第六章 四边形
第一讲：平行四边形⑴ 平行四边形的性质
一、基本知识：
1、定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，表示为□ABCD
2、相关概念：
⑴对边：没有公共顶点的边 ⑵邻边：有公共顶点的边 ⑶对角：没有公共边的角 ⑷邻角：有公共边的角
⑸在平行四边形中，从一条边上任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以 这条边为底的平行四边形的高 ⑹平行四边形的面积=底×对应的高 3、性质：
⑴平行四边形具备四边形的一切性质，例如内角和为360°，外角和为360° ⑵平行四边形是中心对称图形 ⑶定理1：平行四边形的对边相等 ⑷定理2：平行四边形的对角相等
⑸定理3：平行四边形的对角线互相平分 ⑹平行四边形两组对边分别平行
⑺经过平行四边形中心的直线将平行四边形分成全等的两部分 二、典型例题
1、□ABCD 中，∠A 比∠B 大20°，则∠C 的度数为 2、□ABCD 中，AB ：BC=1：2，周长为24cm ，则， 3、如果一个平行四边形的一条边长为8，一条对角线长为6，那么它的另一条对角线长m 的取值范围是 10＜m ＜22 .
4、（06·盐城市）已知平行四边形ABCD 的面积为4，O 为两对角线的交点，则△AOB 的面积是 1 .
5、已知：如图6-1-1，□ABCD 和□BFDE 的顶点A 、E 、F 在同一直线上 求证：AE=CF D
B 6-1-1
6- 1
6、（06·北京市海淀区）已知：如图6-1-2，□ABCD 中，E 、F 分别是边BC 和AD 上的点，且BE =DF .
求证：△ABE ≌△CDF
证明：因为四边形ABCD 是平行四边形，
所以AB =CD ，∠B =∠D 在△ABE 和△CDF 中，
⎧AB =C D ⎪
⎨∠B =∠D ⎪BE =D F ⎩
6-1-2
所以△ABE ≌△CDF
7、（06·泉州市）已知：如图6-1-3，在□ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上的两点，AE ＝CF ，
求证：BE ＝DF.
证明：∵ABCD 是平行四边形
∴AB=CD AB ∥CD ∴∠1=∠2 又∵AE=CF ∴△ABE ≌△CDF ∴BE=DF
三、练习 【基础达标】 1、选择题
⑴（05·北京）如图6-1-4，在□ABCD 中，E 是AD 上一点，连接CE 并延长交BA
的延长线于点F ，则下列结论中错误的是（B ）
A. ∠AEF ＝∠DEC B. FA:CD＝AE:BC C. FA:AB＝FE:EC D. AB＝DC
D
D
B 6-1-6 6-1-5
6-1-4
6- 2
6-1-3
⑵（07·四川乐山）如图6-1-5，在□ABCD 中，如果∠A =125 ，CE ⊥AB ，E 为垂足．则∠BCE =（B ）
A ．55° B ．35° C ．25° D ．30°
⑶（06·南通市）如图6-1-6，□ABCD 的周长是28cm ，△ABC 的周长是22cm ，则AC 的长为（ D ）
A ．6 cm B ．12 cm C ．4 cm D ．8 cm
A E
⑷（07·山东日照）如图6-1-7，在周长为20cm 的□ABCD 中，AB ≠AD ，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，则△ABE 的周长为（ D ）
A ．4cm B ．6cm C ．8cm D ．10cm
B
O
D
6-1-7
⑸（07·浙江金华）国家级历史文化名城—金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图6-1-8），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB ∥EF ∥DC ，BC ∥GH ∥AD ，那么下列说法中错误的是（ C ） A ．红花、绿花种植面积一定相等 B ．紫花、橙花种植面积一定相等 C ．红花、蓝花种植面积一定相等 D ．蓝花、黄花种植面积一定相等
⑹（06·河北）如图6-1-9，□ ABCD 中，AD=5，AB=3，AE 平分∠BAD 交BC 边于点E ，则线段BE 、EC 的长度分别是（ ） A ．2和3
6-1-8
B ．3和2 C ．4和1 D ．1和4
B
6-1-9
E
6-1-10
⑺（05·东营）如图6-1-10，□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，将△AOD 平移至△BEC 的位置，则图中与OA 相等的其它线段有 （ B ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
6- 3
2、填空题
⑴如图6-1-11，□ABCD 中，∠C=108°，BE 平分∠ABC ，则∠AEB=__36_____. ⑵如图6-1-12，在□ABCD 中，∠B=110°, 延长AD 至F ，延长CD 至E ，连接EF ， 则∠E+∠
A
E
D
A
C B
6-1-12
A
B
6-1-11
C
E F
6-1-13
⑶（07·河北省）如图6-1-13，若□ABCD 与□EBCF 关于BC 所在直线对称， ∠ABE ＝90°，则∠F ＝ 45 °
. ⑷如图6-1-14， □ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 边上的一点 若再增加一个条件＿＿AE=CF、ED=BF„„＿＿＿＿＿＿＿，就可得BE=DF. 6-1-14
⑸已知□ABCD 的周长为60cm ，AC 、BD 交于点O ，△BOC 的周长比△AOB 的周长多8cm ，则3、解答题
⑴（07·浙江临安）
已知：如图6-1-15，E 、F 是□ABCD 的对角线AC 上的两点，AE=CF
求证：（1）△ADF ≌△CBE ；（2）EB ∥DF 。 证明：(1)∵AE=CF
∴AE+EF=CF+FE即AF=CE
又ABCD 是平行四边形，∴AD=CB，AD ∥BC ∴∠DAF=∠BCE 在△ADF 与△CBE 中
A F=CE ⎧⎪
A D =CB ⎨
⎪ ∠D A F= ∠B C E ⎩
6-1-15
∴△ADF ≌△CBE （SAS ） （2）∵△ADF ≌△CBE
6- 4
∴∠DFA=∠BEC ∴DF ∥EB 【能力训练】 1、选择题
⑴如图6-1-16，在□ABCD 中，AB=10，AD=6，E 是AD 的中点，在AB 上取一点F ，使△CBF ∽△CDE ．则BF 的长是（ D ） A ． 5
