海淀20、有限数列A n :a 1, a 2,..., a n (n ≥3)同时满足下列两个条件：
①对于任意的i , j (1≤i ②对于任意的i , j , k (1≤i
东城20、无穷数列{a n }中，对于任意n ∈N ，都有a n ∈N *，且a n
，它的伴随数列{b n }是1,1,2,3,
．
，请写出{a n }的伴随数列{b n }的前5项；
*
(Ⅱ) 设a n =3n -1(n ∈N *) ，求数列{a n }的伴随数列{b n }的前20项和； （Ⅲ）设a n =3n -2(n ∈N *) ，求数列{a n }的伴随数列{b n }前n 项和S n ．
西城20已知点列
(k ∈N *，k ≥2) 满足P 1（1，1）
，
中有且只有一个成立．
⑴写出满足k = 4且P 4（1，1）的所有点列；
⑵证明：对于任意给定的k (k ∈N *，k ≥2) ，不存在点列T ，使得
；
⑶当k = 2n −1且
时，求 的最大值．
朝阳20. 若数列{a n }中不超过f (m ) 的项数恰为b m (m ∈N *) ，则称数列{b m }是数列{a n }的生成数列，称相应的函数f (m ) 是{a n }生成{b m }的控制函数．设f (m ) =m 2．
（Ⅰ）若数列{a n }单调递增，且所有项都是自然数，b 1=1，求a 1； （Ⅱ）若数列{a n }单调递增，且所有项都是自然数，a 1=b 1, 求a 1；
(Ⅲ) 若a n =2n (n =1,2,3) ，是否存在{b m }生成{a n }的控制函数g (n ) =pn 2+qn +r （其中常数p , q , r ∈Z ）？使得
数列{a n }也是数列{b m }的生成数列？若存在，求出g (n ) ；若不存在，说明理由.
-a 1，a 2，a m (m ∈Z ，丰台20. 如果数列A ：„，且m ≥3) ，满足：①a i ∈Z ，
m m
≤a i ≤(i =1,2, 22
, m ) ； ②
a 1+a 2++a m =1，那么称数列A 为“Ω”数列．
（Ⅰ）已知数列M ：-2，1，3，-1；数列N ：0，1，0，-1，1．试判断数列M ，N 是否为“Ω”数列； （Ⅱ）是否存在一个等差数列是“Ω”数列？请证明你的结论；
（Ⅲ）如果数列A 是“Ω”数列，求证：数列A 中必定存在若干项之和为0．
石景山20 设数列{a n }满足：
①a 1=1；②所有项a n ∈N *；③1=a 1
设集合A m ={n|an ≤m , m ∈N *}，将集合A m 中的元素的最大值记为b m ，即b m 是数列{a n }中满足不等式a n ≤m 的所有项的项数的最大值．我们称数列{b n }为数{a n }的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．
(Ⅰ) 若数列{a n }的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列{a n }； (Ⅱ) 设a n =3
n -1
，求数列{a n }的伴随数列{b n }的前30项之和；
2
(Ⅲ) 若数列{a n }的前n 项和S n =n +c （其中c 常数），求数列{a n }的伴随数列{b m } 的前m 项和T m ．
顺义20已知二次函数y =f (x ) 的图象的顶点坐标为(-1, -) ，且过坐标原点O . 数列{a n }的前n 项和为S n ，点
1
3
(n , S n )(n ∈N *) 在二次函数y =f (x ) 的图象上.
（I ）求数列{a n }的通项公式；
（II ）设b n =a n a n +1cos(n +1) π,(n ∈N *) ，数列{b n }的前n 项和为T n ，若T n ≥tn 2对n ∈N 恒成立，求实数t 的取值范围；
（III ）在数列{a n }中是否存在这样一些项：a n 1, a n 2, a n 3,
*
, a n k ,
(1=n 1
, k ∈N *) ，这些项都能够构成以a 1为首项，q (0
若存在，写出n k 关于k 的表达式；若不存在，说明理由.
海淀（1）由①，得2
由②，当i =2，j =3，k =4时. 2a , 6a , 12中至少有一个是数列1，2，a ，6中的项，但6a >6，
12>6，故2a =6，解得a =3.
