一元二次方程根与系数的关系习题
[准备知识回顾]：
-b ±b 2-4ac 21、 一元二次方程ax +bx +c =0(a ≠0) 的求根公式为x =(b -4ac ≥0) 。 2a 2
2、 一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 根的判别式为：∆=b -4ac
（1） 当∆>0时，方程有两个不相等的实数根。
（2） 当∆=0时，方程有两个相等的实数根。
（3） 当∆
反之：方程有两个不相等的实数根，则 ；方程有两个相等的实数根，则 ；方程没有实数根，则 。
[韦达定理相关知识]
1若一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 有两个实数根x 1和x 2，那么x 1+x 2=，2
x 1∙x 2=。我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称。
2、如果一元二次方程x 2+px +q =0的两个根是x 1和x 2，则x 1+x 2=，x 1∙x 2=
3、以x 1和x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2-(x 1+x 2) x +x 1∙x 2=0
4、在一元二次方程ax +bx +c =0(a ≠0) 中，有一根为0，则c =有一根为1，则a +b +c =有一根为-1，则a -b +c = ；若两根互为倒数, 则c = ；若两根互为相反数，则b = 。
5、二次三项式的因式分解(公式法)
2 在分解二次三项式ax +bx +c 的因式时，如果可用公式求出方程 ax +bx +c =0(a ≠0) 的两个根22
x 1和x 2，那么ax 2+bx +c =a (x -x 1)(x -x 2) ．如果方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 无根, 则此二次三项式ax 2+bx +c 不能分解.
2例1：已知方程3x -(k -1) x +2=0的一个根是1，则另一个根是，k =
变式训练：
1、已知x =-1是方程3x +2x +k =0的一个根，则另一根和k 的值分别是多少？
2、方程x -kx -6=0的两个根都是整数，则k 的值是多少？
3设x 1和x 2是方程2x +4x -3=0，的两个根，利用根与系数关系求下列各式的值：
（1）x 1+x 2 （2）(x 1+1)(x 2+1) （3）2222211+ （4）(x 1-x 2) 2 x 1x 2
变式训练：
1、 已知关于x 的方程3x 2-10x +k =0有实数根，求满足下列条件的k 值：
（1）有两个实数根。 （2）有两个正实数根。 （3）有一个正数根和一个负数根。
于2。
2、已知关于x 的方程x 2-2ax +a =0。
（1）求证：方程必有两个不相等的实数根。
（2）a 取何值时，方程有两个正根。
（3）a 取何值时，方程有两异号根，且负根绝对值较大。
（4）a 取何值时，方程到少有一根为零？
4）两个根都小 （
选用例题：
例3：已知方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 的两根之比为1：2，判别式的值为1，则a 与b 是多少？
例4、已知关于x 的方程x 2+2(m +2) x +m 2-5=0有两个实数根，并且这两个根的平方和比两个根的积大16，求m 的值。
例5、若方程x -4x +m =0与x -x -2m =0有一个根相同，求m 的值。
基础训练：
1．关于x 的方程ax -2x +1=0中，如果a
（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根
（C ）没有实数根 （D ）不能确定
2．设x 1, x 2是方程2x -6x +3=0的两根，则x 1+x 2的值是（ ）
（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）3 222222
3．下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
（A ） 2y +5=6y（B ）x 5 x（C ）3 x2 x+2=0（D ）3x －26 x+1=0
4．以方程x ＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ ）
（A ） y +5y－6=0 （B ）y +5y＋6=0 （C ）y －5y ＋6=0 （D ）y －5y －6=0
5．如果x 1，x 2是两个不相等实数，且满足x 1－2x 1＝1，x 2－2x 2＝1，
那么x 1·x 2等于（ ）
（A ）2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－1
6. 关于x 的方程ax －2x ＋1＝0中，如果a
（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根
（C ）没有实数根 （D ）不能确定
7. 设x 1，x 2是方程2x －6x ＋3＝0的两根，则x 1＋x 2的值是（ ）
（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）3
8．如果一元二次方程x ＋4x ＋k ＝0有两个相等的实数根，那么k ＝
9．如果关于x 的方程2x －(4k+1)x＋2 k－1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是
10．已知x 1，x 2是方程2x －7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，（x 1－x 2）＝
11．若关于x 的方程(m－2)x －(m－2)x ＋1＝0的两个根互为倒数，则m ＝ .
