基于开环对数幅频特性求系统传递函数的方法
王渝1) 杨建新2) 王玉彩1)
(石家庄铁路职业技术学院
1)
河北石家庄 050041 太原理工大学2) 山西太原 030024)
摘要:由开环对数幅频特性求系统传递函数的问题类型较多,对这类问题的求解方法进行分析、总结,并通过例题加以说明。
关键词:传递函数 环节性质 转折频率 斜率
中图分类号:TP311.11 文献标识码 : A 文章编号: 1673-1816(2006)01-0075-05
在工程实际中常常要针对给定的控制对象和所要求达到的一定的性能指标,设计和选择控制器的结构与参数来校正系统。当选用频率法来校正系统时经常会遇到一类问题,即由已知的开环对数幅频特性求系统的传递函数,如不摸清这类问题的规律,就不知道该从何处下手解决,且很容易将一些环节丢掉,不能完整的求出系统的传递函数。因此提出这类问题的求解方法,以供同行参考。
由开环对数幅频特性求系统传递函数的解算方法可以分为以下四个步骤:
1 由低频段渐近线斜率求出系统含有积分环节的个数
具体做法是:先在系统开环对数幅频特性的渐近线上找出第一个转折频率ω1 ,然后由ω1之前渐近线的斜率求出系统开环传递函数含有的积分环节的个数,即 : ―20×V = 第一个转折频率ω1之前渐近线的斜率 (V表示积分环节的个数),求出积分环节的个数后,可将积分环节的传递函数表示为G (s
) =
1
νs
例1. 第一个转折频率ω1 = 2 ,ω1之前渐近线的斜率为 0 ,
所以 ―20×V = 0 , 得 V = 0 ,
该系统不含有积分环节。 例2. 第一个转折频率ω1 = 0.1 ,ω1之前渐近线的斜率为―40 ,所以 ―20×V = ―40 ,
得 V = 2 ,
该系统含有两个积分环节,积分环节的传递函数为
G (s ) =
1s
2
。
收稿日期:2005-12-12 作者简介:王渝(1978-),女,蒙族,河南镇平人,本科,助教,研究方向自动化。
75
石家庄铁路职业技术学院学报 2006年第1期
因为系统的开环对数幅频特性在第一个转折频率之前渐近线的斜率就是 ―20×V dB/dec ,即由积分环节的个数V来决定的,因此可以用
―20×V = 第一个转折频率ω1之前渐近线的斜率
来求V的值。
2 确定系统所含其它环节的性质
找出所有的转折频率ω1 、ω2 、ω3 、…… ,由每个转折频率前后渐近线的斜率确定系统含有的环节的性质。通过观察转折频率前后渐近线的斜率是减小了,还是增加了,就可以判断出系统中是否含有惯性环节、一阶微分环节、振荡环节和二阶微分环节,之后再写出表示这些环节的传递函数。具体的做法见表1 ,
表1
转折频率ω前后渐
近线斜率的变化
减小20dB/dec 增加20dB/dec
系统所含 环节性质 惯性环节 一阶微分环
节 振荡环节 二阶微分环
节
对应环节的时间常数
对应环节的传递函数
1 ω1τ=
ωT =1T =
ωT =
1ω
G (s ) =
1
Ts +1
G (s ) =τs +1
减小40dB/dec
G (s ) =
1
T s +2ξTs +1
2
2
增加40dB/dec
G (s ) =T 2s 2+2ξ
Ts +1
例3.
第一个转折频率ω1 = 2 ,ω1前后渐近线的斜率由―20dB/dec 变到了―40dB/dec ,减小了20dB/dec , 所以系统含有一个惯性环节,其时间常数T =
1
=0. 5 , ω1
该惯性环节的传递函数为 G (s ) =例4.
