基于小波分析的中国股市
高频长记忆研究
侯守国，张世英
（天津大学管理学院，天津’"""-!）
摘要：本文以小波变换为工具，借助于小波方差研究股市高频数据收益率和波动率的长记忆
性。结果表明，沪市高频数据的长记忆性总体上比深市大；在不同尺度上，沪深两市长记忆大小的关系并不稳定；高频数据波动率的长记忆性大于收益率的长记忆性。
关键词：小波分析；小波方差；高频；长记忆中图分类号：%&’"()$
文献标识码：*
文章编号：（!""#）$""!+#,&-"$+""")+"’
时，称!9
!引言
根据有效市场假说的理论，如果一个资本市场是有效
函数!9
!HIJ9
"平移因子。
$
（!）
的，则市场收益率自身不具有序列相关性；但一些学者发现这种序列自相关性在股市中是存在的。文献.$/对美国股市进行了研究，发现长记忆性在指数收益率序列中不显著，但在某些个股中却显著存在；文献.!/利用对数周期图法对沪深股市指数进行了长记忆检验，对于收益率序列和收益波动率序列，得到不同的结果；文献.’/采用*0123420和5677234728对上证指数高频数据中的周期性进9$))-:.,/的%%%回归方法，
行了分析，并分析了剔除周期后的绝对值收益的长记忆性。如果股市的收益率是相关的，也即现在的收益率会对将来的收益率产生影响，这种相关性的一个体现就是收益率序列的自相关函数呈现出一种缓慢的衰减模式，如以双曲线形式衰减到"，这种现象称之为长记忆性。
关于股市中的长记忆性的研究，对于分析和了解股市结构，判断市场走势以及分析波动和控制风险等方面都有着显而易见的重要性。长记忆性所说明的是过去和未来的一种持续的相关关系，是资产收益特征的一个极为重要的方面。因此，对其研究也是很有必要的。文献.;/利用小波方法研究局部自相似过程的时变尺度指数；本文利用小波方差作为工具，研究沪深股市$"分钟高频收益率序列和波动率序列的长记忆性，并分析在不同尺度上沪深股市的长记忆性。
称其为一个小波序列。其中HIJ!>KH""，H为伸缩因子，J为
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$
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则对任意函数Q9
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其中，N是小波变换的层数，其对应的尺度为#N@N+$；O表示第N层所包含的系数个数，其表达式为O@VV为Q9
本数）；!NIOT9
对于第N层的离散小波系数?NIO，其方差为：
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（#）
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令WFZNI7[7@"I\I=N+$X是与尺度#N@!N+$相联系的第N阶（最大重复离散小波变换）小波滤波器，这里=N@9!N+$:E]RGS
它是第N阶滤波器的长度。假设W_
一离散参数的实值随机过程，并且有
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设!（:，
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条件：
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基金项目：国家自然科学基金资助项目（-",-$";"）
统计与决策!""#年$月（下）
)
过程。如果它存在且是有限的，则尺度!%的小波方差被定义为%()*的方差，即
可以得到因此，长记忆过程&A)*经过离散小波变换后，由此线形关系可以估X?T-!%+,!-!%..与X?T-!%!.之间存在线形关系，
计长记忆参数Q的值。
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根据文献4#5，678和9:678的系数之间有如下关系：
（
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所以，小波方差与678系数的方差存在如下关系：
（$"）
为了衡量具体尺度!%上的长记忆性，根据等比性质，变为换式（!"）
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#
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实证研究
本文以!""R年S月$日至!""R年3月V日的上证指
数和深成指数为基础，每十分钟抽取一个数据Y!，分别得到因!"S
!D$
此可得到!"S3个收益率。
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（$$）
对于实值平稳过程&,)*来说，如果E’0@是平方可积的，即
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采用E6L（1[T\OZ)OQQP>]O^DK[XXO2）单位根检验法，得到
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!
,I!它的E’0@可以被表达为一个谱密度函数@,-K.JH，
沪深股市$"分钟高频收益率序列的统计检验值分别为D
（@6L），也经常被称为能量谱。
对于MKM!KN/$
H
绝对值，表明沪深股市$"分钟高频收益率序列是平稳的。
利用‘112小波对收益率序列进行离散小波变换，则得
（$!）
到离散小波变换系数’（，利用式（#）算出&’%()*的%()%/$(!(C($"）算出在尺度!%的小波方差+,!-!%.，然后方差，进而利用式（$"）利用式（$
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，我们可以得到以下关系：
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,KNDKN
,
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特别地，当!/"时，我们可以得到：
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（$S）
忆性的大小，即沪市的长记忆性要比深市的长记忆性大。通过图$、图!不难看出，在相邻两尺度上的长记忆性并不相算出Q%等。为了识别具体尺度上长记忆的大小，利用式（!$）的值，见表$。
（$U）
表$
沪深两市高频收益率在不同尺度上的Q值
"@-K.QK/@
+,!-!%."!
