工程力学(静力学与材料力学)单辉祖8

工程力学

工程力学电子教案

第九章 扭转

LOGO

第九章

§9–1 §9–2 §9–3 §9–4

扭转

引言 动力传递与扭转 切应力互等定理与剪切胡克定律 圆轴扭转横截面上的应力

§9–5 §9–6

§9–7

极惯性矩与抗扭截面系数 圆轴扭转破坏与强度条件

圆轴扭转变形与刚度条件

Page

2

LOGO

§9-1 引言

M

Page

3

§9-1 引言

A B O

LOGO

A m



O  B m

扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。 扭力偶（扭力偶矩）：使杆产生扭转变形的外力偶。

轴：工程中以扭转为主要变形的直杆。 扭转角（ ）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。

剪应变（ ）：直角的改变量。

Page 4

§9-2

动力传递与扭矩

LOGO

1、功率、转速与扭力偶矩之间的关系

P  M

P m  9.549 (kN  m) n

其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）

m  7.024

P (kN  m) n

其中：P — 功率，马力（PS）

n — 转速，转/分（rpm）

1PS=735.5N· , 1kW=1.36PS m/s

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LOGO

2、扭矩及扭矩图

扭矩：杆件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。

截面法求扭矩

 mx  0 T m 0 T m

m

m

m

T

x

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6

mI T

I T

m

LOGO

3 扭 矩 符 号 规 定

I mI T

T

I

I T

m

I

T

I

右手法则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，

则拇指的指向表示扭矩矢的方向，若扭矩矢方向 与截面外法线相同，规定扭矩为正，反之为负。

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第九章 扭转

LOGO

扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。

目 的 ①扭矩变化规律；

②|T|max值及其截面位置

强度计算（危险截面）。

T



x

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8

LOGO 例1 图示传动轴上，经由A轮输入功率10KW，经

由B、C、D轮输出功率分别为2、3、5KW。轴的转速

n=300r/min，求作该轴的扭矩图。如将A、D轮的位置

更换放置是否合理？

A D

B

C

Page

9

LOGO

解： 经由A、B、C、D轮传递的外力偶矩分别为

PA 10 M A  9.549  9.549  0.3183( KN  m) n 300 PB 2 M B  9.549  9549   63.7( N  m) n 300 M C  95.5( N  m), M D  159.2( N  m),

B C A D

Page

10

B

C

A

II

I

I

II I

D

LOGO

II

III

MB

I I

T1

II

T1  M B  63.7( N  m)

T2  M B  M C  159.2( N  m)

MB MC

III II

T2

T3

III

T3  M D  159.2( N  m)

MD

Page 11

绘出扭矩图：

LOGO

B

C

A

D

159.2

扭矩T-图 （+）

（-）

 63.7

 159.2

Page 12

Tmax  159.2( N  m)

（在CA段和AD段）

将A、D轮的位置更换，则 B C

A

D

LOGO

 63.7

（-）

 159.2

扭矩T-图

 Tmax  318.3( N  m)

Page 13

 318.3

（AD段）

因此将A、D轮的位置更换不合理。

§9-3

LOGO 切应力互等定理与剪切胡克定律

一、薄壁圆管的

扭转应力 薄壁圆筒：壁厚 t  1 r0 （r0：为平均半径） 10

实验前： ①绘纵向线，圆周线；

②施加一对外力偶 m。

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14

LOGO

 实验后变形特征

①圆筒表面各圆周线的形状、大小和间距均

未改变，只是绕轴线作了相对转动。 ②各纵向线均倾斜了同一微小角度  。

③所有小矩形网格均倾斜成同样大小的平行四边形。

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15

LOGO

结论

①横截面上各点无正应力 ②横截面上各点必有切应 力 ，其方向垂直于半径，指 dy a

 ´

c

´

b





d

向与该截面的扭矩转向一致，

切应力 沿壁厚方向近似认为

dx

均匀分布。





r0

Page 16

LOGO

 薄壁圆筒切应力 大小：



A

  dA  r  T





   r   AdA    r  2 r  t  T T T    2 2 r t 2 At

A：平均半径所作圆的面积。

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17

LOGO

二、切应力互等定理：

a

 ´

c

´

b

 mz  0

dy





d

t dx

  t  dxdy     t  dxdy

故

 

z

上式称为剪切应力互等定理。 该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪切

应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的

交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。

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LOGO

单元体的四个侧面上只有剪切应力而无正应力作用， 这种应力状态称为纯剪切应力状态。 三、剪切虎克定律：

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19

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T=m







T (  2 A 0t)





