高等数学基础应用题及参考答案
2010.12 1. （17页例5）
圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为
，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？
解：如图所示，圆柱体高h 与底半径r 满足
h 2+r 2=L 2 圆柱体的体积公式为
V =πr h
2
将r =L -h 代入得
2
2
2
V =π(L 2-h 2) h 求导得
22
V '=π(-2h 2+(L -h ) =) π
(L -
2
3h
2
)
令V
'=0得h =
最大.
2.17页例6
3
L
，并由此解出r =
3
L
.
即当底半径r =
3
L
，高h =
3
L
时，圆柱体的体积
求曲线y 2=x 上的点，使其到点A (3, 0)的距离最短． 解：曲线y 2=x 上的点，到点A (3, 0)的距离公式为 设所求的点P (x , y )
, PA =d , 则y =x , (x ≥0)
2
d
=
=0,
=
令d '=得x =
52
2x -5
5252
是函数d 的极小值点，也是最小值点. , y =±
2,
. 2⎭
到点A (3, 0)的距离最短。 2⎭
易知，x =此时， y =
2
⎛5⎛5∴所求的点为P 或P , - 2 22⎝⎭⎝
即曲线y 2=
x
上的点P
⎝2
⎛5
⎛5, -或P 22⎭⎝
3.17页例7
欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知x 2h =108, h =
y =x +4xh =x +4x ⋅
2
2
108x
2
108x
2
=x +
2
432x
令y '=2x -
432x
2
=0，解得x =6是唯一驻点，
且y ''=2+
2⨯432x
3
x =6
>0，
10836
说明x =6是函数的极小值点，所以当x =6，h =
4.35页第一题 求曲线
上的点，使其到点
2
=3时用料最省。
的距离最短．
3. 解： 设所求的点P (x , y )
, PA =d , 则y =2x , (x ≥0) d
=
=
=令d '=得x =1
=0,
易知，x =1是函数d 的极小值点，也是最小值点. 此时， y =2⨯1=2, y =∴所求的点为P 或P 1, .
2
((即曲线y 2=
2
x 上的点P (或P (1, 到点A (2, 0)的距离最短
5.35页第2题
某厂要生产一种体积为V 的无盖圆形铁桶，问怎样才能使用料最省？
解：设容器的底半径为r ，高为h ，则其表面积为
S =πr +2πrh =πr +S '=2πr -
2V r
2
2
2
2V r
V
2π
由S '=0，得唯一驻点r =
V 2π
，由实际问题可知，当r =
时可使用料最省，此时h
=
，即当容
器的底半径与高均为
6.35页第3题
欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
解：设长方体的底边长为x 米，高为h 米，用材料为y . 则
由已知x h =62.5y =x +4xh =x +
2
2
2
得250x
h =
62.5x
2
，
得
x =125，x =5
3
令y '=2x -
250x
2
=0
易知，x =5是函数S 的极小值点，也是最小值点. 此时有，h =
7. 形考作业册13页第5题
一体积为V 的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？
62.52.5
=2.5
答：当该长方体的底边长为5米，高为2.5米时用料最省。
解：设圆柱体半径为R ，高为h ，表面积为s ，则
h =
V
πR
2
, S =2πR h +2πR =
2
2V R
+
2πR
2
令
S '=4πR -
2V R
2
=0得R =
⎛⎛'当R ∈ 时，S
⎫
+∞⎪时，S '>0 ⎪
⎭∴R =
函数S 的极小值点，也是最小值点.
h
此时答：当R =
V 2π
h =
4V
π
时表面积最大.
高等数学基础应用题及参考答案
2010.12 1. （17页例5）
圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为
，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？
解：如图所示，圆柱体高h 与底半径r 满足
h 2+r 2=L 2 圆柱体的体积公式为
V =πr h
2
将r =L -h 代入得
2
2
2
V =π(L 2-h 2) h 求导得
22
V '=π(-2h 2+(L -h ) =) π
(L -
2
3h
2
)
令V
'=0得h =
最大.
2.17页例6
3
L
，并由此解出r =
3
L
.
即当底半径r =
3
L
，高h =
3
L
时，圆柱体的体积
求曲线y 2=x 上的点，使其到点A (3, 0)的距离最短． 解：曲线y 2=x 上的点，到点A (3, 0)的距离公式为 设所求的点P (x , y )
, PA =d , 则y =x , (x ≥0)
2
d
=
=0,
=
令d '=得x =
52
2x -5
5252
是函数d 的极小值点，也是最小值点. , y =±
2,
. 2⎭
到点A (3, 0)的距离最短。 2⎭
易知，x =此时， y =
2
⎛5⎛5∴所求的点为P 或P , - 2 22⎝⎭⎝
即曲线y 2=
x
上的点P
⎝2
⎛5
⎛5, -或P 22⎭⎝
3.17页例7
欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知x 2h =108, h =
y =x +4xh =x +4x ⋅
2
2
108x
2
108x
2
=x +
2
432x
令y '=2x -
432x
2
=0，解得x =6是唯一驻点，
且y ''=2+
2⨯432x
3
x =6
>0，
10836
说明x =6是函数的极小值点，所以当x =6，h =
4.35页第一题 求曲线
上的点，使其到点
2
=3时用料最省。
的距离最短．
3. 解： 设所求的点P (x , y )
, PA =d , 则y =2x , (x ≥0) d
=
=
=令d '=得x =1
=0,
易知，x =1是函数d 的极小值点，也是最小值点. 此时， y =2⨯1=2, y =∴所求的点为P 或P 1, .
2
((即曲线y 2=
2
x 上的点P (或P (1, 到点A (2, 0)的距离最短
5.35页第2题
某厂要生产一种体积为V 的无盖圆形铁桶，问怎样才能使用料最省？
解：设容器的底半径为r ，高为h ，则其表面积为
S =πr +2πrh =πr +S '=2πr -
2V r
2
2
2
2V r
V
2π
由S '=0，得唯一驻点r =
V 2π
，由实际问题可知，当r =
时可使用料最省，此时h
=
，即当容
器的底半径与高均为
6.35页第3题
欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
解：设长方体的底边长为x 米，高为h 米，用材料为y . 则
由已知x h =62.5y =x +4xh =x +
2
2
2
得250x
h =
62.5x
2
，
得
x =125，x =5
3
令y '=2x -
250x
2
=0
易知，x =5是函数S 的极小值点，也是最小值点. 此时有，h =
7. 形考作业册13页第5题
一体积为V 的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？
62.52.5
=2.5
答：当该长方体的底边长为5米，高为2.5米时用料最省。
解：设圆柱体半径为R ，高为h ，表面积为s ，则
h =
V
πR
2
, S =2πR h +2πR =
2
2V R
+
2πR
2
令
S '=4πR -
2V R
2
=0得R =
⎛⎛'当R ∈ 时，S
⎫
+∞⎪时，S '>0 ⎪
⎭∴R =
函数S 的极小值点，也是最小值点.
h
此时答：当R =
V 2π
h =
4V
π
时表面积最大.