第一个转折频率ω1 = 0.5
1
。
0. 5s +1
第二个转折频率ω2 = 2
ω1前后渐近线的斜率由―40dB/dec变到了―20dB/dec ,增加了20dB/dec ,则系统含有一个一阶微分环节,其时间常数
τ=
1
=2 ,该一阶微分环节传递函数为G (s ) =2s +1 ;ω2ω1
前后渐近线的斜率由―20dB/dec变到了―40dB/dec ,减小了20dB/dec ,则系统含有一个惯性环节,其时间常数T =
11
=0. 5 ,该惯性环节的传递函数为 G (s ) = 。 ω20. 5s +1
76
第1期 王渝,等 基于开环对数幅频特性求系统传递函数的方法
例5.
第一个转折频率ω1 = 0.1 ,ω1前后渐近线的斜率由―40dB/dec,变到了―80dB/dec ,减小了40dB/dec ,则系统含有一个振荡环节,其时间常数T =
1
=10 , ω1
。
该振荡环节的传递函数为G (s ) =
1
100s
2
+20s ξ+1
3 求开环放大倍数K 的值
在任何系统的开环传递函数中都含有比例环节,其比例系数即为K ,K的值可大于、小于或等于1 ,但K的值一定是大于0的,因此还要求出K的值。
求K的值有很多方法,每一种方法都有其特有的前提条件,对于不同的情况应该用不同的方法求K的值,现将这些方法总结如下:
3.1 由ω = 1时的L(ω)值求K ,即 L(ω)= 20lgK , 此方法还要由第一个转折频率ω1的取值再细分为两种:
3.1.1 当ω1 ≥ 1 时, 直接由已知的开环对数幅频特性求ω = 1
时L(ω)的值,然后算出K的值。
例6. 第一个转折频率ω1 = 10 , ω1 > 1 ,
由图可知当ω = 1时, L(ω)= 20 dB , 所以L(ω)= 20lgK = 20 , 得K = 10 。
例7. 第一个转折频率ω1 = 1 ,
图上已经标出当ω = 1时, L(ω)= 10 dB , 所以L(ω)= 20lgK = 10 , 得K = 3.16 。
例8. 第一个转折频率ω1 = 2 , ω1 > 1 ,
但图中未标出ω = 1时L(ω)的值,所以要先经过计算
得出ω = 1时L(ω)的值,计算方法如下:
L (2) −0
= ―40 , 得L(2)= 45.89 dB ,
lg 2−lg 28
L (1) −45. 89
= ―20 , 得L(1)= 51.89 dB , 而L(1)的值即为ω = 1时L(ω)的值,
lg 1−lg 2
所以L(1)= 20lgK = 51.89 , 得K = 393 。
3.1.2 当ω1< 1 时, 先将第一个转折频率之前低频段的渐近线延长,与过横轴ω=1处的垂线相交,求出交点处的纵坐标,然后由“交点的纵坐标 = 20lgK”算出K的值。 例9.第一个转折频率ω1 = 0.5 , ω1< 1 ,
将ω1之前低频段的渐近线延长,并从横轴ω=1
处做垂
77
石家庄铁路职业技术学院学报 2006年第1期
线,与刚才做的延长线相交与A点,如图所示,下面先求AL(0.5)= 6 dB ,
L (0. 5) −0
= ―20 , 得
lg 0. 5−lg 1
6−L A (ω) lg 0. 5−lg 1
= ―40 , 得LA (ω)= ―6 dB , 所以LA (ω)= 20lgK = ―6 ,得K = 0.5 。
3.2 若已知截止频率ωc ,由A(ωc )= 1求K的值。
例10.
