＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 无限长弦的一般强迫振动定解问题
⎧u tt =a 2u xx +f (x , t )(x ∈R , t >0) ⎪
⎨u t =0=ϕ(x )
⎪
⎩u t t =0=ψ(x )
解u (x , t ) =
11. x +at 1t ⎡x +a (t -τ)
ϕx +at +ϕx -at +ψξd ξ+f (α, τ) d α⎤d τ ⎡⎤()()()⎣⎦⎰⎰⎰⎢⎥⎦22a . x -at 2a 0⎣x -a (t -τ)
三维空间的自由振动的波动方程定解问题
2
⎧∂2u ∂2∂2u ⎫2⎛∂u
⎪2=a 2+2+2⎪, (-∞0)∂y ∂z ⎭⎝∂x ⎪∂t ⎪
⎨u t =0=ϕ0(x , y , z )
⎪∂u ⎪t =0=ϕ1(x , y , z ) ∂t ⎪⎩
在球坐标变换
⎧x =r sin θcos ϕ⎪
⎨y =r sin θsin ϕ (0≤r
1∂⎡ϕ(M ') ⎤1
u (M , t ) =dS +⎢ ⎥⎰⎰4πa ∂t ⎢S r 4πa 2M ⎥⎣at ⎦
⎰⎰
S r M
ψ(M ')
r
dS 1∂⎡ϕ(M ') ⎤1u (M , t ) =dS +⎢⎥⎰⎰4πa 2∂t ⎢ t 4πa 2M ⎥S ⎣at ⎦
⎰⎰
M
S at
ψ(M ')
t
dS 无界三维空间自由振动的泊松公式
⎧x '=x +(at )sin θcos ϕ⎪
⎨y '=y +(at )sin θsin ϕ (0≤ϕ≤2π,0≤θ≤π) ⎪z '=z +(at )cos θ⎩
dS =(at ) 2sin θd θd ϕ
二维空间的自由振动的波动方程定解问题
2
⎧∂2u ∂2u ⎫2⎛∂u
⎪2=a 2+2⎪, (-∞0)⎪∂t ⎝∂x ∂y ⎭ ⎨
∂u ⎪
u =ϕ(x , y ) t =0t =0=ψ(x , y ) ⎪∂t ⎩
⎤⎤⎡at 2π⎡at 2
π
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 傅立叶变换
(λ) =+∞f (x ) e -i λx dx f (x ) =1f ⎰-∞
2π
基本性质
⎰
+∞
-∞
i λx λf (e ) d λ
F [αf 1+βf 2]=αF [f 1]+βF [f 2] F [f 1*f 2]=F [f 1]F [f 2]
F [f 1f 2]=
1
F [f 1]*F [f 2] 2π
F [f ']=i λF [f ] F [f (k ) ]=(i λ) k F [f ] d -1d F [f ]=F [-ixf ] -i x f =F [d λd λ
(λf ) ]
F [f (x -x 0)]=e -i λx 0F [f (x )]
(λ-λ) F [e i λ0x f (x )]=f 0
F [⎰
. x . -∞
f (ξ) d ξ]=
. ∞. -∞
1
F [f (x )] i λ
-i λx
F [δ（x )]=⎰δ（x ）e
dx =e
-i λx
x =0
=1 F [δ(x -ξ)]=⎰δ(x -ξ)e -i λx dx =e -i λξ
. -∞
. ∞
F [f (ax )]=
1 λ
f () a a
若F [f (x )]=g (λ) 则 F [g (x )]=2πf (-λ)
F [1]=2πδ(λ) ⎛π⎫
F ⎡e -ax ⎤= ⎪e ⎣⎦⎝2⎭
2
2
-
λ2
4a
1ia -ia
(e +e )
e ia =cos a +i sin a 2
-ia 1ia -ia e =cos a -
i sin a sin a =(e -e )
2i cos a =
⎰
+∞
-∞
e
-x 2
dx =
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 拉普拉斯变换
(s ) =+∞f (x ) e -sx dx f ⎰
L [ce ax ]=L [x ]=
c
p -a
Re p >Re a
1 2s
L [e -βx ⋅x ]=L [sin kt ]=
1
(s +β) 2
k
22
s +k
s
L [cos kt ]==2 2
s +k
e ax -e -ax a
L [shax ]=L []=2 Re s >Re a 2
2s -a e ax +e -ax s
L [chax ]=L []=2 Re s >Re a
2s +a 2
基本性质
+βf ⎤=αL -1[f ]+βL -1[f ] αf L [αf 1+βf 2]=αL [f 1]+βL [f 2] L -1⎡1212⎣⎦
L [f (x -τ)]=e -s τL [f (x )],τ≥0
(s -a ),Re(s -a ) >σ L [e ax f (x )]=f 0
L [f (cx )]=
1 s
f (),(c >0) c c
L [f (n ) ]=s n L [f ]-s n -1f (0)-s n -2f '(0)- -f (n -1) (0)
. x 1
L [⎰f (τ) d τ]=L [f (x )] .0s
d n
L [f ]=L [(-x ) n f ] n ds
⎰
. ∞
. p
s ）ds =L [f (x ) ] （f
x
L [f 1*f 2]=L [f 1]F [f 2] L [δ(x )]=⎰δ(x ) e -sx dx =1
0+∞
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 三个格林公式 高斯公式：
设空间区域V 是由分片光滑的闭曲面S 所围成，函数P ,Q,R 在V 上具有一阶连续偏导数，则：
⎛∂P ∂Q ∂R ⎫
++Pdydz +Qdzdx +Rdxdy ⎪dV = ⎰⎰⎰⎰⎰∂x ∂y ∂z ⎭V ⎝S
或
⎛∂P ∂Q ∂R ⎫++P cos (n , x )+Q cos (n , y )+R cos (n , z )⎤dS ⎡ ⎪dV = ⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰∂x ∂y ∂z ⎭V ⎝S
第一格林公式
设u(x,y,z),V(x,y,z)在SŲSV 上有一阶连续偏导数，它们在V 中有二阶偏导，则：
u ∇v ⋅dS =∇u ⎰⎰⎰⎰⎰⋅∇vdV +⎰⎰⎰u ∆vdV
S
V
V
第二格林公式
设u(x,y,z),V(x,y,z)在SŲSV 上有一阶连续偏导数，它们在V 中有二阶偏导，则：
⎰⎰(u ∇v -v ∇u )⋅dS =⎰⎰⎰(u ∆v -v ∆u )dV
S
V
第三格林公式
设M 0，M 是V 中的点，v(M)=1/rMM0, u(x,y,z)满足第一格林公式条件，则有：
1
u (M 0) =
4π
⎡1∂u ∂⎛1
-u ⎢ ⎰⎰∂n S ⎢⎝r MM 0⎣r MM 0∂n ⎫⎤1
⎪⎥dS -⎪⎥4π⎭⎦⎛1⎫
∆u ⎪dV ⎰⎰⎰ r MM ⎪
