第二课时 空间中直线与直线之间的位置关系
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）了解空间中两条直线的位置关系；
（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；
（3）理解并掌握公理4；
（4）理解并掌握等角公理；
（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
2．过程与方法
让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.
3．情感、态度与价值
让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.
（二）教学重点、难点
重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理.
难点：异面直线所成角的计算.
（三）教学方法
师生的共同讨论与讲授法相结合；
教学过程 教学内容 师生互动 设计意图
新课导入 问题：在同一平面内，两条直线有几种位置关系？空间的两条直线还有没有其他位置关系？ 师投影问题，学生讨论回答
生1：在同一平面内，两条直线的位置关系有：平行与相交.
生2：空间的两条直线除平行与相交外还有其他位置关系，如教室里的电灯线与墙角线„„ 师（肯定）：这种位置关系我们把它称为异面直线，这节课我们要讨论的是空间中直线与直线的位置关系. 以旧导新培养学生知识的系统性和学生学习的积极性.
探索新知 1．空间的两条直线位置关系：
共面直线
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.
师：根据刚才的分析，空间的两条直线的位置关系有以下三种：①相交直线—有且仅有一个公共点
②平行直线—在同一平面内，没有公共点.
③异面直线—不同在任何一个平面内，没有公共点.
随堂练习：
如图所示P50-16是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB ，CD ，EF ，GH 这四条线段所在直线是异面直线的有 对.
答案：4对，分别是HG 与EF ，AB 与CD ，AB 与EF ，AB 与HG . 现在大家思考一下这三种位置关系可不可以进行分类
生：按两条直线是否共面可以将三种位置关系分成两类：一类是平行直线和相交直线，它们是共面直线. 一类是异面直线，它们不同在任何一个平面内.
师（肯定）所以异面直线的特征可说成“既不平行，也不相交”那么“不同在任何一个平面内”是否可改为“不在一个平面内呢”
学生讨论发现不能去掉“任何”
师：“不同在任何一个平面内”可以理解为“不存在一个平面，使两异面直线在该平面内” 培养学生分类的能力，加深学生对空间的一条直线位置关系的理解
（1）公理4，平行于同一条直线的两条直线互相平行
（2）定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
例2 如图所示，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点. 求证：四边形EFGH 是平行四边形.
证明：连接BD ，
因为EH 是△ABD 的中位线，
所以EH ∥BD ，且 .
同理FG ∥BD ，且 .
因为EH ∥FG ，且EH = FG，
所以 四边形EFGH 为平行四边形. 师：现在请大家看一看我们的教室，找一下有无不在同一平面内的三条直线两两平行的.
师：我们把上述规律作为本章的第4个公理.
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
师：现在请大家思考公理4是否可以推广，它有什么作用.
生：推广空间平行于一条直线的所有直线都互相平行. 它可以用来证明两条直线平行. 师（肯定）下面我们来看一个例子
观察图，在长方体ABCD – A ′B ′C ′D ′中，∠ADC 与∠A ′D ′C ′，∠ADC 与∠A ′B ′C ′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？
生：从图中可以看出，
∠ADC = ∠A ′D ′C ′，
∠ADC + ∠A ′B ′C ′=180°
师：一般地，有以下定理：„„这个定理可以用公理4证明，是公理4的一个推广，我们把它称为等角定理.
师打出投影片让学生尝试作图，在作图的基础上猜想平行的直线并试图证明.
师：在图中EH 、FG 有怎样的特点？它们有直接的联系吗？引导学生找出证明思路.
培养学生观察能力语言表达能力和探索创新的意识.
通过分析和引导，培养学生解题能力.
探索新知 3．异面直线所成的角
（1）异面直线所成角的概念.
已知两条异面直线a 、b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把a ′与b ′所成的锐角(或直角) 叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角).
（2）异面直线互相垂直
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直. 两条互相垂直的异面直线a 、b ，记作a ⊥b.
例3 如图，已知正方体ABCD – A ′B ′C ′D ′.
（1）哪些棱所在直线与直线BA ′是异面直线？
（2）直线BA ′和CC ′的夹角是多少？
（3）哪此棱所在的直线与直线AA ′垂直？
解：（1）由异面直线的定义可知，棱AD 、DC 、CC ′、DD ′、D ′C ′、B ′C ′所在直线分别与直线BA ′是异面直线.
（2）由BB ′∥CC ′可知，∠B ′BA ′为异面直线B ′A 与CC ′的夹角，∠B ′BA ′= 45°.
