第一部分 电路的等效变化
在处理较复杂的混联电路问题时，常常因不会画等效电路图，难以求出等效电阻而直接影响解题。为此，向同学们介绍一种画等效电路图的方法《快速三步法》。
快速三步法画等效电路图的步骤为：
⑴ 标出等势点。依次找出各个等势点，并从高电势点到低电势点顺次标清各等势点字母。
⑵ 捏合等势点画草图。即把几个电势相同的等势点拉到一起，合为一点，然后假想提起该点“抖动”一下，以理顺从该点向下一个节点电流方向相同的电阻，这样逐点依次画出草图。画图时要注意标出在每个等势点处电流“兵分几路”及与下一个节点的联接关系。
⑶ 整理电路图。要注意等势点、电阻序号与原图一一对应，整理后的等效电路图力求规范，以便计算。
例1、图1所示电路中，R1=R2=R3=3Ω， R4=R5=R6=6Ω，求M 、N 两点间的电阻。
解：该题是一种典型的混联电路，虽然看上去对称、简单，但直接看是很难认识各个电阻间的联接关系的，因此必须画出等效电路图。下面用快速三步法来解。 1. 在原电路图上标了等势点a 、b 、c 。
2. 捏合等势点画草图。从高电势点M 点开始，先把两个a 点捏合到一起，理
顺电阻，标出电流在a 点“兵分三路”，分别经R1、R2、R3流向b 点；再捏合三个b 点，理顺电阻，标出电流在b 点“兵分三路”，分别经R4、R5、R6流向c 点；最后捏合c 点，电流流至N 点。（见图2）
3. 整理电路图如图3所示。 从等效电路图图3可以清楚地看出原电路各电
阻的联接方式，很容易计算出M 、N 两点间的电阻R=3Ω。
◆练习：如图4所示，R1=R3=4Ω，R2=R5=1Ω， R4=R6=R7=2Ω，求a 、d 两点间的电阻。
解：（1）在原电路图上标出等势点a 、b 、c 、d
（2）捏合等势点画草图，首先捏合等势点a ，从a 点开始，电流“兵分三路”，分别经R2流向b 点、经R3和R1流向d 点；捏合等势点b ，电流
“兵分两路”，分别经R5流向c 点，经R4流向d 点；捏合等势点c ， 电流“兵分两路”，分别经R6和R7流向d 点。
（3）整理电路如图7所示
从等效电路图可清楚地看出原电路各电阻的联接关系，很容易计算出a 、d 两点间的电阻R=1Ω。
第二部分 竞赛中纯电阻电路的简化和等效变换
计算一个电路的电阻，通常从欧姆定律出发，分析电路的串并联关系。实际电路中，电阻的联接千变万化，我们需要运用各种方法，通过等效变换将复杂电路转换成简单直观的串并联电路。本节主要介绍几种常用的计算复杂电路等效电阻的方法。
1、等势节点的断接法
在一个复杂电路中，如果能找到一些完全对称的点（以两端连线为对称轴），那么可以将接在等电势节点间的导线或电阻或不含电源的支路断开（即去掉），也可以用导线或电阻或不含电源的支路将等电势节点连接起来，且不影响电路的等效性。
这种方法的关键在于找到等势点，然后分析元件间的串并联关系。常用于由等值电阻组成的结构对称的电路。
【例题1】在图8-4甲所示的电路中，R 1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R ，试求A 、B 两端的等效电阻R AB 。
模型分析：这是一个基本的等势缩点的事例，用到的是物理常识是：导线是等势体，用导线相连的点可以缩为一点。将图8-4甲图中的A 、D 缩为一点A 后，成为图8-4乙图。
答案：R AB =
38
R 。
【例题2】在图8-5甲所示的电路中，R 1 = 1Ω ，R 2 = 4Ω ，R 3 = 3Ω ，R 4 = 12Ω ，R 5 = 10Ω ，试求A 、B 两端的等效电阻R AB 。
模型分析：这就是所谓的桥式电路，这里先介绍简单的情形：将A 、B 两端接入电源，并假设R 5不存在，C 、D 两点的电势相等。
因此，将C 、D 缩为一点C 后，电路等效为图8-5乙
对于图8-5的乙图，求R AB 是非常容易的。事实上，只要满足电路平衡。 答案：R AB =
154
R 1R 2
=
R 3R 4
的关系，该桥式
Ω 。
【例题3】在如图所示的有限网络中，每一小段导体的电阻均为R ，试求A 、B 两点之间的等效电阻R AB 。
【例题4】用导线连接成如图所示的框架，ABCD 是正四面体，每段导线的电阻都是1Ω。求AB 间的总电阻。
2、电流分布法
C
B
设有电流I 从A 点流入、B 点流出，应用电流分流的思想和网络中两点间不同路径等电压的思想，（即基耳霍夫定理），建立以网络中各支路的电流为未知量的方程组，解出各支路电流与总电流I 的关系，然后经任一路径计算A 、B 两点间的电压
U AB ，再由
即可求出等效电阻。
【例题1】7根电阻均为r 的电阻丝接成如图所示的网络，试
