 及τxy 可以表示该点处单元体的应力
θ=（+-）（π/2）对应于α=0.
x
y
x
(+)(-)+×cos(2α)-τσ=σ=22
y
θ
αxy
×sin(2α)=
σ
x
当θ=（+-）（π/2）时，d1
1.2考虑在圆周上（d1=r） 在计算
σ
α
θ
时，α=θ-90
x
y
x
y
(+σ)(-σ)σσ+×cos(2α)-τσ=σ=22
θ
xy
×sin(2α)
高应力的范围集中在50
综上，应力最大的点为（θ=+-
π
）(d1=r) 2
σ
x
=-2.80×10^9Pa, σy =-2.88×10^8Pa, τxy =7.25×10^6Pa =0
主应力为：
σσ
1
2
=
x
+y 2
+
σx +σy ⎫
⎪+τxy 2⎪
⎭⎝
σx +σy ⎫
⎪+τxy 2⎪
⎭⎝
2
2
2
=-2.8798E+8
σ
3
=
x
+y 2
-
2
=-2.8000E+9
用四种强度计算相当应力：
用第二强度理论计算的相当应力为：
σσ
xd 2
=
σ
1
-μ（
σ+σ
2
3
）=9.2639E+8
用第三强度理论计算的相当应力为：
xd 3
=
σ-σ
1
3
=2.8000E+9
用第四强度理论计算相当应力为：
σ
⎡⎢σ1-σ2⎣=xd 4
+σ2-σ3+σ3-σ1]=2.668E+9
2
2
2
2
由计算结果
σ
xd 3
取得最大值，因此对于这种情况，实际中用
σ
xd 3
与材料的许
用应力[σ]进行比较更安全一些，即认为不管是单向应力状态还是复杂应力状态，最大剪应力
τ
max
是引起材料塑性屈服破坏的主要因素。
2 圆孔减小应力集中的措施：
2.1分别计算r=0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5.处时圆孔的最危险点（θ=（+-）（π/2），d1=r）处的应力集中系数。结果如下：
随着圆孔的增大，圆孔的应力集中系数逐渐增大，对于圆孔，可以通过减小圆孔的半径来减小应力集中系数。 2.2通过加骨材的方式来减小应力集中
对于1中的计算情况在 d1=r处（加宽为0.30902195m ，厚度为0.02m 的骨材）
原来应力集中系数最大点处的应力为： 与圆孔相交处
σ
x
-2.58E+9，σy -6.15E+8, τxy 2.35E+8. 计算得
σ
2
=-5.92E+8，
σ
3
=-2.61E+9，3
>表中σ
θ
。结果表明虽然加骨材可以减小圆孔处的应力集中
现象，但应力的最大点将发生转移。 2.3增加应力集中区域的板厚。 应力最大点（θ=+-π
）(d1=r)与板厚的关系 2
考虑自重的情况下
（2） 在既有自重又有压力的情况下，增加板厚也能使对应的应力集中系数
减小。
（3）可以看出相对于板厚为0.025m （考虑自重）的情况，将应力较大区域
板厚增加到0.05m （考虑自重），在一定程度上减小了应力，但就实际情况而言，不可能将20mm 厚的板一下改为50mm 厚的板，而且实际上由于工艺麻烦，且增厚板与未增厚板的连接处厚度不同，会增加断裂的可能性。因此上述表格只能作为理想的分析状态，实际上由于自重的存在以及板厚不可能减小太多，因此应力不会减小太多。
3 对于1. 的计算结果提出一种将大半径圆用小半径圆替代来减小应力得优化方法： 3.1假设
设一共用n 个小圆孔替代大圆孔，小圆孔的半径为r ，被替代的大圆孔的半径为R ，两圆孔的横向间距及圆孔与边界的距离为d ，板厚为t ，板
的密度为ρ。
（1）圆孔呈矩阵式排列。
（2）根据应力图形观察，当圆孔中心位于板的中心时，观察到在一板的中心为圆心，1m 为半径的圆内应力较复杂，而之外的部分X 向，Y 向，XY 向的应力相对均匀，并且会小一些。忽略圆孔位置的影响，认为在距离圆孔距离之外0.5m 外影响可以忽略，设两相邻圆孔之间的距离及圆孔与板材的边界的距离为d ，这个可以忽略影响的安全距离为a ，a=0.5m。，假设当两圆最小间距d 大于等于a=0.5m或圆与边界d 距离大于等于a=0.5m时认为两圆及圆与边界互不影响。 d/a>=1。
（3）用小圆孔替代大圆孔后整个体系的质量不增加。 n*π*r *t*ρ>=π*R *t*ρ
将假设（2）称为（1）的边界条件，假设（3）称为（1）的质量条件。 3.2思路为已知被替代的大圆半径R 和用来替代的小圆半径r 利用上述三个假设确定小圆的个数n.