B ． 8.2 C ． 6.4 D ．1.8
6-1-16
⑵（05·南宁）用两个全等三角形最多能拼成（ C ）个不同的平行四边形 A ． 5
B ．4
C ． 3 D ．2
⑶□ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ：∠D 的值可以是（ D ）
A ．1：2：3：4 B. 3：4：4：3 C. 3：3：4：4 D. 3：4：3：4
⑷（05·深圳）如图6-1-17，口ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A 正好落在CD 上的点F ，若△FDE
E
的周长为8，△FCB 的周长为22，则FC 的长为_ 7 _。
6-1-17
B
2、填空题
⑴如图6-1-18，O 为□ABCD 对角线AC 、BD 的交点，EF 经过点O ，且与边AD 、BC 分别交于E 、F, 若BF=DE，请写出图中共有 6 对全等三角形
D
B C F
6-1-18
⑵在□ABCD 中，EF 过对角线的交点O ，若AB=4，BC=7，OE=3，则四边形EFCD 周长是 17
⑶（06·日照市）如图6-1-19，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，∠EAF=45°，且AE+AF=22，则□ABCD 的周长是 8 ．
6-1-19
⑷在平面直角坐标系中，以A 、B 、C 、D 为顶点的平行四边形，A 、B 、D 的坐标分别是(0,0)，(5,0)，(2,3)，则顶点C 的坐标是 ．
6- 5
3、解答题
⑴已知：如图6-1-20，□ABCD 中，AE 、BF 分别平分∠DAB 和∠ABC ，交CD 于点E 、F ，AE 、BF 相交于点M ．
F E D （1）试说明：AE ⊥BF ；
（2）判断线段DF 与CE 的大小关系，并予以说明． 【分析】要证AE ⊥BF ，可探求△ABM 中∠BAE 与∠ABF 和的度数，通过正确识图分析，把已知条件巧妙转化．判断线段
A 6-1-20 DF 与CE 的大小关系时，先探求DE 与CF 的大小关系，可在
△ADE 、△BCF 中寻求相等的数量关系，再依据□ABCD 对边相等的性质过渡求证． 【解】（1）方法一：如图（6-1-20），
∵在□ABCD 中，AD ∥BC ， ∴∠DAB ＋∠ABC ＝180°，
∵AE 、BF 分别平分∠DAB 和∠ABC ， ∴∠DAB ＝2∠BAE ，∠ABC ＝2∠ABF ． ∴2∠BAE ＋2∠ABF ＝180°，即∠BAE ＋∠ABF ＝90°． ∴∠ABM ＝90°． ∴AE ⊥BF ． 方法二：如图（6-1-20），延长BC 、AE 相交于点P ， ∵在□ABCD 中，AD ∥BC ， ∴∠DAP ＝∠APB ． ∵AE 平分∠DAB ， ∴∠DAP ＝∠PAB ． ∴∠APB ＝∠PAB ． ∴AB ＝BP ．.
∵BF 平分∠ABC ， ∴AP ⊥BF ，即AE ⊥BF ． （2）线段DF 与CE 是相等关系，即DF ＝CE ， ∵在□ABCD 中，CD ∥AB ，∴∠DEA ＝∠EAB ．
又AE 平分∠DAB ， ∴∠DAE ＝∠EAB ． ∴∠DEA ＝∠DAE ． ∴DE ＝AD ．同理可得 ∴CF ＝BC ．
又∵在□ABCD 中，AD ＝BC ，∴DE ＝CF ． ∴DE －EF ＝CF －EF ，即DF ＝CE ．
【说明】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、垂直的定义、等腰三角形的性质等知识的综合应用，同时本题的第（2）问也是一道开放性试题．
⑵已知：如图6-1-21，□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，且∠EAF=60°，BE=2cm，CF=1cm
求：□ABCD 的面积 123
6- 6
B
F 6-1-21
⑶如图6-1-22，村子里有一四边形的池塘，在它的四个角的顶点A 、B 、C 、D 处均种了一棵大树，村子准备开挖池塘建渔塘，想使池塘的面积扩大一倍，又想保持大树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状，请问能否实现这一设想？若能，请你设计出所要画的图形，若不能，请说明理由。
6-1-22
⑷（05·绵阳）如图6-1-23，在□ABCD 中，AD =4 cm ，∠A =60°，BD ⊥AD . 一动点P 从A 出发，以每秒1 cm的速度沿A →B →C 的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM ⊥AD .
(1) 当点P 运动2秒时，设直线PM 与AD 相交于点E ，求△APE 的面积；
(2) 当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A →B →C 的路线运动，且在AB 上以每秒1 cm的速度匀速运动，在BC 上以每秒2 cm的速度匀速运动. 过Q 作直线QN ，使QN ∥PM . 设点Q 运动的时间为t 秒(0≤t ≤10) ，直线PM 与QN 截平行四边形ABCD 所得图形的面积为S cm 2 .
① 求S 关于t 的函数关系式； ② (附加题) 求S 的最大值. 6-1-23 解： (1) 当点P 运动2秒时，AP =2 cm，由∠A =60°，知AE =1，PE
∴ S ΔAPE =
32
.
(2) ① 当0≤t ≤6时，点P 与点Q 都在AB 上运动，设PM 与AD 交于点G ，QN
与
6- 7
AD 交于点F ，则AQ =t ，AF =
t 2
，QF =
32
t
，AP =t +2，AG =1+
32t +
t 23232
，PG =.
3+
32
t
.
∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为S =
当6≤t ≤8时，点P 在BC 上运动，点Q 仍在AB 上运动. 设PM 与DC 交于点G ，QN 与AD 交于点F ，则AQ =t ，AF =PG =(10-t )
538
t 2
，DF =4-
t 2
，QF =
t
，BP =t-6，CP =10-t ，
3
，
43
而BD =S =-
t
2
，故此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为
3
+103t -34
.
