第22卷第4期 沧州师范专科学校学报
No.4 Vol.22
2006年12月 Journal of Cangzhou Teachers’College Dec.2006
分块矩阵在证明矩阵秩的性质上的应用
刘 力
（沧州师专 数学系，河北 沧州 061001）
摘 要：分块矩阵有非常广泛的应用，特别利用分块矩阵证明矩阵秩的性质显得非常简洁，而且方法也比较
统一，有其独特的优越性。
关键词：分块矩阵；可逆矩阵；矩阵的秩
中图分类号：O154 文献标识码：A 文章编号：1008-4762(2006)04-0039-03
首先约定用E表示n阶单位矩阵，Es表示阶S单位矩阵。再给出基本而简单的事实，作为以下引理。
引理1 矩阵乘积的秩不大于每一个因子的秩，两个因子中有一个是可逆的，它们乘积的秩等于另一个因子的秩。
引理2 秩
又因为 秩⎢
⎡AB⎤⎡AB⎤
秩≥⎥⎢00⎥
0B⎣⎦⎣⎦
于是由引理1及3得 秩
⎡A0⎤
A+秩B≤秩⎢ ⎥
⎣CB⎦
⎡AB⎤⎡A0⎤
=秩⎥⎢0B⎥=秩A+秩B
0B⎣⎦⎣⎦⎡ABC⎤⎡0C⎤
=秩 ⎥⎢⎥
⎣B0⎦⎣B0⎦
⎡AB⎤⎡AB⎤
AB=秩≤⎢≤秩A+秩B []⎢⎥⎥
⎣00⎦⎣0B⎦
≤秩[AB]≤秩A+秩B 证毕。
A为s×n矩阵，则有， 秩(E−A′A)—
综上证明即得 秩(A+B)
引理3 秩⎢
性质2 设
引理4 秩⎢
秩(Es
−A′A)=n−s
引理5 秩(A+B)性质1 秩(A+B)
≤秩A+秩B
≤秩[AB]≤秩A+秩B。其中
证明 因为
⎡Es⎢A′⎣⎡Es⎣A′
A⎤⎡Es0⎤⎡Es−AA′A⎤⎢−A′E⎥=⎢0⎥ E⎥E⎦⎣⎦⎣⎦A⎤⎡Es−AA′A⎤=秩= ⎥⎢⎥E⎦E⎦⎣0
A,B均为m×n矩阵。
证明 因为
于是由引理1、3、4得
秩⎢
⎡AB⎤⎡E0⎤⎡A+B0⎤
⎢00⎥⎢E0⎥=⎢0⎥
0⎣⎦⎣⎦⎣⎦
于是由引理1
⎡A+B0⎤
得 秩(A+B)=秩⎢⎥≤秩
00⎣⎦
秩(Es
又因为
−AA′)+n （1）
⎡AB⎤
⎢00⎥=秩[AB] ⎣⎦
⎡Es0⎤⎡Es
⎢−A′E⎥⎢A′⎣⎦⎣A⎤⎡Es
=⎢⎥E⎦⎣0A⎤
⎥′E−AA⎦
* 收稿日期：2006-07-28
作者简介：刘 力（1960— ），女，河北深泽人，沧州师专数学系副教授。
·39·
同理可得 所以，秩
⎡Es秩⎢⎣A′
秩(E−
A⎤⎡Es
=秩⎢E⎥⎦⎣0A⎤
⎥=
E−A′A⎦
A≤秩B+m−s+t−n
A+s+t−m−n 证毕。
，即， 秩
B≥秩
性质5 已知，秩(AB)=秩B，试证对任意可右乘矩阵
A′A)+s （2）
C，有 秩(ABC)=秩(BC)