由图可知截止频率ωc = 28 ,
第一个转折频率ω1 = 2 ,ω1之前渐近线的斜率为―20 , 所以 ―20×V = ―20 ,得V = 1 ,该系统含有一个积分环节, 其传递函数为G (s ) =
1
; s
1
,
0. 5s +1
由例3可知该系统还含有一个惯性环节,其传递函数为 G (s ) =由此可写出系统传递函数的表达式为G (s ) =
K
,其中K的值未知,待求,下面求K:
s (0. 5s +1)
系统的频率特性为G (j ω) =
K K
, 幅频特性为A (ω) = ,
2j ω(j 0. 5ω+1) ω1+(0. 5ω)
K
ωc +(0. 5ωc )
2
因L(ωc )= 0 ,即L(ωc )= 20lgA(ωc )= 0 , 故 A(ωc )= 1 ,A (ωc ) =
= 1 ,
代入ωc = 28 ,得A (ωc ) =
K
28×1+(0. 5×28)
2
= 1 ,
于是得K = 393 ,此结果与例8所求K值一样。
3.3 由低频段渐近线的延长线与横轴交点处的频率值ω0求K ,即 K = ων。 0 (V表示积分环节的个数)
例11.
第一个转折频率ω1 = 2 ,ω1之前渐近线的斜率为―20 ,所以 ―20×V = ―20 , 得V = 1 ; 由图可知ω1之前低频段渐近线的延长线与横轴
1
交点处的频率ω0 = 10 , 所以 K = ων 0= 10= 10 。
4 确定系统开环传递函数
具体做法:将已确定的典型环节的传递函数相乘,得出系统的开环传递函数G(s)。例12. 综合示例:已知某最小相位系统的开环对数幅频特
性如图所示,试写出系统的开环传递函数。
78
第1期 王渝,等 基于开环对数幅频特性求系统传递函数的方法
(1)第一个转折频率ω1 = 0.01 , 第二个转折频率ω2 = 0.1 , 第三个转折频率ω3 = 8 , 第四个转折频率ω4 = 20 , ω1之前渐近线的斜率为―40 ,所以 ―20×V = ―40 , 得V = 2 ,
该系统含有两个积分环节,其传递函数为 G (s ) =
表2
转折频率
转折频率前后渐 近线斜率的变化 增加40dB/dec
系统所含 环节性质 二阶微分环节
对应环节 的时间常数
对应环节的传递函数
1 ;(2)系统所含其它环节的性质分析见表2 , 2s
ω1
1G (s ) =104s 2+200s ξ+1T ==100
ω1
ω2
减小20dB/dec 惯性环节
T =
1
=10 ω2
G (s ) =
1 10s +1
ω3
减小20dB/dec 惯性环节
T =
1
=0. 125 ω3
G (s ) =
1 0. 125s +1
ω4
减小20dB/dec 惯性环节
T =
1
=0. 05 ω4
G (s ) =
1 0. 05s +1
(3)由图可知ω1之前低频段渐近线的延长线与过横轴ω=1处的垂线相交,交点处的纵坐标
L(ω)= -40 dB , 所以L(ω)= 20lgK = -40 , 得K = 0.01 ; (4)将系统包含的所有典型环节的传递函数相乘,得出系统的开环传递函数为 G (s ) =
0. 01(104s 2+200s ξ+1) s (10s +1)(0. 125s +1)(0. 05s +1)
2
(责任编辑 张宇平)
参考文献:
[1]刘祖润. 自动控制原理[M].北京:机械工业出版社,2000,6
[2]史忠科, 卢京潮. 自动控制原理常见题型解析及模拟题[M].西安:西北工业大学出版社,1998,9 [3]谢克明, 刘文定. 自动控制原理[M].北京:兵器工业出版社,1998,9
Method for Obtaining System Transfer Function Based on Open Loop Logarithm Amplitude Frequency Characteristic
Wang Yu1) Yang Jianxin2) Wang Yucai1)
(Shijiazhuang Institute of Railway Technology Shijiazhuang Hebei 050041
TaiYuan University of Technology Taiyuan Shanxi 030024 China)
2)
1)
Abstract: There are many types of problems on obtaining system transfer function based on open loop logarithm amplitude frequency characteristic. Answer on this type problem is analysed and summarized with some examples.