经检验，当a =3时，符合题意.
（2）假设2,3,5是数列A n 中的项，由②可知：6，10，15中至少有一个是数列A n 中的项，则有限数列A n 的最后一项a n >5，且n ≥4. 由①，a n >a n -1>a n -2>a n -3>1.
对于数a n -2, a n -1, a n ，由②可知：a n -2a n -1=a n ；对于数a n -3, a n -1, a n ，由②可知：a n -3a n -1=a n . 所以
a n -2=a n -3，这与①矛盾.
所以 2,3,5不可能是数列A n 中的项.
（3）n 的最大值为9，证明如下：
（1）令A 9:-4, -2, -1, -, -,0, ,1,2，则A 9符合①、②. （2）设A n :a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a n (n ≥3) 符合①、②，则：
121412
（ⅰ）A n 中至多有三项，其绝对值大于1.
假设A n 中至少有四项，其绝对值大于1，不妨设a i ，a j ，a k ，a l 是A n 中绝对值最大的四项，其中1
则对a i ，a k ，a l 有|a i a l |>|a l |，|a k a l |>|a l |，故a i a l ，a k a l 均不是数列A n 中的项，即a i a k 是数列A n 中的项.
同理：a j a k 也是数列A n 中的项. 但|a i a k |>|a k |，|a j a k |>|a k |. 所以 a i a k =a j a k =a l . 所以 a i =a j ，这与①矛盾. （ⅱ）A n 中至多有三项，其绝对值大于0且小于1.
假设A n 中至少有四项，其绝对值大于0且小于1，类似（ⅰ）得出矛盾. （ⅲ）A n 中至多有两项绝对值等于1. （ⅳ）A n 中至多有一项等于0.
综合（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ），（ⅳ）可知A n 中至多有9项. 由（1），（2）可得，n 的最大值为9.
东城
西
城
朝阳（Ⅰ）若b =1，因为数列{a }单调递增，所以a ≤1，又a 是自然数，所以a =0
2
1
n
111
或1. ………2分 （Ⅱ）因为数列{a n }的每项都是自然数，
若a 1=0≤12，则b 1≥1，与a 1=b 1矛盾；
若a 1≥2，则因{a n }单调递增，故不存在a 2n ≤1，即b 1=0，也与a 1=b 1矛盾. 当a 1=1时，因{a n }单调递增，故n ≥2时，a n >1，所以b 1=1，符合条件， 所以，a 1=1. ………6分 （Ⅲ）若a n =2n (n =1,2, ) ，则数列{a n }单调递增，显然数列{b m }也单调递增，
由a 2m 2，得n ≤12
n ≤m ，即2n ≤2
m ，
所以，b 12
m 为不超过2
m 的最大整数，
当m =2k -1(k ÎN *) 时，因为2k 2-2k
-2k +1，
所以b m =2k 2-2k ；
当m =2k (k ÎN *) 时，1m 2=2k 2
，所以，b m =2k 22
.
ì综上，b ïí2k 2-2k , m =2k -1(k N *) m =ïïïî
2k 2, m =2k (k N *) ， 即当m >0且m 为奇数时，b m 2-1m
2
m =2；当m >0且m 为偶数时，b m =2
.
若数列{a n }是数列{b m }的生成数列，且{b m }生成{a n }的控制函数为g (n ) ， 则b m 中不超过g (n ) 的项数恰为a n ，即b m 中不超过g (n ) 的项数恰为2n ，
所以b 22n ≤g (n )
即⎧⎪⎨(p -2) n 2
+qn +r ≥0-p ) n +(2-q ) n -r >0
对一切正整数⎪n 都成立，⎩(22
故得p =2，且⎧⎨qn +r ≥0
(2-q ) n -r >0
对一切正整数n 都成立，故0≤q ≤2，q ∈Z .