二、能力训练：
1、 不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）x －x=5 (2)9x－62 +2=0 (3)x－x+2=0
2、 当m= 时，方程x +mx+4=0有两个相等的实数根；
当m= 时，方程mx +4x+1=0有两个不相等的实数根；
3、 已知关于x 的方程10x －(m+3)x+m－7=0，若有一个根为0，则m= ， 这时方程的另一个根
3是 ；若两根之和为－，则m= ，这时方程的 两个根为 . 5
4、 已知32 是方程x +mx+7=0的一个根，求另一个根及m 的值。 [***********][1**********]2
5、 求证：方程(m+1)x－2mx+(m+4)=0没有实数根。
6、 求作一个一元二次方程使它的两根分别是15 和5 。
7、 设x 1,x 2是方程2x +4x－3=0的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：
x 2x 12(1) (x1+1)(x2+1) (2) （3）x 1+ x1x 2+2 x1 x 1x 2
2222
8、如果x －2(m+1)x+m+5是一个完全平方式，则m= ;
9、方程2x(mx－4)=x－6没有实数根，则最小的整数m= ;
10、已知方程2(x－1)(x－3m)=x(m－4) 两根的和与两根的积相等，则m= ;
11、设关于x 的方程x －6x+k=0的两根是m 和n ，且3m+2n=20，则k 值为 ;
12、设方程4x －7x+3=0的两根为x 1,x 2，不解方程，求下列各式的值:
(1) x1+x2 (2)x1－x 2 （3）x 1 22
22222x 2 （4）x 1x 22＋2 x1 1
ｓｔ＋4ｓ＋12213、实数ｓ、ｔ分别满足方程19ｓ＋99ｓ＋1＝0和且19＋99ｔ＋ｔ＝0求代数式的值。 ｔ
12222214、已知a 是实数，且方程x +2ax+1=0有两个不相等的实根，试判别方程x +2ax+1x －a －1)=0有无实2
根？
15、求证：不论k 为何实数，关于x 的式子(x－1)(x－2) －k 都可以分解成两个一次因式的积。
16、实数K 在什么范围取值时，方程kx 2+2(k -1) x -(k -1) =0有实数正根？
训练（一）
1、 不解方程，请判别下列方程根的情况；
(1)2t+3t－4=0, ; (2)16x+9=24x, ;
(3)5(u+1)－7u=0, ; 2222
2、 若方程x －(2m－1)x+m+1=0有实数根，则m 的取值范围是 ;
3、 一元二次方程x +px+q=0两个根分别是2+3 和2－3 ，则p= ,q= ;
4、 已知方程3x －19x+m=0的一个根是1，那么它的另一个根是 ，m= ;
5、 若方程x +mx－1=0的两个实数根互为相反数，那么m 的值是 ;
6、 m,n 是关于x 的方程x -(2m-1)x+m+1=0的两个实数根，则代数式 m= 。
7、 已知关于x 的方程x －(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6，求k 的值;
8、 如果α和β是方程2x +3x－1=0的两个根，利用根与系数关系，求作一个一 元二次方程，使它的两个根
11分别等于α+ 和β+ ; β α
9、 已知a,b,c 是三角形的三边长，且方程(a+b+c)x +2(a+b+c)x+3=0有两个相 等的实数根，求证：这个三角形是正三角形
10. 取什么实数时，二次三项式2x －(4k+1)x+2k－1可因式分解.
11. 已知关于X 的一元二次方程ｍｘ＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两实数根为α, β，若ｓ＝
值范围。
训练（二）
1、 已知方程x －3x+1=0的两个根为α, β，则α+β= , αβ= ;
2、 如果关于x 的方程x －4x+m=0与x －x －2m=0有一个根相同，则m 的值为 ; [**************]n 2222211＋，求ｓ的取 α β
123、 已知方程2x －3x+k=0的两根之差为，则k= ; 2
4、 若方程x +(a－2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ;
5、 方程4x －2(a-b)x－ab=0的根的判别式的值是 ;
6、 若关于x 的方程x +2(m－1)x+4m=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ;
7、 已知p
8、 以方程x －3x －1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是 ;
9、 设x 1,x 2是方程2x －6x+3=0的两个根，求下列各式的值：
1122(1)x1x 2+x1x 2－x 1x 2
10．m 取什么值时，方程2x －(4m+1)x+2m－1=0
（1） 有两个不相等的实数根，（2）有两个相等的实数根，（3）没有实数根；
11．设方程x +px+q=0两根之比为1:2，根的判别式Δ=1，求p,q 的值。
12．是否存在实数k ，使关于x 的方程9x -(4k -7) x -6k =0的两个实根x 1, x 2，满足
试求出所有满足条件的k 的值，如果不存在，请说明理由。 [1**********]22x 13＝ ，如果存在，x 22
一元二次方程根与系数关系专题训练
主编：闫老师
1、如果方程ax 2+bx+c=0(a≠0) 的两根是x 1、x 2，
那么x 1+x2= ，x 1·x 2= 。
2、已知x 1、x 2是方程2x 2+3x－4=0的两个根，
那么：x 1+x2= ；x 1·x 2= ；11+ ；x 21+x22= ；x 1x 2
(x1+1)(x2+1)= ；｜x 1－x 2｜= 。
3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1) 是 。
4、如果关于x 的一元二次方程x 2+2x+a=0的一个根是1－2，那么另一个根是 ，a 的值为 。
5、如果关于x 的方程x 2+6x+k=0的两根差为2，那么
6、已知方程2x 2+mx－4=0两根的绝对值相等，则m= 。
7、一元二次方程px 2+qx+r=0(p≠0) 的两根为0和－1，则q ∶。
8、已知方程x 2－mx+2=0的两根互为相反数，则m= 。
9、已知关于x 的一元二次方程(a2－1)x 2－(a+1)x+1=0两根互为倒数，则a= 。
10、已知关于x 的一元二次方程mx 2－4x －6=0的两根为x 1和x 2，且x 1+x2=－2，则m= ，
(x1+x2) x 1⋅x 2= 。
11、已知方程3x 2+x－1=0，要使方程两根的平方和为13，那么常数项应改为 。 9
12、已知一元二次方程的两根之和为5，两根之积为6，则这个方程为 。
13、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ) 2=0，则以α、β为根的一元二次方程为 。(其中二
次项系数为1)
14、已知关于x 的一元二次方程x 2－2(m－1)x+m2=0。若方程的两根互为倒数，则m= ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则m= 。
15、已知方程x 2+4x－2m=0的一个根α比另一个根β小4，则α= ；β= ；m= 。
16、已知关于x 的方程x 2－3x+k=0的两根立方和为0，则k=
11317、已知关于x 的方程x 2－3mx+2(m－1)=0的两根为x 1、x 2，且+=-，则。 x 1x 24
18、关于x 的方程2x 2－3x+m=0，当 时，方程有两个正数根；当m 时，方程有一个正根，
一个负根；当m 时，方程有一个根为0。
19、若方程x 2－4x+m=0与x 2－x －2m=0有一个根相同，则m= 。
20、求作一个方程，使它的两根分别是方程x 2+3x－2=0两根的二倍，则所求的方程为 。
21、一元二次方程2x 2－3x+1=0的两根与x 2－3x+2=0的两根之间的关系是 。
22、已知方程5x 2+mx－10=0的一根是－5，求方程的另一根及m 的值。
23、已知2+是x 2－4x+k=0的一根，求另一根和k 的值。
24、证明：如果有理系数方程x 2+px+q=0有一个根是形如A+B 的无理数(A、B 均为有理数) ，
那么另一个根必是A －B 。
25、不解方程，判断下列方程根的符号，如果两根异号，试确定是正根还是负根的绝对值大?