(  L ) R

 

剪切虎克定律：当剪切应力不超过材料的剪切比例极

限时（τ ≤τp)，剪切应力与剪应变成正比关系。

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第九章 扭转

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  G 

式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无 量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢 材的G值约为80GPa。 剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三

个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系

（推导详见后面章节）：

E G 2(1   )

可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量

就可以推算出来。

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§9-4

圆轴扭转横截面上的应力

①变形几何方面 ②物理关系方面 ③静力学方面

LOGO

等直圆杆横截面应力 扭转切应力的一般公式 1. 横截面变形后 仍为平面； 2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。

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LOGO

平面假设

圆轴扭转时，横截面保持平面，并且只在原地绕 轴线发生刚性转动。

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LOGO

1. 变形几何关系：

dd    d    tg    dx ad

d    dx

距圆心为  任一点处的

与到圆心的距离成正比。

d —— 扭转角沿长度方向变化率。 dx

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第九章 扭转

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2. 物理关系：

剪切胡克定律：

  G 

d d    G    G     G dx dx

代入上式得：

d    G dx

横截面上任意点的切应 力与该点到圆心的距离成 正比，方向与半径垂直， 指向与扭矩转向一致。

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第九章 扭转

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3. 静力学关系：

dA

T   A dA     d   A G dA dx d G  A  2 dA dx

2



O

令

I p   A  dA

2

d T  GI p dx

d T  dx GI p

d 得： 代入物理关系式     G dx

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T    Ip

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第九章 扭转

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T    Ip

4. 公式讨论：

—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。

① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面 直杆。 ② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。

 —该点到圆心的距离。

Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。

I p   A  2dA

只是Ip值不同。

单位：mm4，m4。

③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，

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④ 确定最大剪切应力： 由

T    Ip

d T 2   Ip

知：当

d   R  ,     max 2



 max

T Ip d 2



T d (令 W  I p ) 2 Wt

 max

T  Wt

Wt — 抗扭截面系数（抗扭截面模量），

几何量，单位：mm3或m3。

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§9-5

一、实心圆截面

极惯性矩与抗扭截面系数

I p   A  2 dA  

2 0

d



D 2 0

 3  d  d



O

D

D 4

32

Wt  I p R  D3 16

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第九章 扭转

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二、空心圆截面

I p    dA  

2 A

2

0



R

r

 d d 

3

d



 R4

2 2 2 d  D4 4  (  ) 1    32 D



 r4



 R4

1 4  



d O D

Wt  I p R  D (1   ) 16

3 4

三、薄壁圆截面

2 3 I p   A  2dA  R0  A dA  2R0 

2 Wt  I p R0  2 R0 

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30

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§9-6

圆轴扭转破坏与强度条件

一、扭转失效与扭转极限应力

低碳钢试件：

沿横截面断开。

铸铁试件：

沿与轴线约成45的 螺旋线断开。

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LOGO

二、轴的强度条件

为保证轴不因强度不够而破坏，要求轴内的最大扭转切应 力不得超过扭转许用切应力

 max  [ ]

变截面或变扭矩圆轴:

[ ]

u

n

T   max    W   p  max

等截面圆轴:

u －材料的扭转极限应力

n - 安全因数 危

险点处于纯剪切状态，又有 塑性材料：[] =（0.5~0.577）[] 脆性材料：[] = （0.8~1.0）[t]

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Tmax  max  Wp

LOGO

强度计算三方面：

① 校核强度：

 max

Tmax   [ ] Wt

② 设计截面尺寸： Wt 

Tmax [ ]

