有限元法介绍
周宇 [1**********]02 12机制（1）班
理论研究、科学实验以及计算分析是人们进行科学研究和解决实际工程问题的重要手段，随着计算机技术及数值分析方法的发展，以有限元方法为代表的数值计算技术得到越来越广泛的应用。
有限元法是一种高效能、常用的数值计算方法。科学计算领域，常常需要求解各类微分方程，而许多微分方程的解析解一般很难得到，使用有限元法将微分方程离散化后，可以编制程序，使用计算机辅助求解。有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系。
一、 基本思想
有限元方法是一种求解复杂对象方程的方法，基本思想来源于“化整为零”、“化弧为直”的直观思路，将实体的对象分割成不同大小、种类、小区域称为有限元。根据不同领域的需求推导出每一个元素的作用力方程，组合整个系统的元素并构成系统方程组，最后将方程组求解。由有限元的发展，该法具有下列的特色：
1、 整个系统散为有限个元素；
2、 利用能量最低原理与泛函数值定理（见附录）转换成一组线性联立方程；
3、 处理过程简明；
4、 整个区域左离散处理，需庞大的资料输出空间与计算机内存，解题耗时；
5、 线性、非线性均适用；
6、 无限区域的问题较难仿真。
二、 基本概念
1、 有限元法是把分析的连续体假想地分割成有限个单元所组合成的组合体；
2、 这些单元仅在顶角处相互联接，这些联接点称为结点。
离散化的组合体和真实的弹性体的区别在于：组合体中单元与单元之间的联接除了结点之外再无任何关联。但是这种联接要满足变形协调条件，即不能出现裂缝，也不允许发生重叠——单元之间只能通过结点来传递内力。通过结点来传递的内力称为结点力，作用在结点上的载荷称为结点载荷。当连续体受到外力作用发生变形时，组成它的
各个单元也将发生变形，因而各个结点要产生不同程度的位移，称为结点位移。
在有限元中，常以结点位移作为基本未知量。并对每个单元根据分块近似的思想，假设一个简单的函数近似地表示单元内位移的分布规律，再利用力学理论中的变分原理（见附录）或其他方法，建立结点里与位移之间的力学特性关系，得到一组以结点位移为未知量的代数方程，从而求解结点的位移分量。然后利用插值函数确定单元集合体上的场函数（见附录）。如果单元满足问题的收敛性要求，随着缩小单元的尺寸，增加求解区域内单元的数目，解的近似程度不断改进，近似解最终将收敛于精确解。
三、 有限元方法的特点
1、 不受分析对象的几何形状限制，可以分析各种复杂结构体；
2、 可适应不连续的边界条件和载荷条件；
3、 便于实现规范化和在计算机上统一编程；
4、 有限元法最后得到的大型联立方程组的系数是一个稀疏矩阵，这种方程计算工作量
小、稳定性好，便于求解。
四、 基本步骤
1、问题及求解域定义：根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。
2、求解域离散化：将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离散域，习惯上称为有限元网络划分。显然单元越小（网络越细）则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确，但计算量及误差都将增大，因此求解域的离散化是有限元法的核心技术之一。
3、确定状态变量及控制方法：一个具体的物理问题通常可以用一组包含问题状态变量边界条件的微分方程式表示，为适合有限元求解，通常将微分方程化为等价的泛函形式。
4、单元推导：对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以某种方法给出单元各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵（结构力学中称刚度阵或柔度阵）。 为保证问题求解的收敛性，单元推导有许多原则要遵循。 对工程应用而言，重要的是应注意每一种单元的解题性能与约束。例如，单元形状应以规则为好，畸形时不仅精度低，而且有缺秩的危险，将导致无法求解。