(1) x 2-3x -5=0, (2) x 2-26+=0
26、已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
x 31x 2+x1x 32
27、已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
11 +2x 1x 2
2
28、已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(x21－x 22) 2
29、已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
x 1－x 2
30、已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
x 2
2 x 1
31、已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
x 51·x 22+x21·x 52
32、求一个一元二次方程，使它的两个根是2+6和2－6。
33、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。
34、造一个方程，使它的根是方程3x 2－7x+2=0的根；(1)大3；(2)2倍；(3)相反数；(4)倒数。
35、方程x 2+3x+m=0中的m 是什么数值时，方程的两个实数根满足：(1)一个根比另一个根大2；(2)一个根是另一个根的3倍；(3)两根差的平方是17。
36、已知关于x 的方程2x 2－(m－1)x+m+1=0的两根满足关系式x 1－x 2=1，求m 的值及两个根。
937、α、β是关于x 的方程4x 2－4mx+m2+4m=0的两个实根，并且满足(α-1)(β-1) -1=，求m 的值。 100
38、已知一元二次方程8x 2－(2m+1)x+m－7=0，根据下列条件，分别求出m 的值：
(1)两根互为倒数；
(2)两根互为相反数；
(3)有一根为零；
(4)有一根为1；
(5)两根的平方和为
39、已知方程x 2+mx+4=0和x 2－(m－2)x －16=0有一个相同的根，求m 的值及这个相同的根。
40、已知关于x 的二次方程x 2－2(a－2)x+a2－5=0有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，
求a 的值。
41、已知方程x 2+bx+c=0有两个不相等的正实根，两根之差等于3，两根的平方和等于29，求b 、c 的值。 1。 64
42、设：3a 2－6a －11=0，3b 2－6b －11=0且a ≠b ，求a 4－b 4的值。
43、试确定使x 2+(a－b)x+a=0的根同时为整数的整数a 的值。
44、已知一元二次方程(2k－3)x 2+4kx+2k－5=0，且4k+1是腰长为7的等腰三角形的底边长，求：当k 取何整数时，
方程有两个整数根。
45、已知：α、β是关于x 的方程x 2+(m－2)x+1=0的两根，求(1+mα+α2)(1+mβ+β2) 的值。
46、已知x 1,x 2是关于x 的方程x 2+px+q=0的两根，x 1+1、x 2+1是关于x 的方程x 2+qx+p=0的两根，求常数p 、q 的值。
47、已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2+m2x+n=0的两个实数根；y 1、y 2是关于y 的方程y 2+5my+7=0的两个实数根，且
x 1－y 1=2,x2－y 2=2，求m 、n 的值。
48、关于x 的方程m 2x 2+(2m+3)x+1=0有两个乘积为1的实根，x 2+2(a+m)x+2a－m 2+6m－4=0有大于0且小于2的根。
求a 的整数值。
49、关于x 的一元二次方程3x 2－(4m2－1)x+m(m+2)=0的两实根之和等于两个实根的倒数和，求m 的值。
50、已知：α、β是关于x 的二次方程：(m－2)x 2+2(m－4)x+m－4=0的两个不等实根。
(1)若m 为正整数时，求此方程两个实根的平方和的值；
(2)若α2+β2=6时，求m 的值。
51、已知关于x 的方程mx 2－nx+2=0两根相等，方程x 2－4mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍。
求证：方程x 2－(k+n)x+(k－m)=0一定有实数根。
52、关于x 的方程x -2mx +212n =0，其中m 、n 分别是一个等腰三角形的腰长和底边长。 4
(1)求证：这个方程有两个不相等的实根；
(2)若方程两实根之差的绝对值是8，等腰三角形的面积是12，求这个三角形的周长。
53、已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+p2=0有两个实根x 1和x 2(x1≠x 2) ，在数轴上，
表示x 2的点在表示x 1的点的右边，且相距p+1，求p 的值。
54、已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为α、β，且两个关于x 的方程x 2+(α+1)x+β2=0与x 2+(β+1)x+α2=0有唯一的公共根，求a 、b 、c 的关系式。
55、如果关于x 的实系数一元二次方程x 2+2(m+3)x+m2+3=0有两个实数根α、β，那么(α－1) 2+(β－1) 2的最小
值是多少?
