探索勾股定理一

1探索勾股定理（共3课时） 第1课时

勾股定理有着悠久的历史，蕴含着丰富的传统文化，他表述了直角三角形三边之间的关系，你知道是什么关系吗？

如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

.

【例1】 在△ABC中，已知∠B=90

°,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,且a=5，b=12

，求c． 【分析】

由∠B=90°,知b才是斜边（如图），所以a＋c= b,注意不要受思维定势（勾

2

2

2

2

股定理的表达式：）的影响而误认为c是斜边

【解答】

由∠B=90°,则知b是Rt△ABC的斜边， 由勾股定理，得c=ba=125=119．

2

例1图

2222

【总结】我们在运用勾股定理时，首先要正确识别哪个角是直角，从而确定哪条边是斜边，然后准确写出勾股定理表达式进行求解．

【例2】如图，在△ABC中，AB = 25，AC = 30，BC边上的高AD = 24，求BC的长.

【分析】本例不能直接求出BC的长，但通过观察图形可以发现BC边上的高AD把△ABC分成了两个直角三角形，可以分别在两个直角三角形中救出BD、DC的长，从而救出BC的长。

【解答】在直角三角形ABD中，由勾股定理，得 BD 2=AB－AD=25－24=49，所以BD=7 ；

2

2

2

2

例2图

在直角三角形ADC中，由勾股定理，得 CD 2=AC2－AD=302－24=324，所以CD=18.

2

2

所以，BC = BD + DC = 7 + 18 = 25.

【总结】在直角三角形中已知两条边可以应用勾股定理救出第三条边，要注意发现题

目中的直角三角形，从而找到解题的思路。

1．观察下图

（1）正方形A中含有

个小方格，即A的面积为 个单位面积． （2）正方形

B中含有 个小方格，即B的面积为

个单位面积．

（3）正方形C中含有 个小方格，即C的面积为 个单位面积．

2．在上题中，正方形A、B、C的面积之间的关系为 ．

6，3．在Rt△ABC中，ABAC

BC1，0A9，则

{第1题}

4．如果三角形是直角三角形，且两条直角边分别为5，12，则此三角形的周长为 ，面积为 ．

【基础训练】

1．如图字母B所代表的正方形的面积是 ( ) A． 12 B．13 C． 144 D．194

169

25

B

{第1题}

2．佳佳从家到学校时，先向正南方向走了150米，接着向正东方向走了200米，则佳佳家离学校的最短距离为________米．

3．求图中直角三角形中未知的长度:b=__________，c=____________.

{第3题}

7

4、如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达B点200m，结果他在水中实际游了520m，则该河流的宽度为 .

5．如图，从电线杆离地面5 m处向地面拉一条长12m的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？

{第5题}

C

{第4题}

【能力提高】

2

6． 在直角△ABC中，AB3，BC4，则AC＝．

7．如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, CDAB于D, AC=3, AB=5, 则AD等于（ ）

{第7题}

【联系拓广】

8．活动课上，数学老师布置了这样一道操作题：已知五个大小一样的正方形，能否作一个大的正方形，使它的面积等于这五个小正方形面积的和吗? 在老师的鼓励和指导下，同学们得到以下一些方案：

首先，用学过的勾股定理，反复利用四次勾股定理，就能达到要求（如图）．

虽然完成了，但麻烦了一些．老师提醒同学们：“想想看，可以少用几次勾股定理吗？”于是，开动脑筋后的

同学们设计了只用一次勾股定理就行的方案，得到了老

{第8题

}

师的赞扬和鼓励．

你知道同学们的方案是如何设计的吗？试着画图说明吧。 

勾股定理史话

1955年希腊发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成。这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体 ── 毕达哥拉斯学派，它的成立以及在文化上的贡献。邮票上的图案是对数学上一个非常重要定理的说明。它是初等几何中最精彩的，也是最著名和最有用的定理。在我国，人们称它为勾股定理；在欧洲，人们称它为毕达哥拉斯定理。

