蕴含数列中的数学思想方法
山东省五莲一中 王振香
数列是高中数学的重要内容之一，与其它数学知识有着广泛、密切而又深入的交汇，这类数列综合问题往往蕴含着许多重要的数学思想与方法（如函数思想、方程思想、分类讨论、化归与转化思想、归纳猜想等），在分析与处理解决时，若能灵活地以这些数学思想与方法作思路指导，则会取得事半功倍的效果.
一 函数思想
由于数列是以正整数为自变量的一种特殊离散型函数，则我们若能有意识地多从函数的角度去看待数列，在这种整体的、动态的观点之下加强数列与函数的联系，利用函数的图象和性质去解决数列的一系列问题，就会使数列的一些性质显现得更加清楚，使某些问题得到更好地解决.
例1．已知数列{a n }是等差数列，若S n =10，S 2n =50，求S 3n .
⎧S ⎫分析：因{a n }是等差数列，则知⎨n ⎬也为等差数列，由此可用一次函数的方法解决问题. ⎩n ⎭
1na 1+n (n -1) d S d ⎧S ⎫解： n ==a 1+(n -1) ，故⎨n ⎬为等差数列， n n 2⎩n ⎭
其通项为一次函数，将之设为f (x ) =ax +b ，则点(n , S n S ) 、(2n , 2n ) 在其图象上，n 2n
∴an +b =1050155，a ⋅2n +b =，则解得an =, b =-. n 2n n n
故f (3n ) =a ⋅3n -5S 3n 155==⋅3-，解之得S 3n =120. n 3n n n
评注S n 是关于n 的一次函数，其图象是直线上的离散点. 上述解法是利用待定系数法建n
立一次函数来求解S 3n . 当然更可利用结论“S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n 成等差数列”这个等差数列的重要结论而简单解决本题.
二 方程（组）思想
数列与以前所学过的数、式、方程、函数、不等式、简易逻辑等许多知识都有广泛的联系，方程（组）思想在学习过程中得以较为充分的体现，许多数列习题都可通过列出方程或方程
组而求解. 如，数列的通项公式与前n 项和的公式紧密地联系着五个基本量a 1,n,d(q),an , s n ，“知三求二”是一类最基本的运算. 因此方程的观点是解决此类问题的基本数学思想与方法. 例2．设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为s n ，并且对于所有的正整数n ，a n 与2的等差中项等于s n 与2的等比中项，以此求{a n }的通项公式.
分析：由题设“a n 与2的等差中项等于s n 与2的等比中项”即可列出方程进行分析.
a n +21=s n =(a n +2) 2， 28
12当n =1时，s 1=(a 1+2) =a 1，解得a 1=2. 8
1212又a n +1=s n +1-s n ∴a n +1=(a n +1+2) -(a n +2) ，整理得： (a n +1+a n )(a n +1-a n -4) =0. 88解
：由题意可知
又 a n >0，
∴a n +1-a n =4，即{a n }是首项为2、公差为4的等差数列，∴a n =4n -2.
点评：本例利用了方程的消元思想由a n +1=s n +1-s n 、s n =1(a n +2) 2消去s n 得到了 8
(a n +1+a n )(a n +1-a n -4) =0这一方程，找到了数列中相邻两项的递推关系，使问题得到了解决. 值得注意的是有的时候可借助a n +1=s n +1-s n 消去a n 利用s n +1, s n 递推关系解题. 例3．已知等差数列{a n }的公差是正数，并且a 3a 7=-12, a 4+a 6=-4，求前n 项的和s n . 分析：由a 4+a 6=-4可知a 3+a 7=-4，结合条件a 3a 7=-12可得相关方程.
解：由等差数列{a n }知：a 3+a 7=a 4+a 6，从而a 3a 7=-12, a 3+a 7=-4，
2故a 3, a 7是方程x +4x -12=0的两根，又d >0，解之得：a 3=-6, a 7=2.