56、已知方程2x 2－5mx+3n=0的两根之比为2∶3，方程x 2－2nx+8m=0的两根相等(mn≠0) 。求
证：对任意实数k ，方程mx 2+(n+k－1)x+k+1=0恒有实数根。
57、(1)方程x 2－3x+m=0的一个根是2，则另一个根是 。
(2)若关于y 的方程y 2－my+n=0的两个根中只有一个根为0，那么m ，n 应满足 。
58、不解方程, 求下列各方程的两根之和与两根之积
x 2+3x+1=0；
59、不解方程, 求下列各方程的两根之和与两根之积
3x 2－2x －1=0；
60、不解方程, 求下列各方程的两根之和与两根之积
－2x 2+3=0；
61、不解方程, 求下列各方程的两根之和与两根之积
2x 2+5x=0。
62、已知关于x 的方程2x 2+5x=m的一个根是－2，求它的另一个根及m 的值。
63、已知关于x 的方程3x 2－1=tx的一个根是－2，求它的另一个根及t 的值。
64、设x 1，x 2是方程3x 2－2x －2=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(1)(x1－4)(x2－4) ；
(2)x13x 24+x14x 23； (3) x 1+⎛
⎝1⎫⎛1⎫⎪ x 23x ⎪⎪； 3x 2⎪1⎭⎭⎝
(4)x13+x23。
65、设x 1，x 2是方程2x 2－4x+1=0的两个根，求｜x 1－x 2｜的值。
66、已知方程x 2+mx+12=0的两实根是x 1和x 2，方程x 2－mx+n=0的两实根是x 1+7和x 2+7， 求m 和n 的值。
67、以2，－3为根的一元二次方程是 ( )
A.x 2+x+6=0 B.x 2+x－6=0
C.x 2－x+6=0 D.x 2－x －6=0
68、以3，－1为根，且二次项系数为3的一元二次方程是 ( )
A.3x 2－2x+3=0 B.3x 2+2x－3=0
C.3x 2－6x －9=0 D.3x 2+6x－9=0
69、两个实数根的和为2的一元二次方程可能是 ( )
A.x 2+2x－3=0 B.x 2－2x+3=0
C.x 2+2x+3=0 D.x 2－2x －3=0
70、以－3，－2为根的一元二次方程为， 以-1+1，为根的一元二次方程为 ， 22
1为根的一元二次方程为 。 4以5，－5为根的一元二次方程为 ， 以4，
71、已知两数之和为－7，两数之积为12，求这两个数。
72、已知方程2x 2－3x －3=0的两个根分别为a ，b ，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程 ，使它的两个根
分别是：
(1)a+1.b+1
(2)
2b 2a , a b
7
73、一个直角三角形的两条直角边长的和为6cm ，面积为2cm 2，求这个直角三角形斜边的长 。
74、在解方程x 2+px+q=0时，小张看错了p ，解得方程的根为1与－3；小王看错了q ，解得方程的根为4与－2。这
个方程的根应该是什么?
75、关于x 的方程x 2－ax －3=0有一个根是1，则a= ，另一个根是 。
x 2-2x -376、若分式的值为0，则x 的值为 ( ) x +1
A. －1 B.3 C. －1或3 D. －3或1
77、若关于y 的一元二次方程y 2+my+n=0的两个实数根互为相反数，则 ( )
A.m=0且n ≥0 B.n=0且m ≥0C.m=0且n ≤0 D.n=0且m ≤0
78、已知x 1，x 2是方程2x 2+3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(1)(2x1－3)(2x2－3) ；
(2)x13x 2+x1x 23。
79、已知a 2=1－a ，b 2=1－b ，且a ≠b ，求(a－1)(b－1) 的值。
80、如果x=1是方程2x 2－3mx+1=0的一个根，则m= ，另一个根为 。
81、已知m 2+m－4=0，11
n n ，n 为实数，且m ≠1
n ，则m +1
2+-4=0，m n 。
82、两根为3和－5的一元二次方程是 (
A.x 2－2x －15=0 B.x 2－2x+15=0
C.x 2+2x－15=0 D.x 2+2x+15=0
83、. 设x 1，x 2是方程2x 2－2x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(1)(x12+2)(x22+2)；
(2)(2x1+1)(2x2+1)；
(3)(x1－x 2) 2。
84、. 已知m ，n 是一元二次方程x 2－2x －5=0的两个实数根，求2m 2+3n2+2m的值。
)
85、已知方程x 2+5x－7=0，不解方程，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方 程的两个根的负倒
数。
86、已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0) 的两根之比为2∶1，求证：2b 2=9ac。
87、. 已知关于x 的一元二次方程x 2+mx+12=0的两根之差为11，求m 的值。
88、已知关于y 的方程y 2－2ay －2a －4=0。(1)证明：不论a 取何值，这个方程总有两个不相等的 实数根；(2)a为
何值时，方程的两根之差的平方等于16?
89、已知一元二次方程x 2－10x+21+a=0。(1)当a 为何值时，方程有一正、一负两个根?(2)此 方程会有两个负根
吗? 为什么?
90、已知关于x 的方程x 2－(2a－1)x+4(a－1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。
91、已知方程x 2+ax+b=0的两根为x 1，x 2，且4x 1+x2=0，又知根的判别式 =25，求a ，b 的值。
92、已知一元二次方程8y 2－(m+1)y+m－5=0。(1)m为何值时，方程的一个根为零?(2)m为何值时 ，方程的两个
根互为相反数?(3)证明：不存在实数m ，使方程的两个相互为倒数。
93、当m 为何值时，方程3x 2+2x+m－8=0：(1)有两个大于－2的根?(2)有一个根大于－2，另一个 根小于－2?