,("
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即@,-T.依频率分解过程方差。令+,!-!%.是具体的尺度则当#)/$时，!%#)/!%D$#)的小波方差，
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则结合式（$U），可以得到假设&,)5的@6L满足@,-K.#MKM%，
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"
不同尺度下长记忆参数的计算
（$#）
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沪市"I$U
"I"
根据文献4V5，如果平稳过程&,)*的自相关函数&!依负幂指数率（双曲率）随间隔阶数!增大而缓慢下降，即
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其中’为常数，“：”表示收敛速度相同，则称"JQJ"IU，该序列非平稳；当D&,)*为长记忆平稳时间序列。当QW"IU时，该序列为反持久性序列。"IUJQJ"时，
根据长记忆时间序列的定义，令式（$#）中的%/D!Q，则得到
图$
沪市高频收益率序列的
图!
深市高频收益率序列的
X?T-!%+A!-!%..BX?T-!%!.图X?T-!%+A!-!%..BX?T-!%!.图
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根据文献435，对于波动率长记忆的度量，采用绝对值收
+,!-!%.#!%!QD$
式（$3）两边同时乘以!%并取对数，得
（$3）（$
益和对数平方收益比平方收益的估计效果要好，故本文采用绝对值收益作为收益率的波动率代表。采用‘112小波对绝
X?T-!%+,!-!%..#QX?T-!%!.$"
统计与决策!""#年$月（下）
对值收益率序列%&!%进行$"阶离散小波变换，利用式（$"）算出在尺度!’的小波方差()!*!’+,然后通过式（$-）建立./0*!’()!得到它们之间的回归图，见图*!’++与./0*!’!+之间的线形关系，
券交易所在成立之初，其规模较上海证券交易所大，但随着国家政策向上海方面的倾斜，到$--2年底上海证券交易所在规模上就已远远超过了深圳证券交易所。因而深圳股市对各种信息的反应比上海股市更迅速，更易受外部信息的影响。
根据不同尺度之间长记忆性的大小，可以得知在更精确的时间段中，沪深两市的长记忆孰大孰小。例如，当’C1时，即在2"分钟的观测范围内，沪市$"分在尺度!’C!’>$C2时，
钟高频数据收益率的长记忆性比深市的大；但时，即’C2在深市$"分钟高频数据收益率的长记D"分钟的观测范围内，忆性比沪市的要大。
深圳股市的值文献A-B利用分数可积模型所估计的上海、
分别为"41D2和"41E!。高频数据下所反映出来的长记忆性相对更大一些，这也说明高频数据揭示了一些普通数据所没有表现出来的特性。使用相对较短的时间段上的高频数据，则可以使得市场在所使用的数据段上的结构变化不大，同时又保证了有足够的数据量以支持模型的实证分析，从而更好地揭示市场的行为，并且由于长记忆过程的自相关函数缓慢衰减，从而可以更有效预测未来短期的变动范围。这也是高频数据在研究中相对于低频数据的一个优势。
1和图2。
沪市高频波动率序列的3值为"4#-#，深市高频波动率序列的3值为"4#12。沪深股市高频波动率序列的3值都大即两序列都是非平稳的。为此，进行单位根检验，以验于"45，
证其平稳性。用6(789:软件的;
$"分钟高频波动率序列的统计检验值分别为>!42!1和>
其绝对值小于$?显著水平的临界值>1422的绝对值，!4#"!，
表明沪深股市$"分钟高频波动率序列是非平稳的。
为了验证沪深股市高频收益波动率在不同尺度上的长记忆值的变化趋势，利用式（!$）算出3’
的值，见表!。
图1沪市高频波动率序列的图2深市高频波动率序列的
!结论
沪深两市的高频时间序列都存在长记忆性，且沪市的长
./0*!’(‘!*!’++@./0*!’!+图
表!