，CP =10-t ，PG =(10-t )
332
t
2
当8≤t ≤10时，点P 和点Q 都在BC 上运动. 设PM 与DC 交于点G ，QN 与DC 交于点F ，则CQ =20-2t ，QF =(20-2t
3
.
∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为S =
-303t +150
.
故S 关于t
+(0≤t ≤6) 22⎪⎪⎪2
的函数关系式为S =⎨-+-(6≤t ≤8)
82
-+(8≤t ≤10) 2⎪⎩
② (附加题) 当0≤t ≤6时，S 的最大值为当6≤t ≤8时，S 的最大值为6当8≤t ≤10时，S 的最大值为6所以当t =8时，S 有最大值为6
33
732
；
；
3
；
.
⑸（05·泸州）如图6-1-24，在□ABCD 中，两条对角线相交于点O ，点E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点，以图中的任意四点（即点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、O 中的任意四点）为顶点画两种不同的平等四边形．
第一种： 第二种： 6-1-24 ①
6-1-24 ②
6- 8
解：第一种：可画为□EFGH
第二种：可画为□DEBG （或画为□AHCF ）
⑺（06·江阴市）已知：如图6-1-26，□ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、BC 上. （1）若AB ＝10，AB 与CD 间距离为8，AE=EB，BF=FC，求△DEF 的面积. （2）若△ADE 、△BEF 、△CDF 的面积分别为5、3、4，求△DEF 的面积. 解：⑴∵AB ＝10， AB 与CD 间距离为8， ∴ SABCD ＝80 ∵AE ＝BE ，BF ＝CF ．
D C 1116-1-26 ∴S △AED ＝SABCD ，S △BEF ＝，S △DCF ＝
4843
∴S △DEF ＝SABCD －S △AED －S △BEF －S △DCF ＝SABCD ＝30
88
⑵设AB ＝x ，AB 与CD 间距离为y ，由S △DCF ＝4知F 到CD
x 818
则F 到AB 的距离为y －，∴S △BEF ＝（y －）＝3，
x 2x x(xy－14) 6x 6x
∴BE ＝AE ＝x －
xy －8xy －8xy －8
11x(xy－14)
S △AED ＝AE ×y ＝×y ＝5，得（xy ）2－24 xy＋80＝0
22xy －8xy ＝20或4
∵SABCD ＝xy ＞S △AED ＝5，∴xy ＝4不合，∴xy ＝20
S △DEF ＝SABCD －S △AED －S △BEF －S △DCF ＝20－5－3－4＝8
6- 9
第一讲：平行四边形⑵ 平行四边形的判定
一、基本知识：
1、判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2、判定定理2：对角线互相平分的四边形是平行四边形 3、判定定理3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 4、判定定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 5、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 二、典型例题 1、判断
⑴一组对角相等，一组邻角互补的四边形是平行四边形（√ ） ⑵一组对角相等，另一组对角互补的四边形是平行四边形（ × ） ⑶两组邻角相等的四边形是平行四边形（ × ） ⑷两组邻角互补的四边形是平行四边形（ × ）
⑸一组对边及一组对角相等的四边形是平行四边形（× ） ⑹一组对边平行，一组对角互补的四边形是平行四边形（ × ） ⑺一组对边平行，而另一组对边相等的四边形是平行四边形（ × ） ⑻有两边相等，另外两边也相等的四边形是平行四边形（ × ） ⑼一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. （√ ） ⑽对角线互相垂直的四边形是平行四边形（ × ）
⑾一组邻边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形（ × ） ⑿对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形（× ） 2、（05·东营）如图6-1-27，在□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，
E ，F 是对角线AC 上的两点，当E ，F 满足下列哪个条件时，四边形DEBF 不一定是平行四边形（ B ） A. AE =CF
B. DE = BF C. ∠ADE =∠CBF
A
6-1-27
D. ∠AED =∠CFB
B
3、已知：如图6-1-28，□ABCD 中，G 是CD 上一点，BG 的延长线交AD 的延长线于点E ，AF=CG，∠DGE=100° ⑴试说明DF=BG；⑵试求∠AFD 的度数 100°
A
6-1-28
6- 10
4、（05·南京）如图6-1-29，E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AF=CE，DF=BE，DF ∥BE 求证：（1）△AFD ≌△CEB 。 D
C
（2）四边形ABCD 是平行四边形。
F
E
A B
6-1-29
5、已知：如图6-1-30，在□ABCD 中，E 、F 分别在BA 、DC 延长线上，且AE=CF，连接EF 分别交AD 、BC 于G 、H 求证：AC 与GH 互相平分。
D
B 6-1-30
6、（05·河南课改）已知：如图6-1-31，在□ABCD 中，点E 、F 在BD 上，且BF ＝DE 。
⑴ 写出图中所有你认为全等的三角形；
⑵ 延长AE 交BC 的延长线于G ，延长CF 交DA 的延长线于H(请补全图形) ，证明四边形AGCH 是平行四边形。
A
E 解：⑴、△ABE ≌△CDF ，△AED ≌△CFB ，△ABD ≌△CDB ；
B ⑵、∵BF ＝DE ，∴BF ＋FE ＝DE ＋FE ，即BE ＝DE 。 6-1-31 C
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD 。 ∴∠ABD ＝∠CDB 。
H D AB ＝CD ⎧⎪在△ABE 和△CDF 中：⎨∠ABE ＝∠CDF
⎪BE ＝DE ⎩F
∴△ABE ≌△CDF ， B G ∴∠AEB ＝∠CFD ，
∴HC ∥CG ，∴四边形AGCH 为平行四边形。
三、练习
【基础达标】 1、选择题
⑴（07·甘肃陇南）顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是 ( A ) A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形
2、填空题 ⑵（06·攀枝花市）如图6-1-32，AD=BC，要使四边形ABCD 是平行四边形，还需补充的一个条件是： AD∥BC ；
3、解答题
⑴（05·无锡）已知：如图6-1-33， □ABCD 中，E 、F 分别是边BC 和AD 上的点，且BE=DF
A F D 求证：AE=CF.