94、已知2s 2+4s－7=0，7t 2－4t －2=0，s ，t 为实数，且st ≠1。求下列各式的值： st +1；; t
3st -2s +3(2)。 t (1)
95、已知x 1，x 2是一元二次方程x 2+m x+n=0的两个实数根，且x 12+x22+(x1+x2) 2=3，
22+=5，求m 和n 的值。 22x 1x 2
一元二次方程根与系数的关系习题
[准备知识回顾]：
-b ±b 2-4ac 21、 一元二次方程ax +bx +c =0(a ≠0) 的求根公式为x =(b -4ac ≥0) 。 2a 2
2、 一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 根的判别式为：∆=b -4ac
（1） 当∆>0时，方程有两个不相等的实数根。
（2） 当∆=0时，方程有两个相等的实数根。
（3） 当∆
反之：方程有两个不相等的实数根，则 ；方程有两个相等的实数根，则 ；方程没有实数根，则 。
[韦达定理相关知识]
1若一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 有两个实数根x 1和x 2，那么x 1+x 2=，2
x 1∙x 2=。我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称。
2、如果一元二次方程x 2+px +q =0的两个根是x 1和x 2，则x 1+x 2=，x 1∙x 2=
3、以x 1和x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2-(x 1+x 2) x +x 1∙x 2=0
4、在一元二次方程ax +bx +c =0(a ≠0) 中，有一根为0，则c =有一根为1，则a +b +c =有一根为-1，则a -b +c = ；若两根互为倒数, 则c = ；若两根互为相反数，则b = 。
5、二次三项式的因式分解(公式法)
2 在分解二次三项式ax +bx +c 的因式时，如果可用公式求出方程 ax +bx +c =0(a ≠0) 的两个根22
x 1和x 2，那么ax 2+bx +c =a (x -x 1)(x -x 2) ．如果方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 无根, 则此二次三项式ax 2+bx +c 不能分解.
2例1：已知方程3x -(k -1) x +2=0的一个根是1，则另一个根是，k =
变式训练：
1、已知x =-1是方程3x +2x +k =0的一个根，则另一根和k 的值分别是多少？
2、方程x -kx -6=0的两个根都是整数，则k 的值是多少？
3设x 1和x 2是方程2x +4x -3=0，的两个根，利用根与系数关系求下列各式的值：
（1）x 1+x 2 （2）(x 1+1)(x 2+1) （3）2222211+ （4）(x 1-x 2) 2 x 1x 2
变式训练：
1、 已知关于x 的方程3x 2-10x +k =0有实数根，求满足下列条件的k 值：
（1）有两个实数根。 （2）有两个正实数根。 （3）有一个正数根和一个负数根。
于2。
2、已知关于x 的方程x 2-2ax +a =0。
（1）求证：方程必有两个不相等的实数根。
（2）a 取何值时，方程有两个正根。
（3）a 取何值时，方程有两异号根，且负根绝对值较大。
（4）a 取何值时，方程到少有一根为零？
4）两个根都小 （
选用例题：
例3：已知方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 的两根之比为1：2，判别式的值为1，则a 与b 是多少？
例4、已知关于x 的方程x 2+2(m +2) x +m 2-5=0有两个实数根，并且这两个根的平方和比两个根的积大16，求m 的值。
例5、若方程x -4x +m =0与x -x -2m =0有一个根相同，求m 的值。
基础训练：
1．关于x 的方程ax -2x +1=0中，如果a
（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根
（C ）没有实数根 （D ）不能确定
2．设x 1, x 2是方程2x -6x +3=0的两根，则x 1+x 2的值是（ ）
（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）3 222222
3．下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
（A ） 2y +5=6y（B ）x 5 x（C ）3 x2 x+2=0（D ）3x －26 x+1=0
4．以方程x ＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ ）
（A ） y +5y－6=0 （B ）y +5y＋6=0 （C ）y －5y ＋6=0 （D ）y －5y －6=0
5．如果x 1，x 2是两个不相等实数，且满足x 1－2x 1＝1，x 2－2x 2＝1，
那么x 1·x 2等于（ ）
（A ）2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－1
6. 关于x 的方程ax －2x ＋1＝0中，如果a
（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根
（C ）没有实数根 （D ）不能确定
7. 设x 1，x 2是方程2x －6x ＋3＝0的两根，则x 1＋x 2的值是（ ）
（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）3
8．如果一元二次方程x ＋4x ＋k ＝0有两个相等的实数根，那么k ＝
9．如果关于x 的方程2x －(4k+1)x＋2 k－1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是
10．已知x 1，x 2是方程2x －7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，（x 1－x 2）＝
11．若关于x 的方程(m－2)x －(m－2)x ＋1＝0的两个根互为倒数，则m ＝ .