（3）直线AB 、BC 、CD 、DA 、A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′A ′分别与直线AA ′垂直. 师讲述异面直线所成的角的定义，然后学生共同对定义进行分析，得出如下结论.
①两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O 的位置选取无关；
②两条异面直线所成的角
；
③因为点O 可以任意选取，这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便，具体运用时，为了简便，我们可以把点O 选在两条异面直线的某一条上；
④找出两条异面直线所成的角，要作平行移动（作平行线），把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；
⑤当两条异面直线所成的角是直线时，我们就说这两条异面直线互相垂直，异面直线a 和b 互相垂直，也记作a ⊥b ；
⑥以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直，也有异面垂直这样两种情形.
然后师生共同分析例题 加深对平面直线所成角的理解，培养空间想象能图力和转化化归以能力.
随堂练习 1．填空题：
（1）如图，AA ′是长方体的一条棱，长方体中与AA ′平行的棱共有 条.
（2）如果OA ∥O ′A ′，OB ∥O ′B ′，那么∠AOB 和∠A ′O ′B ′ . 答案：（1）3条. 分别是BB ′，CC ′，DD ′；（2）相等或互补.
2．如图，已知长方体ABCD – A ′B ′C ′D ′中，AB = ，AD = ，AA ′ =2.
（1）BC 和A ′C ′所成的角是多少度？
（2）AA ′ 和BC ′ 所成的角是多少度？ 学生独立完成
答案：.
2．（1）因为BC ∥B ′C ′，所以∠B ′C ′A ′是异面直线A ′C ′与BC 所成的角. 在Rt △A ′B ′C ′中，A ′B ′= ，B ′C ′= ，所以∠B ′C ′A ′ = 45°.
（2）因为AA ′∥BB ′，所以∠B ′BC ′是异面直线AA ′ 和BB ′ 所成的角. 在Rt △BB ′C ′中，B ′C ′ = AD = ，BB ′= AA′=2，
所以BC ′= 4，∠B ′BC ′= 60°.
因此，异面直线AA ′与BC ′所成的角为60°.
归纳总结 1．空间中两条直线的位置关系.
2．平行公理及等角定理.
3．异面直线所成的角. 学生归纳，教师点评并完善 培养学生归纳总结能力，加深学生对知识的掌握，完善学生知识结构.
作业 2.1 第二课时 习案 学生独立完成 固化知识
提升能力
附加例题
例1 “a 、b 为异面直线”是指：
①a ∩b = ，且a ∥b ；
②a 面 ，b 面 ，且a ∩b = ；
③a 面 ，b 面 ，且 ∩ = ；
④a 面 ，b 面 ；
⑤不存在面 ，使a 面 ，b 面 成立.
上述结论中，正确的是（ ）
A ．①④⑤正确 B ．①③④正确
C ．仅②④正确 D ．仅①⑤正确
【解析】 ①等价于a 和b 既不相交，又不平行，故a 、b 是异面直线；②等价于a 、b 不同在同一平面内，故a 、b 是异面直线. 故选D
例2 如果异面直线a 与b 所成角为50°，P 为空间一定点，则过点P 与a 、b 所成的角都是30°的直线有且仅有 条.
【解析】如图所示，过定点P 作a 、b 的平行线
a ′、b ′，因a 、b 成50°角，∴a ′与b ′也成50°角. 过P 作∠A ′PB ′的平分线，取较小的角有
∠A ′PO =∠B ′PO = 25°.
∵∠APA ′＞A ′PO ，
∴过P 作直线l 与a ′、b ′成30°角的直线有2条.
例3 空间四边形ABCD ，已知AD =1，BD = ，且AD ⊥BC ，对角线BD = ，AC = ，求AC 和BD 所成的角。
【解析】取AB 、AD 、DC 、BD 中点为E 、F 、G 、M ，连EF 、FG 、GM 、ME 、EG. 则 MG
EM
∵AD ⊥BC ∴EM ⊥MG
在R t△EMG 中，有
在RFG 中，∵EF =
∴EF 2 +FG 2 = EG 2
∴EF ⊥FG ，即AC ⊥BD
∴AC 和BD 所成角为90°.
【点评】根据异面直线成角的定义，异面直线所成角的求法通常采用平移直线，转化为相交直线所成角，注意角的范围是 .