⎩又常数r ∈Z ，
当q =0时，0≤r
所以g (n =)
2
2n ，或
2n 2+1，或2n 2+n -1，或2n 2+n ，或2n 2+n 2-2n 2+n 2-(n 1
ÎN *
) . ………13分
丰台（Ⅰ）数列M 不是“Ω”数列；数列N 是“Ω”数列． ……………………2分
（Ⅱ）不存在一个等差数列是“Ω”数列．
证明：假设存在等差数列是“Ω”数列，
则由a 2
1+a 2+
+a m =1 得a 1+a m =
m
∉Z ，与a i ∈Z 矛盾， 所以假设不成立，即不存在等差数列为“Ω”数列． ……………………7分
（Ⅲ）将数列A 按以下方法重新排列：
2或
，
设S n 为重新排列后所得数列的前n 项和（n ∈Z 且1≤n ≤m ），
m m
+1≤S 1≤， 22
m m
假设当2≤n ≤m , n ∈N 时，-+1≤S n -1≤
22
m m
若S n -1=0，则任取大于0的一项作为第n 项，可以保证-+1≤S n ≤，
22
任取大于0的一项作为第一项，则满足-
若S n -1≠0，则剩下的项必有0或与S n -1异号的一项，否则总和不是1， 所以取0或与S n -1异号的一项作为第n 项，可以保证-如果按上述排列后存在S n =0成立，那么命题得证； 否则S 1，S 2，…，S m 这m 个整数只能取值区间[-因为区间[-
m m +1≤S n ≤． 22
m m
+1, ]内的非0整数， 22
m m
+1, ]内的非0整数至多m -1个，所以必存在S i =S j (1≤i
那么从第i +1项到第j 项之和为S i -S j =0，命题得证．
综上所述，数列A 中必存在若干项之和为0． ……………………13分
石景山
（Ⅰ）1,4,7 ……………………3分 （Ⅱ）由a n =3
n -1
≤m ，得n ≤1+log 3m (m ∈N *)
……………………4分
当1≤m ≤2, m ∈N *时，b 1=b 2=1
当3≤m ≤8, m ∈N *时，b 3=b 4=⋅⋅⋅=b 8=2
……………………5分
……………………6分
……………………7分
……………………8分
当9≤m ≤26, m ∈N *时，b 9=b 10=⋅⋅⋅=b 26=3
当27≤m ≤30, m ∈N *时，b 27=b 28=b 29=b 30=4
∴b 1+b 2+⋅⋅⋅+b 30=1⨯2+2⨯6+3⨯18+4⨯4=84
（III ）∵a 1=S 1=1+c =1 ∴c =0 当n ≥2时，a n =S n -S n -1=2n -1
∴ a n =2n -1(n ∈N ) ……………………9分 由a n =2n -1≤m 得：n ≤
*
m +1
(m ∈N *) 2
因为使得a n ≤m 成立的n 的最大值为b m ，
所以b 1=b 2=1, b 3=b 4=2, ⋅⋅⋅, b 2t -1=b 2t =t (t ∈N )
当m =2t -1(t ∈N ) 时：
*
*
T m =2⋅
1+(t -1) 1
⋅(t -1) +t =t 2=(m +1) 2……………………11分 24
*
当m =2t (t ∈N ) 时：
T m =2⋅
1+t 1
⋅t =t 2+t =m (m +2) ……………………12分 24
⎧(m +1) 2
(m =2t -1, t ∈N *) ⎪⎪4
所以T m =⎨……………………13分
⎪m (m +2) (m =2t , t ∈N *) ⎪⎩4
顺义
解（I ）由题意可知f (x ) =所
11
(x +1) 2-. 33
以
1112
S n =(n +1) 2-=n 2+n (n ∈N *). ............... ..........................................
3333
.1分
当n ≥2时，a n =S n -S n -1=
122122n +1n +n -[(n -1) 2+(n -1)]=. 33333
当n =1时a 1=S 1=1适合上式 所
以
，
数
列
{a n }
的通项公式为
a n =
2n +1
(n ∈N *) ................ ...........................................4分 3
（II ）因为b n =a n a n +1cos(n +1) π,(n ∈N *) 所以T n =b 1+b 2+
+b n
=a 1a 2-a 2a 3+a 3a 4-a 4a 5+
+(-1) n -1a n a n +1
由（I ）可知，数列{a 2
n }是以1为首项，公差为3
的等差数列. ① 当n =2m , m ∈N *
时，
T n =T 2m =a 1a 2-a 2a 3+a 3a 4-a 4a 5++(-1) 2m -1a 2m a 2m +1
=a 2(a 1-a 3) +a 4(a 3-a 5) +
+a 2m (a 2m -1-a 2m +1)
=-
43(a 4a +a 2m 2+a 4++a 2m ) =-3⨯22⨯m
=-1(8m 21
9+12m ) =-9
(2n 2+6n ).