二、能力训练：
1、 不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）x －x=5 (2)9x－62 +2=0 (3)x－x+2=0
2、 当m= 时，方程x +mx+4=0有两个相等的实数根；
当m= 时，方程mx +4x+1=0有两个不相等的实数根；
3、 已知关于x 的方程10x －(m+3)x+m－7=0，若有一个根为0，则m= ， 这时方程的另一个根
3是 ；若两根之和为－，则m= ，这时方程的 两个根为 . 5
4、 已知32 是方程x +mx+7=0的一个根，求另一个根及m 的值。 [***********][1**********]2
5、 求证：方程(m+1)x－2mx+(m+4)=0没有实数根。
6、 求作一个一元二次方程使它的两根分别是15 和5 。
7、 设x 1,x 2是方程2x +4x－3=0的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：
x 2x 12(1) (x1+1)(x2+1) (2) （3）x 1+ x1x 2+2 x1 x 1x 2
2222
8、如果x －2(m+1)x+m+5是一个完全平方式，则m= ;
9、方程2x(mx－4)=x－6没有实数根，则最小的整数m= ;
10、已知方程2(x－1)(x－3m)=x(m－4) 两根的和与两根的积相等，则m= ;
11、设关于x 的方程x －6x+k=0的两根是m 和n ，且3m+2n=20，则k 值为 ;
12、设方程4x －7x+3=0的两根为x 1,x 2，不解方程，求下列各式的值:
(1) x1+x2 (2)x1－x 2 （3）x 1 22
22222x 2 （4）x 1x 22＋2 x1 1
ｓｔ＋4ｓ＋12213、实数ｓ、ｔ分别满足方程19ｓ＋99ｓ＋1＝0和且19＋99ｔ＋ｔ＝0求代数式的值。 ｔ
12222214、已知a 是实数，且方程x +2ax+1=0有两个不相等的实根，试判别方程x +2ax+1x －a －1)=0有无实2
根？
15、求证：不论k 为何实数，关于x 的式子(x－1)(x－2) －k 都可以分解成两个一次因式的积。
16、实数K 在什么范围取值时，方程kx 2+2(k -1) x -(k -1) =0有实数正根？
训练（一）
1、 不解方程，请判别下列方程根的情况；
(1)2t+3t－4=0, ; (2)16x+9=24x, ;
(3)5(u+1)－7u=0, ; 2222
2、 若方程x －(2m－1)x+m+1=0有实数根，则m 的取值范围是 ;
3、 一元二次方程x +px+q=0两个根分别是2+3 和2－3 ，则p= ,q= ;
4、 已知方程3x －19x+m=0的一个根是1，那么它的另一个根是 ，m= ;
5、 若方程x +mx－1=0的两个实数根互为相反数，那么m 的值是 ;
6、 m,n 是关于x 的方程x -(2m-1)x+m+1=0的两个实数根，则代数式 m= 。
7、 已知关于x 的方程x －(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6，求k 的值;
8、 如果α和β是方程2x +3x－1=0的两个根，利用根与系数关系，求作一个一 元二次方程，使它的两个根
11分别等于α+ 和β+ ; β α
9、 已知a,b,c 是三角形的三边长，且方程(a+b+c)x +2(a+b+c)x+3=0有两个相 等的实数根，求证：这个三角形是正三角形
10. 取什么实数时，二次三项式2x －(4k+1)x+2k－1可因式分解.
11. 已知关于X 的一元二次方程ｍｘ＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两实数根为α, β，若ｓ＝
值范围。
训练（二）
1、 已知方程x －3x+1=0的两个根为α, β，则α+β= , αβ= ;
2、 如果关于x 的方程x －4x+m=0与x －x －2m=0有一个根相同，则m 的值为 ; [**************]n 2222211＋，求ｓ的取 α β
123、 已知方程2x －3x+k=0的两根之差为，则k= ; 2
4、 若方程x +(a－2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ;
5、 方程4x －2(a-b)x－ab=0的根的判别式的值是 ;
6、 若关于x 的方程x +2(m－1)x+4m=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ;
7、 已知p
8、 以方程x －3x －1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是 ;
9、 设x 1,x 2是方程2x －6x+3=0的两个根，求下列各式的值：
1122(1)x1x 2+x1x 2－x 1x 2
10．m 取什么值时，方程2x －(4m+1)x+2m－1=0
（1） 有两个不相等的实数根，（2）有两个相等的实数根，（3）没有实数根；
11．设方程x +px+q=0两根之比为1:2，根的判别式Δ=1，求p,q 的值。
12．是否存在实数k ，使关于x 的方程9x -(4k -7) x -6k =0的两个实根x 1, x 2，满足
试求出所有满足条件的k 的值，如果不存在，请说明理由。 [1**********]22x 13＝ ，如果存在，x 22
一元二次方程根与系数关系专题训练
主编：闫老师
1、如果方程ax 2+bx+c=0(a≠0) 的两根是x 1、x 2，
那么x 1+x2= ，x 1·x 2= 。
2、已知x 1、x 2是方程2x 2+3x－4=0的两个根，
那么：x 1+x2= ；x 1·x 2= ；11+ ；x 21+x22= ；x 1x 2
(x1+1)(x2+1)= ；｜x 1－x 2｜= 。
3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1) 是 。
4、如果关于x 的一元二次方程x 2+2x+a=0的一个根是1－2，那么另一个根是 ，a 的值为 。
5、如果关于x 的方程x 2+6x+k=0的两根差为2，那么
6、已知方程2x 2+mx－4=0两根的绝对值相等，则m= 。
7、一元二次方程px 2+qx+r=0(p≠0) 的两根为0和－1，则q ∶。
8、已知方程x 2－mx+2=0的两根互为相反数，则m= 。
9、已知关于x 的一元二次方程(a2－1)x 2－(a+1)x+1=0两根互为倒数，则a= 。
10、已知关于x 的一元二次方程mx 2－4x －6=0的两根为x 1和x 2，且x 1+x2=－2，则m= ，
(x1+x2) x 1⋅x 2= 。
11、已知方程3x 2+x－1=0，要使方程两根的平方和为13，那么常数项应改为 。 9
12、已知一元二次方程的两根之和为5，两根之积为6，则这个方程为 。
13、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ) 2=0，则以α、β为根的一元二次方程为 。(其中二
次项系数为1)
14、已知关于x 的一元二次方程x 2－2(m－1)x+m2=0。若方程的两根互为倒数，则m= ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则m= 。
15、已知方程x 2+4x－2m=0的一个根α比另一个根β小4，则α= ；β= ；m= 。
16、已知关于x 的方程x 2－3x+k=0的两根立方和为0，则k=
11317、已知关于x 的方程x 2－3mx+2(m－1)=0的两根为x 1、x 2，且+=-，则。 x 1x 24
18、关于x 的方程2x 2－3x+m=0，当 时，方程有两个正数根；当m 时，方程有一个正根，
一个负根；当m 时，方程有一个根为0。
19、若方程x 2－4x+m=0与x 2－x －2m=0有一个根相同，则m= 。
20、求作一个方程，使它的两根分别是方程x 2+3x－2=0两根的二倍，则所求的方程为 。
21、一元二次方程2x 2－3x+1=0的两根与x 2－3x+2=0的两根之间的关系是 。
22、已知方程5x 2+mx－10=0的一根是－5，求方程的另一根及m 的值。
23、已知2+是x 2－4x+k=0的一根，求另一根和k 的值。
24、证明：如果有理系数方程x 2+px+q=0有一个根是形如A+B 的无理数(A、B 均为有理数) ，
那么另一个根必是A －B 。
25、不解方程，判断下列方程根的符号，如果两根异号，试确定是正根还是负根的绝对值大?