3.2.1由假设（1）和假设（2）
设矩阵排列形式下间距d 的个数为x ，利用d/a>=1建立x 的不等式结出x 的范围，再利用x 与n 的关系确定n 的上限。
3.2.2由假设（3）确定n 的下限，
2
2
从而确定n 的取值。
讨论3.2.1
对于n=2的情况，最极限的条件为圆孔之间的间距为1个，圆孔与边界的间距的个数为2个，因此x=3。满足的条件为
3*d+2*（2*r）=10 由d/a>=1
3*a+2*（2*r）
推广得：设x 为间距的个数，则满足矩阵排列方式的原孔应满足的条件为 x*a+(x-1)*(2*r)
系
从上图可以观察的到如下规律：(n为圆孔的个数，x 为圆孔之间及圆孔与
边界的距离的个数的总和)
n=1,x=2}(1) n=2,x=3 n=3,x=3 n=4,x=3 n=5,x=4 n=6,x=4 n=7,x=4 n=8,x=4 n=9,x=4 n=10,x=5 n=11,x=5 n=12,x=5 n=13,x=5 n=14,x=5 n=15,x=5 n=16,x=5 ……
在上面的基础上讨论确定用来替代R=3.5m的小圆的半径r 及n 。 （1） 以2.1作为参考，首先用r=0.5m的小圆进行替代计算。
由 n*π*
r
2
*t*ρ>=π*R *t*ρ
2
解得 n>=49.
由 x*a+(x-1)*(2*r)
按上述规律进行推算：x=7对应的n 的最大值为36，即n
圆进行替代。 （2）
假设用r=1米的小圆做近似替代，则由质量条件可得
n>=12.25,
即n 至少可以取为13.
由边界条件得x
假设用r=1.5m的小圆来替代，则由质量条件可得n>=5.444，由边界条件可得x
假设用r=2.0m的小圆来替代，则由质量条件可得
n>=3.0625，
由边界条件可得
x
对应于表上为n
（5）假设用r=2.5m的小圆来替代，则由质量条件
可得n>=1.96
由边界条件可得x
条件也不能成立。
故采用矩阵的方式n=4，用r=2.0m的小圆来代替。
A （r=3.5m） B （r=2m）
通过有限元软件的计算结果我们可以看出X 向应力，Y 向应力及XY 向应力
有所减少，最危险点处的应力集中系数有所减少。 4 采用多种方式减小应力。
3.2中通过改变圆孔的排列方式来减少应力，综合采用各种方式来减少应力。 4.1通过增加应力较大区域的板厚来减少应力。
由（4）可以看出随着板厚的增大，应力最大点处的应力逐渐减少，因此可推知增加圆孔交界处的板厚可以减少应力，但为了与实际情况相符合（考虑自重的影响，板厚又不增加过多），仅增加5mm 作为比较。 4.2考虑自重的影响
质量条件是为了从现实角度出发，在有自重的情况下，减小应力的同时减少材料。
应力集中系数减小。 5. 结论
对于板的大小为10×10 m。材料属性为：弹性模量：2.06e11Pa 。泊松比：0.3。 板的密度为7850kg/(m^3)。将板的四个角点刚性固定，对板的两条边施加载荷，大小为2.0×10^7(N/m)。加自重的计算情况。将R=3.5m的中心开孔板用四的半径R=2m的圆孔来替代可以减小应力集中系数。
缺点：计算情况过于特殊，不具有普遍意义。随着板的参数和开孔的形状，数量位置的改变，需要根据实际情况进行重新计算。矩阵的排列方式不是排列方式的全部，比如如果用r=2.5m进行替代，虽然不能横向排列，但可以进行对角线排列，因此讨论不全面。假设中认为距离圆周界0.5m 应力会明显减小也并不符合实际的情况。
参考文献
[1] 杨在林. 宋天舒. 杨勇. 材料力学. 下. 哈尔滨. 哈尔滨工程大学出版社.2011.4. [2] 杨代盛. 船体强度与结构设计. 国防工业出版社.1998.1.
[3] 张永昌.MSC.Nastran 有限元分析理论基础与应用.--北京：科学出版社.2004.
附：计算数据的图形如下：
1.1及1.2的计算用图:
2.1采用的计算图形： r=0.5时，计算图形同上。 r=1
时
，
r=1.5时
r=2时
r=2.5时，
r=3时，
r=3.5
2.2的计算结果 （1）横向
（2） 纵向
2.3加板厚（位置） r=0.5m 板
0.025m
厚增为
4.2的计算结果
1.R=3.5m（不加自重）结果如2.1中R=3.5m 2.R=3.5m（加自重）计算结果：
3. 4个圆来替代（不考虑自重）
4. 4个圆来替代（增厚5mm ）（不考虑自重）
5. 4个圆来替代（增厚5mm ）（不考虑自重）
6. 4个圆来替代（增厚5mm ）（考虑自重）