函数的奇偶性
一、关于函数的奇偶性的定义
一般地，如果对于函数f (x ) 的定义域内任意一个x ，都有f (-x ) =f (x ) ，那么函数f (x ) 就称偶函数；
一般地，如果对于函数f (x ) 的定义域内任意一个x ，都有f (-x ) =-f (x ) ，那么函数f (x ) 就称奇函数；
二、函数的奇偶性的几个性质
1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；
2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；
3、可逆性：f (-x ) =f (x ) ⇔f (x ) 是偶函数；f (-x ) =-f (x ) ⇔f (x ) 奇函数；
4、等价性：f (-x ) =f (x ) ⇔f (-x ) -f (x ) =0⇔f (|x |)=f (x ) ⇔
f (-x ) =-f (x ) ⇔f (-x ) +f (x ) =0⇔f (x )=-1； f -x f (x )=1；f -x 5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；
6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
7、设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上： 奇±奇＝奇（函数） 偶±偶＝偶（函数）
奇×奇＝偶（函数） 偶×偶＝偶（函数）奇×偶＝奇（函数）
8、多项式函数P (x ) =a n x n +a n -1x n -1+ +a 0的奇偶性
多项式函数P (x ) 是奇函数⇔P (x ) 的偶次项(即奇数项) 的系数全为零.
多项式函数P (x ) 是偶函数⇔P (x ) 的奇次项(即偶数项) 的系数全为零.
9、复合函数y =f [g (x ) ]的奇偶性
若函数f (x ), g (x ), f [g (x ) ]的定义域都是关于原点对称的, 那么由
u =g (x ), y =f (u ) 的奇偶性得到
y =f g (x ) 的奇偶性的规律是:
即当且仅当u =g (x ) 和y =f (u ) 都是奇函数时, 复合函数是奇函数.
三、函数的奇偶性的判断
函数奇偶性的因素有两个：定义域的对称性和数量关系。判断函数奇偶性就是判断函数是否为奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数四种情况。
判断函数奇偶性的方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查f (-x ) 是否与-f (x ) 、f (x ) 相等，判断步骤如下：
1、定义域是否关于原点对称；若定义域不对称，则为非奇非偶函数；若定义域对称，则有成为奇（偶）函数的可能
2、数量关系f (-x ) =±f (x ) 哪个成立；
判断分段函数的奇偶性
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断，在函数定义域中，对自变量X 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数，分段函数不是几个函数，而是一个函数，因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系，首先要特别注意X 与—X 的范围，然后将它们代入
与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函相应段的函数表达式中，
数的定义进行比较。
四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定
命题1：函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。 此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。
命题2：两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。
此命题错误。一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如f (x ) =x (x ∈(-1,1)) ，g (x ) =x (x ∈(-2,2)) ，可以看出函数f (x ) 与g (x ) 都是定义域上的函数，它们的差只在区间(-1,1) 上有定义且f (x ) -g (x ) =0，而在此区间上函数f (x ) -g (x ) 既是奇函数又是偶函数。
命题3：f (x ) 是任意函数，那么|f (x ) |与f (|x |)都是偶函数。
此命题错误。一方面，对于函数|f (x ) |=⎨