实： D3 16     3 Wt   D 1 空： （   4）   16  

③ 计算许可载荷： Tmax  Wt[ ]

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33

LOGO [例2] 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，

许用剪应力 [ ]=30M Pa, 试校核其强度。 m m 解：①求扭矩及扭矩图 A B D3 =135 m C D2=75 D1=70

TBC

T

150 103  (N  m) 2  3.14 15.4  1.55(kN  m)

N× 3 10 =m= 2πn

②计算并校核剪应力强度

③此轴满足强度要求。

τ max

x T 1.55 × 3 10 = = = 23MPa ≤[ τ ] 3 Wt π 0.07 16

Page

34

LOGO

例3

 汽车传动轴为无缝钢管， D＝90mm，t=2.5mm ，材料为45钢。TMAX＝1.5kN· m。[]=60MPa， 校核轴的强度。

35

Page 35

例3 解

 D＝90mm，t=2.5mm，TMAX＝1.5kN· m 。[]=60MPa，校核轴的强度。

LOGO

结论：安全

Page 36

36

三、 圆轴合理强度设计

1. 合理截面形状

LOGO

（实心截面） （空心截面） 工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。

Page 37

三、 圆轴合理强度设计

LOGO

若 Ro/ 过大将产 生皱褶

2. 采用变截面轴与阶梯形轴

注意减缓应 力集中

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§9-7

一、圆轴扭转变形

圆轴扭转变形与刚度条件

LOGO

由公式

d T  dx GI p

知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角 为

T Tl    d   dx  (若T 值不变） 0 GI GI p p

l

GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的扭转刚度。

Page

39

LOGO

单位扭转角 ：

d T   dx GI p

(rad/m)

或

d T 180    dx GI p 

(/m)

二、圆轴扭转刚度条件

或

T θmax = ≤[θ ] (rad/m) GI p T 180 θmax = ≤[θ ] (° /m) GI p π

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[ ]为单位长度许用扭转角。

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刚度计算的三方面：

① 校核刚度： ② 设计截面尺寸：

③ 计算许可载荷：

θmax ≤[θ ]

T max Ip ≥ G[θ ]

T

max

≤GI p [θ ]

有时，还可依据此条件进行选材。

Page

41

[例4]长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如 LOGO 图，若杆的内外径之比为 =0.8 ， G =80GPa ，许用剪应力

[ ]=30MPa，试设计杆的外径；若[]=2º ，试校核此杆的 /m

刚度，并求右端面转角。 解：①设计杆的外径

Tmax Wt ≥ [τ ]

Wt 

D3

（ -  4） 1 16

1 3

 16Tmax  D  4 1 [  （   ） ] 

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42

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第九章 扭转

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 16Tmax  D  4 1 [  （   ） ] 

代入数值得：

D  0.0226m。 40Nm

1 3

T

② 由扭转刚度

条件校核刚度

max

x

Page 43

Tmax 180   GIP 

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max

Tmax 180 32  40  180     1.89  [ ]  9 2 4 4 GIP  80  10   D ( 1   )

③右端面转角为：

  0L T dx  02 40  20x dx  10 ( 4 x  x2 ) GIP GIP GIP

 0.033 (弧度）

T 40Nm

2 0

x

Page 44

[例4] 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = LOGO

500 马力， 输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力， N1 A B 已知：G=80GPa ，[ ]=70M Pa，[ ]=1º ，试确定： /m

①AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？

②若全轴选同一直径，应为多少？ ③主动轮与从动轮如何安排合理？

N2

N3 C

500 解：①图示状态下,扭矩如

图，由强度条件得： T (kNm)

400 x – 4.21

N m  7.024 (kN  m) n

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–7.024

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T  d1  3 16T  3 16  7024  80mm  Wt   [ ]  3.14  70  106 16 [ ]

 d13

  d2  3

16T

[ ] 

3

N1

16  4210 6  67.4mm 3.14  70  10

N2 B N3

由刚度条件得：

A

C

400

d T Ip   32 G [ ]

