教育教学
浅谈数学中的化归思想
牛菊霞
甘肃省榆中县第二中学甘肃榆中７３０１００
【摘要】化归思想方法是用一种联系、发展、运动与变化的观点去认识问题的方法。本文以中学数学中常见的习题为例，简单阐述
在应用化归思想方法变更问题时应遵循的基本原则。
【关键词】化归思想化归原则
１、熟悉化原则
例１．已知２ｘ一３ｙ＝１求ｆ（×．Ｙ）＝ｘ２＋Ｙ２的最小值，并求出取得最小值时Ｘ．Ｙ的值。
分析：这是求二元二次函数的最小值问题。如果我们利用已知
分析．乍一看．此题中不知道ｎ的值，无从下手．但根据组合数定义可知：
３ｎ≤２１＋ｎｎ∈Ｎ・且３８一ｎ≤３ｎ将一个复杂排列组合问题转化为简单的解不等式的问题．求出
ｎ的僮。再求解简单的组合数的问题。
解．由题意可知．ｎ∈Ｎ・
条件，将ｙ用含Ｘ的代数式表示．则可将ｆ《Ｘ，Ｙ）＝ｘ２＋Ｙ２转化为一
元二次函数，从而将问题化归为熟悉的求二次函数的最小值问题。另一种思考方法是：在直角坐标系中．方程２ｘ一３ｙ＝１表示一条直线．ｆ（Ｘ，Ｙ）＝ｘ２＋Ｙ２表示该直线上一点到原点的距离的平方．于是问题化归为求原点到直线的距离。不论用哪种思考方法．转化后的新问题我们都比较熟悉，求解也就变得容易起来。
ｃ；：１＋Ｃ。３ｎ。。。＝Ｃ，２。８＿，３７
ｎ∈Ｎ・且３８一ｎ≤３ｎ．解不等式得ｎ＝１０
以上两例都是把结论分解威几个简单部分．即把比较复杂的问
３ｎ≤２１＋ｎ
解法１：由２ｘ一３一，得ｙ＝丁
．＿．ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ２＋Ｙ２
＝ｘ。＋（２ｚ—１）２
２Ｊ—ｌ
题转化为若干个比较简单的问题，然后各个击破．逐步完成证明。
３直观化原则
例５若×２＋ｙ２≤５．求证（Ｘ一２）２十（ｙ＋１）２≤２０
分析：问题的特征表现出与两点间距离有关。可是可以从“形”的角度去考虑这个”数”的问题。为此．可作出半径为５的圆．则满足题设的Ｘ、Ｙ可看作圆Ｏ内（含圆周）的点Ｐ（Ｘ．Ｙ）。于是
：１３×：一４ｘ＋一１
９
９
９
＝１３（ｘ一２）２＋１
９
１３
１３
庀ｉ鬲丐石丽Ｆ是点Ｐ到圆周上点Ａ（２．一１）的距离．直径ＡＢ２√面，
而圆上的任一点Ｐ（Ｘ，Ｙ）到Ａ的距离均不大于直径ＡＢ，故４（ｘ－２）２－／－（ｙ十１１２≤４２０
鼹：满足题设的Ｘ、Ｙ可看作圆０．Ｘ２＋ｙ２＝５内（含圆周）的点Ｐ（Ｘ．Ｙ到Ａ（２．一１）的距离是√“一２）２４－（ｙ１Ｌ１）２
并且点Ａ（２．一１）恰好在圆０Ｘ２＋ｙ２＝５的圆周上，
故点Ｐ到圆０上一点Ａ（２．一１）的距离一定小于等于圆的直径
．‘．ｆ（Ｘ，Ｙ）＝ｘ２＋Ｙ２的最小值为西
２
３
此时ｘ＝西，ｙ＝一西
解法２原点直线２ｘ一３ｙ＝１的距离是：
ｂｘ
２—０ｘ
３一ＩＩ
ｄ＝专ｉ石『Ｉ＝丽
．‘．ｆ（ｘ，ｙ）ｍｍ＝ｄ。＝订
卜；
ＡＢ
由Ｅ≥解得ｈ
即√“一２）２＋ｕ十１）２≤２压
两边平方
（ｘ一２）２＋（ｙ＋１）２≤２０
例２．求函数ｙ＝ｘ＋４＋√ｉ≯的最值。
分析：显然Ｉｘｌ≤√；．令ｘ＝４９．令ｘ＝Ｖ；ｃｏｓｏ，０∈［ｏ．万】。
１／＂
例６．ｍ为怎样的实数时．方程Ｘ２＿４ｌｘｌ＋５＝ｍ有四个不相等的
实数根。
分析：解含绝对值的函数．往往循着直观化原则．鲜画出函数图像．然后从图像上直观得出结论。
于是原问题转化为求函数ｙ＝瓜ｓｉｎ（ｐ＋百）＋４的最值．
而求这个函数的最值是我们熟悉的。
解：令ｘ＝压ｃｏｓ０．０∈【０，７／＂ｌ，则ｙ＝压ｃｏｓ０＋４＋占ｊ忑巧
整理得
解：作函数ｙ＝Ｘ２—４１ｘ１＋５的图像（如图１）