V ⎝0⎭
定理1：泊松方程洛平问题
⎧∆u =u xx +u yy +u zz =f (x , y , z ),(x , y , z ) ∈V S
⎪
⎨∂u
u =ϕ(x , y , z ),(连续）=ψ(x , y , z ),(连续）S ⎪S
∂n ⎩
的解为： u (M 0) =
1
4π
⎡1∂⎛1⎫⎤1ψ(M ) -ϕ(M ) dS - ⎪⎢r ⎰⎰∂n ⎝r ⎭⎥4π⎦S ⎣⎛1⎫
f (M ) ⎪dV ⎰⎰⎰r ⎭V ⎝
推论1：拉氏方程洛平问题
⎧∆u =u xx +u yy +u zz =0,(x , y , z ) ∈V S
⎪
⎨∂u
⎪u S =ϕ(x , y , z ),(连续）S =ψ(x , y , z ),(连续）
∂n ⎩
的解为： u (M 0) =
1
4π
⎡1∂⎛1⎫⎤ψ(M ) -ϕ(M ) ⎪⎥dS ⎢r ⎰⎰∂n ⎝r ⎭⎦S ⎣
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 调和函数
1、定义：如果函数u(x,y,z)满足:(1) 在V 2、调和函数的性质。
性质1 设 u(x,y,z) 是区域 V 上的调和函数，则有
S 具有二阶连续偏导数；(2) ∆u =0 称u 为V 上的调和函数。
⎰⎰
S
∂u
dS =0 ∂n
推论2：拉氏牛曼问题（牛曼问题解不稳定没有得到公式解）
⎧∆u =u xx +u yy +u zz =0⎪
ϕdS =0 有解的充分必要条件是： ⎨∂u ⎰⎰S ⎪S =ϕ
⎩∂n
性质2 设u(x,y,z) 是区域V 上的调和函数，则有 :
u (M 0) =
14π
⎡1∂u ∂⎛1⎫⎤
-u ⎪⎥dS ⎢r ∂n ⎰⎰∂n ⎝r ⎭⎦S ⎣
性质3 : 设u(x,y,z)是区域V 上的调和函数，则在球心的值等于它在球面上的算术平均值，即:
u (M 0) =
1
4πR 2
⎰⎰u (M ) dS 其中S
S R
R 是以M 0为球心,R 为半径的球面
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
三维空间中狄氏问题格林函数 泊松方程狄氏问题为：
⎧⎪∆u =u xx +u yy +u zz =f (x , y , z ),(x , y , z ) ∈V S
⎨
⎪⎩u S =ϕ(x , y , z ),(连续）
∂G (M , M 0) ⎤∂u 1⎡
其中：u (M 0) = G (M , M ) -u dS -G (M , M ) fdV G (M , M ) =-v (x , y , z ) 000⎰⎰⎰⎰⎰⎢⎥∂n ∂n 4πr MM 0⎦S ⎣V
如果G(M,M0) 满足：G (M , M 0) 定理：泊松方程狄氏解为：
S
=0 则可得泊松方程狄氏解定理
∂G (M , M 0) ⎤⎡
u (M 0) = -ϕ(M ) dS -⎰⎰⎰G (M , M 0) f (M ) dV ⎰⎰⎢⎥∂n ⎦S ⎣V
其中G(M,M0) 满足：
⎧1⎪∆G (M , M 0) =-δ(M -M 0)
M , M ∈V G(M,M)=⎨0S 0
G (M , M ) =04πr MM 0⎪0S ⎩
推论：拉氏方程狄氏解为：
∂G (M , M 0) ⎤⎡u (M 0) = -ϕ(M ) ⎰⎰⎢⎥dS ∂n ⎦S ⎣
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 平面中的三个格林公式 首先证明一个定理：
设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，且f(x,y)在D 上有二阶连续偏导数，n 为曲线的外法线方向，则：
⎛∂2f ∂2f 2+2⎰⎰∂x ∂y D ⎝⎫∂f
dxdy =ds ⎪ ⎰∂n ⎭L
(1) 第一格林公式
设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，且u(x,y),v(x,y)在D 上有二阶连续偏导数，n 为曲线的外法线方向，则：
⎰⎰(∇u ∇v +u ∆v )dxdy = ⎰u
D
L
∂v
ds ∂n
(2) 第二格林公式
l
⎰(u ∇v -v ∇u ) dS =⎰⎰(u ∆v -v ∆u )dxdy
D
(3) 第三格林公式
设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，且u(x,y)在D 上有二阶连续偏导数，n 为曲线的外法线方向，令：
v (x , y ) =
11
ln
2πr MM 0
⎫⎤1⎪⎥dS -⎪⎥2π⎭⎦
1
ln ∆ud σ ⎰⎰r D
⎡11∂u ∂⎛11
u (M 0) = ln ⋅-u ln ⎢ ⎰∂n L ⎢⎝2πr MM 0⎣2πr MM 0∂n
定理：平面泊松方程洛平问题
⎧∆u =f (x , y ),(x , y ) ∈D ⎪
∂u ⎨
u =ϕ(x , y ), =ψ(x , y ) L ⎪L
∂n ⎩
⎡11∂⎛11
的解为： u (M 0) = ψln -ϕln ⎢ ⎰∂n L ⎢⎝2πr MM 0⎣2πr MM 0
推论：平面拉氏方程洛平问题
⎫⎤1
⎪⎥dS -⎪⎥2π⎭⎦
⎰⎰ln
D
1
f (x , y ) d σ r
⎧∆u =0,(x , y ) ∈D ⎪
∂u ⎨
u =ϕ(x , y ), =ψ(x , y ) L ⎪L
∂n ⎩
⎡11∂⎛11
的解为： u (M 0) = ψln -ϕln ⎢ ⎰ 2πr MM 2πr ∂n MM 0L ⎢0⎝⎣
定理：平面泊松方程狄氏问题的解为：
⎫⎤
⎪⎥dS ⎪⎥⎭⎦
u (M 0) =- ⎰ϕ
L
∂G
-⎰⎰Gf (x , y ) d σ ∂n D
推论：平面拉氏方程狄氏解为：
u (M 0) =- ⎰ϕ
L
∂G ∂n
平面狄氏格林函数
⎧1⎪∆G (M , M 0) =-δ(M -M 0)
M M , M 0∈D S G (M , 0⎨
2π⎪⎩G (M , M 0) L =0
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
特殊区域上狄氏问题格林函数 1．球形域内
M M 0
l n r
⎧⎪∆G (M , M 0) =-δ(M -M 0)
(x 2+y 2+z 2≤R 2, M 0∈V ) ⎨
⎪⎩G (M , M 0) S =0
格林函数为：
111R 1 R 2r 0
G (M , M 0) =- 其中： r 1=
4πr -r 04πr 0r 1-r r 0r 0
球域内狄式问题的解
∂G (M , M 0) ⎤⎡
u (M 0) = -ϕ(M ) ⎰⎰⎢⎥dS -⎰⎰⎰G (M , M 0) f (M ) dV ∂n ⎦S ⎣V
⎡⎤22
R -r 0⎢1⎥
= ϕ(M ) dS +⎰⎰⎰G (M , M 0) f (M ) dV 3⎥⎰⎰⎢4πR
