湖北省随州市草店中学 王厚军 李华荣
一、问题原型：
（人教版八年级上册第42页探究）如图1-1，要在燃气管道
上修建一个泵站，分别向
、
两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
这个“确定最短路线”问题，是一个利用轴对称解决极值的经典问题。解这类问题
二、基本解法：
对称共线法。利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线上（线路长度不变），确定动点位置，计算线路最短长度。
三、一般结论：
(
在线段
上时取等号)（如图1-2）
线段和最小，常见有三种类型：
（一）“|定动|+|定动|”型：两定点到一动点的距离和最小
通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧，当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由“两点之间线段最短”可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长。
1.两个定点+一个动点。
如图1-3，作一定点
关于动点
所在直线
的对称点
，线段
（
是另一定点）与
的交点即为距离和最小时动点
位置，最小距离和
。
例1（2006年河南省中考题）如图2，正方形
的边长为
，
是
的中点，
是对角线
上一动点，则
的最小值是 。
解析：
与
关于直线
对称，连结
，则
。
连结
,在
中，
，
，则
故
的最小值为
例2 （2009年济南市中考题）如图3，已知：抛物线
的对称轴为
，与
轴交于
、
两点，与轴
交于点
，其中
，
。
（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）已知在对称轴上存在一点
，使得
的周长最小，请求出点
的坐标。
解析：（1）对称轴为
，
，由对称性可知：
。根据
、
、
三点坐标，利用待定系数法，可求得抛物线为：
（2）
与
关于对称轴
对称，连结
，
与对称轴交点即为所求
点。
设直线
解析式为：
。把
、
代入得，
。当
时，
，则
2.两个定点+两个动点。
两动点，其中一个随另一个动（一个主动，一个从动），并且两动点间的距离保持不变。用平移方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定点和一个动点”类型来解。
例3 如图4，河岸两侧有
、
两个村庄，为了村民出行方便，计划在河上修一座桥，桥修在何处才能两村村民来往路程最短？
解析：设桥端两动点为
、
，那么
点随
点而动，
等于河宽，且
垂直于河岸。
将
向上平移河宽长到
，线段
与河北岸线的交点即为桥端
点位置。四边形
为平行四边形，
，此时
值最小。那么来往
、
两村最短路程为：
。
例4 (2010年天津市中考)在平面角坐标系中，矩形
的顶点
在坐标原点，顶点
、
分别在
轴、
轴的正半轴上，
，
，
为边
的中点。
（1）若
为边
上的一个动点，当
的周长最小时，求点
的坐标；
（2）若
，
为边
上的两个动点，且
，当四边形
的周长最小时，求点
，
的坐标。
解析：作点
关于
轴的对称点
，则
，
。
（1）连接
交
轴于点
，连接
，此时
的周长最小。由
可知
，那么
，则
。
（2）将
向左平移2个单位（
）到
点，定点
、
分别到动点
、
的距离和等于为定点
、
到动点
的距离和，即
。从而把“两个定点和两个动点”类问题转化成“两个定点和一个动点”类型。
在
上截取
，连接
交
轴于
，四边形
为平行四边形，
。此时
值最小，则四边形
的周长最小。由
、
可求直线
解析式为
，当
时，
，即
，则
。（也可以用（1）中相似的方法求
坐标）
（二）“|动定|+|动动|”型：
两动点分别在两条直线上独立运动，一动点分别到一定点和另一动点的距离和最小。
利用轴对称变换，使一动点在另一动点的对称点与定点的线段上（两点之间线段最短），且这条线段垂直于另一动点的对称点所在直线（连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短）时，两线段和最小，最小值等于这条垂线段的长。
例5 （2009年陕西省中考）如图6，在锐角
中，
，
，
的平分线交
于点
，
、
分别是
和
上的动点，则
的最小值为 4 。