由图像直接可知．当１＜ｍ＜５时，方程有Ｘ２－４１ｘｌ＋５＝ｍ四个互
不相等的实数根。
ｙ＝俪ｓｉｎ（口＋詈）＋４，而詈≤ｐ＋；≤等
万
一
所以．当ｐ＝百，即ｘ：５扪－ｏ时，ｙ。，４＋俪
当日＝７Ｚ＂，即ｘ＝一压时．ｙ一＝４一压
＼ｆ＼｜
＼／
＼／
图１
２、简单化原则
例３
设ａ＞ｂ＞ｃ＞Ｏ，求证
ａ
２屯“ｃ“＞ａ“屯…Ｃ”６
分析：直接证明本题．不易人手。如果从结论的特点出发，把它分解为ａ甘＞ａ弩．寸ｃｃ＞ｂ～Ｃ．ｃ。ａ。＞ｃ６ａ。三个不等式来推证．便容易成功。
证明：由题设ａ＞ｂ＞ｃ＞０．．’．ｉ＞１．ａ—ｂ＞０从而（ｉ）ｌ＿５＞１，即ａ＇ｂ５＞ｇｂ。同理０ｃｃ＞ｂｃ一．ｃ。ａ。＞ｃ。ａ。三式相乘．即得证。
直观化原则是指在变更问题时．要注意把比较抽象的问题化归为
比较直观的问题．以便形象地把握问题所及各个对象之间的关系。
参考文献
【１ｌ《数学原则概论》车文博著．湖北人民出版社．【２】《中学数学教育学》章士藻著江苏教育出版社．ｆ３１《中学数学教学》安徽省数学学会安徽教育学院
例４．求ｃ；：一十ｃｉ：。。的值。
７５
２０１０．
８
万方数据
浅谈数学中的化归思想
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
牛菊霞
甘肃省榆中县第二中学,甘肃,榆中,730100中国科技纵横
CHINA SCIENCE & TECHNOLOGY PANORAMA MAGAZINE2010(16)
参考文献(3条)
1. 安徽省数学学会 中学数学教学2. 章士藻 中学数学教育学3. 车文博 数学原则概论
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zgkjzh201016067.aspx
教育教学
浅谈数学中的化归思想
牛菊霞
甘肃省榆中县第二中学甘肃榆中７３０１００
【摘要】化归思想方法是用一种联系、发展、运动与变化的观点去认识问题的方法。本文以中学数学中常见的习题为例，简单阐述
在应用化归思想方法变更问题时应遵循的基本原则。
【关键词】化归思想化归原则
１、熟悉化原则
例１．已知２ｘ一３ｙ＝１求ｆ（×．Ｙ）＝ｘ２＋Ｙ２的最小值，并求出取得最小值时Ｘ．Ｙ的值。
分析：这是求二元二次函数的最小值问题。如果我们利用已知
分析．乍一看．此题中不知道ｎ的值，无从下手．但根据组合数定义可知：
３ｎ≤２１＋ｎｎ∈Ｎ・且３８一ｎ≤３ｎ将一个复杂排列组合问题转化为简单的解不等式的问题．求出
ｎ的僮。再求解简单的组合数的问题。
解．由题意可知．ｎ∈Ｎ・
条件，将ｙ用含Ｘ的代数式表示．则可将ｆ《Ｘ，Ｙ）＝ｘ２＋Ｙ２转化为一
元二次函数，从而将问题化归为熟悉的求二次函数的最小值问题。另一种思考方法是：在直角坐标系中．方程２ｘ一３ｙ＝１表示一条直线．ｆ（Ｘ，Ｙ）＝ｘ２＋Ｙ２表示该直线上一点到原点的距离的平方．于是问题化归为求原点到直线的距离。不论用哪种思考方法．转化后的新问题我们都比较熟悉，求解也就变得容易起来。
ｃ；：１＋Ｃ。３ｎ。。。＝Ｃ，２。８＿，３７
ｎ∈Ｎ・且３８一ｎ≤３ｎ．解不等式得ｎ＝１０
以上两例都是把结论分解威几个简单部分．即把比较复杂的问
３ｎ≤２１＋ｎ
解法１：由２ｘ一３一，得ｙ＝丁
．＿．ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ２＋Ｙ２
＝ｘ。＋（２ｚ—１）２
２Ｊ—ｌ
题转化为若干个比较简单的问题，然后各个击破．逐步完成证明。
３直观化原则
例５若×２＋ｙ２≤５．求证（Ｘ一２）２十（ｙ＋１）２≤２０