勾股定理断言：直角三角形的斜边的平方等于其它二边的平方的和。它勾股定理的出现称得上是数学发展史上的里程碑。但是，如果人们要考究这个定理的起源，则常常会感到迷惑。因为在欧洲，人们都把这个定理的证明归功于毕达哥拉斯；但是人们又发现早在毕达哥拉斯以前一千多年，古代巴比伦人就已经知道这个定理。在我国西汉或更早时期的天文历算著作《周髀算经》中，第一章记述了西周开国时期（约公元前1000年）商高和周公姬旦的问答。周公问商高：“天不可阶而升，地不可将尽寸而度。”天的高度和地面的一些测量的数字是怎么样得到的呢？商高回答：“故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。”即我们常说的勾三、股四、弦五。《周髀算经》里还这样记载：商高，陈子等利用立竿（即周髀）测定日影，再用勾股法推算日高的方法。周髀高八尺，在镐京（今西安附近）一带，夏至日太阳影长一尺六寸，再正南千里，影长一尺五寸。正北千里，影长一尺七寸。祖先天才地用测量日影的办法，推算了夏至日太阳离地的斜高，用同理测定了冬至日的太阳斜高。又取中空竹管，径一寸长八尺，用来观测太阳。我们的祖先发现太阳圆影恰好充满竹管的视线，於是用太阳的斜高和勾股的原则，推算太阳的直径。这些测定的数据虽然非常粗略，和实际相差很远，但在三千年前那样早的年代，就有这样天才的创造和实践的观测精神了。

这段文字描述了中国古代人民如何利用勾股定理在科学上进行实践。由此，中国人把这个定理称为勾股定理或商高定理是完全有道理的。

但是，欧洲人称这个定理为毕达哥拉斯定理，也有他们的说法。因为是毕达哥拉斯本人，至少是毕达哥拉斯学派的某一成员首先给出了对这个定理符合逻辑的证明。虽然，毕达哥拉斯有不少杰出的证明，但最著名的就是证明勾股定理了。传说当他得到了这个定理时，非常

的高兴，杀了一头牛作为牺牲献给天神。也有些历史学家说是一百头牛，这个代价可太大了！

勾股定理是数学上有证明方法最多的定理──有四百多种说明！希腊邮票上所示的证明方法，最初记载在欧几里得的《几何原本》里。

汉朝数学家赵君卿，在注释《周髀算经》时，附了一个图来证明勾股定理。这个证明是四百多种勾股定理的说明中最简单和最巧妙的。

1探索勾股定理（共3课时） 第1课时

勾股定理有着悠久的历史，蕴含着丰富的传统文化，他表述了直角三角形三边之间的关系，你知道是什么关系吗？

如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

.

【例1】 在△ABC中，已知∠B=90

°,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,且a=5，b=12

，求c． 【分析】

由∠B=90°,知b才是斜边（如图），所以a＋c= b,注意不要受思维定势（勾

2

2

2

2

股定理的表达式：）的影响而误认为c是斜边

【解答】

由∠B=90°,则知b是Rt△ABC的斜边， 由勾股定理，得c=ba=125=119．

2

例1图

2222

【总结】我们在运用勾股定理时，首先要正确识别哪个角是直角，从而确定哪条边是斜边，然后准确写出勾股定理表达式进行求解．

【例2】如图，在△ABC中，AB = 25，AC = 30，BC边上的高AD = 24，求BC的长.

【分析】本例不能直接求出BC的长，但通过观察图形可以发现BC边上的高AD把△ABC分成了两个直角三角形，可以分别在两个直角三角形中救出BD、DC的长，从而救出BC的长。

【解答】在直角三角形ABD中，由勾股定理，得 BD 2=AB－AD=25－24=49，所以BD=7 ；

2

2

2

2

例2图

在直角三角形ADC中，由勾股定理，得 CD 2=AC2－AD=302－24=324，所以CD=18.

2

2

所以，BC = BD + DC = 7 + 18 = 25.

【总结】在直角三角形中已知两条边可以应用勾股定理救出第三条边，要注意发现题

目中的直角三角形，从而找到解题的思路。

1．观察下图

（1）正方形A中含有

个小方格，即A的面积为 个单位面积． （2）正方形

B中含有 个小方格，即B的面积为

个单位面积．

（3）正方形C中含有 个小方格，即C的面积为 个单位面积．

2．在上题中，正方形A、B、C的面积之间的关系为 ．

6，3．在Rt△ABC中，ABAC

BC1，0A9，则

{第1题}

4．如果三角形是直角三角形，且两条直角边分别为5，12，则此三角形的周长为 ，面积为 ．

【基础训练】

1．如图字母B所代表的正方形的面积是 ( ) A． 12 B．13 C． 144 D．194

169

25

B

{第1题}

2．佳佳从家到学校时，先向正南方向走了150米，接着向正东方向走了200米，则佳佳家离学校的最短距离为________米．

3．求图中直角三角形中未知的长度:b=__________，c=____________.