22S ⎢V R +r -2Rr 0cos γ)2⎥(0⎣⎦
∂G
其中：
∂n
S
∂G =∂r
S
=-
14πR
R 2-r 02
2
(R +r 02-2Rr 0cos γ)
32
球域上狄氏问题的解的球坐标表达式
⎧x =r sin θcos ϕ⎪
⎨y =r sin θsin ϕ (0≤r
⎡⎤22
R -r 0R ⎢1⎥
所以： ϕ(M ) dS =3⎥⎰⎰⎢4πR 4π22S ⎢2⎥R +r -2Rr cos γ()00⎣⎦
2．上半空间狄氏问题的Green 函数
⎰⎰
2ππ
R 2-r 02
(R
2
+r 02-2Rr 0cos γ)
3
2
ϕ(R , θ, ϕ)sin θd θd ϕ
⎧⎪∆G =-δ(x -x 0, y -y 0, z -z 0),(z
>0)
⎨
⎪⎩G z =0=0G (M , M 0) =u 1+u 21=4π
⎡⎡11⎤1-⎢⎥==
4π⎢⎣r MM 0r MM 1⎥⎦⎤
z 0
∂G ∂G 1⎡z -z 0z +z 0⎤1
=-=-3⎢3⎥=-∂n ∂z 4π⎢4π⎣r MM 0r MM 1⎥⎦
所以上半空间泊松方程狄氏问题的解为：
⎡∂G (M , M 0) ⎤u (M 0) = dS -⎰⎰⎰G (M , M 0) fdV ⎰⎰⎢-ϕ⎥∂n ⎦S ⎣V 1=2π
⎰⎰
. -∞
. +∞. +∞
ϕ(x , y )z 0
⎡(x -x 0)2+(y -y 0)2+z 02⎤⎣⎦
3
2
. -∞
dxdy -⎰⎰⎰f (x , y , z ) G (M , M 0) dxdydz
V
上半空间拉氏方程狄氏问题的解为：
u (x 0, y 0, z 0)=
12π
⎰⎰
. -∞
. +∞. +∞
ϕ(x , y )z 0
⎡(x -x 0)2+(y -y 0)2+z 02⎤⎣⎦
3
2
. -∞
dxdy
3．上半平面狄氏问题的Green 函数
G (M , M 0) =∂G ∂G
=- ∂n ∂
y ∂G ∂n
L
1111
Ln -Ln
2πr MM 02πr MM 1
=-
1∂[-2π∂y y =0
=-
y 0
2
π(x -x 0) 2+y 01
上半平面上泊松方程狄氏解
y 0∂G 1+∞
u (M 0) =- ϕ-Gf (x , y ) d σ=ϕ(x ) -⎰⎰Gf (x , y ) d σ 22⎰⎰⎰⎰-∞∂n π(x -x ) +y 00L D D
上半平面上拉氏方程狄氏解
u (M 0) =
1
π
⎰
+∞
-∞
ϕ(x )
y 0
2
(x -x 0) 2+y 0
4．圆域上泊松与拉氏方程狄氏解的GREEN 函数
⎧r MM 1111111R ⎪∆G =-δ(M , M 0) 222
M , M ∈D (x +y ≤R ) G (M , M ) =ln -ln =ln -ln ⎨00
G =02πr M 0M 2πr MM 12πr M 0M 2πr 0⎪⎩L
圆域上泊松与拉氏方程狄氏解
u (M 0) =- ⎰ϕ(θ)
L
∂G
-⎰⎰Gf (x , y ) d σ∂n D
2
2
= ⎰ϕ(θ)
L
R -r 0
-⎰⎰Gf (x , y ) d σ
2πR R 2-2Rr 0cos γ+r 02
D 1
5．第一象限上狄氏问题的Green 函数
G (M , M 0) =
11111111ln -ln -ln +ln 2πr MM 02πr MM 12πr MM 22πr MM 3
2222
⎡⎤⎡⎤(x +x ) +(y -y ) (x -x ) +(y +y ) 10000⎣⎦⎣⎦=ln 2222
4π⎡⎤⎡⎤(x -x ) +(y -y ) (x +x ) +(y +y ) 0000⎣⎦⎣⎦
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 三种典型方程的基本解问题 1． 泊松方程的基本解
方程∆u =-δ(x , y , z ) 的解称为泊松方程∆u =-f (x , y , z ) 的基本解。 三维空间泊松方程的基本解U =
14πr
, r ≠0
平面泊松方程基本解为：U =
11
ln , r ≠0 2πr
特解应该为基本解与函数f 的卷积 2．热传导方程柯西问题基本解
22
⎧⎧⎪u t =a u xx ,(x ∈R , t >0) ⎪u t =a u xx ,(x ∈R , t >0)
定解问题：⎨的解，称为⎨定解问题的基本解。
u =δ(x ) u =ϕ(x ) ⎪⎪⎩t =0⎩t =0
-
x 2
2定解为基本解与初始函数ϕ(x ) 的卷积 3．热传导方程混合问题基本解
⎧∂u 2
=a u xx +δ(x -x 0) δ(t -t 0) ⎪∂t ⎧u t =a 2u xx +f (x , t ),(00) ⎪⎪
定解问题⎨u (0,t ) =u (l , t ) =0的解称为⎨u (0,t ) =0, u (l , t ) =0定解问题的基本解
⎪u (x ,0) =0⎪u =0
⎩=0⎪
⎩
2∞-
U (x , t ; x 0, t 0) =∑e
l n =1
n 2π2a 2L (t -t 0)
sin
n πx 0n πx
sin l l
L
定解与基本解的关系为u (x , t ) =4．波动方程柯西问题基本解
⎰⎰
t
00
U (x , t ; x 0, t 0) f (x 0, t 0) dx 0dt 0
⎧∂2u 2
⎪2=a u xx +δ(x -x 0) δ(t -t 0),(-∞0)
定解问题⎨∂t 的解
⎪u (x ,0) =0, u (x ,0) =0
t ⎩⎧∂2u 2
⎪2=a u xx +f (x , t ),(-∞0) 称为⎨∂t 定解问题的基本解
⎪u (x ,0) =0, u (x ,0) =0
t ⎩
2+∞1n πa n πa n πx
基本解为：U (x , t ; x 0, t 0) = sin (t -t )sin x sin ∑00
πa n =1n l l l
定解与基本解的关系为：u (x , t ) =
⎰⎰
t L
00
U (x , t ; x 0, t 0) f (x 0, t 0) dx 0dt 0
贝塞尔函数
222⎧⎪ρP ''(ρ) +ρP '(ρ) +(λρ-n ) P (ρ) =0222
》 r F ''(r ) +rF '(r ) +(r -n ) F (r ) =
0 ⎨
⎪⎩P (R ) =0, P (0)
2
dy 2d y 22
x +x +(x -n ) y =0 》 r =&F (r ) =P 2dx dx x n +2m
y 1(x ) =∑(-1) n +2m ,(n ≥0)
2m ! Γ(n +m +1) m =0
∞
m
x n +2m
正、负n 阶第一类贝塞尔函数 J n (x ) =∑(-1) n +2m
2m ! Γ(n +m +1) m =0
∞
m
Γ(r)=⎰
x r -1e -x dx (r >0)
∞21
Γ() =⎰e -y dy =02∞
Γ(n +1)=n Γ(n )
Γ(n +1)=n !