分析：问题的特征表现出与两点间距离有关。可是可以从“形”的角度去考虑这个”数”的问题。为此．可作出半径为５的圆．则满足题设的Ｘ、Ｙ可看作圆Ｏ内（含圆周）的点Ｐ（Ｘ．Ｙ）。于是
：１３×：一４ｘ＋一１
９
９
９
＝１３（ｘ一２）２＋１
９
１３
１３
庀ｉ鬲丐石丽Ｆ是点Ｐ到圆周上点Ａ（２．一１）的距离．直径ＡＢ２√面，
而圆上的任一点Ｐ（Ｘ，Ｙ）到Ａ的距离均不大于直径ＡＢ，故４（ｘ－２）２－／－（ｙ十１１２≤４２０
鼹：满足题设的Ｘ、Ｙ可看作圆０．Ｘ２＋ｙ２＝５内（含圆周）的点Ｐ（Ｘ．Ｙ到Ａ（２．一１）的距离是√“一２）２４－（ｙ１Ｌ１）２
并且点Ａ（２．一１）恰好在圆０Ｘ２＋ｙ２＝５的圆周上，
故点Ｐ到圆０上一点Ａ（２．一１）的距离一定小于等于圆的直径
．‘．ｆ（Ｘ，Ｙ）＝ｘ２＋Ｙ２的最小值为西
２
３
此时ｘ＝西，ｙ＝一西
解法２原点直线２ｘ一３ｙ＝１的距离是：
ｂｘ
２—０ｘ
３一ＩＩ
ｄ＝专ｉ石『Ｉ＝丽
．‘．ｆ（ｘ，ｙ）ｍｍ＝ｄ。＝订
卜；
ＡＢ
由Ｅ≥解得ｈ
即√“一２）２＋ｕ十１）２≤２压
两边平方
（ｘ一２）２＋（ｙ＋１）２≤２０
例２．求函数ｙ＝ｘ＋４＋√ｉ≯的最值。
分析：显然Ｉｘｌ≤√；．令ｘ＝４９．令ｘ＝Ｖ；ｃｏｓｏ，０∈［ｏ．万】。
１／＂
例６．ｍ为怎样的实数时．方程Ｘ２＿４ｌｘｌ＋５＝ｍ有四个不相等的
实数根。
分析：解含绝对值的函数．往往循着直观化原则．鲜画出函数图像．然后从图像上直观得出结论。
于是原问题转化为求函数ｙ＝瓜ｓｉｎ（ｐ＋百）＋４的最值．
而求这个函数的最值是我们熟悉的。
解：令ｘ＝压ｃｏｓ０．０∈【０，７／＂ｌ，则ｙ＝压ｃｏｓ０＋４＋占ｊ忑巧
整理得
解：作函数ｙ＝Ｘ２—４１ｘ１＋５的图像（如图１）
由图像直接可知．当１＜ｍ＜５时，方程有Ｘ２－４１ｘｌ＋５＝ｍ四个互
不相等的实数根。
ｙ＝俪ｓｉｎ（口＋詈）＋４，而詈≤ｐ＋；≤等
万
一
所以．当ｐ＝百，即ｘ：５扪－ｏ时，ｙ。，４＋俪
当日＝７Ｚ＂，即ｘ＝一压时．ｙ一＝４一压
＼ｆ＼｜
＼／
＼／
图１
２、简单化原则
例３
设ａ＞ｂ＞ｃ＞Ｏ，求证
ａ
２屯“ｃ“＞ａ“屯…Ｃ”６
分析：直接证明本题．不易人手。如果从结论的特点出发，把它分解为ａ甘＞ａ弩．寸ｃｃ＞ｂ～Ｃ．ｃ。ａ。＞ｃ６ａ。三个不等式来推证．便容易成功。
证明：由题设ａ＞ｂ＞ｃ＞０．．’．ｉ＞１．ａ—ｂ＞０从而（ｉ）ｌ＿５＞１，即ａ＇ｂ５＞ｇｂ。同理０ｃｃ＞ｂｃ一．ｃ。ａ。＞ｃ。ａ。三式相乘．即得证。
直观化原则是指在变更问题时．要注意把比较抽象的问题化归为
比较直观的问题．以便形象地把握问题所及各个对象之间的关系。
参考文献
【１ｌ《数学原则概论》车文博著．湖北人民出版社．【２】《中学数学教育学》章士藻著江苏教育出版社．ｆ３１《中学数学教学》安徽省数学学会安徽教育学院
例４．求ｃ；：一十ｃｉ：。。的值。
７５
２０１０．
８
万方数据
浅谈数学中的化归思想
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
牛菊霞
甘肃省榆中县第二中学,甘肃,榆中,730100中国科技纵横
CHINA SCIENCE & TECHNOLOGY PANORAMA MAGAZINE2010(16)
参考文献(3条)
1. 安徽省数学学会 中学数学教学2. 章士藻 中学数学教育学3. 车文博 数学原则概论
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zgkjzh201016067.aspx