5、总装求解：将单元总装形成离散域的总矩阵方程（联合方程组），反映对近似求解域
的离散域的要求，即单元函数的连续性要满足一定的连续条件。总装是在相邻单元结点进行，状态变量及其导数（可能的话）连续性建立在结点处。
6、联立方程组求解和结果解释：有限元法最终导致联立方程组。联立方程组的求解可用直接法、选代法和随机法。求解结果是单元结点处状态变量的近似值。对于计算结果的质量，将通过与设计准则提供的允许值比较来评价并确定是否需要重复计算。
简而言之，有限元分析可分成三个阶段，前处理、处理和后处理。前处理是建立有限元模型，完成单元网格划分；后处理则是采集处理分析结果，使用户能简便提取信息，了解计算结果。
五、可以解决的机械工程问题
1、 包含杆、梁、板、壳、三维块体、二维平面、管道等各种单元的各种复杂结构的静
力分析；
2、 各种复杂结构的动力分析，包括频率、振型和动力响应计算；
3、 整机（如水压机、汽车、发电机、泵、机床）的静、动力分析；
4、 工程结构和机械零部件的弹塑性应力分析及大变形分析；
5、 工程结构和机械零部件的热弹性、粘弹性、粘塑性和蠕变分析；
6、 大型工程机械轴承油膜计算等。
六、有限元法在生活中的应用
1、随着应用基于有限元方法的计算机辅助工程（CAE）的方法的普及，有限元法成为了飞机结构设计的主流工具，在40多年来，解决了诸多问题，在结构优化及减重方面发挥了不可替代的作用，提高了飞行器的可靠性，缩短了新机型研究的周期，如波音B777的设计，从原计划的8-9年缩短为4-5年，采用CAE技术可以减少成本25%，出错返工率减少75%，A380总体减重44%。
2、有限元方法逐渐成为数字化分析的主流方法之一。当前，有限元方法已成为结构设计与优化的一体化工具，如土木工程中大型桥梁的设计、高层建筑的设计、大型风电设备的设计和高速列车的设计等。
3、有限元方法也成为前沿领域研究的主要工具，特别对于一些目前还不能采用试验方法来进行研究的前沿领域，如数字化的原子结构模拟和基于数字化的分子结构设计与分析。
4、由此按原方法还能应用于虚拟试验，以找出对产品性能有重要影响的各种关键因素，为产品的改进提供重要的参考，也可节约大量的时间，降低产品的研发成本。目前，基于有限元方法的整机数字化试验可以将计算的误差控制在10%以内，能够满足工程上的需要。
七、有限元分析软件
近40年来，出现了大量基于有限元方法的商业软件，并在实际工程中发挥了越来越重要的作用。目前，专业的著名有限元分析软件公司有十几家。商业化有限元软件的产生最早得益于美国NASA提出的结构分析要求，在20世纪60年代中期，NASA选择了MacNealSchwendler公司（MSC）作为NASTRAN软件的开发商，随后出现了一大批有限元分析软件。目前，国际上著名的通用有限元分析软件有ANSYS、ABAQUS、MSC/NASTRAN、MSC/MARC、ADINA、ALGOR、PRO/MECHANICA、IDEAS，还有一些专门的有限元分析软件，如LS-DYNA、DEFORM、PAM-STAMP、AUTOFORM、SUPER-FORCE等。
附录：
1、 能量最低原理：自然界一个普遍的规律是——能量越低越稳定，因此自然变化进行的
方向都是使能量降低；
2、 泛函分析:现代数学分析的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成
的函数空间。泛函分析历史根源是由对函数空间的研究和对函数的变换（如傅立叶变换等）的性质的研究;
3、 变分原理：把一个力学问题（或其他学科的问题）用变分法化为求泛函极值（或驻值）
的问题，就称为该物理问题 （或其他学科的问物理题）的变分原理；
4、 场函数：表征场的特征的函数称场函数。场在物理上有两种含义:①在粒子相互作用中
起媒介物作用的客体,它分布于整个或部分空间,其性质是空间坐标和时间坐标的函数(静止场不是时间的函数)。②上述客体在量子力学中的类似物,其中空间和时间的函数用时-空中各点的算符来代替。