Y n (x ) =Lim
α→n
J α(x )cos απ-J -α(x )
第二类Bessel 函数
sin απ
Bessel 函数的母函数
G (x , z ) =e
x 1(z -) 2z
=
n =-∞
∑J
∞
n
(x ) z n
当x 为实数时可得
e
ix cos θ
=J 0(x ) +2∑i n J n (x )cos n θ
n =1
∞
∞
cos(x cos θ) =J 0(x ) +2∑(-1) m J 2m (x )cos 2m θ
m =1
Bessel 函数的积分表达式 J n (x ) =
1e
d ζ n +1⎰. C 2πi ζ
x 1
(ζ-) 2ζ
当n 为整数时：
1
J n (x ) =
2π
⎰πcos(x sin θ-n θ) d θ,(n =0, ±1, ±2, )
. -
. π
贝塞尔函数的递推公式
'=x n J (x ) n
⎡⎤1、x J (x ) n n -1⎣⎦'=-x -n J (x ) -n ⎡⎤2、x J (x ) n n +1⎣⎦
3、J n -1(x ) +J n +1(x ) =
2
nJ n (x ) x
'(x ) 4、J n -1(x ) -J n +1(x ) =2J n
'(x ) J -1(x ) =J 0
n 阶整数阶贝塞尔函数有：J -n (x ) =(-1) n J n (x ) =
cos n πJ n (x )
J 1(x ) =
2 x
J 1(x ) =c o s x -2
⎫⎫⎪r ⎪⎬⎭⎪⎭贝塞尔函数的正交性 (n ) ⎧⎛μm ⎪贝塞尔函数系 ⎨J n ⎪⎩⎝R +∞
1
⎰R
0(n ) ⎛μm rJ n ⎝R ⎫⎛μk (n ) r ⎪⋅J n ⎭⎝R ⎧0,(m ≠k ) ⎫⎪r ⎪dr =⎨122 122(n ) (n ) R J (μ) =R J (μ),(m =k ) ⎭n -1m n +1m ⎪⎩22
(n ) ⎛μm ⎫r ⎪dr 称为贝塞尔函数J n ⎝R ⎭定义：定积分：⎰R
0(n ) ⎛μm rJ n ⎝R 2⎫r ⎪的模。
⎭
2、贝塞尔级数展开定理
定理：设f (r ), f '(r ) 在区间[0,R]上至多有有限个跳跃间断点，则f(x)在(0,R)连续点处的贝塞尔级数收敛与该点的函数值，在间断点处收敛于该点左右极限的平均值
(n ) ⎛μm f (r ) =∑A m J n
m =1⎝R +∞⎫1r ⎪ 其中 A m =2R (n ) ⎭J n +12μm 2()⎰R 0(n ) ⎛μm rf (r ) J n ⎝R ⎫r ⎪dr ⎭
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
勒让德方程
⎧u xx +u yy +u zz =0, (x 2+y 2+z 2
⎧1∂⎛2∂u ⎫1∂⎛∂u ⎫1∂2u =0⎪2 r ⎪+2 sin θ⎪+∂θ⎭r 2sin 2θ∂ϕ2在球坐标系下⎨r ∂r ⎝∂r ⎭r sin θ∂θ⎝
⎪u =f (θ, ϕ),(0≤r
d 2Θd Θ⎡m 2⎤勒让德方程 +cot θ+⎢n (n +1) -2⎥Θ=0 2d θd θ⎣sin θ⎦
d 2y dy +n (n +1) y =0 令x =cos θ，Θ(θ)=y 取m=0时得 (1-x ) 2-2x dx dx 2
勒让德多项式
当n 为正偶数时y 1=
m =0∑(-1) m
∑(-1) m n -12n 2(2n -2m )! x n -2m n 2m !(n -m )!(n -2m )! (2n -2m )! n -2m x n 2m !(n -m )!(n -2m )! 当n 为正奇数时y 2=
m =0
n 次第一类勒让德多项式 P n (x ) =
m =0∑(-1) m M (2n -2m )! x n -2m n 2m !(n -m )!(n -2m )!
⎢n ⎥M =⎢⎥ ⎣2⎦
P 0(x ) =1
P 1(x ) =x
P 2(x ) =1(3x 2-1) 2
1P 3(x ) =(5x 3-3x ) 21P 4(x ) =(35x 4-30x 2+3) 81P 5(x ) =(63x 5-70x 3+15x ) 8P n (1)=1 P n (-1) =(-1) n
1d n
2n (x -1) 勒让德多项式的罗得利克公式 P n (x ) =n n 2n ! dx
n ! (ξ2-1) n
勒让德多项式的积分表达式 P d ξ n (z ) =2πi ⎰C 2n (ξ-z ) n +1
勒让德多项式的母函数
G (x , z ) ==∑P n (x ) z n , z
n =0+∞
勒让德多项式的递推公式(重点) （n=1,2,3….. ）
1,(2n +1) xP n (x ) -nP n -1(x ) =(n +1) P n +1(x )
2, P n '-1(x ) =xP n '(x ) -nP n (x )
3, P n '(x ) =xP n '-1(x ) +nP n -1(x )
P n (1)=1 P n (-1) =(-n 1 )
⎧n 为奇数P n (-x ) =(-1) n P n (x ) ⎨⎩n 为偶数
勒让德多项式正交性定理 P n (x ) 奇函数P n (x ) 偶函数
⎧0, (m ≠n , m , n =0,1,2... )⎪ P (x ) P (x ) dx =⎨2⎰-1m n ,(m =n , n =0,1,2....) ⎪⎩2n +11
勒让德多项式展开定理：若 f '(x ) ∈C [-1,1]且：f ‘’(x)在[-1,1]上分段连续，则在[-1,1]上可以展开为绝对且一致收敛的级数：
f (x ) =∑C n P n (x ) 其中 C n =
n =0+∞2n +11f (x ) P n (x ) dx ⎰-12
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
牛顿二项式展开式
(1+x ) α=1+αx +α(α-1)
2! x 2+ +α(α-1) (α-n +1)
n !
x n + ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
泰勒级数
e x =1+x +121x + +x n + x ∈(-∞, +∞) 2! n !
1315x 2n +1
n ∴sin x =x -x +x - +(-1) + x ∈(-∞, +∞) 3! 5! (2n +1)!
2n 1214n x ∴cos x =1-x +x - +(-1) + 2! 4! (2n )!