② 当n =2m -1, m ∈N *
时，
T 1n =T 2m -1=T 2m -(-1) 2m -a 2m a 2m +1 =-1(8m 2+12m ) +1
(16m 2 99+16m +3)
=19(8m 2+4m +3) =1
9
(2n 2+6n +7). ⎧-1(2n 2
所以T ⎪⎪9
+6n ), n n =⎨
⎪1⎪⎩9
(2n 2+6n +7), n ............... .....7分
要使T n ≥tn 2对n ∈N *
恒成立，
只要使-19
(2n 2+6n ) ≥tn 2
(n 为正偶数）恒成立.
......................................
即使-(2+) ≥t 对n 为正偶数恒成立， 故
实
数
196n
t
的取值范围是
5(-∞, -]................ ...........................................9分
9
2n +1
（III ）由a n =知，数列{a n }中每一项都不可能是偶数.
3
*
① 如存在以a 1为首项，公比q 为2或4的数列{a n k },k ∈N ，此时{a n k }中每一项除第一项外都是偶数，故不存
在以a 1为首项，公比为偶数的数列{a n k }. ② 当q =1时，显然不存在这样的数列{a n k }.
当q =3时，若存在以a 1为首项，公比为3的数列{a n k },k ∈N ，则a n 1=1, n 1=1, a n k =3
k -1
*
2n k +13k -1=, n k =.
32
3k -1
(k ∈N *). 所以存在满足条件的数列{a n k }，且n k =2
............... ......................................
.....13分
海淀20、有限数列A n :a 1, a 2,..., a n (n ≥3)同时满足下列两个条件：
①对于任意的i , j (1≤i ②对于任意的i , j , k (1≤i
东城20、无穷数列{a n }中，对于任意n ∈N ，都有a n ∈N *，且a n
，它的伴随数列{b n }是1,1,2,3,
．
，请写出{a n }的伴随数列{b n }的前5项；
*
(Ⅱ) 设a n =3n -1(n ∈N *) ，求数列{a n }的伴随数列{b n }的前20项和； （Ⅲ）设a n =3n -2(n ∈N *) ，求数列{a n }的伴随数列{b n }前n 项和S n ．
西城20已知点列
(k ∈N *，k ≥2) 满足P 1（1，1）
，
中有且只有一个成立．
⑴写出满足k = 4且P 4（1，1）的所有点列；
⑵证明：对于任意给定的k (k ∈N *，k ≥2) ，不存在点列T ，使得
；
⑶当k = 2n −1且
时，求 的最大值．
朝阳20. 若数列{a n }中不超过f (m ) 的项数恰为b m (m ∈N *) ，则称数列{b m }是数列{a n }的生成数列，称相应的函数f (m ) 是{a n }生成{b m }的控制函数．设f (m ) =m 2．
（Ⅰ）若数列{a n }单调递增，且所有项都是自然数，b 1=1，求a 1； （Ⅱ）若数列{a n }单调递增，且所有项都是自然数，a 1=b 1, 求a 1；
(Ⅲ) 若a n =2n (n =1,2,3) ，是否存在{b m }生成{a n }的控制函数g (n ) =pn 2+qn +r （其中常数p , q , r ∈Z ）？使得
数列{a n }也是数列{b m }的生成数列？若存在，求出g (n ) ；若不存在，说明理由.
