集合与函数概念
一、教材分析
集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些内容。本章中只将集合作为一种语言来学习，学生将学会使用最基本的集合语言去表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力。
函数的学习促使学生的数学思维方式发生了重大的转变：思维从静止走向了运动、从运算转向了关系。函数是高中数学的核心内容，是高中数学课程的一个基本主线，有了这条主线就可以把数学知识编织在一起，这样可以使我们对知识的掌握更牢固一些．函数与不等式、数列、导数、立体、解析、算法、概率、选修中的很多专题内容有着密切的联系．用函数的思想去理解这些内容，是非常重要的出发点。反过来，通过这些内容的学习，加深了对函数思想的认识．函数的思想方法贯穿于高中数学课程的始终。高中数学课程中，函数有许多下位知识，如必修1第二章的幂、指、对函数数，在必修四将学习三角函数。函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。 二、设计思路
本节课新课中渗透的理念是：“强调过程教学，启发思维，调动学生学习数学的积极性”。在本节课的学习过程中，教师没有把梳理好的知识展示给学生，而是让学生自己进行知识的梳理。一方让学生体会到知识网络化的必要性，另一方面希望学生养成知识梳理的习惯。在本节课中不断提出问题，采取问题驱动，引导学生积极思考，让学生全面参与，整个教学过程尊重学生的思维方式，引导学生在“最近发展区”发现问题、解决问题。通过自主分析、交流合作，从而进行有机建构，解决问题，改变学生模仿式的学习方式。在教学过程中，渗透了特殊到一般的思想、数形结合思想、函数与方程思想。在教学过程中通过恰当的应用信息技术，从而突破难点。 三、教学目标分析 (一) 知识与技能
1．了解集合的含义与表示，理解集合间的基本关系，集合的基本运算。
A ：能从集合间的运算分析出集合的基本关系。 B ：对于分类讨论问题，能区分取交还是取并。
2．理解函数的定义，掌握函数的基本性质，会运用函数的图象理解和研究函数的性质。
A ：会用定义证明函数的单调性、奇偶性。 B ：会分析函数的单调性、奇偶性、对称性的关系。
(二) 过程与方法
1．通过学生自主知识梳理，了解自己学习的不足，明确知识的来龙去脉，把学习的内容网络化、系统化。
2．在解决问题的过程中，学生通过自主探究、合作交流，领悟知识的横、纵向联系，体会集合与函数的本质。 四、重难点分析
重点：掌握知识之间的联系，洞悉问题的考察点，能选择合适的知识与方法解决问题。 难点：含参问题的讨论，函数性质之间的关系。 五、知识梳理(约10分钟) 提出问题
问题1：把本章的知识结构用框图形式表示出来。
问题2：一个集合中的元素应当是确定的、互异的、无序的，你能结合具体实例说明集合的这些基本要求吗？
问题3：类比两个数的关系，思考两个集合之间的基本关系．类比两个数的运算，思考两个集合之间的基本运算，交、并、补。
问题4：通过本章学习，你对函数概念有什么新的认识和体会吗？ 请结合具体实例分析，表示函数的三种方法，每一种方法的特点。 问题5：分析研究函数的方向，它们之间的联系。
在前一次晚自习上，学生相互展示自己的结果，通过相互讨论，每组提供最佳的方案。在自己的原有方案的基础上进行补充与完善。 学生回答问题要点预设如下：
1．集合语言可以简洁准确表达数学内容。
2．运用集合与对应进一步描述了函数的概念，与初中的函数的定义比较，突出了函数的本质函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型。
3．函数的表示方法主要有三种，这三种表示方法有各自的适用范围，要根据具体情况选用。 4．研究函数的性质时，一般先从几何直观观察图象入手，然后运用自然语言描述函数的图象特征，最后抽象到用数学符号刻画相应的数量特征，也是数学学习和研究中经常使用的方法。
设计意图：通过布置任务，让学生充分的认识自己在学习的过程中，哪些知识学习的不透彻。让学生更有针对的进行复习，让复习进行的更有效。让学生体会到知识的横向联系与纵向联系。通过类比初中与