1=1-x +x 2-x 3+ +(-1) n x n + (-1,1) 1+x
1=1+x +x 2+x 3+
1-x
=1+1121⋅33(2n -3)!! n x -x +x + +(-1) n x +
[-1,1] 22⋅42⋅4⋅6(2n )!! 11⋅321⋅3⋅53(2n -1)!! n =1-x +x -x + +(-1) n x +
[-1,1] 22⋅42⋅4⋅6(2n )!! n 1213x 21⋅341⋅3⋅56n -1x + =1++x +x + ln(1+x ) =x -x +x - +(-1) 23n 22⋅42⋅4⋅62n +1dx 1315n x arctan x =⎰=x -x +x - +(-1) + 01+x 2352n +1x
π111=1-+- +(-1) n +
, x =1. 4352n +1
x arcsin x =⎰0=x +11311⋅3511⋅3⋅57x +x +x + 3252⋅472⋅4⋅6
n dx 1213n -1x ln(1+x ) =⎰=x -x +x - +(-1) + 01+x 23n x
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 无限长弦的一般强迫振动定解问题
⎧u tt =a 2u xx +f (x , t )(x ∈R , t >0) ⎪
⎨u t =0=ϕ(x )
⎪
⎩u t t =0=ψ(x )
解u (x , t ) =
11. x +at 1t ⎡x +a (t -τ)
ϕx +at +ϕx -at +ψξd ξ+f (α, τ) d α⎤d τ ⎡⎤()()()⎣⎦⎰⎰⎰⎢⎥⎦22a . x -at 2a 0⎣x -a (t -τ)
三维空间的自由振动的波动方程定解问题
2
⎧∂2u ∂2∂2u ⎫2⎛∂u
⎪2=a 2+2+2⎪, (-∞0)∂y ∂z ⎭⎝∂x ⎪∂t ⎪
⎨u t =0=ϕ0(x , y , z )
⎪∂u ⎪t =0=ϕ1(x , y , z ) ∂t ⎪⎩
在球坐标变换
⎧x =r sin θcos ϕ⎪
⎨y =r sin θsin ϕ (0≤r
1∂⎡ϕ(M ') ⎤1
u (M , t ) =dS +⎢ ⎥⎰⎰4πa ∂t ⎢S r 4πa 2M ⎥⎣at ⎦
⎰⎰
S r M
ψ(M ')
r
dS 1∂⎡ϕ(M ') ⎤1u (M , t ) =dS +⎢⎥⎰⎰4πa 2∂t ⎢ t 4πa 2M ⎥S ⎣at ⎦
⎰⎰
M
S at
ψ(M ')
t
dS 无界三维空间自由振动的泊松公式
⎧x '=x +(at )sin θcos ϕ⎪
⎨y '=y +(at )sin θsin ϕ (0≤ϕ≤2π,0≤θ≤π) ⎪z '=z +(at )cos θ⎩
dS =(at ) 2sin θd θd ϕ
二维空间的自由振动的波动方程定解问题
2
⎧∂2u ∂2u ⎫2⎛∂u
⎪2=a 2+2⎪, (-∞0)⎪∂t ⎝∂x ∂y ⎭ ⎨
∂u ⎪
u =ϕ(x , y ) t =0t =0=ψ(x , y ) ⎪∂t ⎩
⎤⎤⎡at 2π⎡at 2
π
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 傅立叶变换
(λ) =+∞f (x ) e -i λx dx f (x ) =1f ⎰-∞
2π
基本性质
⎰
+∞
-∞
i λx λf (e ) d λ
F [αf 1+βf 2]=αF [f 1]+βF [f 2] F [f 1*f 2]=F [f 1]F [f 2]
F [f 1f 2]=
1
F [f 1]*F [f 2] 2π
F [f ']=i λF [f ] F [f (k ) ]=(i λ) k F [f ] d -1d F [f ]=F [-ixf ] -i x f =F [d λd λ
(λf ) ]
F [f (x -x 0)]=e -i λx 0F [f (x )]
(λ-λ) F [e i λ0x f (x )]=f 0
F [⎰
. x . -∞
f (ξ) d ξ]=
. ∞. -∞
1
F [f (x )] i λ
-i λx
F [δ（x )]=⎰δ（x ）e
dx =e
-i λx
x =0
=1 F [δ(x -ξ)]=⎰δ(x -ξ)e -i λx dx =e -i λξ
. -∞
. ∞
F [f (ax )]=
1 λ
f () a a
若F [f (x )]=g (λ) 则 F [g (x )]=2πf (-λ)
F [1]=2πδ(λ) ⎛π⎫
F ⎡e -ax ⎤= ⎪e ⎣⎦⎝2⎭
2
2
-
λ2
4a
1ia -ia
(e +e )
e ia =cos a +i sin a 2
-ia 1ia -ia e =cos a -
i sin a sin a =(e -e )
2i cos a =
⎰
+∞
-∞
e
-x 2
dx =
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 拉普拉斯变换
(s ) =+∞f (x ) e -sx dx f ⎰
L [ce ax ]=L [x ]=
c
p -a
Re p >Re a
1 2s
L [e -βx ⋅x ]=L [sin kt ]=
1
(s +β) 2
k
22
s +k
s
L [cos kt ]==2 2
s +k
e ax -e -ax a
L [shax ]=L []=2 Re s >Re a 2
2s -a e ax +e -ax s
L [chax ]=L []=2 Re s >Re a
2s +a 2
基本性质
+βf ⎤=αL -1[f ]+βL -1[f ] αf L [αf 1+βf 2]=αL [f 1]+βL [f 2] L -1⎡1212⎣⎦
L [f (x -τ)]=e -s τL [f (x )],τ≥0
(s -a ),Re(s -a ) >σ L [e ax f (x )]=f 0
L [f (cx )]=
1 s
f (),(c >0) c c
L [f (n ) ]=s n L [f ]-s n -1f (0)-s n -2f '(0)- -f (n -1) (0)
. x 1
L [⎰f (τ) d τ]=L [f (x )] .0s
d n
L [f ]=L [(-x ) n f ] n ds
⎰
. ∞
. p
s ）ds =L [f (x ) ] （f
x
L [f 1*f 2]=L [f 1]F [f 2] L [δ(x )]=⎰δ(x ) e -sx dx =1
0+∞
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 三个格林公式 高斯公式：
设空间区域V 是由分片光滑的闭曲面S 所围成，函数P ,Q,R 在V 上具有一阶连续偏导数，则：
⎛∂P ∂Q ∂R ⎫
++Pdydz +Qdzdx +Rdxdy ⎪dV = ⎰⎰⎰⎰⎰∂x ∂y ∂z ⎭V ⎝S
或
⎛∂P ∂Q ∂R ⎫++P cos (n , x )+Q cos (n , y )+R cos (n , z )⎤dS ⎡ ⎪dV = ⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰∂x ∂y ∂z ⎭V ⎝S
第一格林公式