证明 由引理1得 ，秩
（1）、（2）式相减即得
秩(E−性质3 设得到的矩阵，则
秩
证明 不妨设矩阵为B，则
A′A)—秩(Es−A′A)=n−s 证毕。 A为m×n矩阵，As是从A中取s行
(ABC)≤秩(BC)，因为
⎡AB
⎢B⎣ABC⎤⎡EC⎤⎡AB0⎤
⎢0−E⎥=⎢BBC⎥ 0⎥⎦⎣⎦⎣⎦
于是由引理1、4得
As≥秩A+s−m
秩
(AB)
+秩
(BC)
≤
秩
As是A的前s行，而后m−s行构成的
⎡AB0⎤
⎢BBC⎥⎣⎦
=秩
⎡A⎤⎡A⎤⎡0⎤
A=⎢s⎥=⎢s⎥+⎢⎥
⎣B⎦⎣0⎦⎣B⎦
于是由引理5得
⎡AB⎢B⎣ABC⎤⎡0
=秩⎢0⎥⎦⎣BABC⎤
=秩(ABC)+秩B 0⎥⎦
从而有，秩
(ABC)≥秩(AB)+秩(BC)—秩B
B，代入上式得，秩(ABC)≥秩
又已知，秩(AB)=秩
⎡As⎤⎡0⎤
秩A≤秩⎢⎥+秩⎢⎥=秩As+m−s，证毕 。
B0⎣⎦⎣⎦
性质4 设A为m×n矩阵，B是则
秩B
(BC)
所以，秩
A的一个s×t矩阵，
(ABC)=秩(BC) 证毕。
A为n
阶矩阵，证明秩
≥秩A+s+t−m−n
证明 不妨设B位于A的左上角，且设
⎡BC⎤⎡B0⎤⎡0C⎤A=⎢⎥=⎢D0⎥+⎢0G⎥
DG⎣⎦⎣⎦⎣⎦
于是由引理5得
推论 设
An
=秩
An+1=秩
An+2=""
证明 因为
n
=秩
E
=秩
A0≥秩A≥秩A1≥秩
⎡B0⎤⎡0C⎤秩A≤秩⎢+秩⎢0G⎥= ⎥D0⎣⎦⎣⎦⎡B⎤⎡C⎤秩⎢⎥+秩⎢⎥ ⎣D⎦⎣G⎦
由性质3
秩⎢
又因为
秩⎢·40·
A2""≥秩An≥0,于是必有正整数k(0≤k≤n)使，
秩
Ak
=秩
Ak+1
，由性质5得，秩
An
=秩
An+1
=秩
An+2=""
性质
6 设
A,B,C,D
皆为
n
阶矩阵，
⎡B⎤
⎥≤秩B+m−s D⎣⎦
AC=CA,AD=CB,且A≠0,若
⎡C⎤
≤n−t ⎥⎣G⎦
⎡AB⎤
G=⎢⎥
⎣CD⎦
则有，n≤秩G
证明 因为
A≠0,所以秩G≥n，且A−1存在，又
综上得证。
利用分块矩阵证明矩阵秩的性质，一般采用两种方法，一种是用已知矩阵作为元素拼成高阶矩阵来证明，如性质1、2、5、6；另一种方法是将已知矩阵拆成低阶矩阵来证明，如性质3、4。这两种方法在证明矩阵秩的性质时都是很有效的，几乎所有的矩阵秩的性质，都可用分块矩阵来证明。
参考文献：
[1] 杨子胥. 用分块矩阵证明矩阵秩的一些性质[J].数学通报，
1985，（3）.
[2] 张禾瑞，郝炳新.高等代数(第四版)[M].人民教育出版社，
1995.
[3] 武汉大学数学系. 线性代数[M].高等教育出版社，1980.
