椭圆知识点整理

圆锥曲线——椭圆

1.椭圆的两个定义：

第一定义中要重视“括号”内的限制条件：

（1）已知定点F1(3,0),F2(3,0)，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A．PF1PF24 B．PF1PF26C．PF1PF210D．PF1

9a

2

PF2

2

12；

（2）设定点F1（0，－3）、F2（0，3），动点P满足条件PF1PF2a(a0)，则点P的轨迹 A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 2.椭圆的标准方程与参数方程

D．不存在

x2y2

（1）已知方程1表示椭圆，则k的取值范围为 ；

3k2k

22

（2）若x,yR，且3x22y26，则xy的最大值是____，xy的最小值是 3.椭圆焦点位置的判断：

x2y2

1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 （1）已知方程

m12m

（2）若090，方程x2siny2cos1表示焦点在y轴上的椭圆，则适合的条件是 A. 0,45 B. 0,45 C. 45,90 D. 45,90

4.圆锥曲线的几何性质：

x2y2（1）若椭圆，则m的值是2）以椭圆上一点和椭圆两焦点1的离心率e

5m5

为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为

（3）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 A.

3142

B. C. D.

5555

x2y2x2y2

1与1的关系是（ ） （4）椭圆

1599m15m

A有相等的长短轴 B有相等的焦距 C焦点相同 D准线相同



（5）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1MF20的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的

取值范围是 （ ）

A．(0,1) B．(0,] C

．(0,

12 D

．22

（6）已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，

当PF1⊥F1A，PO∥AB（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.

5．直线与椭圆的位置关系：

x2y2

1恒有公共点，则m的取值范围是（1）直线y―kx―1=0与椭圆

5m

（2）求椭圆7x24y228上的点到直线3x2y160的最短距离

6.焦点三角形

2

的椭圆的两焦点为F1、F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，3

则ABF2的周长为

（1）短轴长为，离心率e

x2y2

1（2）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆

259

sinAsinC上，则

sinB

7.弦长公式

：L1x2x2y2

(1）设AB是过椭圆1的一个左焦点F的弦，且直线AB的倾斜角为60，求弦AB的长

54

(2）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆相交于点P和点Q，且

OP⊥OQ，|PQ|=

，求椭圆方程. 2

8.椭圆的中点弦问题：

x2y2

1弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是； （1）如果椭圆

369

x2y2

（2）已知直线y=－x+1与椭圆221(ab0)相交于A、B两点，且线段AB的中点在直

ab

线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______；

x2y2

（3）试确定m的取值范围，使得椭圆1上有不同的两点关于直线y4xm对称；

43

特别提醒：因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0！

9.动点轨迹方程：

掌握并熟练求动点轨迹的几种常用方法：（1）定义法；（2）直接法；（3）转移法（代入法、相关点法）；（4）参数法；（5）几何法；（6）交轨法。

【例1】已知圆x2+y2=4，从这个圆上任一点P向y轴作垂线段PP1，求线段PP1的中点的轨迹

【例2】已知B,C为两个定点，|BC|=6,且△ABC周长为16，求顶点A的轨迹方程.

11

【例3】已知A,0，B是圆F：xy24(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平

22

分线交BF于P，求动点P的轨迹方程.

2

【例4】已知⊙C1: (x1)2y21,⊙C2: (x1)2y29,动圆P与⊙C1外切,与⊙C2内切.求动

点P的轨迹方程.

x2y2

【例5】设F1、 F2是椭圆221的两焦点,Q是椭圆上的任意一点,从F1引∠F1QF2的外角平

ab

分线的垂线,垂足为P,求点P的轨迹方程.

10.椭圆综合问题：

1．已知在平面直角坐标系xOy

中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(0),右顶点为

1

D(2,0),设点A1,.

2

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程； （3）过原点O的直线交椭圆于点B,C，求ABC面积的最大值。

x2y22.已知椭圆C：221ab0的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为3.

3ab

(Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为求△AOB面积的最大值.