(1) x 2-3x -5=0, (2) x 2-26+=0
26、已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
x 31x 2+x1x 32
27、已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
11 +2x 1x 2
2
28、已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(x21－x 22) 2
29、已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
x 1－x 2
30、已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
x 2
2 x 1
31、已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
x 51·x 22+x21·x 52
32、求一个一元二次方程，使它的两个根是2+6和2－6。
33、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。
34、造一个方程，使它的根是方程3x 2－7x+2=0的根；(1)大3；(2)2倍；(3)相反数；(4)倒数。
35、方程x 2+3x+m=0中的m 是什么数值时，方程的两个实数根满足：(1)一个根比另一个根大2；(2)一个根是另一个根的3倍；(3)两根差的平方是17。
36、已知关于x 的方程2x 2－(m－1)x+m+1=0的两根满足关系式x 1－x 2=1，求m 的值及两个根。
937、α、β是关于x 的方程4x 2－4mx+m2+4m=0的两个实根，并且满足(α-1)(β-1) -1=，求m 的值。 100
38、已知一元二次方程8x 2－(2m+1)x+m－7=0，根据下列条件，分别求出m 的值：
(1)两根互为倒数；
(2)两根互为相反数；
(3)有一根为零；
(4)有一根为1；
(5)两根的平方和为
39、已知方程x 2+mx+4=0和x 2－(m－2)x －16=0有一个相同的根，求m 的值及这个相同的根。
40、已知关于x 的二次方程x 2－2(a－2)x+a2－5=0有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，
求a 的值。
41、已知方程x 2+bx+c=0有两个不相等的正实根，两根之差等于3，两根的平方和等于29，求b 、c 的值。 1。 64
42、设：3a 2－6a －11=0，3b 2－6b －11=0且a ≠b ，求a 4－b 4的值。
43、试确定使x 2+(a－b)x+a=0的根同时为整数的整数a 的值。
44、已知一元二次方程(2k－3)x 2+4kx+2k－5=0，且4k+1是腰长为7的等腰三角形的底边长，求：当k 取何整数时，
方程有两个整数根。
45、已知：α、β是关于x 的方程x 2+(m－2)x+1=0的两根，求(1+mα+α2)(1+mβ+β2) 的值。
46、已知x 1,x 2是关于x 的方程x 2+px+q=0的两根，x 1+1、x 2+1是关于x 的方程x 2+qx+p=0的两根，求常数p 、q 的值。
47、已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2+m2x+n=0的两个实数根；y 1、y 2是关于y 的方程y 2+5my+7=0的两个实数根，且
x 1－y 1=2,x2－y 2=2，求m 、n 的值。
48、关于x 的方程m 2x 2+(2m+3)x+1=0有两个乘积为1的实根，x 2+2(a+m)x+2a－m 2+6m－4=0有大于0且小于2的根。
求a 的整数值。
49、关于x 的一元二次方程3x 2－(4m2－1)x+m(m+2)=0的两实根之和等于两个实根的倒数和，求m 的值。
50、已知：α、β是关于x 的二次方程：(m－2)x 2+2(m－4)x+m－4=0的两个不等实根。
(1)若m 为正整数时，求此方程两个实根的平方和的值；
(2)若α2+β2=6时，求m 的值。
51、已知关于x 的方程mx 2－nx+2=0两根相等，方程x 2－4mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍。
求证：方程x 2－(k+n)x+(k－m)=0一定有实数根。
52、关于x 的方程x -2mx +212n =0，其中m 、n 分别是一个等腰三角形的腰长和底边长。 4
(1)求证：这个方程有两个不相等的实根；
(2)若方程两实根之差的绝对值是8，等腰三角形的面积是12，求这个三角形的周长。
53、已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+p2=0有两个实根x 1和x 2(x1≠x 2) ，在数轴上，
表示x 2的点在表示x 1的点的右边，且相距p+1，求p 的值。
54、已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为α、β，且两个关于x 的方程x 2+(α+1)x+β2=0与x 2+(β+1)x+α2=0有唯一的公共根，求a 、b 、c 的关系式。
55、如果关于x 的实系数一元二次方程x 2+2(m+3)x+m2+3=0有两个实数根α、β，那么(α－1) 2+(β－1) 2的最小
值是多少?