高中两种函数的定义，让学生体会到两种函数的定义本质是一样的。 六、易错点分析(约3分钟)
问题6：集合中的易错问题，函数中的易错问题? 主要是作业、训练、考试中出现的问题? (任务提前布置，由课代表汇总，并且在教学课件中体现。教师不进行修改，呈现的是原始的)
对于问题6主要由学生讨论分析，并回答，其他学生补充。这个过程尽量由学生来完成，教师可以适应的引导与点评。
设计意图：让学生学会避开命题者制造的陷阱，通过不断的分析，让学生了解问题出现的根源，充分暴露自己的思维，在交流与合作的过程中，改进自己的不足，加深对错误的认识。通过交流了解别人的错误，自己避免出现类似的错误。 七、考察点分析(约5分钟)
问题7：分析集合中的考察点，函数中的考察点。 问题8：知识的横纵联系。
学生回答问题要点预设如下： 1．集合中元素的互异性。 2．
，则集合A 可以是空集。
3．交集与并集的区分，即何时取交，何时取并，特别是含参的分类讨论问题。 4．函数的单调性与奇偶性的证明。 5．作业与试卷中出现的问题。
6．学生分析本章的考察点，主要分析考察的知识点、思想方法等方面。
设计意图： 让学生了解考察点，才能知道命题者的考察意图，才能选择合适的知识与思想方法来解答。例如如果试题中出现集合， 无论试题以什么形式出现，考察点基本是集合间的基本关系、集合的运算。
八、典型问题分析 例1：设集合
（1）若
（2）若（3）若(1) 答案： (2) 答案：
(3) 答案：
，求的值；
，求的值。（教师点评，同时板书） 或或。
； ；
，求实数的值；
由学生分析问题的考察点，包括知识与数学思想。（预设有以下几个方面）从知识点来分析，这是集合问题。考察点主要为集合的表示方法、集合中元素的特性、集合间的基本关系、集合的运算等。学生在解第1个问时，可能漏掉特殊情况。第2、3问可能会遇到一定的障碍，可以给学生时间进行充分的思考。 设计意图：让学生体会到分析考察点的好处，养成解题之前分析考察点的习惯。能顺利的找到问题的突破口，为后续的解答扫清障碍．通过一题多问、一题多解、多题归一，让学生主动的形成发散思维，主动应用转化与化归的思想。 例2：已知函数
是定义在R 上的奇函数，当，求函数的解析式。
变式：函数是偶函数
时，
学生分析考察点、解题思路，如果不完善，其他学生补充。 学生回答问题要点预设如下：
1．考察点为函数的奇偶性与函数图象的关系。 2．函数的奇偶性的定义。 3．转化与化归的思想。 法一：本题即求
，函数的解析式，可先利用函数的奇偶性绘制函数的图象，把本题转化为二次函数
的图象与解析式的问题。 法二：本法更具有一般性，已知
时，函数的解析式，要分析
时的函数对应关系，即当一个数小
于零时，函数值应当怎样计算。由于函数具有奇偶性，即一个数与它的相反数的函数值之间有关系，
，所以可以研究
的函数值。
设计意图：学生在思考的过程中，体会数形结合思想．函数的奇偶性与函数的图象的关系，可以根据奇偶性绘制函数图象，也可以通过函数的图象分析函数的奇偶性，两者是相辅相承的．体会转化与化归的思想，把要研究的转化为已知的．考察函数的单调性的证明，函数的奇偶性与单调性之间的关系，体会知识的纵向联系．体会转化与化归的思想、特殊与一般的数学思想，让学生体会到问题后面隐含的本质． 例3：已知
是偶函数，而且在
上是减函数，判断
在
上是增函数还是减函数，并
证明你的判断。 变式1：函数为奇函数
变式2：你能分析奇函数(偶函数) 在对称区间上的单调性的关系吗? 试从数形两个方面来分析。 学生分析考察点、解题思路，如果不完善，其他学生补充。 学生回答问题要点预设如下：
1．考察点为函数的奇偶性与单调性的关系。 2．函数的单调性的定义。 3．数形结合、转化与化归的思想。 法一：通过函数的图象分析。
法二：把要研究的范围转化为已知的范围。
设计意图：明确函数的性质是一个有机的整体，不是一个个知识点的简单罗列．同时体会知识的纵向联系与横向联系，在第二个方法中进一步感受转化与的思想．通过两个变式的研究过程，学生体会研究探索性问题的一般思路，即通过特殊情况分析结果，再对结果的正确性进行证明。 例4：求变式：
在区间在区间
上的最大值和最小值。
上的最大值是1，求的值。