22

3．椭圆xy1a＞b＞0与直线xy1交于P、Q两点，且OPOQ，其中O为坐标

22

3

，2

ab

原点． （1）求

11

的值； 

a2b2

（2）若椭圆的离心率e满足3≤e≤2，求椭圆长轴的取值范围．

32

x2y2y2x2

4．已知半椭圆221x0与半椭圆221x0组成的曲线称为“果圆”，其中

abbc

a2b2c2,a0,bc0，F0,F1,F2是对应的焦点。

（1）若三角形F0F1F2是边长为1

b

（2）若A1AB1B，求的取值范围；

a

圆锥曲线——椭圆

1.椭圆的两个定义：

第一定义中要重视“括号”内的限制条件：

（1）已知定点F1(3,0),F2(3,0)，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A．PF1PF24 B．PF1PF26C．PF1PF210D．PF1

9a

2

PF2

2

12；

（2）设定点F1（0，－3）、F2（0，3），动点P满足条件PF1PF2a(a0)，则点P的轨迹 A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 2.椭圆的标准方程与参数方程

D．不存在

x2y2

（1）已知方程1表示椭圆，则k的取值范围为 ；

3k2k

22

（2）若x,yR，且3x22y26，则xy的最大值是____，xy的最小值是 3.椭圆焦点位置的判断：

x2y2

1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 （1）已知方程

m12m

（2）若090，方程x2siny2cos1表示焦点在y轴上的椭圆，则适合的条件是 A. 0,45 B. 0,45 C. 45,90 D. 45,90

4.圆锥曲线的几何性质：

x2y2（1）若椭圆，则m的值是2）以椭圆上一点和椭圆两焦点1的离心率e

5m5

为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为

（3）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 A.

3142

B. C. D.

5555

x2y2x2y2

1与1的关系是（ ） （4）椭圆

1599m15m

A有相等的长短轴 B有相等的焦距 C焦点相同 D准线相同



（5）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1MF20的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的

取值范围是 （ ）

A．(0,1) B．(0,] C

．(0,

12 D

．22

（6）已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，

当PF1⊥F1A，PO∥AB（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.

5．直线与椭圆的位置关系：

x2y2

1恒有公共点，则m的取值范围是（1）直线y―kx―1=0与椭圆

5m

（2）求椭圆7x24y228上的点到直线3x2y160的最短距离

6.焦点三角形

2

的椭圆的两焦点为F1、F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，3

则ABF2的周长为

（1）短轴长为，离心率e

x2y2

1（2）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆

259

sinAsinC上，则

sinB

7.弦长公式

：L1x2x2y2

(1）设AB是过椭圆1的一个左焦点F的弦，且直线AB的倾斜角为60，求弦AB的长

54

(2）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆相交于点P和点Q，且

OP⊥OQ，|PQ|=

，求椭圆方程. 2

8.椭圆的中点弦问题：

x2y2

1弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是； （1）如果椭圆

369

x2y2

（2）已知直线y=－x+1与椭圆221(ab0)相交于A、B两点，且线段AB的中点在直

ab

线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______；

x2y2

（3）试确定m的取值范围，使得椭圆1上有不同的两点关于直线y4xm对称；

43

特别提醒：因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0！

9.动点轨迹方程：

掌握并熟练求动点轨迹的几种常用方法：（1）定义法；（2）直接法；（3）转移法（代入法、相关点法）；（4）参数法；（5）几何法；（6）交轨法。

【例1】已知圆x2+y2=4，从这个圆上任一点P向y轴作垂线段PP1，求线段PP1的中点的轨迹

【例2】已知B,C为两个定点，|BC|=6,且△ABC周长为16，求顶点A的轨迹方程.

11

【例3】已知A,0，B是圆F：xy24(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平

22

分线交BF于P，求动点P的轨迹方程.

2

【例4】已知⊙C1: (x1)2y21,⊙C2: (x1)2y29,动圆P与⊙C1外切,与⊙C2内切.求动

点P的轨迹方程.

x2y2

【例5】设F1、 F2是椭圆221的两焦点,Q是椭圆上的任意一点,从F1引∠F1QF2的外角平

ab

分线的垂线,垂足为P,求点P的轨迹方程.

10.椭圆综合问题：

1．已知在平面直角坐标系xOy

中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(0),右顶点为

1

D(2,0),设点A1,.

2

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程； （3）过原点O的直线交椭圆于点B,C，求ABC面积的最大值。

x2y22.已知椭圆C：221ab0的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为3.

3ab

(Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为求△AOB面积的最大值.

22

3．椭圆xy1a＞b＞0与直线xy1交于P、Q两点，且OPOQ，其中O为坐标

22

3

，2

ab

原点． （1）求

11

的值； 

a2b2

（2）若椭圆的离心率e满足3≤e≤2，求椭圆长轴的取值范围．

32

x2y2y2x2

4．已知半椭圆221x0与半椭圆221x0组成的曲线称为“果圆”，其中

abbc

a2b2c2,a0,bc0，F0,F1,F2是对应的焦点。

（1）若三角形F0F1F2是边长为1

b

（2）若A1AB1B，求的取值范围；

a