[责任编辑：尤书才]
⎡E
⎢−CA−1⎣
所以
0⎤⎡AB⎤⎡AB⎤
=⎢⎥⎢−1⎥E⎥⎦⎣CD⎦⎣0D−CAB⎦
B⎡AB⎤⎡A⎤=⎢CD⎥⎢0D−CA−1B⎥
⎣⎦⎣⎦
0⎤⎡AB⎤⎡E
=⎢CD⎥⎢−CA−1E⎥
⎣⎦⎣⎦
=AD−CA−1B
又因为 从而
−1
−1
−1
D−CAB=D−ACB=D−AAB=D−D=0
G=0，因此，秩G
洒自如，创制出属于自己的个性化短信了。
(上接第33页)
所有创造性修辞行为都具备逻辑上不可能推出的特征，即现有的知识和经验与创造性结果之间没有指向清晰的必然性。生活常识和思维逻辑给了我们确定的预见，但创造总是以完全另类的形式出现在意料之外。基于这种“不合逻辑”的推理形式，创造性修辞有了强大的生产能力，它只需突破人类既成的语言系统所固化的概念体系，在任意两个语言片段间建立发生关系的可能，就能带我们进入无数与生活常态迥然不同的崭新世界。这是一个硬要“驴唇”对“马嘴”的语言游戏，当然，据此理论，“驴唇”还可以对“鱼嘴”、对“水瓶嘴”、对“打气筒嘴”，不一而足，只要够新鲜、够惊艳就好。
就情感描绘型整蛊短信的创制而言，也是这样一个从“不可能”中寻求“可能”的过程。短信的前后两部分为我们描绘了两幅意境大相径庭的画面。第一幅画面中有“天空”有“阳光”（例2），有“哭泣”有“痛楚”（例3），有“控制不住”的感情（例4），有“写满名字”的痴狂（例5）。总之，意境浪漫唯美，深情款款。尽管画面上只出现了一个人物，但我们分明看到他在对爱人倾心表白。当我们将目光转向第二幅画面，却看到了那示爱的对象竟然是个被“小偷”偷走的钱包（例1），是只蔚蓝海边的“小乌龟”（例2），是头集市上待卖的“小猪”（例3）；示爱的语言成了人们常用的问候语“吃了吗”（例4）；示爱的结果是最终“被警察带走”了（例5）。是情感描绘性的语言表述使我们的视线指向发生了偏差，使两幅画面共同组成了一个荒诞、滑稽的两格漫画。了解了此类短信的创造性心理基础，我们只需再具备一定的语言表达能力和类似电影“蒙太奇”手法的画面切割、替换能力，就能在这片领地中挥
三、情绪动力学因素
情感描绘型整蛊短信之所以能够使人产生忍俊不禁的修辞效果，基于人的情感与理智的不同步性。有关生理学角度的研究证明，情绪由发生学上古老而又庞大的交感神经系统及其同源激素引起，再进一步作用于全身；而概念的思维活动过程则仅仅局限于大脑顶部的新生的皮层。日常生活的经验告诉我们，在对一件事情的理解上，常会发生“道理我都懂，但感情上一时接受不了”的困惑。这就说明，人的情绪发展与理智指向相比相对滞后。当理智截住了情绪的去路让它与其一同转弯的时候，情绪却“刹不住车”，宁愿一泻千里。此时，这种向前冲的惯性转化为一种宣泄的动力释放出来，才能使情绪收住脚步，调整方向。在情感描绘型整蛊短信中，这种情绪宣泄的方式就是笑。短信开始部分那如诗如画、如梦如幻的诗意语言起到了充分煽情的作用，理智却随后告诉我们这深情用错了地方，被高高吊起的情绪期待无法被一句简单平易的“吃了吗”（例4）迅速平复，更无法马上接受“被警察带走”（例5）这种荒诞的示爱结局。澎湃的情绪东奔西突找不到去路，笑便成为必然的宣泄方式喷涌而出。
