立体几何专题三：垂直证明题型及方法
基础知识梳理
一个关系：线线垂直 三类证法
(1)证明线线垂直的方法
①定义：两条直线所成的角为90°； ②平面几何中证明线线垂直的方法； ③线面垂直的性质：a ⊥α，b ⊂α⇒a ⊥b ； ④线面垂直的性质：a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b . (2)证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α； m 、n ⊂α，m ∩n ＝A ⎫
⎬⇒l ⊥α； ②判定定理1：
l ⊥m ，l ⊥n ⎭③判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α； ④面面平行的性质：α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；
⑤面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β. (3)证明面面垂直的方法
①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； ②判定定理：a ⊂α，a ⊥β⇒α⊥β.
类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）
1. 共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直 （只需要同学们掌握以下几种模型）
（1）等腰（等边）三角形中的中线 （2）菱形（正方形）的对角线互相垂直 （3）勾股定理中的三角形
（4） 利用相似或全等证明直角。
2. 异面垂直 （利用线面垂直来证明，高考中的意图）
例1. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面A B C D 是矩形，已知
线面垂直
面面垂直；
AB =3, AD =2, PA =2, PD =22, ∠PAB =60 ．
1
证明：AD ⊥PB ；
变式1：如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将△AED, △DCF 分别沿DE , DF 折起，使A , C 两点
A '
重合于A ' . 求证:A ' D ⊥EF ；
E
B 变式2：如图，在三棱锥P -ABC 中，⊿PAB 是等边三角形，∠PAC =∠PBC =90 º证明：AB ⊥PC
类型二：线面垂直证明
方法○1 利用线面垂直的判断定理
例2. 在正方体ABCD -A 1BC 11D 1中，O 为底面ABCD 的中心，E 为CC 1, 求证：
AO ⊥平面BDE 1
变式1：如图：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， AC =BC =AA 1=2，∠ACB =90︒. E 为
BB 1的中点，D 点在AB 上且DE =3 . 求证：CD ⊥平面A 1ABB 1；
变式2 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P -ABCD 中，
AD ∥BC ，∠ABC =90°，PA ⊥平面ABCD ．PA =3，AD =2，AB =BC =6
2 利用面面垂直的性质定理 ○
方法点拨：此种情形，条件中含有面面垂直。
例3. 在四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 是正方形，侧面PAB 是等腰三角形，且
面PAB ⊥底面ABCD , 求证：BC ⊥面PAB
类型3：面面垂直的证明。(本质上是证明线面垂直)
例4. 如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，
分别是棱CC ′与BB ′上的点，且EC=BC=2FB =2． 求证：平面AEF ⊥平面AA ′C ′C ；
小题训练
1. 设M 表示平面，a 、b 表示直线，给出下列四个命题：
①
a ⊥M ⎫a //b ⎫a ⊥M ⎫a //M ⎫
⎬⇒b ⊥M ②⎬⇒a //b ③⎬⇒b ∥M ④⎬⇒b ⊥M .
a ⊥b ⎭a ⊥M ⎭b ⊥M ⎭a ⊥b ⎭
其中正确的命题是 ( )
A. ①② B.①②③ C.②③④ D.①②④ 2. 下列命题中正确的是 ( )
A. 若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面 B. 若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面 C. 若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线 D. 若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这
3
个平面
3. 如图所示，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点. 现在沿DE 、DF 及EF 把△ADE 、△CDF 和△BEF 折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为P . 那么，在四面体P —DEF 中，必有 ( )
A. DP ⊥平面PEF B. DM ⊥平面PEF C. PM ⊥平面DEF D. PF ⊥平面DEF
第3题图
4. 设a 、b 是异面直线，下列命题正确的是 ( )
A. 过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一条直线和a 、b 都相交 B. 过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面和a 、b 都垂直 C. 过a 一定可以作一个平面与b 垂直 D. 过a 一定可以作一个平面与b 平行
5. 如果直线l , m 与平面α, β, γ满足:l =β∩γ, l ∥α, m α和m ⊥γ, 那么必有
A. α⊥γ且l ⊥m B. α⊥γ且m ∥β C.m ∥β且l ⊥m D. α∥β且α⊥γ 6. 有三个命题：
①垂直于同一个平面的两条直线平行；
②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；
③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直 其中正确命题的个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
7. d 是异面直线a 、b 的公垂线，平面α、β满足a ⊥α，b ⊥β，则下面正确的结论是 ( )
A. α与β必相交且交线m ∥d 或m 与d 重合 B. α与β必相交且交线m ∥d 但m 与d 不重合 C. α与β必相交且交线m 与d 一定不平行 D. α与β不一定相交
8.. 设l 、m 为直线，α为平面，且l ⊥α，给出下列命题
① 若m ⊥α，则m ∥l ；②若m ⊥l ，则m ∥α；③若m ∥α，则m ⊥l ；④若m ∥l ，则m ⊥α， 其中真命题的序号是 ( ) ．．．
A. ①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④
4
立体几何专题三：垂直证明题型及方法
基础知识梳理
一个关系：线线垂直 三类证法
(1)证明线线垂直的方法
①定义：两条直线所成的角为90°； ②平面几何中证明线线垂直的方法； ③线面垂直的性质：a ⊥α，b ⊂α⇒a ⊥b ； ④线面垂直的性质：a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b . (2)证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α； m 、n ⊂α，m ∩n ＝A ⎫
⎬⇒l ⊥α； ②判定定理1：
l ⊥m ，l ⊥n ⎭③判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α； ④面面平行的性质：α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；
⑤面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β. (3)证明面面垂直的方法
①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； ②判定定理：a ⊂α，a ⊥β⇒α⊥β.