./0*!’(‘!*!’++@./0*!’!+图
沪深两市高频波动率在不同尺度上的3值
3$3!3132353#3E3D3-沪市"411$"412$"4-E5"4##2"4D11"45-1$425-$4"-->$42#5深市"42$D"41#-$4""-"45"-"4-5""421D$42"$>"4!#1"4!!E
记忆性强于深市。沪深两市的高频收益率序列都是平稳的，但其波动率序列都是非平稳的，且高频波动率序列的长记忆性显著大于收益率序列的长记忆性。
参考文献：
241高频收益率序列与波动率序列长记忆性的比较沪深两市的波动率序列利用小波方法得到的长记忆性
A$BFG&H/I.G:J/KLM4"E>$54
马玉林，陈伟忠4中国股市长记忆性实证研究AJB4同济大A!B施红俊，
学学报,!""2，（1）1!4
方兆本，潘婉斌4中国股市高频数据中的周期性和长记忆A1B陶利斌，
性AJB4系统工程理论与实践,!""2，!2*#+@!#>1!4
值分别大于各自的收益率序列的值，这说明高频波动性序列的长记忆性和波动持续性比较大，且序列是非平稳的。但通过图$和图1进行比较，可以发现沪市收益率和波动率不同的是拟合线./0*!’()!*!’++@./0*!’!+的散点图的分布基本一致，
的斜率；表$和表!中上证指数的高频收益率和波动率在不同尺度上3值的变化趋势也一样，例如3-都是负值。对于深圳股市，高频收益率序列与波动率序列之间也具有相似的性质。
为了衡量沪深两市在不同尺度上，高频收益率序列和波动率序列的长记忆的关系，建立高频收益率序列和波动率序列的长记忆之间的回归方程。对于沪市，以不同尺度下高频波动率序列的3值为自变量，不同尺度下高频收益率序列的得到线形回归方程的系数为"4252。同样地，3值为因变量，
得到深市回归方程的系数为"4225。
N/L0O8&P38Q8L38LR87L:O/RH&8OI&L:A6FS
TNB4KOOQ@SS99948R/LQGQ8&:4KK:4:8SQGQ8&SU/RU/R/8RS1$24KOP,$--5>
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Q8&:7:O8LR87LY7LGLR7G.PG&H8O:AJB4J/I&LG./Y6PQ7&7RG.=7LGLR8,$--E,2*!—1+：$$5—$5D4
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8:O7PGO7/L/Y./L0P8P/&X
(/.GO7.7OX38Q8L38LR78:97OKR/L37O7/LG..XK8G(XOG7.83&8OI&L:A6FSTNB4A-B李亚静,何跃,朱宏泉4中国股市收益率和波动性长记忆性的实证研究AJB4系统工程理论与实践,!""1,!1*$+4
!""$,--@
242沪市和深市的长记忆性比较
无论是收益率序列还是波动率序列，沪市的长记忆性都
上海股市收益率比深市的长记忆性大。根据文献A!B的结论，
和波动率的长记忆性大于深圳股市，我们认为这与沪深股市的结构和上市公司的构成有关。其一，在上海证券交易所上市的公司大多为大型的国有企业，而在深圳证券交易所上市的公司主要是较小型的合资、外向型企业；其二，尽管深圳证
（责任编辑S亦民）
统计与决策!""#年$月（下）
$$
基于小波分析的中国股市
高频长记忆研究
侯守国，张世英
（天津大学管理学院，天津’"""-!）
摘要：本文以小波变换为工具，借助于小波方差研究股市高频数据收益率和波动率的长记忆
性。结果表明，沪市高频数据的长记忆性总体上比深市大；在不同尺度上，沪深两市长记忆大小的关系并不稳定；高频数据波动率的长记忆性大于收益率的长记忆性。
关键词：小波分析；小波方差；高频；长记忆中图分类号：%&’"()$
文献标识码：*
文章编号：（!""#）$""!+#,&-"$+""")+"’
时，称!9
!引言
根据有效市场假说的理论，如果一个资本市场是有效
函数!9
!HIJ9
"平移因子。
$
（!）
的，则市场收益率自身不具有序列相关性；但一些学者发现这种序列自相关性在股市中是存在的。文献.$/对美国股市进行了研究，发现长记忆性在指数收益率序列中不显著，但在某些个股中却显著存在；文献.!/利用对数周期图法对沪深股市指数进行了长记忆检验，对于收益率序列和收益波动率序列，得到不同的结果；文献.’/采用*0123420和5677234728对上证指数高频数据中的周期性进9$))-:.,/的%%%回归方法，
行了分析，并分析了剔除周期后的绝对值收益的长记忆性。如果股市的收益率是相关的，也即现在的收益率会对将来的收益率产生影响，这种相关性的一个体现就是收益率序列的自相关函数呈现出一种缓慢的衰减模式，如以双曲线形式衰减到"，这种现象称之为长记忆性。
关于股市中的长记忆性的研究，对于分析和了解股市结构，判断市场走势以及分析波动和控制风险等方面都有着显而易见的重要性。长记忆性所说明的是过去和未来的一种持续的相关关系，是资产收益特征的一个极为重要的方面。因此，对其研究也是很有必要的。文献.;/利用小波方法研究局部自相似过程的时变尺度指数；本文利用小波方差作为工具，研究沪深股市$"分钟高频收益率序列和波动率序列的长记忆性，并分析在不同尺度上沪深股市的长记忆性。
称其为一个小波序列。其中HIJ!>KH""，H为伸缩因子，J为