R AB =
U AB I
求出A 、B 两点之间的等效电阻R AB 。
【例题2】10根电阻均为r 的电阻丝接成如图所示的网络，试求出A 、B 两点之间的等效电阻R AB 。
【例题3】8根电阻均为r 的电阻丝接成如图所示的网络，C 、D 之间是两根电阻丝并联而成，试求出A 、B 两点之间的等效电阻R AB 。
3. 有限网络电阻
例1 如图所示电路中，R 1=R3=R5=间得总电阻。
……
=R99=5Ω，R 2=R4=R6=
……
=R98=10Ω, R100=5Ω, 求AB
解：电阻R 99和R 100串联的阻值为10Ω，与R 98并联后的电阻为5Ω，再与R 97串联的总电阻为10Ω，依次类推，虚线后面的电阻为10Ω，与R 2并联后再与R 1串联，得到
R AB =10Ω。
二、无限网络电阻 １、”自相似性”法
例2 在图2甲所示无限网络中，每个电阻的阻值均为R ，试求A 、B 两点间的电阻R AB
。
解：该类问题具有”自相似性”特点。所谓”自相似性”是指：“并联一个R 再串联一个R ”是电路每一级，总电路是这样无穷级的叠加。在图乙中，虚线部分右边可以看成原有无限网络，当它添加一级后，仍为无限网络，即R AB ∥R + R = RAB 解这个方程就得出了R AB 的值R AB =
1+25
R 。
２、电流注入法
例3 如图3所示的无限网络中每根电阻丝的电阻都为R ，求A 、B 两点间的电阻R AB 。 应用电流注入法的依据是：（1）对于任何一段导体或一个等效电阻R ，欧姆定律都适用；（2）若电路中有多个电源, 则通过电路中任一支路中的电流等于各个电动势单独存在时, 在该支路上产生的电流之和(代数和) 。
解:设A 点接电源正极，无穷远接电源负极，即从A 点注入电流I 时，根据对称性,AB 间电阻丝的电流必为I/3 ；再设Ｂ点接电源负极，无穷远接电源正极，从B 点流出电流I 时，根据对称性,AB 小段导体的电流必为I/3 ；那么，当上面“注入”和“流出”的过程同时进行时，即从A 点“注入”电流I, 从B 点“流出”电流I, 则由叠加性，AB 小段导体的电流必为2I/3 。应用欧姆定律，对AB 间的电阻丝得：U=
23
23
IR ，对整个网络得：U=I RAB ，解得 R AB =R 。
第一部分 电路的等效变化
在处理较复杂的混联电路问题时，常常因不会画等效电路图，难以求出等效电阻而直接影响解题。为此，向同学们介绍一种画等效电路图的方法《快速三步法》。
快速三步法画等效电路图的步骤为：
⑴ 标出等势点。依次找出各个等势点，并从高电势点到低电势点顺次标清各等势点字母。
⑵ 捏合等势点画草图。即把几个电势相同的等势点拉到一起，合为一点，然后假想提起该点“抖动”一下，以理顺从该点向下一个节点电流方向相同的电阻，这样逐点依次画出草图。画图时要注意标出在每个等势点处电流“兵分几路”及与下一个节点的联接关系。
⑶ 整理电路图。要注意等势点、电阻序号与原图一一对应，整理后的等效电路图力求规范，以便计算。
例1、图1所示电路中，R1=R2=R3=3Ω， R4=R5=R6=6Ω，求M 、N 两点间的电阻。
解：该题是一种典型的混联电路，虽然看上去对称、简单，但直接看是很难认识各个电阻间的联接关系的，因此必须画出等效电路图。下面用快速三步法来解。 1. 在原电路图上标了等势点a 、b 、c 。
2. 捏合等势点画草图。从高电势点M 点开始，先把两个a 点捏合到一起，理
顺电阻，标出电流在a 点“兵分三路”，分别经R1、R2、R3流向b 点；再捏合三个b 点，理顺电阻，标出电流在b 点“兵分三路”，分别经R4、R5、R6流向c 点；最后捏合c 点，电流流至N 点。（见图2）
3. 整理电路图如图3所示。 从等效电路图图3可以清楚地看出原电路各电
阻的联接方式，很容易计算出M 、N 两点间的电阻R=3Ω。
◆练习：如图4所示，R1=R3=4Ω，R2=R5=1Ω， R4=R6=R7=2Ω，求a 、d 两点间的电阻。
解：（1）在原电路图上标出等势点a 、b 、c 、d
（2）捏合等势点画草图，首先捏合等势点a ，从a 点开始，电流“兵分三路”，分别经R2流向b 点、经R3和R1流向d 点；捏合等势点b ，电流
“兵分两路”，分别经R5流向c 点，经R4流向d 点；捏合等势点c ， 电流“兵分两路”，分别经R6和R7流向d 点。
（3）整理电路如图7所示
从等效电路图可清楚地看出原电路各电阻的联接关系，很容易计算出a 、d 两点间的电阻R=1Ω。
第二部分 竞赛中纯电阻电路的简化和等效变换
计算一个电路的电阻，通常从欧姆定律出发，分析电路的串并联关系。实际电路中，电阻的联接千变万化，我们需要运用各种方法，通过等效变换将复杂电路转换成简单直观的串并联电路。本节主要介绍几种常用的计算复杂电路等效电阻的方法。