⎧a 1+2d =-6⎧a 1=-10再解方程组⎨ ，因此有s n =-10n +n (n -1) . , ∴⎨a +6d =2d =2⎩⎩1
点评：本题利用了a 3+a 7=a 4+a 6这一性质构造了二次方程，从中巧妙的解出了两个量 a 3=-6, a 7=2，再利用方程求得了首项与公差的值，从而使问题得到解决，由此可知在数列解题时往往可借助方程的思想与a n +a m =a p +a q （或a n ⋅a m =a p ⋅a q ）找出解题的捷径.
三 分类讨论思想
所谓分类讨论，就是当问题所给出的对象不能进行统一研究时，我们就需要对所研究的对象分门别类的进行研究，最后综合各类的结果得到问题的解决.
例4． 设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n >0 (n =1, 2, ) .
（Ⅰ）求q 的取值范围； （Ⅱ）设b n =a n +2-3a n +1，记{b n }的前n 项和为T n ，试比较S n 与T n 的大小. 2
分析：凡涉及等比数列和的问题，一般而言均需分类讨论.
解：（Ⅰ）因为{a n }是等比数列，S n >0, 可得a 1=S 1>0, q ≠0.
当q =1时, S n =na 1>0;
a 1(1-q n ) 1-q n
当q ≠1时, S n =>0, 即>0,(n =1,2, ) 1-q 1-q
上式等价于不等式组：⎨⎧1-q >0, , (n =1, 2, ) ② ① 或, (n =1, 2, ) ⎨n n ⎩1-q >0⎩1-q
解①式得q>1；解②，由于n 可为奇数、可为偶数，得－1
综上，q 的取值范围是(-1, 0) ⋃(0, +∞). （Ⅱ）由b n =a a +2-333a n +1得b n =a n (q 2-q ) ，则其前n 项和T n =(q 2-q ) S n . 222
31q -1) =S n (q +)(q -2). 22于是T n -S n =S n (q 2-
又∵S n >0且－1
0. 当-1
当-1或q >2时T n -S n >0即T n >S n 21
1或q =2时，T n -S n =0即T n =S n 2当q =-
点评：关于数列的分类一般考查三个方向：对公差d 的分类讨论、对公比q 的分类讨论、对项数n 的分类讨论.
四 化归与转化的思想
数列的绝大多数问题最后归结为两大问题——求通项公式和求前n 项和. 由于数列种类繁多，对一般数列讨论这两个问题有一定困难，故一般的，均能将待解决的问题化归成我们比
较熟悉的等差、等比这两种最典型的数列去解决.
例5． 已知数列{a n }的首项a 1=1，前n 项和为S n ，且S n +1=4a n +2(n ∈N *) ，求{a n }的通项公式.
分析与略解：当n ≥2时，S n +1=4a n +2，S n =4a n -1+2.
两式相减，得a n +1=S n +1-S n =4a n -4a n -1，将之变形为a n +1-2a n =2(a n -2a n -1) . 可见{a n +1-2a n }是公比为2的等比数列.
又 a 1+a 2=S 2=4a 1+2，a 1=1，得 a 2=5，则 a 2-2a 1=3.
因此 a n +1-2a n =3⋅2n -1. 两边同除以2
可见⎨n +1，得a n +1a n 3-=（常数）， 2n +12n 4a 113⎧a n ⎫=是首项为，公差为的等差数列. n ⎬422⎩2⎭
22444因此a n =1+3(n -1) =3n -1，从而a n =(3n -1) 2n -2. n 评析：本例通过两次化归，第一次把数列化归为等比数列，第二次把数列化归为等差数列，随着化归的进行，问题降低了难度. 化归与转化的思想中隐含着许多数学方法如消元法、构造法、错位相减法、倒序相加法、拆项相消法、拆项分组求和法等.
结束语：当然，渗透数列中的思想还有“一般与特殊的思想”、“归纳猜想的思想”、“递推（归）的思想”等. 数学中的思想与方法是数学的“灵魂”，它并不是完全抽象的东西，而是以数学知识为载体的客观存在的内容，是人们解题经验的积累、解题方法的提炼和总结，具有应用性、概括性和指导性. 因此在数列复习时，应高度重视数学思想方法的渗透，让学生领悟其价值、滋生应用的意识.