总之，情感描绘型整蛊短信的出现、创制和修辞效果的达成，都有其深厚的认知心理学基础。了解了这些相应的心理机制，有助于我们与写作者一同享受修辞创造的乐趣。
[责任编辑：商隶君]
·41·
第22卷第4期 沧州师范专科学校学报
No.4 Vol.22
2006年12月 Journal of Cangzhou Teachers’College Dec.2006
分块矩阵在证明矩阵秩的性质上的应用
刘 力
（沧州师专 数学系，河北 沧州 061001）
摘 要：分块矩阵有非常广泛的应用，特别利用分块矩阵证明矩阵秩的性质显得非常简洁，而且方法也比较
统一，有其独特的优越性。
关键词：分块矩阵；可逆矩阵；矩阵的秩
中图分类号：O154 文献标识码：A 文章编号：1008-4762(2006)04-0039-03
首先约定用E表示n阶单位矩阵，Es表示阶S单位矩阵。再给出基本而简单的事实，作为以下引理。
引理1 矩阵乘积的秩不大于每一个因子的秩，两个因子中有一个是可逆的，它们乘积的秩等于另一个因子的秩。
引理2 秩
又因为 秩⎢
⎡AB⎤⎡AB⎤
秩≥⎥⎢00⎥
0B⎣⎦⎣⎦
于是由引理1及3得 秩
⎡A0⎤
A+秩B≤秩⎢ ⎥
⎣CB⎦
⎡AB⎤⎡A0⎤
=秩⎥⎢0B⎥=秩A+秩B
0B⎣⎦⎣⎦⎡ABC⎤⎡0C⎤
=秩 ⎥⎢⎥
⎣B0⎦⎣B0⎦
⎡AB⎤⎡AB⎤
AB=秩≤⎢≤秩A+秩B []⎢⎥⎥
⎣00⎦⎣0B⎦
≤秩[AB]≤秩A+秩B 证毕。
A为s×n矩阵，则有， 秩(E−A′A)—
综上证明即得 秩(A+B)
引理3 秩⎢
性质2 设
引理4 秩⎢
秩(Es
−A′A)=n−s
引理5 秩(A+B)性质1 秩(A+B)
≤秩A+秩B
≤秩[AB]≤秩A+秩B。其中
证明 因为
⎡Es⎢A′⎣⎡Es⎣A′
A⎤⎡Es0⎤⎡Es−AA′A⎤⎢−A′E⎥=⎢0⎥ E⎥E⎦⎣⎦⎣⎦A⎤⎡Es−AA′A⎤=秩= ⎥⎢⎥E⎦E⎦⎣0
A,B均为m×n矩阵。
证明 因为
于是由引理1、3、4得
秩⎢
⎡AB⎤⎡E0⎤⎡A+B0⎤
⎢00⎥⎢E0⎥=⎢0⎥
0⎣⎦⎣⎦⎣⎦
于是由引理1
⎡A+B0⎤
得 秩(A+B)=秩⎢⎥≤秩
00⎣⎦
秩(Es
又因为
−AA′)+n （1）
⎡AB⎤
⎢00⎥=秩[AB] ⎣⎦
⎡Es0⎤⎡Es
⎢−A′E⎥⎢A′⎣⎦⎣A⎤⎡Es
=⎢⎥E⎦⎣0A⎤
⎥′E−AA⎦
* 收稿日期：2006-07-28
作者简介：刘 力（1960— ），女，河北深泽人，沧州师专数学系副教授。
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同理可得 所以，秩
⎡Es秩⎢⎣A′
秩(E−
A⎤⎡Es