1、等势节点的断接法
在一个复杂电路中，如果能找到一些完全对称的点（以两端连线为对称轴），那么可以将接在等电势节点间的导线或电阻或不含电源的支路断开（即去掉），也可以用导线或电阻或不含电源的支路将等电势节点连接起来，且不影响电路的等效性。
这种方法的关键在于找到等势点，然后分析元件间的串并联关系。常用于由等值电阻组成的结构对称的电路。
【例题1】在图8-4甲所示的电路中，R 1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R ，试求A 、B 两端的等效电阻R AB 。
模型分析：这是一个基本的等势缩点的事例，用到的是物理常识是：导线是等势体，用导线相连的点可以缩为一点。将图8-4甲图中的A 、D 缩为一点A 后，成为图8-4乙图。
答案：R AB =
38
R 。
【例题2】在图8-5甲所示的电路中，R 1 = 1Ω ，R 2 = 4Ω ，R 3 = 3Ω ，R 4 = 12Ω ，R 5 = 10Ω ，试求A 、B 两端的等效电阻R AB 。
模型分析：这就是所谓的桥式电路，这里先介绍简单的情形：将A 、B 两端接入电源，并假设R 5不存在，C 、D 两点的电势相等。
因此，将C 、D 缩为一点C 后，电路等效为图8-5乙
对于图8-5的乙图，求R AB 是非常容易的。事实上，只要满足电路平衡。 答案：R AB =
154
R 1R 2
=
R 3R 4
的关系，该桥式
Ω 。
【例题3】在如图所示的有限网络中，每一小段导体的电阻均为R ，试求A 、B 两点之间的等效电阻R AB 。
【例题4】用导线连接成如图所示的框架，ABCD 是正四面体，每段导线的电阻都是1Ω。求AB 间的总电阻。
2、电流分布法
C
B
设有电流I 从A 点流入、B 点流出，应用电流分流的思想和网络中两点间不同路径等电压的思想，（即基耳霍夫定理），建立以网络中各支路的电流为未知量的方程组，解出各支路电流与总电流I 的关系，然后经任一路径计算A 、B 两点间的电压
U AB ，再由
即可求出等效电阻。
【例题1】7根电阻均为r 的电阻丝接成如图所示的网络，试
R AB =
U AB I
求出A 、B 两点之间的等效电阻R AB 。
【例题2】10根电阻均为r 的电阻丝接成如图所示的网络，试求出A 、B 两点之间的等效电阻R AB 。
【例题3】8根电阻均为r 的电阻丝接成如图所示的网络，C 、D 之间是两根电阻丝并联而成，试求出A 、B 两点之间的等效电阻R AB 。
3. 有限网络电阻
例1 如图所示电路中，R 1=R3=R5=间得总电阻。
……
=R99=5Ω，R 2=R4=R6=
……
=R98=10Ω, R100=5Ω, 求AB
解：电阻R 99和R 100串联的阻值为10Ω，与R 98并联后的电阻为5Ω，再与R 97串联的总电阻为10Ω，依次类推，虚线后面的电阻为10Ω，与R 2并联后再与R 1串联，得到
R AB =10Ω。
二、无限网络电阻 １、”自相似性”法
例2 在图2甲所示无限网络中，每个电阻的阻值均为R ，试求A 、B 两点间的电阻R AB
。
解：该类问题具有”自相似性”特点。所谓”自相似性”是指：“并联一个R 再串联一个R ”是电路每一级，总电路是这样无穷级的叠加。在图乙中，虚线部分右边可以看成原有无限网络，当它添加一级后，仍为无限网络，即R AB ∥R + R = RAB 解这个方程就得出了R AB 的值R AB =
1+25
R 。
２、电流注入法
例3 如图3所示的无限网络中每根电阻丝的电阻都为R ，求A 、B 两点间的电阻R AB 。 应用电流注入法的依据是：（1）对于任何一段导体或一个等效电阻R ，欧姆定律都适用；（2）若电路中有多个电源, 则通过电路中任一支路中的电流等于各个电动势单独存在时, 在该支路上产生的电流之和(代数和) 。
解:设A 点接电源正极，无穷远接电源负极，即从A 点注入电流I 时，根据对称性,AB 间电阻丝的电流必为I/3 ；再设Ｂ点接电源负极，无穷远接电源正极，从B 点流出电流I 时，根据对称性,AB 小段导体的电流必为I/3 ；那么，当上面“注入”和“流出”的过程同时进行时，即从A 点“注入”电流I, 从B 点“流出”电流I, 则由叠加性，AB 小段导体的电流必为2I/3 。应用欧姆定律，对AB 间的电阻丝得：U=
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IR ，对整个网络得：U=I RAB ，解得 R AB =R 。