设u(x,y,z),V(x,y,z)在SŲSV 上有一阶连续偏导数，它们在V 中有二阶偏导，则：
u ∇v ⋅dS =∇u ⎰⎰⎰⎰⎰⋅∇vdV +⎰⎰⎰u ∆vdV
S
V
V
第二格林公式
设u(x,y,z),V(x,y,z)在SŲSV 上有一阶连续偏导数，它们在V 中有二阶偏导，则：
⎰⎰(u ∇v -v ∇u )⋅dS =⎰⎰⎰(u ∆v -v ∆u )dV
S
V
第三格林公式
设M 0，M 是V 中的点，v(M)=1/rMM0, u(x,y,z)满足第一格林公式条件，则有：
1
u (M 0) =
4π
⎡1∂u ∂⎛1
-u ⎢ ⎰⎰∂n S ⎢⎝r MM 0⎣r MM 0∂n ⎫⎤1
⎪⎥dS -⎪⎥4π⎭⎦⎛1⎫
∆u ⎪dV ⎰⎰⎰ r MM ⎪
V ⎝0⎭
定理1：泊松方程洛平问题
⎧∆u =u xx +u yy +u zz =f (x , y , z ),(x , y , z ) ∈V S
⎪
⎨∂u
u =ϕ(x , y , z ),(连续）=ψ(x , y , z ),(连续）S ⎪S
∂n ⎩
的解为： u (M 0) =
1
4π
⎡1∂⎛1⎫⎤1ψ(M ) -ϕ(M ) dS - ⎪⎢r ⎰⎰∂n ⎝r ⎭⎥4π⎦S ⎣⎛1⎫
f (M ) ⎪dV ⎰⎰⎰r ⎭V ⎝
推论1：拉氏方程洛平问题
⎧∆u =u xx +u yy +u zz =0,(x , y , z ) ∈V S
⎪
⎨∂u
⎪u S =ϕ(x , y , z ),(连续）S =ψ(x , y , z ),(连续）
∂n ⎩
的解为： u (M 0) =
1
4π
⎡1∂⎛1⎫⎤ψ(M ) -ϕ(M ) ⎪⎥dS ⎢r ⎰⎰∂n ⎝r ⎭⎦S ⎣
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 调和函数
1、定义：如果函数u(x,y,z)满足:(1) 在V 2、调和函数的性质。
性质1 设 u(x,y,z) 是区域 V 上的调和函数，则有
S 具有二阶连续偏导数；(2) ∆u =0 称u 为V 上的调和函数。
⎰⎰
S
∂u
dS =0 ∂n
推论2：拉氏牛曼问题（牛曼问题解不稳定没有得到公式解）
⎧∆u =u xx +u yy +u zz =0⎪
ϕdS =0 有解的充分必要条件是： ⎨∂u ⎰⎰S ⎪S =ϕ
⎩∂n
性质2 设u(x,y,z) 是区域V 上的调和函数，则有 :
u (M 0) =
14π
⎡1∂u ∂⎛1⎫⎤
-u ⎪⎥dS ⎢r ∂n ⎰⎰∂n ⎝r ⎭⎦S ⎣
性质3 : 设u(x,y,z)是区域V 上的调和函数，则在球心的值等于它在球面上的算术平均值，即:
u (M 0) =
1
4πR 2
⎰⎰u (M ) dS 其中S
S R
R 是以M 0为球心,R 为半径的球面
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
三维空间中狄氏问题格林函数 泊松方程狄氏问题为：
⎧⎪∆u =u xx +u yy +u zz =f (x , y , z ),(x , y , z ) ∈V S
⎨
⎪⎩u S =ϕ(x , y , z ),(连续）
∂G (M , M 0) ⎤∂u 1⎡
其中：u (M 0) = G (M , M ) -u dS -G (M , M ) fdV G (M , M ) =-v (x , y , z ) 000⎰⎰⎰⎰⎰⎢⎥∂n ∂n 4πr MM 0⎦S ⎣V
如果G(M,M0) 满足：G (M , M 0) 定理：泊松方程狄氏解为：
S
=0 则可得泊松方程狄氏解定理
∂G (M , M 0) ⎤⎡
u (M 0) = -ϕ(M ) dS -⎰⎰⎰G (M , M 0) f (M ) dV ⎰⎰⎢⎥∂n ⎦S ⎣V
其中G(M,M0) 满足：
⎧1⎪∆G (M , M 0) =-δ(M -M 0)
M , M ∈V G(M,M)=⎨0S 0
G (M , M ) =04πr MM 0⎪0S ⎩
推论：拉氏方程狄氏解为：
∂G (M , M 0) ⎤⎡u (M 0) = -ϕ(M ) ⎰⎰⎢⎥dS ∂n ⎦S ⎣
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 平面中的三个格林公式 首先证明一个定理：
设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，且f(x,y)在D 上有二阶连续偏导数，n 为曲线的外法线方向，则：
⎛∂2f ∂2f 2+2⎰⎰∂x ∂y D ⎝⎫∂f
dxdy =ds ⎪ ⎰∂n ⎭L
(1) 第一格林公式
设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，且u(x,y),v(x,y)在D 上有二阶连续偏导数，n 为曲线的外法线方向，则：
⎰⎰(∇u ∇v +u ∆v )dxdy = ⎰u
D
L
∂v
ds ∂n
(2) 第二格林公式
l
⎰(u ∇v -v ∇u ) dS =⎰⎰(u ∆v -v ∆u )dxdy
D
(3) 第三格林公式
设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，且u(x,y)在D 上有二阶连续偏导数，n 为曲线的外法线方向，令：
v (x , y ) =
11
ln
2πr MM 0
⎫⎤1⎪⎥dS -⎪⎥2π⎭⎦
1
ln ∆ud σ ⎰⎰r D
⎡11∂u ∂⎛11
u (M 0) = ln ⋅-u ln ⎢ ⎰∂n L ⎢⎝2πr MM 0⎣2πr MM 0∂n
定理：平面泊松方程洛平问题
⎧∆u =f (x , y ),(x , y ) ∈D ⎪
∂u ⎨
u =ϕ(x , y ), =ψ(x , y ) L ⎪L
∂n ⎩
⎡11∂⎛11
的解为： u (M 0) = ψln -ϕln ⎢ ⎰∂n L ⎢⎝2πr MM 0⎣2πr MM 0
推论：平面拉氏方程洛平问题
⎫⎤1
⎪⎥dS -⎪⎥2π⎭⎦
⎰⎰ln
D
1
f (x , y ) d σ r
⎧∆u =0,(x , y ) ∈D ⎪
∂u ⎨
u =ϕ(x , y ), =ψ(x , y ) L ⎪L
∂n ⎩
⎡11∂⎛11
的解为： u (M 0) = ψln -ϕln ⎢ ⎰ 2πr MM 2πr ∂n MM 0L ⎢0⎝⎣
定理：平面泊松方程狄氏问题的解为：
⎫⎤
⎪⎥dS ⎪⎥⎭⎦
u (M 0) =- ⎰ϕ
L
∂G
-⎰⎰Gf (x , y ) d σ ∂n D
推论：平面拉氏方程狄氏解为：
u (M 0) =- ⎰ϕ
L
∂G ∂n
平面狄氏格林函数
⎧1⎪∆G (M , M 0) =-δ(M -M 0)
M M , M 0∈D S G (M , 0⎨
2π⎪⎩G (M , M 0) L =0
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
特殊区域上狄氏问题格林函数 1．球形域内
M M 0
l n r
⎧⎪∆G (M , M 0) =-δ(M -M 0)
(x 2+y 2+z 2≤R 2, M 0∈V ) ⎨
⎪⎩G (M , M 0) S =0
格林函数为：
111R 1 R 2r 0
G (M , M 0) =- 其中： r 1=
4πr -r 04πr 0r 1-r r 0r 0