Key words: transfer function link character corner frequency slope
79
基于开环对数幅频特性求系统传递函数的方法
王渝1) 杨建新2) 王玉彩1)
(石家庄铁路职业技术学院
1)
河北石家庄 050041 太原理工大学2) 山西太原 030024)
摘要:由开环对数幅频特性求系统传递函数的问题类型较多,对这类问题的求解方法进行分析、总结,并通过例题加以说明。
关键词:传递函数 环节性质 转折频率 斜率
中图分类号:TP311.11 文献标识码 : A 文章编号: 1673-1816(2006)01-0075-05
在工程实际中常常要针对给定的控制对象和所要求达到的一定的性能指标,设计和选择控制器的结构与参数来校正系统。当选用频率法来校正系统时经常会遇到一类问题,即由已知的开环对数幅频特性求系统的传递函数,如不摸清这类问题的规律,就不知道该从何处下手解决,且很容易将一些环节丢掉,不能完整的求出系统的传递函数。因此提出这类问题的求解方法,以供同行参考。
由开环对数幅频特性求系统传递函数的解算方法可以分为以下四个步骤:
1 由低频段渐近线斜率求出系统含有积分环节的个数
具体做法是:先在系统开环对数幅频特性的渐近线上找出第一个转折频率ω1 ,然后由ω1之前渐近线的斜率求出系统开环传递函数含有的积分环节的个数,即 : ―20×V = 第一个转折频率ω1之前渐近线的斜率 (V表示积分环节的个数),求出积分环节的个数后,可将积分环节的传递函数表示为G (s
) =
1
νs
例1. 第一个转折频率ω1 = 2 ,ω1之前渐近线的斜率为 0 ,
所以 ―20×V = 0 , 得 V = 0 ,
该系统不含有积分环节。 例2. 第一个转折频率ω1 = 0.1 ,ω1之前渐近线的斜率为―40 ,所以 ―20×V = ―40 ,
得 V = 2 ,
该系统含有两个积分环节,积分环节的传递函数为
G (s ) =
1s
2
。
收稿日期:2005-12-12 作者简介:王渝(1978-),女,蒙族,河南镇平人,本科,助教,研究方向自动化。
75
石家庄铁路职业技术学院学报 2006年第1期
因为系统的开环对数幅频特性在第一个转折频率之前渐近线的斜率就是 ―20×V dB/dec ,即由积分环节的个数V来决定的,因此可以用
―20×V = 第一个转折频率ω1之前渐近线的斜率
来求V的值。
2 确定系统所含其它环节的性质
找出所有的转折频率ω1 、ω2 、ω3 、…… ,由每个转折频率前后渐近线的斜率确定系统含有的环节的性质。通过观察转折频率前后渐近线的斜率是减小了,还是增加了,就可以判断出系统中是否含有惯性环节、一阶微分环节、振荡环节和二阶微分环节,之后再写出表示这些环节的传递函数。具体的做法见表1 ,
表1
转折频率ω前后渐
近线斜率的变化
减小20dB/dec 增加20dB/dec
系统所含 环节性质 惯性环节 一阶微分环
节 振荡环节 二阶微分环
节
对应环节的时间常数
对应环节的传递函数
1 ω1τ=
ωT =1T =
ωT =
1ω
G (s ) =
1
Ts +1
G (s ) =τs +1
减小40dB/dec
G (s ) =
1
T s +2ξTs +1
2
2
增加40dB/dec
G (s ) =T 2s 2+2ξ
Ts +1
例3.
第一个转折频率ω1 = 2 ,ω1前后渐近线的斜率由―20dB/dec 变到了―40dB/dec ,减小了20dB/dec , 所以系统含有一个惯性环节,其时间常数T =
1
=0. 5 , ω1
该惯性环节的传递函数为 G (s ) =例4.