文章来 源
莲山课件 原文地址：http://www.5ykj.com/Health/gaoyi/81012.htm
第二课时 空间中直线与直线之间的位置关系
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）了解空间中两条直线的位置关系；
（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；
（3）理解并掌握公理4；
（4）理解并掌握等角公理；
（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
2．过程与方法
让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.
3．情感、态度与价值
让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.
（二）教学重点、难点
重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理.
难点：异面直线所成角的计算.
（三）教学方法
师生的共同讨论与讲授法相结合；
教学过程 教学内容 师生互动 设计意图
新课导入 问题：在同一平面内，两条直线有几种位置关系？空间的两条直线还有没有其他位置关系？ 师投影问题，学生讨论回答
生1：在同一平面内，两条直线的位置关系有：平行与相交.
生2：空间的两条直线除平行与相交外还有其他位置关系，如教室里的电灯线与墙角线„„ 师（肯定）：这种位置关系我们把它称为异面直线，这节课我们要讨论的是空间中直线与直线的位置关系. 以旧导新培养学生知识的系统性和学生学习的积极性.
探索新知 1．空间的两条直线位置关系：
共面直线
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.
师：根据刚才的分析，空间的两条直线的位置关系有以下三种：①相交直线—有且仅有一个公共点
②平行直线—在同一平面内，没有公共点.
③异面直线—不同在任何一个平面内，没有公共点.
随堂练习：
如图所示P50-16是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB ，CD ，EF ，GH 这四条线段所在直线是异面直线的有 对.
答案：4对，分别是HG 与EF ，AB 与CD ，AB 与EF ，AB 与HG . 现在大家思考一下这三种位置关系可不可以进行分类
生：按两条直线是否共面可以将三种位置关系分成两类：一类是平行直线和相交直线，它们是共面直线. 一类是异面直线，它们不同在任何一个平面内.
师（肯定）所以异面直线的特征可说成“既不平行，也不相交”那么“不同在任何一个平面内”是否可改为“不在一个平面内呢”
学生讨论发现不能去掉“任何”
师：“不同在任何一个平面内”可以理解为“不存在一个平面，使两异面直线在该平面内” 培养学生分类的能力，加深学生对空间的一条直线位置关系的理解
（1）公理4，平行于同一条直线的两条直线互相平行
（2）定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
例2 如图所示，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点. 求证：四边形EFGH 是平行四边形.
证明：连接BD ，
因为EH 是△ABD 的中位线，
所以EH ∥BD ，且 .
同理FG ∥BD ，且 .
因为EH ∥FG ，且EH = FG，
所以 四边形EFGH 为平行四边形. 师：现在请大家看一看我们的教室，找一下有无不在同一平面内的三条直线两两平行的.
师：我们把上述规律作为本章的第4个公理.
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
师：现在请大家思考公理4是否可以推广，它有什么作用.
生：推广空间平行于一条直线的所有直线都互相平行. 它可以用来证明两条直线平行. 师（肯定）下面我们来看一个例子
观察图，在长方体ABCD – A ′B ′C ′D ′中，∠ADC 与∠A ′D ′C ′，∠ADC 与∠A ′B ′C ′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？
生：从图中可以看出，
∠ADC = ∠A ′D ′C ′，
∠ADC + ∠A ′B ′C ′=180°
师：一般地，有以下定理：„„这个定理可以用公理4证明，是公理4的一个推广，我们把它称为等角定理.
师打出投影片让学生尝试作图，在作图的基础上猜想平行的直线并试图证明.
师：在图中EH 、FG 有怎样的特点？它们有直接的联系吗？引导学生找出证明思路.
培养学生观察能力语言表达能力和探索创新的意识.
通过分析和引导，培养学生解题能力.
探索新知 3．异面直线所成的角
（1）异面直线所成角的概念.
已知两条异面直线a 、b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把a ′与b ′所成的锐角(或直角) 叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角).
（2）异面直线互相垂直
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直. 两条互相垂直的异面直线a 、b ，记作a ⊥b.
例3 如图，已知正方体ABCD – A ′B ′C ′D ′.
（1）哪些棱所在直线与直线BA ′是异面直线？
（2）直线BA ′和CC ′的夹角是多少？
（3）哪此棱所在的直线与直线AA ′垂直？
解：（1）由异面直线的定义可知，棱AD 、DC 、CC ′、DD ′、D ′C ′、B ′C ′所在直线分别与直线BA ′是异面直线.
（2）由BB ′∥CC ′可知，∠B ′BA ′为异面直线B ′A 与CC ′的夹角，∠B ′BA ′= 45°.