{第3题}

7

4、如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达B点200m，结果他在水中实际游了520m，则该河流的宽度为 .

5．如图，从电线杆离地面5 m处向地面拉一条长12m的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？

{第5题}

C

{第4题}

【能力提高】

2

6． 在直角△ABC中，AB3，BC4，则AC＝．

7．如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, CDAB于D, AC=3, AB=5, 则AD等于（ ）

{第7题}

【联系拓广】

8．活动课上，数学老师布置了这样一道操作题：已知五个大小一样的正方形，能否作一个大的正方形，使它的面积等于这五个小正方形面积的和吗? 在老师的鼓励和指导下，同学们得到以下一些方案：

首先，用学过的勾股定理，反复利用四次勾股定理，就能达到要求（如图）．

虽然完成了，但麻烦了一些．老师提醒同学们：“想想看，可以少用几次勾股定理吗？”于是，开动脑筋后的

同学们设计了只用一次勾股定理就行的方案，得到了老

{第8题

}

师的赞扬和鼓励．

你知道同学们的方案是如何设计的吗？试着画图说明吧。 

勾股定理史话

1955年希腊发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成。这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体 ── 毕达哥拉斯学派，它的成立以及在文化上的贡献。邮票上的图案是对数学上一个非常重要定理的说明。它是初等几何中最精彩的，也是最著名和最有用的定理。在我国，人们称它为勾股定理；在欧洲，人们称它为毕达哥拉斯定理。

勾股定理断言：直角三角形的斜边的平方等于其它二边的平方的和。它勾股定理的出现称得上是数学发展史上的里程碑。但是，如果人们要考究这个定理的起源，则常常会感到迷惑。因为在欧洲，人们都把这个定理的证明归功于毕达哥拉斯；但是人们又发现早在毕达哥拉斯以前一千多年，古代巴比伦人就已经知道这个定理。在我国西汉或更早时期的天文历算著作《周髀算经》中，第一章记述了西周开国时期（约公元前1000年）商高和周公姬旦的问答。周公问商高：“天不可阶而升，地不可将尽寸而度。”天的高度和地面的一些测量的数字是怎么样得到的呢？商高回答：“故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。”即我们常说的勾三、股四、弦五。《周髀算经》里还这样记载：商高，陈子等利用立竿（即周髀）测定日影，再用勾股法推算日高的方法。周髀高八尺，在镐京（今西安附近）一带，夏至日太阳影长一尺六寸，再正南千里，影长一尺五寸。正北千里，影长一尺七寸。祖先天才地用测量日影的办法，推算了夏至日太阳离地的斜高，用同理测定了冬至日的太阳斜高。又取中空竹管，径一寸长八尺，用来观测太阳。我们的祖先发现太阳圆影恰好充满竹管的视线，於是用太阳的斜高和勾股的原则，推算太阳的直径。这些测定的数据虽然非常粗略，和实际相差很远，但在三千年前那样早的年代，就有这样天才的创造和实践的观测精神了。

这段文字描述了中国古代人民如何利用勾股定理在科学上进行实践。由此，中国人把这个定理称为勾股定理或商高定理是完全有道理的。

但是，欧洲人称这个定理为毕达哥拉斯定理，也有他们的说法。因为是毕达哥拉斯本人，至少是毕达哥拉斯学派的某一成员首先给出了对这个定理符合逻辑的证明。虽然，毕达哥拉斯有不少杰出的证明，但最著名的就是证明勾股定理了。传说当他得到了这个定理时，非常

的高兴，杀了一头牛作为牺牲献给天神。也有些历史学家说是一百头牛，这个代价可太大了！

勾股定理是数学上有证明方法最多的定理──有四百多种说明！希腊邮票上所示的证明方法，最初记载在欧几里得的《几何原本》里。

汉朝数学家赵君卿，在注释《周髀算经》时，附了一个图来证明勾股定理。这个证明是四百多种勾股定理的说明中最简单和最巧妙的。