第一个转折频率ω1 = 0.5
1
。
0. 5s +1
第二个转折频率ω2 = 2
ω1前后渐近线的斜率由―40dB/dec变到了―20dB/dec ,增加了20dB/dec ,则系统含有一个一阶微分环节,其时间常数
τ=
1
=2 ,该一阶微分环节传递函数为G (s ) =2s +1 ;ω2ω1
前后渐近线的斜率由―20dB/dec变到了―40dB/dec ,减小了20dB/dec ,则系统含有一个惯性环节,其时间常数T =
11
=0. 5 ,该惯性环节的传递函数为 G (s ) = 。 ω20. 5s +1
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第1期 王渝,等 基于开环对数幅频特性求系统传递函数的方法
例5.
第一个转折频率ω1 = 0.1 ,ω1前后渐近线的斜率由―40dB/dec,变到了―80dB/dec ,减小了40dB/dec ,则系统含有一个振荡环节,其时间常数T =
1
=10 , ω1
。
该振荡环节的传递函数为G (s ) =
1
100s
2
+20s ξ+1
3 求开环放大倍数K 的值
在任何系统的开环传递函数中都含有比例环节,其比例系数即为K ,K的值可大于、小于或等于1 ,但K的值一定是大于0的,因此还要求出K的值。
求K的值有很多方法,每一种方法都有其特有的前提条件,对于不同的情况应该用不同的方法求K的值,现将这些方法总结如下:
3.1 由ω = 1时的L(ω)值求K ,即 L(ω)= 20lgK , 此方法还要由第一个转折频率ω1的取值再细分为两种:
3.1.1 当ω1 ≥ 1 时, 直接由已知的开环对数幅频特性求ω = 1
时L(ω)的值,然后算出K的值。
例6. 第一个转折频率ω1 = 10 , ω1 > 1 ,
由图可知当ω = 1时, L(ω)= 20 dB , 所以L(ω)= 20lgK = 20 , 得K = 10 。
例7. 第一个转折频率ω1 = 1 ,
图上已经标出当ω = 1时, L(ω)= 10 dB , 所以L(ω)= 20lgK = 10 , 得K = 3.16 。
例8. 第一个转折频率ω1 = 2 , ω1 > 1 ,
但图中未标出ω = 1时L(ω)的值,所以要先经过计算
得出ω = 1时L(ω)的值,计算方法如下:
L (2) −0
= ―40 , 得L(2)= 45.89 dB ,
lg 2−lg 28
L (1) −45. 89
= ―20 , 得L(1)= 51.89 dB , 而L(1)的值即为ω = 1时L(ω)的值,
lg 1−lg 2
所以L(1)= 20lgK = 51.89 , 得K = 393 。
3.1.2 当ω1< 1 时, 先将第一个转折频率之前低频段的渐近线延长,与过横轴ω=1处的垂线相交,求出交点处的纵坐标,然后由“交点的纵坐标 = 20lgK”算出K的值。 例9.第一个转折频率ω1 = 0.5 , ω1< 1 ,
将ω1之前低频段的渐近线延长,并从横轴ω=1
处做垂
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石家庄铁路职业技术学院学报 2006年第1期
线,与刚才做的延长线相交与A点,如图所示,下面先求AL(0.5)= 6 dB ,
L (0. 5) −0
= ―20 , 得
lg 0. 5−lg 1
6−L A (ω) lg 0. 5−lg 1
= ―40 , 得LA (ω)= ―6 dB , 所以LA (ω)= 20lgK = ―6 ,得K = 0.5 。
3.2 若已知截止频率ωc ,由A(ωc )= 1求K的值。
例10.
