用逐阶微分法推导泰勒展开式

用逐阶微分法推导泰勒展开式若函数f (x ) 在x 0的某个邻域内有n 阶导数，则f (x 0) 存在且在x 0处连续。如此，根据一阶导数的定义，有

f (x ) −f (x 0) =f (x 0) lim x →x 0x −x 0

将其改写成含无穷小量o 1的表达式，即

f (x ) =f (x 0) +f (x 0)(x −x 0) +o 1(x −x 0)

如此，则有

f (x ) −f (x 0) −f (x 0)(x −x 0) o 1=x −x 0

考察以下极限，并运用洛必达法则，有

o 1f (x ) −f (x 0) −f (x 0)(x −x 0) =lim lim x →x 0x −x 0x →x 0(x −x 0) 2

f (x ) −f (x 0) 1f (x ) −f (x 0) =lim =lim x →x 02(x −x 0) 2x →x 0x −x 0

1=f (x 0) 2

再将此结果改写成含无穷小量o 2的表达式，即

1o 1=f (x 0)(x −x 0) +o 2(x −x 0) 2

代入得

1f (x ) =f (x 0) +f (x 0)(x −x 0) +f (x 0)(x −x 0) 2+o 2(x −x 0) 2

又由此式，得

1 f (x ) −f (x 0) −f (x 0)(x −x 0) −2f (x 0)(x −x 0) 2

o 2=(x −x 0) 2

进一步，有

f (x ) −f (x 0) −f (x 0)(x −x 0) −1f (x 0)(x −x 0) 2o 2lim =lim x →x 0x −x 0x →x 0(x −x 0) 3

f (x ) −f (x 0) −f (x 0)(x −x 0) =lim x →x 03(x −x 0) 2

f (x ) −f (x 0) 11 f (x ) −f (x 0) =lim =f (x 0) =lim x →x 03·2(x −x 0) 3·2x →x 0x −x 03·2

所以，将其改写成含无穷小量o 3的表达式，并代入得

11 f (x ) =f (x 0)+f (x 0)(x −x 0)+f (x 0)(x −x 0) 2+f (x 0)(x −x 0) 3+o 3(x −x 0) 3

23·2

重复此法，直至将f (x ) 展开至n 次多项式，即得泰勒展开式。