有限元法介绍
周宇 [1**********]02 12机制（1）班
理论研究、科学实验以及计算分析是人们进行科学研究和解决实际工程问题的重要手段，随着计算机技术及数值分析方法的发展，以有限元方法为代表的数值计算技术得到越来越广泛的应用。
有限元法是一种高效能、常用的数值计算方法。科学计算领域，常常需要求解各类微分方程，而许多微分方程的解析解一般很难得到，使用有限元法将微分方程离散化后，可以编制程序，使用计算机辅助求解。有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系。
一、 基本思想
有限元方法是一种求解复杂对象方程的方法，基本思想来源于“化整为零”、“化弧为直”的直观思路，将实体的对象分割成不同大小、种类、小区域称为有限元。根据不同领域的需求推导出每一个元素的作用力方程，组合整个系统的元素并构成系统方程组，最后将方程组求解。由有限元的发展，该法具有下列的特色：
1、 整个系统散为有限个元素；
2、 利用能量最低原理与泛函数值定理（见附录）转换成一组线性联立方程；
3、 处理过程简明；
4、 整个区域左离散处理，需庞大的资料输出空间与计算机内存，解题耗时；
5、 线性、非线性均适用；
6、 无限区域的问题较难仿真。
二、 基本概念
1、 有限元法是把分析的连续体假想地分割成有限个单元所组合成的组合体；
2、 这些单元仅在顶角处相互联接，这些联接点称为结点。
离散化的组合体和真实的弹性体的区别在于：组合体中单元与单元之间的联接除了结点之外再无任何关联。但是这种联接要满足变形协调条件，即不能出现裂缝，也不允许发生重叠——单元之间只能通过结点来传递内力。通过结点来传递的内力称为结点力，作用在结点上的载荷称为结点载荷。当连续体受到外力作用发生变形时，组成它的
各个单元也将发生变形，因而各个结点要产生不同程度的位移，称为结点位移。
在有限元中，常以结点位移作为基本未知量。并对每个单元根据分块近似的思想，假设一个简单的函数近似地表示单元内位移的分布规律，再利用力学理论中的变分原理（见附录）或其他方法，建立结点里与位移之间的力学特性关系，得到一组以结点位移为未知量的代数方程，从而求解结点的位移分量。然后利用插值函数确定单元集合体上的场函数（见附录）。如果单元满足问题的收敛性要求，随着缩小单元的尺寸，增加求解区域内单元的数目，解的近似程度不断改进，近似解最终将收敛于精确解。
三、 有限元方法的特点
1、 不受分析对象的几何形状限制，可以分析各种复杂结构体；
2、 可适应不连续的边界条件和载荷条件；
3、 便于实现规范化和在计算机上统一编程；
4、 有限元法最后得到的大型联立方程组的系数是一个稀疏矩阵，这种方程计算工作量
小、稳定性好，便于求解。
四、 基本步骤
1、问题及求解域定义：根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。
2、求解域离散化：将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离散域，习惯上称为有限元网络划分。显然单元越小（网络越细）则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确，但计算量及误差都将增大，因此求解域的离散化是有限元法的核心技术之一。
3、确定状态变量及控制方法：一个具体的物理问题通常可以用一组包含问题状态变量边界条件的微分方程式表示，为适合有限元求解，通常将微分方程化为等价的泛函形式。
4、单元推导：对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以某种方法给出单元各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵（结构力学中称刚度阵或柔度阵）。 为保证问题求解的收敛性，单元推导有许多原则要遵循。 对工程应用而言，重要的是应注意每一种单元的解题性能与约束。例如，单元形状应以规则为好，畸形时不仅精度低，而且有缺秩的危险，将导致无法求解。