B C E
6-1-33
，H 分别为四边形ABCD 的边⑵（06·湛江市）如图6-1-34，点E ，F ，G
A B ，B ，C C ，D D A 的中点，试判断四边形EFGH 的形状，并证明你的结论． 解：四边形EFGH 是平行四边形 证明：连接AC ，如图6-1-34
E ，F 分别是AB ，BC 的中点，
∴EF 是△ABC 的中位线，
D H
C F
∴EF ∥AC ，且EF =
12
AC ．
12
A
AC ，
B
E 6-1-34
同理：GH ∥AC ，且G H =
∥H ． ∴EF
∴四边形EFGH 是平行四边形．
⑶（07·恩施自治州）如图6-1-35，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O,E 、F 是直
线AC 上的两点，并且AE=CF 求证：四边形BFDE 是平行四边形. E 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形
∴OA=OC,OB=OD 又∵AE=CF ∴OE=OF
∴四边形BFDE 是平行四边形
【能力训练】
1、已知四边形ABCD ，仅从下列条件中任取两个加以组合，能否得到四边形ABCD 是平行四边形的结论？试一试，并说明理由。
①AB=CD ②AB ∥CD ③BC ∥AD ④BC=AD ⑤∠A=∠C ⑥∠B=∠D
2、已知：如图6-1-36，在□ABCD 中，AE=CF，点M 、N 分别是DE 、BF 的中点 求证：FM=EN F C
□ABCD ⇒□DEBF
M
A E
6-1-36
3、已知：如图6-1-37，□ ABCD 中，以AC 为边在其两侧各作一个等边三角形△ACP ，
△ACQ
求证：四边形BPDQ 是平行四边形 连接BD 交AC 于O ，连接OP ，OQ □ ABCD C ⇒OB=OD，OC=OA
A ∵等边三角形△ACP ，△ACQ
∴PO 为AC 边上的中线，高线；QO 为AC 边上的中线，高线 ∴P 、O 、Q 共线，且O 为中点 6-1-37 ∴四边形BPDQ 是平行四边形
B
6-1-35
4、已知：如图6-1-38，在△ABC 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，M 、N 是AC 的两 个三等分点，EM 与FN 的延长线交于D
求证：ABCD 是平行四边形 A D E 连接BM 、BD 、BN ，BD 与AC 交于O
∵E 、F 分别是AB 、BC 的中点
B ∴EM 为△ABN 中位线 6-1-38 ∴EM ∥BN
同理BM ∥FD
∴MBND 为平行四边形 ∴OB=OD，OM=ON ∵MA=NC ∴OA=OC
∴ABCD 是平行四边形
5、（05·佛山）已知：如图6-1-39任意四边形ABCD ，且线段AB 、BC 、CD 、DA 、AC 、．．BD 的中点分别是E 、F 、G 、H 、P 、Q ．
（1）若四边形ABCD 如图①，判断下列结论是否正确（正确的在括号里填“√”，错误的在括号里填“×”）．
甲：顺次连接EF 、FG 、GH 、HE 一定得到平行四边形；（ ） 乙：顺次连接EQ 、QG 、GP 、PE 一定得到平行四边形．（ ） （2）请选择甲、乙中的一个，证明你对它的判断．
（3）若四边形ABCD 如图②，请你判断（1）中的两个结论是否成立？
D
E
6-1-39 ①
A B
6-1-39 ②
解：（1）甲 √ 乙 ×
（2）证明（1）中对甲的判断： 连接EF 、FG 、GH 、HE ，
∵E 、F 分别是AB 、BC 的中点，∴EF 是△ABC 的中位线。 ∴EF ∥AC ，EF=同理，HG ∥AC ，HG=
12
12
AC ，
AC ，
∴EF ∥HG ，EF=HG．∴四边形EFGH 是平行四边形．
（3）类似于（1）中的结论甲、乙都成立．
方法二：也可把钝角减去一个直角得一个锐角，然后利用上述结论把锐角三等分后，再将直角利用等边三角形（或其它方法）将其三等分即可．
方法三：先将此钝角的补角（锐角）三等分，再作它的余角． 6、（05·苏州）如图06-1-40，平行四边形纸条ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，张老师请同学将纸条的下半部分 ABFE 沿EF 翻折，得到一个V 字形图案。
（1）请你在原图中画出翻折后的图形 A 'B 'FE ；（用尺规作图，不写画法，保留作图痕迹）
（2）已知∠A=63°，求∠B ′FC 的大小。
6-1-40
解：（1）作图如图；
（答题图）
（2） ABFE 是平行四边形，∴∠EFB =∠A =63 A 'B 'EF 是由ABEF 翻折得到的， ∴∠B 'FE =∠EFB =63。
∴∠B 'FC =180-∠B 'FE -∠EFB =54
7、（06·广东省）如图6-1-41，在□ABCD 中，∠DAB=60°，点E 、F 分别在CD 、AB 的延长线上，且AE=AD，CF=CB．
(1)求证：四边形AFCE 是平行四边形． (2)若去掉已知条件的“∠DAB=60°，上述的结论还成立吗? 若成立，请写出证明过程； 若不成立，请说明理由．
（1）证：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴DC ∥AB ，∠DCB=∠DAB=60° ∴∠ADE=∠CBF=60° ∵AE=AD，CF=CB
∴△AED ，△CFB 是正三角形
在□ ABCD 中，AD=BC，DC ∥=AB 06-1-41 ∴ED=BF ∴ED+DC=BF+AB 即 EC=AF 又∵DC ∥AB 即EC ∥AF
∴四边形AFCE 是平行四边形
（2）上述结论还成立
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形
∴DC ∥AB ，∠DCB=∠DAB ，AD=BC，DC ∥=AB ∴∠ADE=∠CBF ∵AE=AD，CF=CB
∴∠AED=∠ADE ，∠CFB=∠CBF ∴∠AED=∠CFB 又∵AD=BC
∴△ADE ≌△CBF ∴ED=FB ∵DC=AB
∴ED+DC=FB+AB 即EC=FA
∵DC ∥AB
∴四边形EAFC 是平行四边形
第六章 四边形
第一讲：平行四边形⑴ 平行四边形的性质
一、基本知识：
1、定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，表示为□ABCD
2、相关概念：
⑴对边：没有公共顶点的边 ⑵邻边：有公共顶点的边 ⑶对角：没有公共边的角 ⑷邻角：有公共边的角
⑸在平行四边形中，从一条边上任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以 这条边为底的平行四边形的高 ⑹平行四边形的面积=底×对应的高 3、性质：
⑴平行四边形具备四边形的一切性质，例如内角和为360°，外角和为360° ⑵平行四边形是中心对称图形 ⑶定理1：平行四边形的对边相等 ⑷定理2：平行四边形的对角相等
⑸定理3：平行四边形的对角线互相平分 ⑹平行四边形两组对边分别平行
⑺经过平行四边形中心的直线将平行四边形分成全等的两部分 二、典型例题
1、□ABCD 中，∠A 比∠B 大20°，则∠C 的度数为 2、□ABCD 中，AB ：BC=1：2，周长为24cm ，则， 3、如果一个平行四边形的一条边长为8，一条对角线长为6，那么它的另一条对角线长m 的取值范围是 10＜m ＜22 .