球域内狄式问题的解
∂G (M , M 0) ⎤⎡
u (M 0) = -ϕ(M ) ⎰⎰⎢⎥dS -⎰⎰⎰G (M , M 0) f (M ) dV ∂n ⎦S ⎣V
⎡⎤22
R -r 0⎢1⎥
= ϕ(M ) dS +⎰⎰⎰G (M , M 0) f (M ) dV 3⎥⎰⎰⎢4πR
22S ⎢V R +r -2Rr 0cos γ)2⎥(0⎣⎦
∂G
其中：
∂n
S
∂G =∂r
S
=-
14πR
R 2-r 02
2
(R +r 02-2Rr 0cos γ)
32
球域上狄氏问题的解的球坐标表达式
⎧x =r sin θcos ϕ⎪
⎨y =r sin θsin ϕ (0≤r
⎡⎤22
R -r 0R ⎢1⎥
所以： ϕ(M ) dS =3⎥⎰⎰⎢4πR 4π22S ⎢2⎥R +r -2Rr cos γ()00⎣⎦
2．上半空间狄氏问题的Green 函数
⎰⎰
2ππ
R 2-r 02
(R
2
+r 02-2Rr 0cos γ)
3
2
ϕ(R , θ, ϕ)sin θd θd ϕ
⎧⎪∆G =-δ(x -x 0, y -y 0, z -z 0),(z
>0)
⎨
⎪⎩G z =0=0G (M , M 0) =u 1+u 21=4π
⎡⎡11⎤1-⎢⎥==
4π⎢⎣r MM 0r MM 1⎥⎦⎤
z 0
∂G ∂G 1⎡z -z 0z +z 0⎤1
=-=-3⎢3⎥=-∂n ∂z 4π⎢4π⎣r MM 0r MM 1⎥⎦
所以上半空间泊松方程狄氏问题的解为：
⎡∂G (M , M 0) ⎤u (M 0) = dS -⎰⎰⎰G (M , M 0) fdV ⎰⎰⎢-ϕ⎥∂n ⎦S ⎣V 1=2π
⎰⎰
. -∞
. +∞. +∞
ϕ(x , y )z 0
⎡(x -x 0)2+(y -y 0)2+z 02⎤⎣⎦
3
2
. -∞
dxdy -⎰⎰⎰f (x , y , z ) G (M , M 0) dxdydz
V
上半空间拉氏方程狄氏问题的解为：
u (x 0, y 0, z 0)=
12π
⎰⎰
. -∞
. +∞. +∞
ϕ(x , y )z 0
⎡(x -x 0)2+(y -y 0)2+z 02⎤⎣⎦
3
2
. -∞
dxdy
3．上半平面狄氏问题的Green 函数
G (M , M 0) =∂G ∂G
=- ∂n ∂
y ∂G ∂n
L
1111
Ln -Ln
2πr MM 02πr MM 1
=-
1∂[-2π∂y y =0
=-
y 0
2
π(x -x 0) 2+y 01
上半平面上泊松方程狄氏解
y 0∂G 1+∞
u (M 0) =- ϕ-Gf (x , y ) d σ=ϕ(x ) -⎰⎰Gf (x , y ) d σ 22⎰⎰⎰⎰-∞∂n π(x -x ) +y 00L D D
上半平面上拉氏方程狄氏解
u (M 0) =
1
π
⎰
+∞
-∞
ϕ(x )
y 0
2
(x -x 0) 2+y 0
4．圆域上泊松与拉氏方程狄氏解的GREEN 函数
⎧r MM 1111111R ⎪∆G =-δ(M , M 0) 222
M , M ∈D (x +y ≤R ) G (M , M ) =ln -ln =ln -ln ⎨00
G =02πr M 0M 2πr MM 12πr M 0M 2πr 0⎪⎩L
圆域上泊松与拉氏方程狄氏解
u (M 0) =- ⎰ϕ(θ)
L
∂G
-⎰⎰Gf (x , y ) d σ∂n D
2
2
= ⎰ϕ(θ)
L
R -r 0
-⎰⎰Gf (x , y ) d σ
2πR R 2-2Rr 0cos γ+r 02
D 1
5．第一象限上狄氏问题的Green 函数
G (M , M 0) =
11111111ln -ln -ln +ln 2πr MM 02πr MM 12πr MM 22πr MM 3
2222
⎡⎤⎡⎤(x +x ) +(y -y ) (x -x ) +(y +y ) 10000⎣⎦⎣⎦=ln 2222
4π⎡⎤⎡⎤(x -x ) +(y -y ) (x +x ) +(y +y ) 0000⎣⎦⎣⎦
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 三种典型方程的基本解问题 1． 泊松方程的基本解
方程∆u =-δ(x , y , z ) 的解称为泊松方程∆u =-f (x , y , z ) 的基本解。 三维空间泊松方程的基本解U =
14πr
, r ≠0
平面泊松方程基本解为：U =
11
ln , r ≠0 2πr
特解应该为基本解与函数f 的卷积 2．热传导方程柯西问题基本解
22
⎧⎧⎪u t =a u xx ,(x ∈R , t >0) ⎪u t =a u xx ,(x ∈R , t >0)
定解问题：⎨的解，称为⎨定解问题的基本解。
u =δ(x ) u =ϕ(x ) ⎪⎪⎩t =0⎩t =0
-
x 2
2定解为基本解与初始函数ϕ(x ) 的卷积 3．热传导方程混合问题基本解
⎧∂u 2
=a u xx +δ(x -x 0) δ(t -t 0) ⎪∂t ⎧u t =a 2u xx +f (x , t ),(00) ⎪⎪
定解问题⎨u (0,t ) =u (l , t ) =0的解称为⎨u (0,t ) =0, u (l , t ) =0定解问题的基本解
⎪u (x ,0) =0⎪u =0
⎩=0⎪
⎩
2∞-
U (x , t ; x 0, t 0) =∑e
l n =1
n 2π2a 2L (t -t 0)
sin
n πx 0n πx
sin l l
L
定解与基本解的关系为u (x , t ) =4．波动方程柯西问题基本解
⎰⎰
t
00
U (x , t ; x 0, t 0) f (x 0, t 0) dx 0dt 0
⎧∂2u 2
⎪2=a u xx +δ(x -x 0) δ(t -t 0),(-∞0)
定解问题⎨∂t 的解
⎪u (x ,0) =0, u (x ,0) =0
t ⎩⎧∂2u 2
⎪2=a u xx +f (x , t ),(-∞0) 称为⎨∂t 定解问题的基本解
⎪u (x ,0) =0, u (x ,0) =0
t ⎩
2+∞1n πa n πa n πx
基本解为：U (x , t ; x 0, t 0) = sin (t -t )sin x sin ∑00
πa n =1n l l l
定解与基本解的关系为：u (x , t ) =
⎰⎰
t L
00
U (x , t ; x 0, t 0) f (x 0, t 0) dx 0dt 0
贝塞尔函数
222⎧⎪ρP ''(ρ) +ρP '(ρ) +(λρ-n ) P (ρ) =0222
》 r F ''(r ) +rF '(r ) +(r -n ) F (r ) =
0 ⎨
⎪⎩P (R ) =0, P (0)
2
dy 2d y 22
x +x +(x -n ) y =0 》 r =&F (r ) =P 2dx dx x n +2m
y 1(x ) =∑(-1) n +2m ,(n ≥0)
2m ! Γ(n +m +1) m =0
∞
m
x n +2m
正、负n 阶第一类贝塞尔函数 J n (x ) =∑(-1) n +2m
2m ! Γ(n +m +1) m =0
∞
m
Γ(r)=⎰
x r -1e -x dx (r >0)
∞21
Γ() =⎰e -y dy =02∞
Γ(n +1)=n Γ(n )
Γ(n +1)=n !