-a 1，a 2，a m (m ∈Z ，丰台20. 如果数列A ：„，且m ≥3) ，满足：①a i ∈Z ，
m m
≤a i ≤(i =1,2, 22
, m ) ； ②
a 1+a 2++a m =1，那么称数列A 为“Ω”数列．
（Ⅰ）已知数列M ：-2，1，3，-1；数列N ：0，1，0，-1，1．试判断数列M ，N 是否为“Ω”数列； （Ⅱ）是否存在一个等差数列是“Ω”数列？请证明你的结论；
（Ⅲ）如果数列A 是“Ω”数列，求证：数列A 中必定存在若干项之和为0．
石景山20 设数列{a n }满足：
①a 1=1；②所有项a n ∈N *；③1=a 1
设集合A m ={n|an ≤m , m ∈N *}，将集合A m 中的元素的最大值记为b m ，即b m 是数列{a n }中满足不等式a n ≤m 的所有项的项数的最大值．我们称数列{b n }为数{a n }的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．
(Ⅰ) 若数列{a n }的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列{a n }； (Ⅱ) 设a n =3
n -1
，求数列{a n }的伴随数列{b n }的前30项之和；
2
(Ⅲ) 若数列{a n }的前n 项和S n =n +c （其中c 常数），求数列{a n }的伴随数列{b m } 的前m 项和T m ．
顺义20已知二次函数y =f (x ) 的图象的顶点坐标为(-1, -) ，且过坐标原点O . 数列{a n }的前n 项和为S n ，点
1
3
(n , S n )(n ∈N *) 在二次函数y =f (x ) 的图象上.
（I ）求数列{a n }的通项公式；
（II ）设b n =a n a n +1cos(n +1) π,(n ∈N *) ，数列{b n }的前n 项和为T n ，若T n ≥tn 2对n ∈N 恒成立，求实数t 的取值范围；
（III ）在数列{a n }中是否存在这样一些项：a n 1, a n 2, a n 3,
*
, a n k ,
(1=n 1
, k ∈N *) ，这些项都能够构成以a 1为首项，q (0
若存在，写出n k 关于k 的表达式；若不存在，说明理由.
海淀（1）由①，得2
由②，当i =2，j =3，k =4时. 2a , 6a , 12中至少有一个是数列1，2，a ，6中的项，但6a >6，
12>6，故2a =6，解得a =3.
经检验，当a =3时，符合题意.
（2）假设2,3,5是数列A n 中的项，由②可知：6，10，15中至少有一个是数列A n 中的项，则有限数列A n 的最后一项a n >5，且n ≥4. 由①，a n >a n -1>a n -2>a n -3>1.
对于数a n -2, a n -1, a n ，由②可知：a n -2a n -1=a n ；对于数a n -3, a n -1, a n ，由②可知：a n -3a n -1=a n . 所以
a n -2=a n -3，这与①矛盾.
所以 2,3,5不可能是数列A n 中的项.
（3）n 的最大值为9，证明如下：
（1）令A 9:-4, -2, -1, -, -,0, ,1,2，则A 9符合①、②. （2）设A n :a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a n (n ≥3) 符合①、②，则：
121412
（ⅰ）A n 中至多有三项，其绝对值大于1.
假设A n 中至少有四项，其绝对值大于1，不妨设a i ，a j ，a k ，a l 是A n 中绝对值最大的四项，其中1
则对a i ，a k ，a l 有|a i a l |>|a l |，|a k a l |>|a l |，故a i a l ，a k a l 均不是数列A n 中的项，即a i a k 是数列A n 中的项.
同理：a j a k 也是数列A n 中的项. 但|a i a k |>|a k |，|a j a k |>|a k |. 所以 a i a k =a j a k =a l . 所以 a i =a j ，这与①矛盾. （ⅱ）A n 中至多有三项，其绝对值大于0且小于1.
假设A n 中至少有四项，其绝对值大于0且小于1，类似（ⅰ）得出矛盾. （ⅲ）A n 中至多有两项绝对值等于1. （ⅳ）A n 中至多有一项等于0.
综合（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ），（ⅳ）可知A n 中至多有9项. 由（1），（2）可得，n 的最大值为9.