4、（06·盐城市）已知平行四边形ABCD 的面积为4，O 为两对角线的交点，则△AOB 的面积是 1 .
5、已知：如图6-1-1，□ABCD 和□BFDE 的顶点A 、E 、F 在同一直线上 求证：AE=CF D
B 6-1-1
6- 1
6、（06·北京市海淀区）已知：如图6-1-2，□ABCD 中，E 、F 分别是边BC 和AD 上的点，且BE =DF .
求证：△ABE ≌△CDF
证明：因为四边形ABCD 是平行四边形，
所以AB =CD ，∠B =∠D 在△ABE 和△CDF 中，
⎧AB =C D ⎪
⎨∠B =∠D ⎪BE =D F ⎩
6-1-2
所以△ABE ≌△CDF
7、（06·泉州市）已知：如图6-1-3，在□ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上的两点，AE ＝CF ，
求证：BE ＝DF.
证明：∵ABCD 是平行四边形
∴AB=CD AB ∥CD ∴∠1=∠2 又∵AE=CF ∴△ABE ≌△CDF ∴BE=DF
三、练习 【基础达标】 1、选择题
⑴（05·北京）如图6-1-4，在□ABCD 中，E 是AD 上一点，连接CE 并延长交BA
的延长线于点F ，则下列结论中错误的是（B ）
A. ∠AEF ＝∠DEC B. FA:CD＝AE:BC C. FA:AB＝FE:EC D. AB＝DC
D
D
B 6-1-6 6-1-5
6-1-4
6- 2
6-1-3
⑵（07·四川乐山）如图6-1-5，在□ABCD 中，如果∠A =125 ，CE ⊥AB ，E 为垂足．则∠BCE =（B ）
A ．55° B ．35° C ．25° D ．30°
⑶（06·南通市）如图6-1-6，□ABCD 的周长是28cm ，△ABC 的周长是22cm ，则AC 的长为（ D ）
A ．6 cm B ．12 cm C ．4 cm D ．8 cm
A E
⑷（07·山东日照）如图6-1-7，在周长为20cm 的□ABCD 中，AB ≠AD ，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，则△ABE 的周长为（ D ）
A ．4cm B ．6cm C ．8cm D ．10cm
B
O
D
6-1-7
⑸（07·浙江金华）国家级历史文化名城—金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图6-1-8），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB ∥EF ∥DC ，BC ∥GH ∥AD ，那么下列说法中错误的是（ C ） A ．红花、绿花种植面积一定相等 B ．紫花、橙花种植面积一定相等 C ．红花、蓝花种植面积一定相等 D ．蓝花、黄花种植面积一定相等
⑹（06·河北）如图6-1-9，□ ABCD 中，AD=5，AB=3，AE 平分∠BAD 交BC 边于点E ，则线段BE 、EC 的长度分别是（ ） A ．2和3
6-1-8
B ．3和2 C ．4和1 D ．1和4
B
6-1-9
E
6-1-10
⑺（05·东营）如图6-1-10，□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，将△AOD 平移至△BEC 的位置，则图中与OA 相等的其它线段有 （ B ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
6- 3
2、填空题
⑴如图6-1-11，□ABCD 中，∠C=108°，BE 平分∠ABC ，则∠AEB=__36_____. ⑵如图6-1-12，在□ABCD 中，∠B=110°, 延长AD 至F ，延长CD 至E ，连接EF ， 则∠E+∠
A
E
D
A
C B
6-1-12
A
B
6-1-11
C
E F
6-1-13
⑶（07·河北省）如图6-1-13，若□ABCD 与□EBCF 关于BC 所在直线对称， ∠ABE ＝90°，则∠F ＝ 45 °
. ⑷如图6-1-14， □ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 边上的一点 若再增加一个条件＿＿AE=CF、ED=BF„„＿＿＿＿＿＿＿，就可得BE=DF. 6-1-14
⑸已知□ABCD 的周长为60cm ，AC 、BD 交于点O ，△BOC 的周长比△AOB 的周长多8cm ，则3、解答题
⑴（07·浙江临安）
已知：如图6-1-15，E 、F 是□ABCD 的对角线AC 上的两点，AE=CF
求证：（1）△ADF ≌△CBE ；（2）EB ∥DF 。 证明：(1)∵AE=CF
∴AE+EF=CF+FE即AF=CE
又ABCD 是平行四边形，∴AD=CB，AD ∥BC ∴∠DAF=∠BCE 在△ADF 与△CBE 中
A F=CE ⎧⎪
A D =CB ⎨
⎪ ∠D A F= ∠B C E ⎩
6-1-15
∴△ADF ≌△CBE （SAS ） （2）∵△ADF ≌△CBE
6- 4
∴∠DFA=∠BEC ∴DF ∥EB 【能力训练】 1、选择题
⑴如图6-1-16，在□ABCD 中，AB=10，AD=6，E 是AD 的中点，在AB 上取一点F ，使△CBF ∽△CDE ．则BF 的长是（ D ） A ． 5
B ． 8.2 C ． 6.4 D ．1.8
6-1-16
⑵（05·南宁）用两个全等三角形最多能拼成（ C ）个不同的平行四边形 A ． 5
B ．4
C ． 3 D ．2
⑶□ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ：∠D 的值可以是（ D ）
A ．1：2：3：4 B. 3：4：4：3 C. 3：3：4：4 D. 3：4：3：4