56、已知方程2x 2－5mx+3n=0的两根之比为2∶3，方程x 2－2nx+8m=0的两根相等(mn≠0) 。求
证：对任意实数k ，方程mx 2+(n+k－1)x+k+1=0恒有实数根。
57、(1)方程x 2－3x+m=0的一个根是2，则另一个根是 。
(2)若关于y 的方程y 2－my+n=0的两个根中只有一个根为0，那么m ，n 应满足 。
58、不解方程, 求下列各方程的两根之和与两根之积
x 2+3x+1=0；
59、不解方程, 求下列各方程的两根之和与两根之积
3x 2－2x －1=0；
60、不解方程, 求下列各方程的两根之和与两根之积
－2x 2+3=0；
61、不解方程, 求下列各方程的两根之和与两根之积
2x 2+5x=0。
62、已知关于x 的方程2x 2+5x=m的一个根是－2，求它的另一个根及m 的值。
63、已知关于x 的方程3x 2－1=tx的一个根是－2，求它的另一个根及t 的值。
64、设x 1，x 2是方程3x 2－2x －2=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(1)(x1－4)(x2－4) ；
(2)x13x 24+x14x 23； (3) x 1+⎛
⎝1⎫⎛1⎫⎪ x 23x ⎪⎪； 3x 2⎪1⎭⎭⎝
(4)x13+x23。
65、设x 1，x 2是方程2x 2－4x+1=0的两个根，求｜x 1－x 2｜的值。
66、已知方程x 2+mx+12=0的两实根是x 1和x 2，方程x 2－mx+n=0的两实根是x 1+7和x 2+7， 求m 和n 的值。
67、以2，－3为根的一元二次方程是 ( )
A.x 2+x+6=0 B.x 2+x－6=0
C.x 2－x+6=0 D.x 2－x －6=0
68、以3，－1为根，且二次项系数为3的一元二次方程是 ( )
A.3x 2－2x+3=0 B.3x 2+2x－3=0
C.3x 2－6x －9=0 D.3x 2+6x－9=0
69、两个实数根的和为2的一元二次方程可能是 ( )
A.x 2+2x－3=0 B.x 2－2x+3=0
C.x 2+2x+3=0 D.x 2－2x －3=0
70、以－3，－2为根的一元二次方程为， 以-1+1，为根的一元二次方程为 ， 22
1为根的一元二次方程为 。 4以5，－5为根的一元二次方程为 ， 以4，
71、已知两数之和为－7，两数之积为12，求这两个数。
72、已知方程2x 2－3x －3=0的两个根分别为a ，b ，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程 ，使它的两个根
分别是：
(1)a+1.b+1
(2)
2b 2a , a b
7
73、一个直角三角形的两条直角边长的和为6cm ，面积为2cm 2，求这个直角三角形斜边的长 。
74、在解方程x 2+px+q=0时，小张看错了p ，解得方程的根为1与－3；小王看错了q ，解得方程的根为4与－2。这
个方程的根应该是什么?
75、关于x 的方程x 2－ax －3=0有一个根是1，则a= ，另一个根是 。
x 2-2x -376、若分式的值为0，则x 的值为 ( ) x +1
A. －1 B.3 C. －1或3 D. －3或1
77、若关于y 的一元二次方程y 2+my+n=0的两个实数根互为相反数，则 ( )
A.m=0且n ≥0 B.n=0且m ≥0C.m=0且n ≤0 D.n=0且m ≤0
78、已知x 1，x 2是方程2x 2+3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(1)(2x1－3)(2x2－3) ；
(2)x13x 2+x1x 23。
79、已知a 2=1－a ，b 2=1－b ，且a ≠b ，求(a－1)(b－1) 的值。
80、如果x=1是方程2x 2－3mx+1=0的一个根，则m= ，另一个根为 。
81、已知m 2+m－4=0，11
n n ，n 为实数，且m ≠1
n ，则m +1
2+-4=0，m n 。
82、两根为3和－5的一元二次方程是 (
A.x 2－2x －15=0 B.x 2－2x+15=0
C.x 2+2x－15=0 D.x 2+2x+15=0
83、. 设x 1，x 2是方程2x 2－2x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(1)(x12+2)(x22+2)；
(2)(2x1+1)(2x2+1)；
(3)(x1－x 2) 2。
84、. 已知m ，n 是一元二次方程x 2－2x －5=0的两个实数根，求2m 2+3n2+2m的值。
)
85、已知方程x 2+5x－7=0，不解方程，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方 程的两个根的负倒
数。
86、已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0) 的两根之比为2∶1，求证：2b 2=9ac。
87、. 已知关于x 的一元二次方程x 2+mx+12=0的两根之差为11，求m 的值。
88、已知关于y 的方程y 2－2ay －2a －4=0。(1)证明：不论a 取何值，这个方程总有两个不相等的 实数根；(2)a为
何值时，方程的两根之差的平方等于16?
89、已知一元二次方程x 2－10x+21+a=0。(1)当a 为何值时，方程有一正、一负两个根?(2)此 方程会有两个负根
吗? 为什么?
90、已知关于x 的方程x 2－(2a－1)x+4(a－1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。
91、已知方程x 2+ax+b=0的两根为x 1，x 2，且4x 1+x2=0，又知根的判别式 =25，求a ，b 的值。
92、已知一元二次方程8y 2－(m+1)y+m－5=0。(1)m为何值时，方程的一个根为零?(2)m为何值时 ，方程的两个
根互为相反数?(3)证明：不存在实数m ，使方程的两个相互为倒数。
93、当m 为何值时，方程3x 2+2x+m－8=0：(1)有两个大于－2的根?(2)有一个根大于－2，另一个 根小于－2?
94、已知2s 2+4s－7=0，7t 2－4t －2=0，s ，t 为实数，且st ≠1。求下列各式的值： st +1；; t
3st -2s +3(2)。 t (1)
95、已知x 1，x 2是一元二次方程x 2+m x+n=0的两个实数根，且x 12+x22+(x1+x2) 2=3，
22+=5，求m 和n 的值。 22x 1x 2