或f (-x )=-f (x )；另一方面，对于一个任意函数f (x ) 而言，不能保证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数f (|x |)是偶函数。 命题4：如果函数f (x ) 满足：f (x )=f (-x )，那么函数f (x ) 是奇函数或偶函数。 此命题错误。如函数f (x ) =⎨⎧f (x ),(f (x ) ≥0), 不能保证f (-x )=f (x )⎩-f (x ),(f (x )
于原点对称，也不关于y 轴对称，故此函数非奇非偶。
命题5：设f (x ) 是定义域关于原点对称的一个函数，则F 1(x ) ＝f (x ) ＋f (－x ) 为偶函数，F 2(x ) ＝f (x ) －f (－x ) 为奇函数．
此命题正确。由函数奇偶性易证。
命题6：已知函数f (x ) 是奇函数，且f (0)有定义，则f (0)=0。
此命题正确。由奇函数的定义易证。
命题7：已知f (x ) 是奇函数或偶函数，方程f (x ) =0有实根，那么方程f (x ) =0的所有实根之和为零；若f (x ) 是定义在实数集上的奇函数，则方程f (x ) =0有奇数个实根。 此命题正确。方程f (x ) =0的实数根即为函数f (x ) 与x 轴的交点的横坐标，由奇偶性的定义可知：若f (x 0) =0，则f (-x 0) =0。对于定义在实数集上的奇函数来说，必有f (0)=0。故原命题成立。
五、关于函数按奇偶性的分类
全体实函数可按奇偶性分为四类：①奇偶数、②偶函数、③既是奇函数也是偶函数、④非奇非偶函数。
六、关于奇偶函数的图像特征
一般地：奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；偶函数的图像关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。
b =0，2a
即b =0；若二次函数y =ax 2+bx +c 成为奇函数，必须要使a =c =0；当b ≠0时，图象法：如二次函数y =ax 2+bx +c 成为偶函数，必须要使对称轴x =-二次函数是非奇非偶函数。
奇函数对称区间上的单调性相同，偶函数对称区间上的单调性相反。
七、关于函数奇偶性的简单应用
函数的奇偶性是函数的重要性质之一，也是每年高考的重点和热点内容之一，利用函数的奇偶性可求函数值、比较大小，求函数的解析式，讨论函数的单调性，求参数的值等。现分别举例说明如下：
1、利用奇偶性求函数值
【例1】已知f (x ) =x 5+ax 3+bx -8且f (-2) =10，那么f (2) =
【例2】设f （x ）是定义在R 上的偶函数，若当x ≥0时，f （x ）=log 3（1+x ），则f （－2）。
【例3】 f (x ) 是定义在R 上的奇函数, 则f (0) =___；若有f (-2) =3，则f (2) =___； 若f (5) =7；则f (-5) =___；
【例4】已知函数f (x ) =a -
2、利用奇偶性比较大小 1(x ∈R ) , 若f (x ) 为奇函数，则a =___； 2x +1
【例5】已知偶函数f (x ) 在(-∞, 0)上为减函数，比较f (-5) ，f (1) ，f (3) 的大小。
【例6】若f (x ) 是R 上的偶函数，且在[0，+∞）上是增函数，则下列各式成立的是：（ ）
A . f (-2) >f (0) >f (1) B . f (-2) >f (1) >f (0)
C . f (1) >f (0) >f (-2) D . f (1) >f (-2) >f (0)
【例7】 如果奇函数f (x ) 在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么f (x ) 在区间[-7, -3]上是（ ）
A ．增函数且最小值是-5 B．增函数且最大值是-5
C ．减函数且最大值是-5 D．减函数且最小值是-5
【例8】
大小关系。
【例9】
值范围。
3、利用奇偶性求解析式
【例10】已知f (x ) 为偶函数，当0≤x ≤1时，f (x ) =1-x ，当-1≤x
【例11】若f (x ) 是定义在（-∞，0） （0，+∞）上的奇函数，当x0时，函数f (x ) 的解析式。
【例12】设f (x ) 是定义在R 上的奇函数, 且当x >0时，f (x ) =-2x 2+3x +1，试求函数f (x ) 的解析式。
4、利用奇偶性讨论函数的单调性
【例15】若f (x ) =(k -2) x 2+(k -3) x +3是偶函数，讨论函数f (x ) 的单调区间。
5、利用奇偶性求参数的值
【例16】定义在R 上的偶函数f (x ) 在(-∞, 0) 是单调递减，若
f (2a 2+a +1)
【例17】设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)
6、利用奇偶性证明不等式
【例18】求证
x x
7、函数奇偶性的判定问题
【例19】 判断下列函数的奇偶性：
（1）f （x ）=|x +1|－|x －1|；
（2）f （x ）=（x －1）·1+x ； 1-x
-x 2（3）f （x ）=； |x +2|-2
⎧x (1-x ) (x 0).