=秩⎢E⎥⎦⎣0A⎤
⎥=
E−A′A⎦
A≤秩B+m−s+t−n
A+s+t−m−n 证毕。
，即， 秩
B≥秩
性质5 已知，秩(AB)=秩B，试证对任意可右乘矩阵
A′A)+s （2）
C，有 秩(ABC)=秩(BC)
证明 由引理1得 ，秩
（1）、（2）式相减即得
秩(E−性质3 设得到的矩阵，则
秩
证明 不妨设矩阵为B，则
A′A)—秩(Es−A′A)=n−s 证毕。 A为m×n矩阵，As是从A中取s行
(ABC)≤秩(BC)，因为
⎡AB
⎢B⎣ABC⎤⎡EC⎤⎡AB0⎤
⎢0−E⎥=⎢BBC⎥ 0⎥⎦⎣⎦⎣⎦
于是由引理1、4得
As≥秩A+s−m
秩
(AB)
+秩
(BC)
≤
秩
As是A的前s行，而后m−s行构成的
⎡AB0⎤
⎢BBC⎥⎣⎦
=秩
⎡A⎤⎡A⎤⎡0⎤
A=⎢s⎥=⎢s⎥+⎢⎥
⎣B⎦⎣0⎦⎣B⎦
于是由引理5得
⎡AB⎢B⎣ABC⎤⎡0
=秩⎢0⎥⎦⎣BABC⎤
=秩(ABC)+秩B 0⎥⎦
从而有，秩
(ABC)≥秩(AB)+秩(BC)—秩B
B，代入上式得，秩(ABC)≥秩
又已知，秩(AB)=秩
⎡As⎤⎡0⎤
秩A≤秩⎢⎥+秩⎢⎥=秩As+m−s，证毕 。
B0⎣⎦⎣⎦
性质4 设A为m×n矩阵，B是则
秩B
(BC)
所以，秩
A的一个s×t矩阵，
(ABC)=秩(BC) 证毕。
A为n
阶矩阵，证明秩
≥秩A+s+t−m−n
证明 不妨设B位于A的左上角，且设
⎡BC⎤⎡B0⎤⎡0C⎤A=⎢⎥=⎢D0⎥+⎢0G⎥
DG⎣⎦⎣⎦⎣⎦
于是由引理5得
推论 设
An
=秩
An+1=秩
An+2=""
证明 因为
n
=秩
E
=秩
A0≥秩A≥秩A1≥秩
⎡B0⎤⎡0C⎤秩A≤秩⎢+秩⎢0G⎥= ⎥D0⎣⎦⎣⎦⎡B⎤⎡C⎤秩⎢⎥+秩⎢⎥ ⎣D⎦⎣G⎦
由性质3
秩⎢
又因为
秩⎢·40·
A2""≥秩An≥0,于是必有正整数k(0≤k≤n)使，
秩
Ak
=秩
Ak+1
，由性质5得，秩
An
=秩
An+1
=秩
An+2=""
性质
6 设
A,B,C,D
皆为
n
阶矩阵，
⎡B⎤
⎥≤秩B+m−s D⎣⎦
AC=CA,AD=CB,且A≠0,若
⎡C⎤
≤n−t ⎥⎣G⎦
⎡AB⎤
G=⎢⎥
⎣CD⎦
则有，n≤秩G
证明 因为
A≠0,所以秩G≥n，且A−1存在，又
综上得证。
利用分块矩阵证明矩阵秩的性质，一般采用两种方法，一种是用已知矩阵作为元素拼成高阶矩阵来证明，如性质1、2、5、6；另一种方法是将已知矩阵拆成低阶矩阵来证明，如性质3、4。这两种方法在证明矩阵秩的性质时都是很有效的，几乎所有的矩阵秩的性质，都可用分块矩阵来证明。
参考文献：
[1] 杨子胥. 用分块矩阵证明矩阵秩的一些性质[J].数学通报，
1985，（3）.
[2] 张禾瑞，郝炳新.高等代数(第四版)[M].人民教育出版社，
1995.
[3] 武汉大学数学系. 线性代数[M].高等教育出版社，1980.