类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）
1. 共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直 （只需要同学们掌握以下几种模型）
（1）等腰（等边）三角形中的中线 （2）菱形（正方形）的对角线互相垂直 （3）勾股定理中的三角形
（4） 利用相似或全等证明直角。
2. 异面垂直 （利用线面垂直来证明，高考中的意图）
例1. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面A B C D 是矩形，已知
线面垂直
面面垂直；
AB =3, AD =2, PA =2, PD =22, ∠PAB =60 ．
1
证明：AD ⊥PB ；
变式1：如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将△AED, △DCF 分别沿DE , DF 折起，使A , C 两点
A '
重合于A ' . 求证:A ' D ⊥EF ；
E
B 变式2：如图，在三棱锥P -ABC 中，⊿PAB 是等边三角形，∠PAC =∠PBC =90 º证明：AB ⊥PC
类型二：线面垂直证明
方法○1 利用线面垂直的判断定理
例2. 在正方体ABCD -A 1BC 11D 1中，O 为底面ABCD 的中心，E 为CC 1, 求证：
AO ⊥平面BDE 1
变式1：如图：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， AC =BC =AA 1=2，∠ACB =90︒. E 为
BB 1的中点，D 点在AB 上且DE =3 . 求证：CD ⊥平面A 1ABB 1；
变式2 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P -ABCD 中，
AD ∥BC ，∠ABC =90°，PA ⊥平面ABCD ．PA =3，AD =2，AB =BC =6
2 利用面面垂直的性质定理 ○
方法点拨：此种情形，条件中含有面面垂直。
例3. 在四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 是正方形，侧面PAB 是等腰三角形，且
面PAB ⊥底面ABCD , 求证：BC ⊥面PAB
类型3：面面垂直的证明。(本质上是证明线面垂直)
例4. 如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，
分别是棱CC ′与BB ′上的点，且EC=BC=2FB =2． 求证：平面AEF ⊥平面AA ′C ′C ；
小题训练
1. 设M 表示平面，a 、b 表示直线，给出下列四个命题：
①
a ⊥M ⎫a //b ⎫a ⊥M ⎫a //M ⎫
⎬⇒b ⊥M ②⎬⇒a //b ③⎬⇒b ∥M ④⎬⇒b ⊥M .
a ⊥b ⎭a ⊥M ⎭b ⊥M ⎭a ⊥b ⎭
其中正确的命题是 ( )
A. ①② B.①②③ C.②③④ D.①②④ 2. 下列命题中正确的是 ( )
A. 若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面 B. 若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面 C. 若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线 D. 若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这
3
个平面
3. 如图所示，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点. 现在沿DE 、DF 及EF 把△ADE 、△CDF 和△BEF 折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为P . 那么，在四面体P —DEF 中，必有 ( )
A. DP ⊥平面PEF B. DM ⊥平面PEF C. PM ⊥平面DEF D. PF ⊥平面DEF
第3题图
4. 设a 、b 是异面直线，下列命题正确的是 ( )
A. 过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一条直线和a 、b 都相交 B. 过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面和a 、b 都垂直 C. 过a 一定可以作一个平面与b 垂直 D. 过a 一定可以作一个平面与b 平行
5. 如果直线l , m 与平面α, β, γ满足:l =β∩γ, l ∥α, m α和m ⊥γ, 那么必有
A. α⊥γ且l ⊥m B. α⊥γ且m ∥β C.m ∥β且l ⊥m D. α∥β且α⊥γ 6. 有三个命题：
①垂直于同一个平面的两条直线平行；
②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；
③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直 其中正确命题的个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
7. d 是异面直线a 、b 的公垂线，平面α、β满足a ⊥α，b ⊥β，则下面正确的结论是 ( )
A. α与β必相交且交线m ∥d 或m 与d 重合 B. α与β必相交且交线m ∥d 但m 与d 不重合 C. α与β必相交且交线m 与d 一定不平行 D. α与β不一定相交
8.. 设l 、m 为直线，α为平面，且l ⊥α，给出下列命题
① 若m ⊥α，则m ∥l ；②若m ⊥l ，则m ∥α；③若m ∥α，则m ⊥l ；④若m ∥l ，则m ⊥α， 其中真命题的序号是 ( ) ．．．
A. ①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④
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