由图可知截止频率ωc = 28 ,
第一个转折频率ω1 = 2 ,ω1之前渐近线的斜率为―20 , 所以 ―20×V = ―20 ,得V = 1 ,该系统含有一个积分环节, 其传递函数为G (s ) =
1
; s
1
,
0. 5s +1
由例3可知该系统还含有一个惯性环节,其传递函数为 G (s ) =由此可写出系统传递函数的表达式为G (s ) =
K
,其中K的值未知,待求,下面求K:
s (0. 5s +1)
系统的频率特性为G (j ω) =
K K
, 幅频特性为A (ω) = ,
2j ω(j 0. 5ω+1) ω1+(0. 5ω)
K
ωc +(0. 5ωc )
2
因L(ωc )= 0 ,即L(ωc )= 20lgA(ωc )= 0 , 故 A(ωc )= 1 ,A (ωc ) =
= 1 ,
代入ωc = 28 ,得A (ωc ) =
K
28×1+(0. 5×28)
2
= 1 ,
于是得K = 393 ,此结果与例8所求K值一样。
3.3 由低频段渐近线的延长线与横轴交点处的频率值ω0求K ,即 K = ων。 0 (V表示积分环节的个数)
例11.
第一个转折频率ω1 = 2 ,ω1之前渐近线的斜率为―20 ,所以 ―20×V = ―20 , 得V = 1 ; 由图可知ω1之前低频段渐近线的延长线与横轴
1
交点处的频率ω0 = 10 , 所以 K = ων 0= 10= 10 。
4 确定系统开环传递函数
具体做法:将已确定的典型环节的传递函数相乘,得出系统的开环传递函数G(s)。例12. 综合示例:已知某最小相位系统的开环对数幅频特
性如图所示,试写出系统的开环传递函数。
78
第1期 王渝,等 基于开环对数幅频特性求系统传递函数的方法
(1)第一个转折频率ω1 = 0.01 , 第二个转折频率ω2 = 0.1 , 第三个转折频率ω3 = 8 , 第四个转折频率ω4 = 20 , ω1之前渐近线的斜率为―40 ,所以 ―20×V = ―40 , 得V = 2 ,
该系统含有两个积分环节,其传递函数为 G (s ) =
表2
转折频率
转折频率前后渐 近线斜率的变化 增加40dB/dec
系统所含 环节性质 二阶微分环节
对应环节 的时间常数
对应环节的传递函数
1 ;(2)系统所含其它环节的性质分析见表2 , 2s
ω1
1G (s ) =104s 2+200s ξ+1T ==100
ω1
ω2
减小20dB/dec 惯性环节
T =
1
=10 ω2
G (s ) =
1 10s +1
ω3
减小20dB/dec 惯性环节
T =
1
=0. 125 ω3
G (s ) =
1 0. 125s +1
ω4
减小20dB/dec 惯性环节
T =
1
=0. 05 ω4
G (s ) =
1 0. 05s +1
(3)由图可知ω1之前低频段渐近线的延长线与过横轴ω=1处的垂线相交,交点处的纵坐标
L(ω)= -40 dB , 所以L(ω)= 20lgK = -40 , 得K = 0.01 ; (4)将系统包含的所有典型环节的传递函数相乘,得出系统的开环传递函数为 G (s ) =
0. 01(104s 2+200s ξ+1) s (10s +1)(0. 125s +1)(0. 05s +1)
2
(责任编辑 张宇平)
参考文献:
[1]刘祖润. 自动控制原理[M].北京:机械工业出版社,2000,6
[2]史忠科, 卢京潮. 自动控制原理常见题型解析及模拟题[M].西安:西北工业大学出版社,1998,9 [3]谢克明, 刘文定. 自动控制原理[M].北京:兵器工业出版社,1998,9
Method for Obtaining System Transfer Function Based on Open Loop Logarithm Amplitude Frequency Characteristic
Wang Yu1) Yang Jianxin2) Wang Yucai1)
(Shijiazhuang Institute of Railway Technology Shijiazhuang Hebei 050041
TaiYuan University of Technology Taiyuan Shanxi 030024 China)
2)
1)
Abstract: There are many types of problems on obtaining system transfer function based on open loop logarithm amplitude frequency characteristic. Answer on this type problem is analysed and summarized with some examples.
Key words: transfer function link character corner frequency slope
79