4

500

T (kNm) –7.024

Page 46

x

–4.21

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 d1 4

32 T 32  7024  180 4  84mm 2 9  G [ ] 3.14  80  10  1

 d2  4

32 T 32  4210  180 4  74.4mm 2 9  G [ ] 3.14  80  10  1

综上：

[d1 ]  84mm , [d 2 ]  75mm [d ]  [d1 ]  84mm

②全轴选同一直径时

Page

47

LOGO

③ 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应

该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才 为 75mm。

T

(kNm)

2.814

x

– 4.21

Page

48

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LOGO

作业： 9-2（c）（d）

9-11 9-17 9-18

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49

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LOGO

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50

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第九章

§9–1 §9–2 §9–3 §9–4

扭转

引言 动力传递与扭转 切应力互等定理与剪切胡克定律 圆轴扭转横截面上的应力

§9–5 §9–6

§9–7

极惯性矩与抗扭截面系数 圆轴扭转破坏与强度条件

圆轴扭转变形与刚度条件

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2

LOGO

§9-1 引言

M

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3

§9-1 引言

A B O

LOGO

A m



O  B m

扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。 扭力偶（扭力偶矩）：使杆产生扭转变形的外力偶。

轴：工程中以扭转为主要变形的直杆。 扭转角（ ）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。

剪应变（ ）：直角的改变量。

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§9-2

动力传递与扭矩

LOGO

1、功率、转速与扭力偶矩之间的关系

P  M

P m  9.549 (kN  m) n

其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）

m  7.024

P (kN  m) n

其中：P — 功率，马力（PS）

n — 转速，转/分（rpm）

1PS=735.5N· , 1kW=1.36PS m/s

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LOGO

2、扭矩及扭矩图

扭矩：杆件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。

截面法求扭矩

 mx  0 T m 0 T m

m

m

m

T

x

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mI T

I T

m

LOGO

3 扭 矩 符 号 规 定

I mI T

T

I

I T

m

I

T

I

右手法则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，

则拇指的指向表示扭矩矢的方向，若扭矩矢方向 与截面外法线相同，规定扭矩为正，反之为负。

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第九章 扭转

LOGO

扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。

目 的 ①扭矩变化规律；

②|T|max值及其截面位置

强度计算（危险截面）。

T



x

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LOGO 例1 图示传动轴上，经由A轮输入功率10KW，经

由B、C、D轮输出功率分别为2、3、5KW。轴的转速

n=300r/min，求作该轴的扭矩图。如将A、D轮的位置

更换放置是否合理？

A D

B

C

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9

LOGO

解： 经由A、B、C、D轮传递的外力偶矩分别为

PA 10 M A  9.549  9.549  0.3183( KN  m) n 300 PB 2 M B  9.549  9549   63.7( N  m) n 300 M C  95.5( N  m), M D  159.2( N  m),

B C A D

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10

B

C

A

II

I

I

II I

D

LOGO

II

III

MB

I I

T1

II

T1  M B  63.7( N  m)

T2  M B  M C  159.2( N  m)

MB MC

III II

T2

T3

III

T3  M D  159.2( N  m)

MD

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绘出扭矩图：

LOGO

B

C

A

D

159.2

扭矩T-图 （+）

（-）

 63.7

 159.2

Page 12

Tmax  159.2( N  m)

（在CA段和AD段）

将A、D轮的位置更换，则 B C

A

D

LOGO

 63.7

（-）

 159.2

扭矩T-图

 Tmax  318.3( N  m)