蕴含数列中的数学思想方法
山东省五莲一中 王振香
数列是高中数学的重要内容之一，与其它数学知识有着广泛、密切而又深入的交汇，这类数列综合问题往往蕴含着许多重要的数学思想与方法（如函数思想、方程思想、分类讨论、化归与转化思想、归纳猜想等），在分析与处理解决时，若能灵活地以这些数学思想与方法作思路指导，则会取得事半功倍的效果.
一 函数思想
由于数列是以正整数为自变量的一种特殊离散型函数，则我们若能有意识地多从函数的角度去看待数列，在这种整体的、动态的观点之下加强数列与函数的联系，利用函数的图象和性质去解决数列的一系列问题，就会使数列的一些性质显现得更加清楚，使某些问题得到更好地解决.
例1．已知数列{a n }是等差数列，若S n =10，S 2n =50，求S 3n .
⎧S ⎫分析：因{a n }是等差数列，则知⎨n ⎬也为等差数列，由此可用一次函数的方法解决问题. ⎩n ⎭
1na 1+n (n -1) d S d ⎧S ⎫解： n ==a 1+(n -1) ，故⎨n ⎬为等差数列， n n 2⎩n ⎭
其通项为一次函数，将之设为f (x ) =ax +b ，则点(n , S n S ) 、(2n , 2n ) 在其图象上，n 2n
∴an +b =1050155，a ⋅2n +b =，则解得an =, b =-. n 2n n n
故f (3n ) =a ⋅3n -5S 3n 155==⋅3-，解之得S 3n =120. n 3n n n
评注S n 是关于n 的一次函数，其图象是直线上的离散点. 上述解法是利用待定系数法建n
立一次函数来求解S 3n . 当然更可利用结论“S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n 成等差数列”这个等差数列的重要结论而简单解决本题.
二 方程（组）思想
数列与以前所学过的数、式、方程、函数、不等式、简易逻辑等许多知识都有广泛的联系，方程（组）思想在学习过程中得以较为充分的体现，许多数列习题都可通过列出方程或方程
组而求解. 如，数列的通项公式与前n 项和的公式紧密地联系着五个基本量a 1,n,d(q),an , s n ，“知三求二”是一类最基本的运算. 因此方程的观点是解决此类问题的基本数学思想与方法. 例2．设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为s n ，并且对于所有的正整数n ，a n 与2的等差中项等于s n 与2的等比中项，以此求{a n }的通项公式.
分析：由题设“a n 与2的等差中项等于s n 与2的等比中项”即可列出方程进行分析.
a n +21=s n =(a n +2) 2， 28
12当n =1时，s 1=(a 1+2) =a 1，解得a 1=2. 8
1212又a n +1=s n +1-s n ∴a n +1=(a n +1+2) -(a n +2) ，整理得： (a n +1+a n )(a n +1-a n -4) =0. 88解
：由题意可知
又 a n >0，
∴a n +1-a n =4，即{a n }是首项为2、公差为4的等差数列，∴a n =4n -2.
点评：本例利用了方程的消元思想由a n +1=s n +1-s n 、s n =1(a n +2) 2消去s n 得到了 8
(a n +1+a n )(a n +1-a n -4) =0这一方程，找到了数列中相邻两项的递推关系，使问题得到了解决. 值得注意的是有的时候可借助a n +1=s n +1-s n 消去a n 利用s n +1, s n 递推关系解题. 例3．已知等差数列{a n }的公差是正数，并且a 3a 7=-12, a 4+a 6=-4，求前n 项的和s n . 分析：由a 4+a 6=-4可知a 3+a 7=-4，结合条件a 3a 7=-12可得相关方程.
解：由等差数列{a n }知：a 3+a 7=a 4+a 6，从而a 3a 7=-12, a 3+a 7=-4，
2故a 3, a 7是方程x +4x -12=0的两根，又d >0，解之得：a 3=-6, a 7=2.