教师用几何画板演示，二次函数对称轴的变化对函数的最值的影响。 答案：
时，最大值是
，最小值是或
，最小值是; 。
;
时，最大值是，最小值是
，最小值是。
;
时，最大值是变式答案：
时，最大值是
学生通过直观的演示，思考问题的考察点与解答策略。 学生回答考察点分析(预设) ： 1．二次函数的图象与性质。 2．分类与整合。 3．逆向思维。
学生回答解题思路分析（预设）：
研究二次函数的对称轴方程与所给的区间的关系。
设计意图：通过几何画板的动态性，给学生直观的感知，从而建立最近发展区，进而突破难点． 通过对二次函数的研究，学生巩固了上位知识函数的图象与性质，充分体会数形结合的优势。学生在解答变式的过程中， 体会逆向思维与正向思维的关系，体会函数与方程思想，感受到动静结合。 九、课后小结 1． 知识网络 2． 知识的来龙去脉 3． 问题中体现的数学思想 4． 分析问题的基本思路 学生总结，教师板书。
设计意图：让学生把知识窜串，形成网络，能迅速而准确的选用知识来解答问题。 十、课后总结
巩固所学，补充课上的不足．主要是本节课中没有涉及的问题，本节课中理解有困难的问题。 1．已知（1）试判断
是定义在R 上的函数，设
的奇偶性；（2）试判断
，
的关系；
。
（3）由此你猜想得出什么样的结论，并说明理由？ 2．设函数（1）讨论3．已知集合
，是否存在实数
，
的奇偶性；（2）求
， 的最小值．
，，同时满足
，
．
4．将长度为20 cm 的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为多少？ 十一、教学反思
在复习课中，教师要充分调动学生学习的自主性，让学生独立制定出适合自己的知识结构、整理出自己在本章学习中出现的问题。在课堂上，学生通过交流与合作，体会解决问题成功的喜悦。从而养成良好的学习习惯、树立信心。感受知识的横向联系与纵向联系，洞悉知识的本质、问题的根源，从而形成深刻的印象，少出现或避免出现类似的问题．通过分析知识的来龙去脉，明确知识的用途。通过典型题分析，回顾主干知识，重要的数学思想，感受知识与数学思想的有机融合。
集合与函数概念
一、教材分析
集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些内容。本章中只将集合作为一种语言来学习，学生将学会使用最基本的集合语言去表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力。
函数的学习促使学生的数学思维方式发生了重大的转变：思维从静止走向了运动、从运算转向了关系。函数是高中数学的核心内容，是高中数学课程的一个基本主线，有了这条主线就可以把数学知识编织在一起，这样可以使我们对知识的掌握更牢固一些．函数与不等式、数列、导数、立体、解析、算法、概率、选修中的很多专题内容有着密切的联系．用函数的思想去理解这些内容，是非常重要的出发点。反过来，通过这些内容的学习，加深了对函数思想的认识．函数的思想方法贯穿于高中数学课程的始终。高中数学课程中，函数有许多下位知识，如必修1第二章的幂、指、对函数数，在必修四将学习三角函数。函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。 二、设计思路
本节课新课中渗透的理念是：“强调过程教学，启发思维，调动学生学习数学的积极性”。在本节课的学习过程中，教师没有把梳理好的知识展示给学生，而是让学生自己进行知识的梳理。一方让学生体会到知识网络化的必要性，另一方面希望学生养成知识梳理的习惯。在本节课中不断提出问题，采取问题驱动，引导学生积极思考，让学生全面参与，整个教学过程尊重学生的思维方式，引导学生在“最近发展区”发现问题、解决问题。通过自主分析、交流合作，从而进行有机建构，解决问题，改变学生模仿式的学习方式。在教学过程中，渗透了特殊到一般的思想、数形结合思想、函数与方程思想。在教学过程中通过恰当的应用信息技术，从而突破难点。 三、教学目标分析 (一) 知识与技能
1．了解集合的含义与表示，理解集合间的基本关系，集合的基本运算。
A ：能从集合间的运算分析出集合的基本关系。 B ：对于分类讨论问题，能区分取交还是取并。