东城
西
城
朝阳（Ⅰ）若b =1，因为数列{a }单调递增，所以a ≤1，又a 是自然数，所以a =0
2
1
n
111
或1. ………2分 （Ⅱ）因为数列{a n }的每项都是自然数，
若a 1=0≤12，则b 1≥1，与a 1=b 1矛盾；
若a 1≥2，则因{a n }单调递增，故不存在a 2n ≤1，即b 1=0，也与a 1=b 1矛盾. 当a 1=1时，因{a n }单调递增，故n ≥2时，a n >1，所以b 1=1，符合条件， 所以，a 1=1. ………6分 （Ⅲ）若a n =2n (n =1,2, ) ，则数列{a n }单调递增，显然数列{b m }也单调递增，
由a 2m 2，得n ≤12
n ≤m ，即2n ≤2
m ，
所以，b 12
m 为不超过2
m 的最大整数，
当m =2k -1(k ÎN *) 时，因为2k 2-2k
-2k +1，
所以b m =2k 2-2k ；
当m =2k (k ÎN *) 时，1m 2=2k 2
，所以，b m =2k 22
.
ì综上，b ïí2k 2-2k , m =2k -1(k N *) m =ïïïî
2k 2, m =2k (k N *) ， 即当m >0且m 为奇数时，b m 2-1m
2
m =2；当m >0且m 为偶数时，b m =2
.
若数列{a n }是数列{b m }的生成数列，且{b m }生成{a n }的控制函数为g (n ) ， 则b m 中不超过g (n ) 的项数恰为a n ，即b m 中不超过g (n ) 的项数恰为2n ，
所以b 22n ≤g (n )
即⎧⎪⎨(p -2) n 2
+qn +r ≥0-p ) n +(2-q ) n -r >0
对一切正整数⎪n 都成立，⎩(22
故得p =2，且⎧⎨qn +r ≥0
(2-q ) n -r >0
对一切正整数n 都成立，故0≤q ≤2，q ∈Z .
⎩又常数r ∈Z ，
当q =0时，0≤r
所以g (n =)
2
2n ，或
2n 2+1，或2n 2+n -1，或2n 2+n ，或2n 2+n 2-2n 2+n 2-(n 1
ÎN *
) . ………13分
丰台（Ⅰ）数列M 不是“Ω”数列；数列N 是“Ω”数列． ……………………2分
（Ⅱ）不存在一个等差数列是“Ω”数列．
证明：假设存在等差数列是“Ω”数列，
则由a 2
1+a 2+
+a m =1 得a 1+a m =
m
∉Z ，与a i ∈Z 矛盾， 所以假设不成立，即不存在等差数列为“Ω”数列． ……………………7分
（Ⅲ）将数列A 按以下方法重新排列：
2或
，
设S n 为重新排列后所得数列的前n 项和（n ∈Z 且1≤n ≤m ），
m m
+1≤S 1≤， 22
m m
假设当2≤n ≤m , n ∈N 时，-+1≤S n -1≤
22
m m
若S n -1=0，则任取大于0的一项作为第n 项，可以保证-+1≤S n ≤，
22
任取大于0的一项作为第一项，则满足-
若S n -1≠0，则剩下的项必有0或与S n -1异号的一项，否则总和不是1， 所以取0或与S n -1异号的一项作为第n 项，可以保证-如果按上述排列后存在S n =0成立，那么命题得证； 否则S 1，S 2，…，S m 这m 个整数只能取值区间[-因为区间[-
m m +1≤S n ≤． 22
m m
+1, ]内的非0整数， 22
m m
+1, ]内的非0整数至多m -1个，所以必存在S i =S j (1≤i
那么从第i +1项到第j 项之和为S i -S j =0，命题得证．
综上所述，数列A 中必存在若干项之和为0． ……………………13分
石景山
（Ⅰ）1,4,7 ……………………3分 （Ⅱ）由a n =3
n -1
≤m ，得n ≤1+log 3m (m ∈N *)
……………………4分
当1≤m ≤2, m ∈N *时，b 1=b 2=1
当3≤m ≤8, m ∈N *时，b 3=b 4=⋅⋅⋅=b 8=2
……………………5分
……………………6分
……………………7分
……………………8分
当9≤m ≤26, m ∈N *时，b 9=b 10=⋅⋅⋅=b 26=3
当27≤m ≤30, m ∈N *时，b 27=b 28=b 29=b 30=4
∴b 1+b 2+⋅⋅⋅+b 30=1⨯2+2⨯6+3⨯18+4⨯4=84
（III ）∵a 1=S 1=1+c =1 ∴c =0 当n ≥2时，a n =S n -S n -1=2n -1