⑷（05·深圳）如图6-1-17，口ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A 正好落在CD 上的点F ，若△FDE
E
的周长为8，△FCB 的周长为22，则FC 的长为_ 7 _。
6-1-17
B
2、填空题
⑴如图6-1-18，O 为□ABCD 对角线AC 、BD 的交点，EF 经过点O ，且与边AD 、BC 分别交于E 、F, 若BF=DE，请写出图中共有 6 对全等三角形
D
B C F
6-1-18
⑵在□ABCD 中，EF 过对角线的交点O ，若AB=4，BC=7，OE=3，则四边形EFCD 周长是 17
⑶（06·日照市）如图6-1-19，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，∠EAF=45°，且AE+AF=22，则□ABCD 的周长是 8 ．
6-1-19
⑷在平面直角坐标系中，以A 、B 、C 、D 为顶点的平行四边形，A 、B 、D 的坐标分别是(0,0)，(5,0)，(2,3)，则顶点C 的坐标是 ．
6- 5
3、解答题
⑴已知：如图6-1-20，□ABCD 中，AE 、BF 分别平分∠DAB 和∠ABC ，交CD 于点E 、F ，AE 、BF 相交于点M ．
F E D （1）试说明：AE ⊥BF ；
（2）判断线段DF 与CE 的大小关系，并予以说明． 【分析】要证AE ⊥BF ，可探求△ABM 中∠BAE 与∠ABF 和的度数，通过正确识图分析，把已知条件巧妙转化．判断线段
A 6-1-20 DF 与CE 的大小关系时，先探求DE 与CF 的大小关系，可在
△ADE 、△BCF 中寻求相等的数量关系，再依据□ABCD 对边相等的性质过渡求证． 【解】（1）方法一：如图（6-1-20），
∵在□ABCD 中，AD ∥BC ， ∴∠DAB ＋∠ABC ＝180°，
∵AE 、BF 分别平分∠DAB 和∠ABC ， ∴∠DAB ＝2∠BAE ，∠ABC ＝2∠ABF ． ∴2∠BAE ＋2∠ABF ＝180°，即∠BAE ＋∠ABF ＝90°． ∴∠ABM ＝90°． ∴AE ⊥BF ． 方法二：如图（6-1-20），延长BC 、AE 相交于点P ， ∵在□ABCD 中，AD ∥BC ， ∴∠DAP ＝∠APB ． ∵AE 平分∠DAB ， ∴∠DAP ＝∠PAB ． ∴∠APB ＝∠PAB ． ∴AB ＝BP ．.
∵BF 平分∠ABC ， ∴AP ⊥BF ，即AE ⊥BF ． （2）线段DF 与CE 是相等关系，即DF ＝CE ， ∵在□ABCD 中，CD ∥AB ，∴∠DEA ＝∠EAB ．
又AE 平分∠DAB ， ∴∠DAE ＝∠EAB ． ∴∠DEA ＝∠DAE ． ∴DE ＝AD ．同理可得 ∴CF ＝BC ．
又∵在□ABCD 中，AD ＝BC ，∴DE ＝CF ． ∴DE －EF ＝CF －EF ，即DF ＝CE ．
【说明】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、垂直的定义、等腰三角形的性质等知识的综合应用，同时本题的第（2）问也是一道开放性试题．
⑵已知：如图6-1-21，□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，且∠EAF=60°，BE=2cm，CF=1cm
求：□ABCD 的面积 123
6- 6
B
F 6-1-21
⑶如图6-1-22，村子里有一四边形的池塘，在它的四个角的顶点A 、B 、C 、D 处均种了一棵大树，村子准备开挖池塘建渔塘，想使池塘的面积扩大一倍，又想保持大树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状，请问能否实现这一设想？若能，请你设计出所要画的图形，若不能，请说明理由。
6-1-22
⑷（05·绵阳）如图6-1-23，在□ABCD 中，AD =4 cm ，∠A =60°，BD ⊥AD . 一动点P 从A 出发，以每秒1 cm的速度沿A →B →C 的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM ⊥AD .
(1) 当点P 运动2秒时，设直线PM 与AD 相交于点E ，求△APE 的面积；
(2) 当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A →B →C 的路线运动，且在AB 上以每秒1 cm的速度匀速运动，在BC 上以每秒2 cm的速度匀速运动. 过Q 作直线QN ，使QN ∥PM . 设点Q 运动的时间为t 秒(0≤t ≤10) ，直线PM 与QN 截平行四边形ABCD 所得图形的面积为S cm 2 .
① 求S 关于t 的函数关系式； ② (附加题) 求S 的最大值. 6-1-23 解： (1) 当点P 运动2秒时，AP =2 cm，由∠A =60°，知AE =1，PE
∴ S ΔAPE =
32
.
(2) ① 当0≤t ≤6时，点P 与点Q 都在AB 上运动，设PM 与AD 交于点G ，QN
与
6- 7
AD 交于点F ，则AQ =t ，AF =
t 2
，QF =
32
t
，AP =t +2，AG =1+
32t +
t 23232
，PG =.
3+
32
t
.
∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为S =
当6≤t ≤8时，点P 在BC 上运动，点Q 仍在AB 上运动. 设PM 与DC 交于点G ，QN 与AD 交于点F ，则AQ =t ，AF =PG =(10-t )
538
t 2
，DF =4-
t 2
，QF =
t
，BP =t-6，CP =10-t ，
3
，
43
而BD =S =-
t
2
，故此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为
3
+103t -34
.