2．理解函数的定义，掌握函数的基本性质，会运用函数的图象理解和研究函数的性质。
A ：会用定义证明函数的单调性、奇偶性。 B ：会分析函数的单调性、奇偶性、对称性的关系。
(二) 过程与方法
1．通过学生自主知识梳理，了解自己学习的不足，明确知识的来龙去脉，把学习的内容网络化、系统化。
2．在解决问题的过程中，学生通过自主探究、合作交流，领悟知识的横、纵向联系，体会集合与函数的本质。 四、重难点分析
重点：掌握知识之间的联系，洞悉问题的考察点，能选择合适的知识与方法解决问题。 难点：含参问题的讨论，函数性质之间的关系。 五、知识梳理(约10分钟) 提出问题
问题1：把本章的知识结构用框图形式表示出来。
问题2：一个集合中的元素应当是确定的、互异的、无序的，你能结合具体实例说明集合的这些基本要求吗？
问题3：类比两个数的关系，思考两个集合之间的基本关系．类比两个数的运算，思考两个集合之间的基本运算，交、并、补。
问题4：通过本章学习，你对函数概念有什么新的认识和体会吗？ 请结合具体实例分析，表示函数的三种方法，每一种方法的特点。 问题5：分析研究函数的方向，它们之间的联系。
在前一次晚自习上，学生相互展示自己的结果，通过相互讨论，每组提供最佳的方案。在自己的原有方案的基础上进行补充与完善。 学生回答问题要点预设如下：
1．集合语言可以简洁准确表达数学内容。
2．运用集合与对应进一步描述了函数的概念，与初中的函数的定义比较，突出了函数的本质函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型。
3．函数的表示方法主要有三种，这三种表示方法有各自的适用范围，要根据具体情况选用。 4．研究函数的性质时，一般先从几何直观观察图象入手，然后运用自然语言描述函数的图象特征，最后抽象到用数学符号刻画相应的数量特征，也是数学学习和研究中经常使用的方法。
设计意图：通过布置任务，让学生充分的认识自己在学习的过程中，哪些知识学习的不透彻。让学生更有针对的进行复习，让复习进行的更有效。让学生体会到知识的横向联系与纵向联系。通过类比初中与
高中两种函数的定义，让学生体会到两种函数的定义本质是一样的。 六、易错点分析(约3分钟)
问题6：集合中的易错问题，函数中的易错问题? 主要是作业、训练、考试中出现的问题? (任务提前布置，由课代表汇总，并且在教学课件中体现。教师不进行修改，呈现的是原始的)
对于问题6主要由学生讨论分析，并回答，其他学生补充。这个过程尽量由学生来完成，教师可以适应的引导与点评。
设计意图：让学生学会避开命题者制造的陷阱，通过不断的分析，让学生了解问题出现的根源，充分暴露自己的思维，在交流与合作的过程中，改进自己的不足，加深对错误的认识。通过交流了解别人的错误，自己避免出现类似的错误。 七、考察点分析(约5分钟)
问题7：分析集合中的考察点，函数中的考察点。 问题8：知识的横纵联系。
学生回答问题要点预设如下： 1．集合中元素的互异性。 2．
，则集合A 可以是空集。
3．交集与并集的区分，即何时取交，何时取并，特别是含参的分类讨论问题。 4．函数的单调性与奇偶性的证明。 5．作业与试卷中出现的问题。
6．学生分析本章的考察点，主要分析考察的知识点、思想方法等方面。
设计意图： 让学生了解考察点，才能知道命题者的考察意图，才能选择合适的知识与思想方法来解答。例如如果试题中出现集合， 无论试题以什么形式出现，考察点基本是集合间的基本关系、集合的运算。
八、典型问题分析 例1：设集合
（1）若
（2）若（3）若(1) 答案： (2) 答案：
(3) 答案：
，求的值；
，求的值。（教师点评，同时板书） 或或。
； ；
，求实数的值；
由学生分析问题的考察点，包括知识与数学思想。（预设有以下几个方面）从知识点来分析，这是集合问题。考察点主要为集合的表示方法、集合中元素的特性、集合间的基本关系、集合的运算等。学生在解第1个问时，可能漏掉特殊情况。第2、3问可能会遇到一定的障碍，可以给学生时间进行充分的思考。 设计意图：让学生体会到分析考察点的好处，养成解题之前分析考察点的习惯。能顺利的找到问题的突破口，为后续的解答扫清障碍．通过一题多问、一题多解、多题归一，让学生主动的形成发散思维，主动应用转化与化归的思想。 例2：已知函数