（3）直线AB 、BC 、CD 、DA 、A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′A ′分别与直线AA ′垂直. 师讲述异面直线所成的角的定义，然后学生共同对定义进行分析，得出如下结论.
①两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O 的位置选取无关；
②两条异面直线所成的角
；
③因为点O 可以任意选取，这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便，具体运用时，为了简便，我们可以把点O 选在两条异面直线的某一条上；
④找出两条异面直线所成的角，要作平行移动（作平行线），把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；
⑤当两条异面直线所成的角是直线时，我们就说这两条异面直线互相垂直，异面直线a 和b 互相垂直，也记作a ⊥b ；
⑥以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直，也有异面垂直这样两种情形.
然后师生共同分析例题 加深对平面直线所成角的理解，培养空间想象能图力和转化化归以能力.
随堂练习 1．填空题：
（1）如图，AA ′是长方体的一条棱，长方体中与AA ′平行的棱共有 条.
（2）如果OA ∥O ′A ′，OB ∥O ′B ′，那么∠AOB 和∠A ′O ′B ′ . 答案：（1）3条. 分别是BB ′，CC ′，DD ′；（2）相等或互补.
2．如图，已知长方体ABCD – A ′B ′C ′D ′中，AB = ，AD = ，AA ′ =2.
（1）BC 和A ′C ′所成的角是多少度？
（2）AA ′ 和BC ′ 所成的角是多少度？ 学生独立完成
答案：.
2．（1）因为BC ∥B ′C ′，所以∠B ′C ′A ′是异面直线A ′C ′与BC 所成的角. 在Rt △A ′B ′C ′中，A ′B ′= ，B ′C ′= ，所以∠B ′C ′A ′ = 45°.
（2）因为AA ′∥BB ′，所以∠B ′BC ′是异面直线AA ′ 和BB ′ 所成的角. 在Rt △BB ′C ′中，B ′C ′ = AD = ，BB ′= AA′=2，
所以BC ′= 4，∠B ′BC ′= 60°.
因此，异面直线AA ′与BC ′所成的角为60°.
归纳总结 1．空间中两条直线的位置关系.
2．平行公理及等角定理.
3．异面直线所成的角. 学生归纳，教师点评并完善 培养学生归纳总结能力，加深学生对知识的掌握，完善学生知识结构.
作业 2.1 第二课时 习案 学生独立完成 固化知识
提升能力
附加例题
例1 “a 、b 为异面直线”是指：
①a ∩b = ，且a ∥b ；
②a 面 ，b 面 ，且a ∩b = ；
③a 面 ，b 面 ，且 ∩ = ；
④a 面 ，b 面 ；
⑤不存在面 ，使a 面 ，b 面 成立.
上述结论中，正确的是（ ）
A ．①④⑤正确 B ．①③④正确
C ．仅②④正确 D ．仅①⑤正确
【解析】 ①等价于a 和b 既不相交，又不平行，故a 、b 是异面直线；②等价于a 、b 不同在同一平面内，故a 、b 是异面直线. 故选D
例2 如果异面直线a 与b 所成角为50°，P 为空间一定点，则过点P 与a 、b 所成的角都是30°的直线有且仅有 条.
【解析】如图所示，过定点P 作a 、b 的平行线
a ′、b ′，因a 、b 成50°角，∴a ′与b ′也成50°角. 过P 作∠A ′PB ′的平分线，取较小的角有
∠A ′PO =∠B ′PO = 25°.
∵∠APA ′＞A ′PO ，
∴过P 作直线l 与a ′、b ′成30°角的直线有2条.
例3 空间四边形ABCD ，已知AD =1，BD = ，且AD ⊥BC ，对角线BD = ，AC = ，求AC 和BD 所成的角。
【解析】取AB 、AD 、DC 、BD 中点为E 、F 、G 、M ，连EF 、FG 、GM 、ME 、EG. 则 MG
EM
∵AD ⊥BC ∴EM ⊥MG
在R t△EMG 中，有
在RFG 中，∵EF =
∴EF 2 +FG 2 = EG 2
∴EF ⊥FG ，即AC ⊥BD
∴AC 和BD 所成角为90°.
【点评】根据异面直线成角的定义，异面直线所成角的求法通常采用平移直线，转化为相交直线所成角，注意角的范围是 .
文章来 源
莲山课件 原文地址：http://www.5ykj.com/Health/gaoyi/81012.htm