(1+2x ) 2（5）f (x ) = 2x
⎧12x +1(x >0) ⎪⎪2【例20】判断下列函数的奇偶性g (x ) =⎨ 1⎪-x 2-1(x
32⎧⎪x －3x ＋1 x ＞0 【例21】判断函数f (x ) ＝⎨32⎪⎩x ＋3x －1 x ＜0
【名师点拨】 分段函数的奇偶性应分段证明f(－x) 与f(x)的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．也可根据图象判定． 的奇偶性．
8、奇偶函数的图象问题
【例22】下面四个结论中，正确命题的个数是
①偶函数的图象一定与y 轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于y 轴对称 ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f （x ）=0（x ∈R ）
( )A.1 B.2 C.3 D.4
【提高练习】
1. 已知定义域为R 的偶函数f (x ) 在(0, +∞) 上为减函数，且有f (2) =0，则满足f (x )
2. 已知函数y =f (x ) 为R 上的奇函数，若f (3) -f (2) =1，则f (-2) -f (-3) =____；
3. 已知偶函数f (x ) 在区间[2, 4]上为减函数且有最大值为5，则f (x ) 在区间[-4, -2]上为____函数且有最___值为____；若是奇函数f (x ) 在区间[2, 4]上为增函数且有最小值为5，则f (x ) 在区间[-4, -2]上为____函数且有最___值为____。
4.
若函数f (x ) =log a (x +是奇函数，则a =
22f (x ) =(m -1) x +(m -2) x +(m -7m +12) 为偶函数，则m 的值是（ ） 5. 已知函数
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 若偶函数f (x ) 在(-∞, -1]上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
33f (-)
33f (2)
7. 函数y =f (x ) 是R 上的偶函数，且在(-∞,0]上是增函数，若f (a ) ≤f (2), 则实数a 的取值范围是 （ ）
A. a ≤2 B.a ≥-2 C.-2≤a ≤2 D.a ≤-2或a ≥2
8. 已知f (x ) =lg(1-x ) -lg(1+x )
（1）判断函数的奇偶性；（2）判断f (x ) 的单调性并证明。
a ⋅2x +a -29. 若f （x ）=为奇函数，求实数a 的值. 2x +1
函数的奇偶性
一、关于函数的奇偶性的定义
一般地，如果对于函数f (x ) 的定义域内任意一个x ，都有f (-x ) =f (x ) ，那么函数f (x ) 就称偶函数；
一般地，如果对于函数f (x ) 的定义域内任意一个x ，都有f (-x ) =-f (x ) ，那么函数f (x ) 就称奇函数；
二、函数的奇偶性的几个性质
1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；
2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；
3、可逆性：f (-x ) =f (x ) ⇔f (x ) 是偶函数；f (-x ) =-f (x ) ⇔f (x ) 奇函数；
4、等价性：f (-x ) =f (x ) ⇔f (-x ) -f (x ) =0⇔f (|x |)=f (x ) ⇔
f (-x ) =-f (x ) ⇔f (-x ) +f (x ) =0⇔f (x )=-1； f -x f (x )=1；f -x 5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；
6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
7、设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上： 奇±奇＝奇（函数） 偶±偶＝偶（函数）
奇×奇＝偶（函数） 偶×偶＝偶（函数）奇×偶＝奇（函数）
8、多项式函数P (x ) =a n x n +a n -1x n -1+ +a 0的奇偶性
多项式函数P (x ) 是奇函数⇔P (x ) 的偶次项(即奇数项) 的系数全为零.
多项式函数P (x ) 是偶函数⇔P (x ) 的奇次项(即偶数项) 的系数全为零.
9、复合函数y =f [g (x ) ]的奇偶性
若函数f (x ), g (x ), f [g (x ) ]的定义域都是关于原点对称的, 那么由
u =g (x ), y =f (u ) 的奇偶性得到
y =f g (x ) 的奇偶性的规律是:
即当且仅当u =g (x ) 和y =f (u ) 都是奇函数时, 复合函数是奇函数.