是定义在R 上的奇函数，当，求函数的解析式。
变式：函数是偶函数
时，
学生分析考察点、解题思路，如果不完善，其他学生补充。 学生回答问题要点预设如下：
1．考察点为函数的奇偶性与函数图象的关系。 2．函数的奇偶性的定义。 3．转化与化归的思想。 法一：本题即求
，函数的解析式，可先利用函数的奇偶性绘制函数的图象，把本题转化为二次函数
的图象与解析式的问题。 法二：本法更具有一般性，已知
时，函数的解析式，要分析
时的函数对应关系，即当一个数小
于零时，函数值应当怎样计算。由于函数具有奇偶性，即一个数与它的相反数的函数值之间有关系，
，所以可以研究
的函数值。
设计意图：学生在思考的过程中，体会数形结合思想．函数的奇偶性与函数的图象的关系，可以根据奇偶性绘制函数图象，也可以通过函数的图象分析函数的奇偶性，两者是相辅相承的．体会转化与化归的思想，把要研究的转化为已知的．考察函数的单调性的证明，函数的奇偶性与单调性之间的关系，体会知识的纵向联系．体会转化与化归的思想、特殊与一般的数学思想，让学生体会到问题后面隐含的本质． 例3：已知
是偶函数，而且在
上是减函数，判断
在
上是增函数还是减函数，并
证明你的判断。 变式1：函数为奇函数
变式2：你能分析奇函数(偶函数) 在对称区间上的单调性的关系吗? 试从数形两个方面来分析。 学生分析考察点、解题思路，如果不完善，其他学生补充。 学生回答问题要点预设如下：
1．考察点为函数的奇偶性与单调性的关系。 2．函数的单调性的定义。 3．数形结合、转化与化归的思想。 法一：通过函数的图象分析。
法二：把要研究的范围转化为已知的范围。
设计意图：明确函数的性质是一个有机的整体，不是一个个知识点的简单罗列．同时体会知识的纵向联系与横向联系，在第二个方法中进一步感受转化与的思想．通过两个变式的研究过程，学生体会研究探索性问题的一般思路，即通过特殊情况分析结果，再对结果的正确性进行证明。 例4：求变式：
在区间在区间
上的最大值和最小值。
上的最大值是1，求的值。
教师用几何画板演示，二次函数对称轴的变化对函数的最值的影响。 答案：
时，最大值是
，最小值是或
，最小值是; 。
;
时，最大值是，最小值是
，最小值是。
;
时，最大值是变式答案：
时，最大值是
学生通过直观的演示，思考问题的考察点与解答策略。 学生回答考察点分析(预设) ： 1．二次函数的图象与性质。 2．分类与整合。 3．逆向思维。
学生回答解题思路分析（预设）：
研究二次函数的对称轴方程与所给的区间的关系。
设计意图：通过几何画板的动态性，给学生直观的感知，从而建立最近发展区，进而突破难点． 通过对二次函数的研究，学生巩固了上位知识函数的图象与性质，充分体会数形结合的优势。学生在解答变式的过程中， 体会逆向思维与正向思维的关系，体会函数与方程思想，感受到动静结合。 九、课后小结 1． 知识网络 2． 知识的来龙去脉 3． 问题中体现的数学思想 4． 分析问题的基本思路 学生总结，教师板书。
设计意图：让学生把知识窜串，形成网络，能迅速而准确的选用知识来解答问题。 十、课后总结
巩固所学，补充课上的不足．主要是本节课中没有涉及的问题，本节课中理解有困难的问题。 1．已知（1）试判断
是定义在R 上的函数，设
的奇偶性；（2）试判断
，
的关系；
。
（3）由此你猜想得出什么样的结论，并说明理由？ 2．设函数（1）讨论3．已知集合
，是否存在实数
，
的奇偶性；（2）求
， 的最小值．
，，同时满足
，
．
4．将长度为20 cm 的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为多少？ 十一、教学反思
在复习课中，教师要充分调动学生学习的自主性，让学生独立制定出适合自己的知识结构、整理出自己在本章学习中出现的问题。在课堂上，学生通过交流与合作，体会解决问题成功的喜悦。从而养成良好的学习习惯、树立信心。感受知识的横向联系与纵向联系，洞悉知识的本质、问题的根源，从而形成深刻的印象，少出现或避免出现类似的问题．通过分析知识的来龙去脉，明确知识的用途。通过典型题分析，回顾主干知识，重要的数学思想，感受知识与数学思想的有机融合。