解析：角平分线所在直线是角的对称轴，
上动点
关于
的对称点
在
上，
，
，当
时，
最小。
作
于
，交
于
，
∵
，
∴
作
交
于
，
例6 如图7，四边形
是等腰梯形，
、
在轴
上，
在
轴上，
，
，
，
，抛物线
过
、
两点。
（1）求
、
；
（2）设
是
轴上方抛物线上的一动点，它到
轴与
轴的距离之和为
，求
的最大值；
（3）当（2）中
点运动到使
取最大值时，此时记点
为
，设线段
与
轴交于点
，
为线段
上一动点，求
到
点与到
轴的距离之和的最小值，并求此时
点的坐标。
解析：（1）由
，
，
，
可得：
、
、
、
；根据
、
的坐标可求出抛物线解析式为
（2）设
，且
，则
，用零点分段法可求得，
。当
时，
。
此时
，则
。
（3）
轴与直线
关于
对称，作
轴于
，动点
关于
的对称点
在直线
上，
，当
垂直于直线
时，
的值最小。
，根据
和
可求直线
的解析式
，则有
。由
可知，
。作
，过
点作
轴的平行线
，交
于
，那么
。作
于
，则
，
，当
是
于
的交点时，
与
重合，
有最小值5。函数
，此时
，则
，即
。
3.“|定动|+|动动|+|动定|”型：两定点到两动点的距离、以及两动之间距离和最小。
例7 （2009年漳州中考）如图8，
，
是
内一点，
，
、
分别是
和
上的动点，求
周长的最小值。
解析：分别作
关于
、
的对称点
、
，连接
，则
，当
、
在线段
上时，
周长最小，
∵
，
∴
。 则
周长的最小值为
例8 （2009年恩施中考）恩施到张家界高速公路
与沪渝高速公路
垂直，如图9建立直角坐标系。著名的恩施大峡谷（
）和世界级自然保护区星斗山（
）位于两高速公路同侧，
，
到直线
的距离为
，
到直线
和
的距离分别为
和
。请你在
旁和
旁各修建一服务区
、
，使
、
、
、
组成的四边形的周长最小，并求出这个最小值。
解析：作点
关于
轴的对称点
，点
关于
轴的对称点
，连接
，
。当
、
在线段
上时，
最小。
过
、
分别作
轴、
轴的平行线交于
。在
中，
，
，交
轴于
，交
轴于
。
，而
∴ 四边形
的周长最小值为：
2011-08-09 人教网
湖北省随州市草店中学 王厚军 李华荣
一、问题原型：
（人教版八年级上册第42页探究）如图1-1，要在燃气管道
上修建一个泵站，分别向
、
两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
这个“确定最短路线”问题，是一个利用轴对称解决极值的经典问题。解这类问题
二、基本解法：
对称共线法。利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线上（线路长度不变），确定动点位置，计算线路最短长度。
三、一般结论：
(
在线段
上时取等号)（如图1-2）
线段和最小，常见有三种类型：
（一）“|定动|+|定动|”型：两定点到一动点的距离和最小
通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧，当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由“两点之间线段最短”可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长。
1.两个定点+一个动点。
如图1-3，作一定点
关于动点
所在直线
的对称点
，线段
（
是另一定点）与
的交点即为距离和最小时动点
位置，最小距离和
。
例1（2006年河南省中考题）如图2，正方形
的边长为
，
是
的中点，
是对角线
上一动点，则
的最小值是 。
解析：
与
关于直线
对称，连结
，则
。
连结
,在
中，
，
，则
故
的最小值为
例2 （2009年济南市中考题）如图3，已知：抛物线
的对称轴为
，与
轴交于
、
两点，与轴
交于点
，其中
，
。
（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）已知在对称轴上存在一点
，使得
的周长最小，请求出点
的坐标。
解析：（1）对称轴为
，
，由对称性可知：
。根据
、
、
三点坐标，利用待定系数法，可求得抛物线为：
（2）
与
关于对称轴
对称，连结
，
与对称轴交点即为所求
点。
设直线
解析式为：
。把
、
代入得，
。当