三、函数的奇偶性的判断
函数奇偶性的因素有两个：定义域的对称性和数量关系。判断函数奇偶性就是判断函数是否为奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数四种情况。
判断函数奇偶性的方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查f (-x ) 是否与-f (x ) 、f (x ) 相等，判断步骤如下：
1、定义域是否关于原点对称；若定义域不对称，则为非奇非偶函数；若定义域对称，则有成为奇（偶）函数的可能
2、数量关系f (-x ) =±f (x ) 哪个成立；
判断分段函数的奇偶性
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断，在函数定义域中，对自变量X 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数，分段函数不是几个函数，而是一个函数，因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系，首先要特别注意X 与—X 的范围，然后将它们代入
与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函相应段的函数表达式中，
数的定义进行比较。
四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定
命题1：函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。 此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。
命题2：两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。
此命题错误。一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如f (x ) =x (x ∈(-1,1)) ，g (x ) =x (x ∈(-2,2)) ，可以看出函数f (x ) 与g (x ) 都是定义域上的函数，它们的差只在区间(-1,1) 上有定义且f (x ) -g (x ) =0，而在此区间上函数f (x ) -g (x ) 既是奇函数又是偶函数。
命题3：f (x ) 是任意函数，那么|f (x ) |与f (|x |)都是偶函数。
此命题错误。一方面，对于函数|f (x ) |=⎨
或f (-x )=-f (x )；另一方面，对于一个任意函数f (x ) 而言，不能保证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数f (|x |)是偶函数。 命题4：如果函数f (x ) 满足：f (x )=f (-x )，那么函数f (x ) 是奇函数或偶函数。 此命题错误。如函数f (x ) =⎨⎧f (x ),(f (x ) ≥0), 不能保证f (-x )=f (x )⎩-f (x ),(f (x )
于原点对称，也不关于y 轴对称，故此函数非奇非偶。
命题5：设f (x ) 是定义域关于原点对称的一个函数，则F 1(x ) ＝f (x ) ＋f (－x ) 为偶函数，F 2(x ) ＝f (x ) －f (－x ) 为奇函数．
此命题正确。由函数奇偶性易证。
命题6：已知函数f (x ) 是奇函数，且f (0)有定义，则f (0)=0。
此命题正确。由奇函数的定义易证。
命题7：已知f (x ) 是奇函数或偶函数，方程f (x ) =0有实根，那么方程f (x ) =0的所有实根之和为零；若f (x ) 是定义在实数集上的奇函数，则方程f (x ) =0有奇数个实根。 此命题正确。方程f (x ) =0的实数根即为函数f (x ) 与x 轴的交点的横坐标，由奇偶性的定义可知：若f (x 0) =0，则f (-x 0) =0。对于定义在实数集上的奇函数来说，必有f (0)=0。故原命题成立。
五、关于函数按奇偶性的分类
全体实函数可按奇偶性分为四类：①奇偶数、②偶函数、③既是奇函数也是偶函数、④非奇非偶函数。
六、关于奇偶函数的图像特征
一般地：奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；偶函数的图像关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。
b =0，2a
即b =0；若二次函数y =ax 2+bx +c 成为奇函数，必须要使a =c =0；当b ≠0时，图象法：如二次函数y =ax 2+bx +c 成为偶函数，必须要使对称轴x =-二次函数是非奇非偶函数。
奇函数对称区间上的单调性相同，偶函数对称区间上的单调性相反。
七、关于函数奇偶性的简单应用
函数的奇偶性是函数的重要性质之一，也是每年高考的重点和热点内容之一，利用函数的奇偶性可求函数值、比较大小，求函数的解析式，讨论函数的单调性，求参数的值等。现分别举例说明如下：
1、利用奇偶性求函数值
【例1】已知f (x ) =x 5+ax 3+bx -8且f (-2) =10，那么f (2) =