⎧a 1+2d =-6⎧a 1=-10再解方程组⎨ ，因此有s n =-10n +n (n -1) . , ∴⎨a +6d =2d =2⎩⎩1
点评：本题利用了a 3+a 7=a 4+a 6这一性质构造了二次方程，从中巧妙的解出了两个量 a 3=-6, a 7=2，再利用方程求得了首项与公差的值，从而使问题得到解决，由此可知在数列解题时往往可借助方程的思想与a n +a m =a p +a q （或a n ⋅a m =a p ⋅a q ）找出解题的捷径.
三 分类讨论思想
所谓分类讨论，就是当问题所给出的对象不能进行统一研究时，我们就需要对所研究的对象分门别类的进行研究，最后综合各类的结果得到问题的解决.
例4． 设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n >0 (n =1, 2, ) .
（Ⅰ）求q 的取值范围； （Ⅱ）设b n =a n +2-3a n +1，记{b n }的前n 项和为T n ，试比较S n 与T n 的大小. 2
分析：凡涉及等比数列和的问题，一般而言均需分类讨论.
解：（Ⅰ）因为{a n }是等比数列，S n >0, 可得a 1=S 1>0, q ≠0.
当q =1时, S n =na 1>0;
a 1(1-q n ) 1-q n
当q ≠1时, S n =>0, 即>0,(n =1,2, ) 1-q 1-q
上式等价于不等式组：⎨⎧1-q >0, , (n =1, 2, ) ② ① 或, (n =1, 2, ) ⎨n n ⎩1-q >0⎩1-q
解①式得q>1；解②，由于n 可为奇数、可为偶数，得－1
综上，q 的取值范围是(-1, 0) ⋃(0, +∞). （Ⅱ）由b n =a a +2-333a n +1得b n =a n (q 2-q ) ，则其前n 项和T n =(q 2-q ) S n . 222
31q -1) =S n (q +)(q -2). 22于是T n -S n =S n (q 2-
又∵S n >0且－1
0. 当-1
当-1或q >2时T n -S n >0即T n >S n 21
1或q =2时，T n -S n =0即T n =S n 2当q =-
点评：关于数列的分类一般考查三个方向：对公差d 的分类讨论、对公比q 的分类讨论、对项数n 的分类讨论.
四 化归与转化的思想
数列的绝大多数问题最后归结为两大问题——求通项公式和求前n 项和. 由于数列种类繁多，对一般数列讨论这两个问题有一定困难，故一般的，均能将待解决的问题化归成我们比
较熟悉的等差、等比这两种最典型的数列去解决.
例5． 已知数列{a n }的首项a 1=1，前n 项和为S n ，且S n +1=4a n +2(n ∈N *) ，求{a n }的通项公式.
分析与略解：当n ≥2时，S n +1=4a n +2，S n =4a n -1+2.
两式相减，得a n +1=S n +1-S n =4a n -4a n -1，将之变形为a n +1-2a n =2(a n -2a n -1) . 可见{a n +1-2a n }是公比为2的等比数列.
又 a 1+a 2=S 2=4a 1+2，a 1=1，得 a 2=5，则 a 2-2a 1=3.
因此 a n +1-2a n =3⋅2n -1. 两边同除以2
可见⎨n +1，得a n +1a n 3-=（常数）， 2n +12n 4a 113⎧a n ⎫=是首项为，公差为的等差数列. n ⎬422⎩2⎭
22444因此a n =1+3(n -1) =3n -1，从而a n =(3n -1) 2n -2. n 评析：本例通过两次化归，第一次把数列化归为等比数列，第二次把数列化归为等差数列，随着化归的进行，问题降低了难度. 化归与转化的思想中隐含着许多数学方法如消元法、构造法、错位相减法、倒序相加法、拆项相消法、拆项分组求和法等.
结束语：当然，渗透数列中的思想还有“一般与特殊的思想”、“归纳猜想的思想”、“递推（归）的思想”等. 数学中的思想与方法是数学的“灵魂”，它并不是完全抽象的东西，而是以数学知识为载体的客观存在的内容，是人们解题经验的积累、解题方法的提炼和总结，具有应用性、概括性和指导性. 因此在数列复习时，应高度重视数学思想方法的渗透，让学生领悟其价值、滋生应用的意识.