时，
，则
2.两个定点+两个动点。
两动点，其中一个随另一个动（一个主动，一个从动），并且两动点间的距离保持不变。用平移方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定点和一个动点”类型来解。
例3 如图4，河岸两侧有
、
两个村庄，为了村民出行方便，计划在河上修一座桥，桥修在何处才能两村村民来往路程最短？
解析：设桥端两动点为
、
，那么
点随
点而动，
等于河宽，且
垂直于河岸。
将
向上平移河宽长到
，线段
与河北岸线的交点即为桥端
点位置。四边形
为平行四边形，
，此时
值最小。那么来往
、
两村最短路程为：
。
例4 (2010年天津市中考)在平面角坐标系中，矩形
的顶点
在坐标原点，顶点
、
分别在
轴、
轴的正半轴上，
，
，
为边
的中点。
（1）若
为边
上的一个动点，当
的周长最小时，求点
的坐标；
（2）若
，
为边
上的两个动点，且
，当四边形
的周长最小时，求点
，
的坐标。
解析：作点
关于
轴的对称点
，则
，
。
（1）连接
交
轴于点
，连接
，此时
的周长最小。由
可知
，那么
，则
。
（2）将
向左平移2个单位（
）到
点，定点
、
分别到动点
、
的距离和等于为定点
、
到动点
的距离和，即
。从而把“两个定点和两个动点”类问题转化成“两个定点和一个动点”类型。
在
上截取
，连接
交
轴于
，四边形
为平行四边形，
。此时
值最小，则四边形
的周长最小。由
、
可求直线
解析式为
，当
时，
，即
，则
。（也可以用（1）中相似的方法求
坐标）
（二）“|动定|+|动动|”型：
两动点分别在两条直线上独立运动，一动点分别到一定点和另一动点的距离和最小。
利用轴对称变换，使一动点在另一动点的对称点与定点的线段上（两点之间线段最短），且这条线段垂直于另一动点的对称点所在直线（连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短）时，两线段和最小，最小值等于这条垂线段的长。
例5 （2009年陕西省中考）如图6，在锐角
中，
，
，
的平分线交
于点
，
、
分别是
和
上的动点，则
的最小值为 4 。
解析：角平分线所在直线是角的对称轴，
上动点
关于
的对称点
在
上，
，
，当
时，
最小。
作
于
，交
于
，
∵
，
∴
作
交
于
，
例6 如图7，四边形
是等腰梯形，
、
在轴
上，
在
轴上，
，
，
，
，抛物线
过
、
两点。
（1）求
、
；
（2）设
是
轴上方抛物线上的一动点，它到
轴与
轴的距离之和为
，求
的最大值；
（3）当（2）中
点运动到使
取最大值时，此时记点
为
，设线段
与
轴交于点
，
为线段
上一动点，求
到
点与到
轴的距离之和的最小值，并求此时
点的坐标。
解析：（1）由
，
，
，
可得：
、
、
、
；根据
、
的坐标可求出抛物线解析式为
（2）设
，且
，则
，用零点分段法可求得，
。当
时，
。
此时
，则
。
（3）
轴与直线
关于
对称，作
轴于
，动点
关于
的对称点
在直线
上，
，当
垂直于直线
时，
的值最小。
，根据
和
可求直线
的解析式
，则有
。由
可知，
。作
，过
点作
轴的平行线
，交
于
，那么
。作
于
，则
，
，当
是
于
的交点时，
与
重合，
有最小值5。函数
，此时
，则
，即
。
3.“|定动|+|动动|+|动定|”型：两定点到两动点的距离、以及两动之间距离和最小。
例7 （2009年漳州中考）如图8，
，
是
内一点，
，
、
分别是
和
上的动点，求
周长的最小值。
解析：分别作
关于
、
的对称点
、
，连接
，则
，当
、
在线段
上时，
周长最小，
∵
，
∴
。 则
周长的最小值为
例8 （2009年恩施中考）恩施到张家界高速公路
与沪渝高速公路
垂直，如图9建立直角坐标系。著名的恩施大峡谷（
）和世界级自然保护区星斗山（
）位于两高速公路同侧，
，
到直线
的距离为
，
到直线
和
的距离分别为
和
。请你在
旁和
旁各修建一服务区
、
，使
、
、
、
组成的四边形的周长最小，并求出这个最小值。
解析：作点
关于
轴的对称点
，点
关于
轴的对称点
，连接
，
。当
、
在线段
上时，
最小。
过
、
分别作
轴、
轴的平行线交于
。在
中，
，
，交
轴于
，交
轴于
。
，而
∴ 四边形
的周长最小值为：
2011-08-09 人教网