Y n (x ) =Lim
α→n
J α(x )cos απ-J -α(x )
第二类Bessel 函数
sin απ
Bessel 函数的母函数
G (x , z ) =e
x 1(z -) 2z
=
n =-∞
∑J
∞
n
(x ) z n
当x 为实数时可得
e
ix cos θ
=J 0(x ) +2∑i n J n (x )cos n θ
n =1
∞
∞
cos(x cos θ) =J 0(x ) +2∑(-1) m J 2m (x )cos 2m θ
m =1
Bessel 函数的积分表达式 J n (x ) =
1e
d ζ n +1⎰. C 2πi ζ
x 1
(ζ-) 2ζ
当n 为整数时：
1
J n (x ) =
2π
⎰πcos(x sin θ-n θ) d θ,(n =0, ±1, ±2, )
. -
. π
贝塞尔函数的递推公式
'=x n J (x ) n
⎡⎤1、x J (x ) n n -1⎣⎦'=-x -n J (x ) -n ⎡⎤2、x J (x ) n n +1⎣⎦
3、J n -1(x ) +J n +1(x ) =
2
nJ n (x ) x
'(x ) 4、J n -1(x ) -J n +1(x ) =2J n
'(x ) J -1(x ) =J 0
n 阶整数阶贝塞尔函数有：J -n (x ) =(-1) n J n (x ) =
cos n πJ n (x )
J 1(x ) =
2 x
J 1(x ) =c o s x -2
⎫⎫⎪r ⎪⎬⎭⎪⎭贝塞尔函数的正交性 (n ) ⎧⎛μm ⎪贝塞尔函数系 ⎨J n ⎪⎩⎝R +∞
1
⎰R
0(n ) ⎛μm rJ n ⎝R ⎫⎛μk (n ) r ⎪⋅J n ⎭⎝R ⎧0,(m ≠k ) ⎫⎪r ⎪dr =⎨122 122(n ) (n ) R J (μ) =R J (μ),(m =k ) ⎭n -1m n +1m ⎪⎩22
(n ) ⎛μm ⎫r ⎪dr 称为贝塞尔函数J n ⎝R ⎭定义：定积分：⎰R
0(n ) ⎛μm rJ n ⎝R 2⎫r ⎪的模。
⎭
2、贝塞尔级数展开定理
定理：设f (r ), f '(r ) 在区间[0,R]上至多有有限个跳跃间断点，则f(x)在(0,R)连续点处的贝塞尔级数收敛与该点的函数值，在间断点处收敛于该点左右极限的平均值
(n ) ⎛μm f (r ) =∑A m J n
m =1⎝R +∞⎫1r ⎪ 其中 A m =2R (n ) ⎭J n +12μm 2()⎰R 0(n ) ⎛μm rf (r ) J n ⎝R ⎫r ⎪dr ⎭
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
勒让德方程
⎧u xx +u yy +u zz =0, (x 2+y 2+z 2
⎧1∂⎛2∂u ⎫1∂⎛∂u ⎫1∂2u =0⎪2 r ⎪+2 sin θ⎪+∂θ⎭r 2sin 2θ∂ϕ2在球坐标系下⎨r ∂r ⎝∂r ⎭r sin θ∂θ⎝
⎪u =f (θ, ϕ),(0≤r
d 2Θd Θ⎡m 2⎤勒让德方程 +cot θ+⎢n (n +1) -2⎥Θ=0 2d θd θ⎣sin θ⎦
d 2y dy +n (n +1) y =0 令x =cos θ，Θ(θ)=y 取m=0时得 (1-x ) 2-2x dx dx 2
勒让德多项式
当n 为正偶数时y 1=
m =0∑(-1) m
∑(-1) m n -12n 2(2n -2m )! x n -2m n 2m !(n -m )!(n -2m )! (2n -2m )! n -2m x n 2m !(n -m )!(n -2m )! 当n 为正奇数时y 2=
m =0
n 次第一类勒让德多项式 P n (x ) =
m =0∑(-1) m M (2n -2m )! x n -2m n 2m !(n -m )!(n -2m )!
⎢n ⎥M =⎢⎥ ⎣2⎦
P 0(x ) =1
P 1(x ) =x
P 2(x ) =1(3x 2-1) 2
1P 3(x ) =(5x 3-3x ) 21P 4(x ) =(35x 4-30x 2+3) 81P 5(x ) =(63x 5-70x 3+15x ) 8P n (1)=1 P n (-1) =(-1) n
1d n
2n (x -1) 勒让德多项式的罗得利克公式 P n (x ) =n n 2n ! dx
n ! (ξ2-1) n
勒让德多项式的积分表达式 P d ξ n (z ) =2πi ⎰C 2n (ξ-z ) n +1
勒让德多项式的母函数
G (x , z ) ==∑P n (x ) z n , z
n =0+∞
勒让德多项式的递推公式(重点) （n=1,2,3….. ）
1,(2n +1) xP n (x ) -nP n -1(x ) =(n +1) P n +1(x )
2, P n '-1(x ) =xP n '(x ) -nP n (x )
3, P n '(x ) =xP n '-1(x ) +nP n -1(x )
P n (1)=1 P n (-1) =(-n 1 )
⎧n 为奇数P n (-x ) =(-1) n P n (x ) ⎨⎩n 为偶数
勒让德多项式正交性定理 P n (x ) 奇函数P n (x ) 偶函数
⎧0, (m ≠n , m , n =0,1,2... )⎪ P (x ) P (x ) dx =⎨2⎰-1m n ,(m =n , n =0,1,2....) ⎪⎩2n +11
勒让德多项式展开定理：若 f '(x ) ∈C [-1,1]且：f ‘’(x)在[-1,1]上分段连续，则在[-1,1]上可以展开为绝对且一致收敛的级数：
f (x ) =∑C n P n (x ) 其中 C n =
n =0+∞2n +11f (x ) P n (x ) dx ⎰-12
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
牛顿二项式展开式
(1+x ) α=1+αx +α(α-1)
2! x 2+ +α(α-1) (α-n +1)
n !
x n + ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
泰勒级数
e x =1+x +121x + +x n + x ∈(-∞, +∞) 2! n !
1315x 2n +1
n ∴sin x =x -x +x - +(-1) + x ∈(-∞, +∞) 3! 5! (2n +1)!
2n 1214n x ∴cos x =1-x +x - +(-1) + 2! 4! (2n )!
1=1-x +x 2-x 3+ +(-1) n x n + (-1,1) 1+x
1=1+x +x 2+x 3+
1-x
=1+1121⋅33(2n -3)!! n x -x +x + +(-1) n x +
[-1,1] 22⋅42⋅4⋅6(2n )!! 11⋅321⋅3⋅53(2n -1)!! n =1-x +x -x + +(-1) n x +
[-1,1] 22⋅42⋅4⋅6(2n )!! n 1213x 21⋅341⋅3⋅56n -1x + =1++x +x + ln(1+x ) =x -x +x - +(-1) 23n 22⋅42⋅4⋅62n +1dx 1315n x arctan x =⎰=x -x +x - +(-1) + 01+x 2352n +1x
π111=1-+- +(-1) n +
, x =1. 4352n +1
x arcsin x =⎰0=x +11311⋅3511⋅3⋅57x +x +x + 3252⋅472⋅4⋅6
n dx 1213n -1x ln(1+x ) =⎰=x -x +x - +(-1) + 01+x 23n x