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则对任意函数Q9
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其中，N是小波变换的层数，其对应的尺度为#N@N+$；O表示第N层所包含的系数个数，其表达式为O@VV为Q9
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对于第N层的离散小波系数?NIO，其方差为：
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（?NIO+Y9?NIO:）8H3W?NIOX@Y./
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其中，（?NIO）是W?NI
令WFZNI7[7@"I\I=N+$X是与尺度#N@!N+$相联系的第N阶（最大重复离散小波变换）小波滤波器，这里=N@9!N+$:E]RGS
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统计与决策!""#年$月（下）
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可以得到因此，长记忆过程&A)*经过离散小波变换后，由此线形关系可以估X?T-!%+,!-!%..与X?T-!%!.之间存在线形关系，
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%()*+,!-!%./+12&’（3）
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!小波方差基础上的长记忆性
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平稳序列&,)*的任意两个元素,)和,)=!的协方差>?+&,)(（对所有整数，它仅仅与两元素的间隔!有关。)和!）,)=!*/@A(!序列&@A(!B!/C(D$("($(C*被称为自协方差序列（E’0@）序列。&,)*的第)部分即,)的方差是一个固定的独立的与时间)无关的量，因为
实证研究
本文以!""R年S月$日至!""R年3月V日的上证指
数和深成指数为基础，每十分钟抽取一个数据Y!，分别得到因!"S
!D$
此可得到!"S3个收益率。
+12&,)*/>?+&,)(,)*/F&-,)D",.!*/G,("
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对于实值平稳过程&,)*来说，如果E’0@是平方可积的，即
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沪深股市$"分钟高频收益率序列的统计检验值分别为D
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对于MKM!KN/$
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绝对值，表明沪深股市$"分钟高频收益率序列是平稳的。
利用‘112小波对收益率序列进行离散小波变换，则得
（$!）
到离散小波变换系数’（，利用式（#）算出&’%()*的%()%/$(!(C($"）算出在尺度!%的小波方差+,!-!%.，然后方差，进而利用式（$"）利用式（$
沪市X?T-!%+,!-!%..BX?T-!%!.图的斜率即Q/"IS
，我们可以得到以下关系：
@,-K./#)!G,(!O
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即@,-DK./@,-K.，而且满足@6L是关于频率K的偶函数，
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特别地，当!/"时，我们可以得到：
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（$S）
忆性的大小，即沪市的长记忆性要比深市的长记忆性大。通过图$、图!不难看出，在相邻两尺度上的长记忆性并不相算出Q%等。为了识别具体尺度上长记忆的大小，利用式（!$）的值，见表$。
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不同尺度下长记忆参数的计算
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沪市"I$U
"I"
根据文献4V5，如果平稳过程&,)*的自相关函数&!依负幂指数率（双曲率）随间隔阶数!增大而缓慢下降，即
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其中’为常数，“：”表示收敛速度相同，则称"JQJ"IU，该序列非平稳；当D&,)*为长记忆平稳时间序列。当QW"IU时，该序列为反持久性序列。"IUJQJ"时，
根据长记忆时间序列的定义，令式（$#）中的%/D!Q，则得到
图$
沪市高频收益率序列的
图!