，CP =10-t ，PG =(10-t )
332
t
2
当8≤t ≤10时，点P 和点Q 都在BC 上运动. 设PM 与DC 交于点G ，QN 与DC 交于点F ，则CQ =20-2t ，QF =(20-2t
3
.
∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为S =
-303t +150
.
故S 关于t
+(0≤t ≤6) 22⎪⎪⎪2
的函数关系式为S =⎨-+-(6≤t ≤8)
82
-+(8≤t ≤10) 2⎪⎩
② (附加题) 当0≤t ≤6时，S 的最大值为当6≤t ≤8时，S 的最大值为6当8≤t ≤10时，S 的最大值为6所以当t =8时，S 有最大值为6
33
732
；
；
3
；
.
⑸（05·泸州）如图6-1-24，在□ABCD 中，两条对角线相交于点O ，点E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点，以图中的任意四点（即点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、O 中的任意四点）为顶点画两种不同的平等四边形．
第一种： 第二种： 6-1-24 ①
6-1-24 ②
6- 8
解：第一种：可画为□EFGH
第二种：可画为□DEBG （或画为□AHCF ）
⑺（06·江阴市）已知：如图6-1-26，□ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、BC 上. （1）若AB ＝10，AB 与CD 间距离为8，AE=EB，BF=FC，求△DEF 的面积. （2）若△ADE 、△BEF 、△CDF 的面积分别为5、3、4，求△DEF 的面积. 解：⑴∵AB ＝10， AB 与CD 间距离为8， ∴ SABCD ＝80 ∵AE ＝BE ，BF ＝CF ．
D C 1116-1-26 ∴S △AED ＝SABCD ，S △BEF ＝，S △DCF ＝
4843
∴S △DEF ＝SABCD －S △AED －S △BEF －S △DCF ＝SABCD ＝30
88
⑵设AB ＝x ，AB 与CD 间距离为y ，由S △DCF ＝4知F 到CD
x 818
则F 到AB 的距离为y －，∴S △BEF ＝（y －）＝3，
x 2x x(xy－14) 6x 6x
∴BE ＝AE ＝x －
xy －8xy －8xy －8
11x(xy－14)
S △AED ＝AE ×y ＝×y ＝5，得（xy ）2－24 xy＋80＝0
22xy －8xy ＝20或4
∵SABCD ＝xy ＞S △AED ＝5，∴xy ＝4不合，∴xy ＝20
S △DEF ＝SABCD －S △AED －S △BEF －S △DCF ＝20－5－3－4＝8
6- 9
第一讲：平行四边形⑵ 平行四边形的判定
一、基本知识：
1、判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2、判定定理2：对角线互相平分的四边形是平行四边形 3、判定定理3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 4、判定定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 5、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 二、典型例题 1、判断
⑴一组对角相等，一组邻角互补的四边形是平行四边形（√ ） ⑵一组对角相等，另一组对角互补的四边形是平行四边形（ × ） ⑶两组邻角相等的四边形是平行四边形（ × ） ⑷两组邻角互补的四边形是平行四边形（ × ）
⑸一组对边及一组对角相等的四边形是平行四边形（× ） ⑹一组对边平行，一组对角互补的四边形是平行四边形（ × ） ⑺一组对边平行，而另一组对边相等的四边形是平行四边形（ × ） ⑻有两边相等，另外两边也相等的四边形是平行四边形（ × ） ⑼一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. （√ ） ⑽对角线互相垂直的四边形是平行四边形（ × ）
⑾一组邻边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形（ × ） ⑿对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形（× ） 2、（05·东营）如图6-1-27，在□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，
E ，F 是对角线AC 上的两点，当E ，F 满足下列哪个条件时，四边形DEBF 不一定是平行四边形（ B ） A. AE =CF
B. DE = BF C. ∠ADE =∠CBF
A
6-1-27
D. ∠AED =∠CFB
B
3、已知：如图6-1-28，□ABCD 中，G 是CD 上一点，BG 的延长线交AD 的延长线于点E ，AF=CG，∠DGE=100° ⑴试说明DF=BG；⑵试求∠AFD 的度数 100°
A
6-1-28
6- 10
4、（05·南京）如图6-1-29，E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AF=CE，DF=BE，DF ∥BE 求证：（1）△AFD ≌△CEB 。 D
C
（2）四边形ABCD 是平行四边形。
F
E
A B
6-1-29
5、已知：如图6-1-30，在□ABCD 中，E 、F 分别在BA 、DC 延长线上，且AE=CF，连接EF 分别交AD 、BC 于G 、H 求证：AC 与GH 互相平分。
D
B 6-1-30
6、（05·河南课改）已知：如图6-1-31，在□ABCD 中，点E 、F 在BD 上，且BF ＝DE 。
⑴ 写出图中所有你认为全等的三角形；
⑵ 延长AE 交BC 的延长线于G ，延长CF 交DA 的延长线于H(请补全图形) ，证明四边形AGCH 是平行四边形。
A
E 解：⑴、△ABE ≌△CDF ，△AED ≌△CFB ，△ABD ≌△CDB ；
B ⑵、∵BF ＝DE ，∴BF ＋FE ＝DE ＋FE ，即BE ＝DE 。 6-1-31 C
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD 。 ∴∠ABD ＝∠CDB 。
H D AB ＝CD ⎧⎪在△ABE 和△CDF 中：⎨∠ABE ＝∠CDF
⎪BE ＝DE ⎩F
∴△ABE ≌△CDF ， B G ∴∠AEB ＝∠CFD ，
∴HC ∥CG ，∴四边形AGCH 为平行四边形。
三、练习
【基础达标】 1、选择题
⑴（07·甘肃陇南）顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是 ( A ) A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形
2、填空题 ⑵（06·攀枝花市）如图6-1-32，AD=BC，要使四边形ABCD 是平行四边形，还需补充的一个条件是： AD∥BC ；
3、解答题
⑴（05·无锡）已知：如图6-1-33， □ABCD 中，E 、F 分别是边BC 和AD 上的点，且BE=DF
A F D 求证：AE=CF.