∴ a n =2n -1(n ∈N ) ……………………9分 由a n =2n -1≤m 得：n ≤
*
m +1
(m ∈N *) 2
因为使得a n ≤m 成立的n 的最大值为b m ，
所以b 1=b 2=1, b 3=b 4=2, ⋅⋅⋅, b 2t -1=b 2t =t (t ∈N )
当m =2t -1(t ∈N ) 时：
*
*
T m =2⋅
1+(t -1) 1
⋅(t -1) +t =t 2=(m +1) 2……………………11分 24
*
当m =2t (t ∈N ) 时：
T m =2⋅
1+t 1
⋅t =t 2+t =m (m +2) ……………………12分 24
⎧(m +1) 2
(m =2t -1, t ∈N *) ⎪⎪4
所以T m =⎨……………………13分
⎪m (m +2) (m =2t , t ∈N *) ⎪⎩4
顺义
解（I ）由题意可知f (x ) =所
11
(x +1) 2-. 33
以
1112
S n =(n +1) 2-=n 2+n (n ∈N *). ............... ..........................................
3333
.1分
当n ≥2时，a n =S n -S n -1=
122122n +1n +n -[(n -1) 2+(n -1)]=. 33333
当n =1时a 1=S 1=1适合上式 所
以
，
数
列
{a n }
的通项公式为
a n =
2n +1
(n ∈N *) ................ ...........................................4分 3
（II ）因为b n =a n a n +1cos(n +1) π,(n ∈N *) 所以T n =b 1+b 2+
+b n
=a 1a 2-a 2a 3+a 3a 4-a 4a 5+
+(-1) n -1a n a n +1
由（I ）可知，数列{a 2
n }是以1为首项，公差为3
的等差数列. ① 当n =2m , m ∈N *
时，
T n =T 2m =a 1a 2-a 2a 3+a 3a 4-a 4a 5++(-1) 2m -1a 2m a 2m +1
=a 2(a 1-a 3) +a 4(a 3-a 5) +
+a 2m (a 2m -1-a 2m +1)
=-
43(a 4a +a 2m 2+a 4++a 2m ) =-3⨯22⨯m
=-1(8m 21
9+12m ) =-9
(2n 2+6n ).
② 当n =2m -1, m ∈N *
时，
T 1n =T 2m -1=T 2m -(-1) 2m -a 2m a 2m +1 =-1(8m 2+12m ) +1
(16m 2 99+16m +3)
=19(8m 2+4m +3) =1
9
(2n 2+6n +7). ⎧-1(2n 2
所以T ⎪⎪9
+6n ), n n =⎨
⎪1⎪⎩9
(2n 2+6n +7), n ............... .....7分
要使T n ≥tn 2对n ∈N *
恒成立，
只要使-19
(2n 2+6n ) ≥tn 2
(n 为正偶数）恒成立.
......................................
即使-(2+) ≥t 对n 为正偶数恒成立， 故
实
数
196n
t
的取值范围是
5(-∞, -]................ ...........................................9分
9
2n +1
（III ）由a n =知，数列{a n }中每一项都不可能是偶数.
3
*
① 如存在以a 1为首项，公比q 为2或4的数列{a n k },k ∈N ，此时{a n k }中每一项除第一项外都是偶数，故不存
在以a 1为首项，公比为偶数的数列{a n k }. ② 当q =1时，显然不存在这样的数列{a n k }.
当q =3时，若存在以a 1为首项，公比为3的数列{a n k },k ∈N ，则a n 1=1, n 1=1, a n k =3
k -1
*
2n k +13k -1=, n k =.
32
3k -1
(k ∈N *). 所以存在满足条件的数列{a n k }，且n k =2
............... ......................................
.....13分