[责任编辑：尤书才]
⎡E
⎢−CA−1⎣
所以
0⎤⎡AB⎤⎡AB⎤
=⎢⎥⎢−1⎥E⎥⎦⎣CD⎦⎣0D−CAB⎦
B⎡AB⎤⎡A⎤=⎢CD⎥⎢0D−CA−1B⎥
⎣⎦⎣⎦
0⎤⎡AB⎤⎡E
=⎢CD⎥⎢−CA−1E⎥
⎣⎦⎣⎦
=AD−CA−1B
又因为 从而
−1
−1
−1
D−CAB=D−ACB=D−AAB=D−D=0
G=0，因此，秩G
洒自如，创制出属于自己的个性化短信了。
(上接第33页)
所有创造性修辞行为都具备逻辑上不可能推出的特征，即现有的知识和经验与创造性结果之间没有指向清晰的必然性。生活常识和思维逻辑给了我们确定的预见，但创造总是以完全另类的形式出现在意料之外。基于这种“不合逻辑”的推理形式，创造性修辞有了强大的生产能力，它只需突破人类既成的语言系统所固化的概念体系，在任意两个语言片段间建立发生关系的可能，就能带我们进入无数与生活常态迥然不同的崭新世界。这是一个硬要“驴唇”对“马嘴”的语言游戏，当然，据此理论，“驴唇”还可以对“鱼嘴”、对“水瓶嘴”、对“打气筒嘴”，不一而足，只要够新鲜、够惊艳就好。
就情感描绘型整蛊短信的创制而言，也是这样一个从“不可能”中寻求“可能”的过程。短信的前后两部分为我们描绘了两幅意境大相径庭的画面。第一幅画面中有“天空”有“阳光”（例2），有“哭泣”有“痛楚”（例3），有“控制不住”的感情（例4），有“写满名字”的痴狂（例5）。总之，意境浪漫唯美，深情款款。尽管画面上只出现了一个人物，但我们分明看到他在对爱人倾心表白。当我们将目光转向第二幅画面，却看到了那示爱的对象竟然是个被“小偷”偷走的钱包（例1），是只蔚蓝海边的“小乌龟”（例2），是头集市上待卖的“小猪”（例3）；示爱的语言成了人们常用的问候语“吃了吗”（例4）；示爱的结果是最终“被警察带走”了（例5）。是情感描绘性的语言表述使我们的视线指向发生了偏差，使两幅画面共同组成了一个荒诞、滑稽的两格漫画。了解了此类短信的创造性心理基础，我们只需再具备一定的语言表达能力和类似电影“蒙太奇”手法的画面切割、替换能力，就能在这片领地中挥
三、情绪动力学因素
情感描绘型整蛊短信之所以能够使人产生忍俊不禁的修辞效果，基于人的情感与理智的不同步性。有关生理学角度的研究证明，情绪由发生学上古老而又庞大的交感神经系统及其同源激素引起，再进一步作用于全身；而概念的思维活动过程则仅仅局限于大脑顶部的新生的皮层。日常生活的经验告诉我们，在对一件事情的理解上，常会发生“道理我都懂，但感情上一时接受不了”的困惑。这就说明，人的情绪发展与理智指向相比相对滞后。当理智截住了情绪的去路让它与其一同转弯的时候，情绪却“刹不住车”，宁愿一泻千里。此时，这种向前冲的惯性转化为一种宣泄的动力释放出来，才能使情绪收住脚步，调整方向。在情感描绘型整蛊短信中，这种情绪宣泄的方式就是笑。短信开始部分那如诗如画、如梦如幻的诗意语言起到了充分煽情的作用，理智却随后告诉我们这深情用错了地方，被高高吊起的情绪期待无法被一句简单平易的“吃了吗”（例4）迅速平复，更无法马上接受“被警察带走”（例5）这种荒诞的示爱结局。澎湃的情绪东奔西突找不到去路，笑便成为必然的宣泄方式喷涌而出。
总之，情感描绘型整蛊短信的出现、创制和修辞效果的达成，都有其深厚的认知心理学基础。了解了这些相应的心理机制，有助于我们与写作者一同享受修辞创造的乐趣。
[责任编辑：商隶君]
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