5、总装求解：将单元总装形成离散域的总矩阵方程（联合方程组），反映对近似求解域
的离散域的要求，即单元函数的连续性要满足一定的连续条件。总装是在相邻单元结点进行，状态变量及其导数（可能的话）连续性建立在结点处。
6、联立方程组求解和结果解释：有限元法最终导致联立方程组。联立方程组的求解可用直接法、选代法和随机法。求解结果是单元结点处状态变量的近似值。对于计算结果的质量，将通过与设计准则提供的允许值比较来评价并确定是否需要重复计算。
简而言之，有限元分析可分成三个阶段，前处理、处理和后处理。前处理是建立有限元模型，完成单元网格划分；后处理则是采集处理分析结果，使用户能简便提取信息，了解计算结果。
五、可以解决的机械工程问题
1、 包含杆、梁、板、壳、三维块体、二维平面、管道等各种单元的各种复杂结构的静
力分析；
2、 各种复杂结构的动力分析，包括频率、振型和动力响应计算；
3、 整机（如水压机、汽车、发电机、泵、机床）的静、动力分析；
4、 工程结构和机械零部件的弹塑性应力分析及大变形分析；
5、 工程结构和机械零部件的热弹性、粘弹性、粘塑性和蠕变分析；
6、 大型工程机械轴承油膜计算等。
六、有限元法在生活中的应用
1、随着应用基于有限元方法的计算机辅助工程（CAE）的方法的普及，有限元法成为了飞机结构设计的主流工具，在40多年来，解决了诸多问题，在结构优化及减重方面发挥了不可替代的作用，提高了飞行器的可靠性，缩短了新机型研究的周期，如波音B777的设计，从原计划的8-9年缩短为4-5年，采用CAE技术可以减少成本25%，出错返工率减少75%，A380总体减重44%。
2、有限元方法逐渐成为数字化分析的主流方法之一。当前，有限元方法已成为结构设计与优化的一体化工具，如土木工程中大型桥梁的设计、高层建筑的设计、大型风电设备的设计和高速列车的设计等。
3、有限元方法也成为前沿领域研究的主要工具，特别对于一些目前还不能采用试验方法来进行研究的前沿领域，如数字化的原子结构模拟和基于数字化的分子结构设计与分析。
4、由此按原方法还能应用于虚拟试验，以找出对产品性能有重要影响的各种关键因素，为产品的改进提供重要的参考，也可节约大量的时间，降低产品的研发成本。目前，基于有限元方法的整机数字化试验可以将计算的误差控制在10%以内，能够满足工程上的需要。
七、有限元分析软件
近40年来，出现了大量基于有限元方法的商业软件，并在实际工程中发挥了越来越重要的作用。目前，专业的著名有限元分析软件公司有十几家。商业化有限元软件的产生最早得益于美国NASA提出的结构分析要求，在20世纪60年代中期，NASA选择了MacNealSchwendler公司（MSC）作为NASTRAN软件的开发商，随后出现了一大批有限元分析软件。目前，国际上著名的通用有限元分析软件有ANSYS、ABAQUS、MSC/NASTRAN、MSC/MARC、ADINA、ALGOR、PRO/MECHANICA、IDEAS，还有一些专门的有限元分析软件，如LS-DYNA、DEFORM、PAM-STAMP、AUTOFORM、SUPER-FORCE等。
附录：
1、 能量最低原理：自然界一个普遍的规律是——能量越低越稳定，因此自然变化进行的
方向都是使能量降低；
2、 泛函分析:现代数学分析的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成
的函数空间。泛函分析历史根源是由对函数空间的研究和对函数的变换（如傅立叶变换等）的性质的研究;
3、 变分原理：把一个力学问题（或其他学科的问题）用变分法化为求泛函极值（或驻值）
的问题，就称为该物理问题 （或其他学科的问物理题）的变分原理；
4、 场函数：表征场的特征的函数称场函数。场在物理上有两种含义:①在粒子相互作用中
起媒介物作用的客体,它分布于整个或部分空间,其性质是空间坐标和时间坐标的函数(静止场不是时间的函数)。②上述客体在量子力学中的类似物,其中空间和时间的函数用时-空中各点的算符来代替。