【例2】设f （x ）是定义在R 上的偶函数，若当x ≥0时，f （x ）=log 3（1+x ），则f （－2）。
【例3】 f (x ) 是定义在R 上的奇函数, 则f (0) =___；若有f (-2) =3，则f (2) =___； 若f (5) =7；则f (-5) =___；
【例4】已知函数f (x ) =a -
2、利用奇偶性比较大小 1(x ∈R ) , 若f (x ) 为奇函数，则a =___； 2x +1
【例5】已知偶函数f (x ) 在(-∞, 0)上为减函数，比较f (-5) ，f (1) ，f (3) 的大小。
【例6】若f (x ) 是R 上的偶函数，且在[0，+∞）上是增函数，则下列各式成立的是：（ ）
A . f (-2) >f (0) >f (1) B . f (-2) >f (1) >f (0)
C . f (1) >f (0) >f (-2) D . f (1) >f (-2) >f (0)
【例7】 如果奇函数f (x ) 在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么f (x ) 在区间[-7, -3]上是（ ）
A ．增函数且最小值是-5 B．增函数且最大值是-5
C ．减函数且最大值是-5 D．减函数且最小值是-5
【例8】
大小关系。
【例9】
值范围。
3、利用奇偶性求解析式
【例10】已知f (x ) 为偶函数，当0≤x ≤1时，f (x ) =1-x ，当-1≤x
【例11】若f (x ) 是定义在（-∞，0） （0，+∞）上的奇函数，当x0时，函数f (x ) 的解析式。
【例12】设f (x ) 是定义在R 上的奇函数, 且当x >0时，f (x ) =-2x 2+3x +1，试求函数f (x ) 的解析式。
4、利用奇偶性讨论函数的单调性
【例15】若f (x ) =(k -2) x 2+(k -3) x +3是偶函数，讨论函数f (x ) 的单调区间。
5、利用奇偶性求参数的值
【例16】定义在R 上的偶函数f (x ) 在(-∞, 0) 是单调递减，若
f (2a 2+a +1)
【例17】设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)
6、利用奇偶性证明不等式
【例18】求证
x x
7、函数奇偶性的判定问题
【例19】 判断下列函数的奇偶性：
（1）f （x ）=|x +1|－|x －1|；
（2）f （x ）=（x －1）·1+x ； 1-x
-x 2（3）f （x ）=； |x +2|-2
⎧x (1-x ) (x 0).
(1+2x ) 2（5）f (x ) = 2x
⎧12x +1(x >0) ⎪⎪2【例20】判断下列函数的奇偶性g (x ) =⎨ 1⎪-x 2-1(x
32⎧⎪x －3x ＋1 x ＞0 【例21】判断函数f (x ) ＝⎨32⎪⎩x ＋3x －1 x ＜0
【名师点拨】 分段函数的奇偶性应分段证明f(－x) 与f(x)的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．也可根据图象判定． 的奇偶性．
8、奇偶函数的图象问题
【例22】下面四个结论中，正确命题的个数是
①偶函数的图象一定与y 轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于y 轴对称 ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f （x ）=0（x ∈R ）
( )A.1 B.2 C.3 D.4
【提高练习】
1. 已知定义域为R 的偶函数f (x ) 在(0, +∞) 上为减函数，且有f (2) =0，则满足f (x )
2. 已知函数y =f (x ) 为R 上的奇函数，若f (3) -f (2) =1，则f (-2) -f (-3) =____；
3. 已知偶函数f (x ) 在区间[2, 4]上为减函数且有最大值为5，则f (x ) 在区间[-4, -2]上为____函数且有最___值为____；若是奇函数f (x ) 在区间[2, 4]上为增函数且有最小值为5，则f (x ) 在区间[-4, -2]上为____函数且有最___值为____。
4.
若函数f (x ) =log a (x +是奇函数，则a =
22f (x ) =(m -1) x +(m -2) x +(m -7m +12) 为偶函数，则m 的值是（ ） 5. 已知函数
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 若偶函数f (x ) 在(-∞, -1]上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
33f (-)
33f (2)
7. 函数y =f (x ) 是R 上的偶函数，且在(-∞,0]上是增函数，若f (a ) ≤f (2), 则实数a 的取值范围是 （ ）
A. a ≤2 B.a ≥-2 C.-2≤a ≤2 D.a ≤-2或a ≥2
8. 已知f (x ) =lg(1-x ) -lg(1+x )
（1）判断函数的奇偶性；（2）判断f (x ) 的单调性并证明。
a ⋅2x +a -29. 若f （x ）=为奇函数，求实数a 的值. 2x +1