B C E
6-1-33
，H 分别为四边形ABCD 的边⑵（06·湛江市）如图6-1-34，点E ，F ，G
A B ，B ，C C ，D D A 的中点，试判断四边形EFGH 的形状，并证明你的结论． 解：四边形EFGH 是平行四边形 证明：连接AC ，如图6-1-34
E ，F 分别是AB ，BC 的中点，
∴EF 是△ABC 的中位线，
D H
C F
∴EF ∥AC ，且EF =
12
AC ．
12
A
AC ，
B
E 6-1-34
同理：GH ∥AC ，且G H =
∥H ． ∴EF
∴四边形EFGH 是平行四边形．
⑶（07·恩施自治州）如图6-1-35，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O,E 、F 是直
线AC 上的两点，并且AE=CF 求证：四边形BFDE 是平行四边形. E 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形
∴OA=OC,OB=OD 又∵AE=CF ∴OE=OF
∴四边形BFDE 是平行四边形
【能力训练】
1、已知四边形ABCD ，仅从下列条件中任取两个加以组合，能否得到四边形ABCD 是平行四边形的结论？试一试，并说明理由。
①AB=CD ②AB ∥CD ③BC ∥AD ④BC=AD ⑤∠A=∠C ⑥∠B=∠D
2、已知：如图6-1-36，在□ABCD 中，AE=CF，点M 、N 分别是DE 、BF 的中点 求证：FM=EN F C
□ABCD ⇒□DEBF
M
A E
6-1-36
3、已知：如图6-1-37，□ ABCD 中，以AC 为边在其两侧各作一个等边三角形△ACP ，
△ACQ
求证：四边形BPDQ 是平行四边形 连接BD 交AC 于O ，连接OP ，OQ □ ABCD C ⇒OB=OD，OC=OA
A ∵等边三角形△ACP ，△ACQ
∴PO 为AC 边上的中线，高线；QO 为AC 边上的中线，高线 ∴P 、O 、Q 共线，且O 为中点 6-1-37 ∴四边形BPDQ 是平行四边形
B
6-1-35
4、已知：如图6-1-38，在△ABC 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，M 、N 是AC 的两 个三等分点，EM 与FN 的延长线交于D
求证：ABCD 是平行四边形 A D E 连接BM 、BD 、BN ，BD 与AC 交于O
∵E 、F 分别是AB 、BC 的中点
B ∴EM 为△ABN 中位线 6-1-38 ∴EM ∥BN
同理BM ∥FD
∴MBND 为平行四边形 ∴OB=OD，OM=ON ∵MA=NC ∴OA=OC
∴ABCD 是平行四边形
5、（05·佛山）已知：如图6-1-39任意四边形ABCD ，且线段AB 、BC 、CD 、DA 、AC 、．．BD 的中点分别是E 、F 、G 、H 、P 、Q ．
（1）若四边形ABCD 如图①，判断下列结论是否正确（正确的在括号里填“√”，错误的在括号里填“×”）．
甲：顺次连接EF 、FG 、GH 、HE 一定得到平行四边形；（ ） 乙：顺次连接EQ 、QG 、GP 、PE 一定得到平行四边形．（ ） （2）请选择甲、乙中的一个，证明你对它的判断．
（3）若四边形ABCD 如图②，请你判断（1）中的两个结论是否成立？
D
E
6-1-39 ①
A B
6-1-39 ②
解：（1）甲 √ 乙 ×
（2）证明（1）中对甲的判断： 连接EF 、FG 、GH 、HE ，
∵E 、F 分别是AB 、BC 的中点，∴EF 是△ABC 的中位线。 ∴EF ∥AC ，EF=同理，HG ∥AC ，HG=
12
12
AC ，
AC ，
∴EF ∥HG ，EF=HG．∴四边形EFGH 是平行四边形．
（3）类似于（1）中的结论甲、乙都成立．
方法二：也可把钝角减去一个直角得一个锐角，然后利用上述结论把锐角三等分后，再将直角利用等边三角形（或其它方法）将其三等分即可．
方法三：先将此钝角的补角（锐角）三等分，再作它的余角． 6、（05·苏州）如图06-1-40，平行四边形纸条ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，张老师请同学将纸条的下半部分 ABFE 沿EF 翻折，得到一个V 字形图案。
（1）请你在原图中画出翻折后的图形 A 'B 'FE ；（用尺规作图，不写画法，保留作图痕迹）
（2）已知∠A=63°，求∠B ′FC 的大小。
6-1-40
解：（1）作图如图；
（答题图）
（2） ABFE 是平行四边形，∴∠EFB =∠A =63 A 'B 'EF 是由ABEF 翻折得到的， ∴∠B 'FE =∠EFB =63。
∴∠B 'FC =180-∠B 'FE -∠EFB =54
7、（06·广东省）如图6-1-41，在□ABCD 中，∠DAB=60°，点E 、F 分别在CD 、AB 的延长线上，且AE=AD，CF=CB．
(1)求证：四边形AFCE 是平行四边形． (2)若去掉已知条件的“∠DAB=60°，上述的结论还成立吗? 若成立，请写出证明过程； 若不成立，请说明理由．
（1）证：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴DC ∥AB ，∠DCB=∠DAB=60° ∴∠ADE=∠CBF=60° ∵AE=AD，CF=CB
∴△AED ，△CFB 是正三角形
在□ ABCD 中，AD=BC，DC ∥=AB 06-1-41 ∴ED=BF ∴ED+DC=BF+AB 即 EC=AF 又∵DC ∥AB 即EC ∥AF
∴四边形AFCE 是平行四边形
（2）上述结论还成立
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形
∴DC ∥AB ，∠DCB=∠DAB ，AD=BC，DC ∥=AB ∴∠ADE=∠CBF ∵AE=AD，CF=CB
∴∠AED=∠ADE ，∠CFB=∠CBF ∴∠AED=∠CFB 又∵AD=BC
∴△ADE ≌△CBF ∴ED=FB ∵DC=AB
∴ED+DC=FB+AB 即EC=FA
∵DC ∥AB
∴四边形EAFC 是平行四边形