天津大学工程硕士研究生
《应用数学基础》试卷 （共8页）
______学院 专业________班，姓名
一. 填空 (每小题1分, 共10分) 1.
设A =( 则 inf A =2. 已知4阶矩阵A 的特征多项式为f (λ) =(λ2+1)(λ2-4) , 则A 的初等因子组为 .
3. 设A ∈C 3⨯3
⎡2⎤
⎥, 则A 的有理标准形12的Jordan 标准形J =⎢⎢⎥
⎢2⎥⎣⎦
C =_______________.
⎡1-i 0⎤
⎥ 则2-114. 设A =⎢A F ⎢⎥
⎢⎣i 01⎥⎦
d A T (t )
=5. A (t ) =[a ij (t )]n ⨯n 可导，则
d t
⎡e t
6. 已知A (t ) =⎢
⎣t t 2⎤⎥ 则 1⎦
⎰
1
A (t )d t .
7. 设M 求解线性方程组Ax =b 的Jacobi 迭代矩阵，则Jacobi 迭代格式收敛的充要条件是ρ(M ) .
8. 设{l k (x ) }k =0是 [a , b ]上的以a ≤x 0
n
函数则∑l k (x ) =k =0
n
9. n +1个求积节点的插值型求积公式的代数精度最高为.
10. 方阵A 可对角化的充要条件是: A 的最小多项式
1
二．计算题 （每小题10分，共60分） 1. 设
60⎤⎡4
⎥ , A =⎢-3-50⎢⎥
⎢⎣-3-61⎥⎦
（1）求λE -A 的初等因子组；(2) 求A 的Jordan 标准形J .
2. 设
⎡-1-2
A =⎢⎢-10
⎢⎣-1-1
6⎤
⎥, 3⎥⎥4⎦
（1）求λE -A 的不变因子；（2）求A 的有理标准形C .
3．设
⎡214⎤
⎥ , A =⎢030⎢⎥
⎢⎣021⎥⎦
（1）求A 的最小多项式ϕ(λ) ; （2）求e At . 4. 已知函数y =f (x ) 的数值如下：
用3次插值多项式计算f (73)的近似值（计算过程及结果均保留至小数点后第2位）。 5. 设
⎡100⎤
⎥, A =⎢110⎢⎥
⎢⎣002⎥⎦
求(sinAt ) .
d t
6. 用Romberg 算法填写下表（计算过程及结果均保留至小数点后第6位）：
2
三．解下列各题（每小题10分，共20分） 1. 对于线性方程组
⎧3x 1+x 2+x 3=1⎪
⎨x 1+3x 2=2
⎪x +x +2x =3
2⎩12
（1）写出Gauss-Seidel 迭代格式(分量形式); （2）讨论所写格式的收敛性.
2. 写出用标准Runge —Kutta 法求解初值问题
+'y ) ,
⎨
'y (0) =1y , (=0) 3⎩的计算公式.
四． 证明题（每小题5分，共10分）
1. 设X 是数域K 上的内积空间，则∀x , x , z ∈X 及∀α, β∈K ，有
=α
n ⨯n
x , y >+β
2. 若 A ∈C
是正规矩阵, 则ρ(A ) =A 2.
3
天津大学工程硕士研究生
《应用数学基础》试卷 （共8页）
______学院 专业________班，姓名
一. 填空 (每小题1分, 共10分) 1.
设A =( 则 inf A =2. 已知4阶矩阵A 的特征多项式为f (λ) =(λ2+1)(λ2-4) , 则A 的初等因子组为 .
3. 设A ∈C 3⨯3
⎡2⎤
⎥, 则A 的有理标准形12的Jordan 标准形J =⎢⎢⎥
⎢2⎥⎣⎦
C =_______________.
⎡1-i 0⎤
⎥ 则2-114. 设A =⎢A F ⎢⎥
⎢⎣i 01⎥⎦
d A T (t )
=5. A (t ) =[a ij (t )]n ⨯n 可导，则
d t
⎡e t
6. 已知A (t ) =⎢
⎣t t 2⎤⎥ 则 1⎦
⎰
1
A (t )d t .
7. 设M 求解线性方程组Ax =b 的Jacobi 迭代矩阵，则Jacobi 迭代格式收敛的充要条件是ρ(M ) .
8. 设{l k (x ) }k =0是 [a , b ]上的以a ≤x 0
n
函数则∑l k (x ) =k =0
n
9. n +1个求积节点的插值型求积公式的代数精度最高为.
10. 方阵A 可对角化的充要条件是: A 的最小多项式
1
二．计算题 （每小题10分，共60分） 1. 设
60⎤⎡4
⎥ , A =⎢-3-50⎢⎥
⎢⎣-3-61⎥⎦
（1）求λE -A 的初等因子组；(2) 求A 的Jordan 标准形J .
2. 设
⎡-1-2
A =⎢⎢-10
⎢⎣-1-1
6⎤
⎥, 3⎥⎥4⎦
（1）求λE -A 的不变因子；（2）求A 的有理标准形C .
3．设
⎡214⎤
⎥ , A =⎢030⎢⎥
⎢⎣021⎥⎦
（1）求A 的最小多项式ϕ(λ) ; （2）求e At . 4. 已知函数y =f (x ) 的数值如下：
用3次插值多项式计算f (73)的近似值（计算过程及结果均保留至小数点后第2位）。 5. 设
⎡100⎤
⎥, A =⎢110⎢⎥
⎢⎣002⎥⎦
求(sinAt ) .
d t
6. 用Romberg 算法填写下表（计算过程及结果均保留至小数点后第6位）：
2
三．解下列各题（每小题10分，共20分） 1. 对于线性方程组
⎧3x 1+x 2+x 3=1⎪
⎨x 1+3x 2=2
⎪x +x +2x =3
2⎩12
（1）写出Gauss-Seidel 迭代格式(分量形式); （2）讨论所写格式的收敛性.
2. 写出用标准Runge —Kutta 法求解初值问题
+'y ) ,
⎨
'y (0) =1y , (=0) 3⎩的计算公式.
四． 证明题（每小题5分，共10分）
1. 设X 是数域K 上的内积空间，则∀x , x , z ∈X 及∀α, β∈K ，有
=α
n ⨯n
x , y >+β
2. 若 A ∈C
是正规矩阵, 则ρ(A ) =A 2.
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