深市高频收益率序列的
X?T-!%+A!-!%..BX?T-!%!.图X?T-!%+A!-!%..BX?T-!%!.图
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根据文献435，对于波动率长记忆的度量，采用绝对值收
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式（$3）两边同时乘以!%并取对数，得
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益和对数平方收益比平方收益的估计效果要好，故本文采用绝对值收益作为收益率的波动率代表。采用‘112小波对绝
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统计与决策!""#年$月（下）
对值收益率序列%&!%进行$"阶离散小波变换，利用式（$"）算出在尺度!’的小波方差()!*!’+,然后通过式（$-）建立./0*!’()!得到它们之间的回归图，见图*!’++与./0*!’!+之间的线形关系，
券交易所在成立之初，其规模较上海证券交易所大，但随着国家政策向上海方面的倾斜，到$--2年底上海证券交易所在规模上就已远远超过了深圳证券交易所。因而深圳股市对各种信息的反应比上海股市更迅速，更易受外部信息的影响。
根据不同尺度之间长记忆性的大小，可以得知在更精确的时间段中，沪深两市的长记忆孰大孰小。例如，当’C1时，即在2"分钟的观测范围内，沪市$"分在尺度!’C!’>$C2时，
钟高频数据收益率的长记忆性比深市的大；但时，即’C2在深市$"分钟高频数据收益率的长记D"分钟的观测范围内，忆性比沪市的要大。
深圳股市的值文献A-B利用分数可积模型所估计的上海、
分别为"41D2和"41E!。高频数据下所反映出来的长记忆性相对更大一些，这也说明高频数据揭示了一些普通数据所没有表现出来的特性。使用相对较短的时间段上的高频数据，则可以使得市场在所使用的数据段上的结构变化不大，同时又保证了有足够的数据量以支持模型的实证分析，从而更好地揭示市场的行为，并且由于长记忆过程的自相关函数缓慢衰减，从而可以更有效预测未来短期的变动范围。这也是高频数据在研究中相对于低频数据的一个优势。
1和图2。
沪市高频波动率序列的3值为"4#-#，深市高频波动率序列的3值为"4#12。沪深股市高频波动率序列的3值都大即两序列都是非平稳的。为此，进行单位根检验，以验于"45，
证其平稳性。用6(789:软件的;
$"分钟高频波动率序列的统计检验值分别为>!42!1和>
其绝对值小于$?显著水平的临界值>1422的绝对值，!4#"!，
表明沪深股市$"分钟高频波动率序列是非平稳的。
为了验证沪深股市高频收益波动率在不同尺度上的长记忆值的变化趋势，利用式（!$）算出3’
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图1沪市高频波动率序列的图2深市高频波动率序列的
!结论
沪深两市的高频时间序列都存在长记忆性，且沪市的长
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表!
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沪深两市高频波动率在不同尺度上的3值
3$3!3132353#3E3D3-沪市"411$"412$"4-E5"4##2"4D11"45-1$425-$4"-->$42#5深市"42$D"41#-$4""-"45"-"4-5""421D$42"$>"4!#1"4!!E
记忆性强于深市。沪深两市的高频收益率序列都是平稳的，但其波动率序列都是非平稳的，且高频波动率序列的长记忆性显著大于收益率序列的长记忆性。
参考文献：
241高频收益率序列与波动率序列长记忆性的比较沪深两市的波动率序列利用小波方法得到的长记忆性
A$BFG&H/I.G:J/KLM4"E>$54
马玉林，陈伟忠4中国股市长记忆性实证研究AJB4同济大A!B施红俊，
学学报,!""2，（1）1!4
方兆本，潘婉斌4中国股市高频数据中的周期性和长记忆A1B陶利斌，
性AJB4系统工程理论与实践,!""2，!2*#+@!#>1!4
值分别大于各自的收益率序列的值，这说明高频波动性序列的长记忆性和波动持续性比较大，且序列是非平稳的。但通过图$和图1进行比较，可以发现沪市收益率和波动率不同的是拟合线./0*!’()!*!’++@./0*!’!+的散点图的分布基本一致，
的斜率；表$和表!中上证指数的高频收益率和波动率在不同尺度上3值的变化趋势也一样，例如3-都是负值。对于深圳股市，高频收益率序列与波动率序列之间也具有相似的性质。
为了衡量沪深两市在不同尺度上，高频收益率序列和波动率序列的长记忆的关系，建立高频收益率序列和波动率序列的长记忆之间的回归方程。对于沪市，以不同尺度下高频波动率序列的3值为自变量，不同尺度下高频收益率序列的得到线形回归方程的系数为"4252。同样地，3值为因变量，
得到深市回归方程的系数为"4225。
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(/.GO7.7OX38Q8L38LR78:97OKR/L37O7/LG..XK8G(XOG7.83&8OI&L:A6FSTNB4A-B李亚静,何跃,朱宏泉4中国股市收益率和波动性长记忆性的实证研究AJB4系统工程理论与实践,!""1,!1*$+4
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242沪市和深市的长记忆性比较
无论是收益率序列还是波动率序列，沪市的长记忆性都
上海股市收益率比深市的长记忆性大。根据文献A!B的结论，
和波动率的长记忆性大于深圳股市，我们认为这与沪深股市的结构和上市公司的构成有关。其一，在上海证券交易所上市的公司大多为大型的国有企业，而在深圳证券交易所上市的公司主要是较小型的合资、外向型企业；其二，尽管深圳证
（责任编辑S亦民）
统计与决策!""#年$月（下）
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