Page 13

 318.3

（AD段）

因此将A、D轮的位置更换不合理。

§9-3

LOGO 切应力互等定理与剪切胡克定律

一、薄壁圆管的

扭转应力 薄壁圆筒：壁厚 t  1 r0 （r0：为平均半径） 10

实验前： ①绘纵向线，圆周线；

②施加一对外力偶 m。

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LOGO

 实验后变形特征

①圆筒表面各圆周线的形状、大小和间距均

未改变，只是绕轴线作了相对转动。 ②各纵向线均倾斜了同一微小角度  。

③所有小矩形网格均倾斜成同样大小的平行四边形。

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LOGO

结论

①横截面上各点无正应力 ②横截面上各点必有切应 力 ，其方向垂直于半径，指 dy a

 ´

c

´

b





d

向与该截面的扭矩转向一致，

切应力 沿壁厚方向近似认为

dx

均匀分布。





r0

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LOGO

 薄壁圆筒切应力 大小：



A

  dA  r  T





   r   AdA    r  2 r  t  T T T    2 2 r t 2 At

A：平均半径所作圆的面积。

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LOGO

二、切应力互等定理：

a

 ´

c

´

b

 mz  0

dy





d

t dx

  t  dxdy     t  dxdy

故

 

z

上式称为剪切应力互等定理。 该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪切

应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的

交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。

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LOGO

单元体的四个侧面上只有剪切应力而无正应力作用， 这种应力状态称为纯剪切应力状态。 三、剪切虎克定律：

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19

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第九章 扭转

LOGO

T=m







T (  2 A 0t)





(  L ) R

 

剪切虎克定律：当剪切应力不超过材料的剪切比例极

限时（τ ≤τp)，剪切应力与剪应变成正比关系。

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第九章 扭转

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  G 

式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无 量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢 材的G值约为80GPa。 剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三

个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系

（推导详见后面章节）：

E G 2(1   )

可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量

就可以推算出来。

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§9-4

圆轴扭转横截面上的应力

①变形几何方面 ②物理关系方面 ③静力学方面

LOGO

等直圆杆横截面应力 扭转切应力的一般公式 1. 横截面变形后 仍为平面； 2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。

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LOGO

平面假设

圆轴扭转时，横截面保持平面，并且只在原地绕 轴线发生刚性转动。

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第九章 扭转

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1. 变形几何关系：

dd    d    tg    dx ad

d    dx

距圆心为  任一点处的

与到圆心的距离成正比。

d —— 扭转角沿长度方向变化率。 dx

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第九章 扭转

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2. 物理关系：

剪切胡克定律：

  G 

d d    G    G     G dx dx

代入上式得：

d    G dx

横截面上任意点的切应 力与该点到圆心的距离成 正比，方向与半径垂直， 指向与扭矩转向一致。

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第九章 扭转

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3. 静力学关系：

dA

T   A dA     d   A G dA dx d G  A  2 dA dx

2



O

令

I p   A  dA

2

d T  GI p dx

d T  dx GI p

d 得： 代入物理关系式     G dx

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T    Ip

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第九章 扭转

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T    Ip

4. 公式讨论：

—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。

① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面 直杆。 ② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。

 —该点到圆心的距离。

Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。

I p   A  2dA

只是Ip值不同。

单位：mm4，m4。

③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，

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④ 确定最大剪切应力： 由

T    Ip

d T 2   Ip

知：当

d   R  ,     max 2



 max

T Ip d 2



T d (令 W  I p ) 2 Wt

 max

T  Wt

Wt — 抗扭截面系数（抗扭截面模量），

几何量，单位：mm3或m3。

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§9-5

一、实心圆截面

极惯性矩与抗扭截面系数

I p   A  2 dA  

2 0

d



D 2 0

 3  d  d



O

D

D 4

32

Wt  I p R  D3 16

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二、空心圆截面

I p    dA  

2 A

2

0



R

r

 d d 

3

d



 R4

2 2 2 d  D4 4  (  ) 1    32 D



 r4



 R4

1 4  



d O D

Wt  I p R  D (1   ) 16

3 4

三、薄壁圆截面

2 3 I p   A  2dA  R0  A dA  2R0 

2 Wt  I p R0  2 R0 

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30

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LOGO

§9-6

圆轴扭转破坏与强度条件

一、扭转失效与扭转极限应力

低碳钢试件：

沿横截面断开。

铸铁试件：

沿与轴线约成45的 螺旋线断开。

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LOGO

二、轴的强度条件

为保证轴不因强度不够而破坏，要求轴内的最大扭转切应 力不得超过扭转许用切应力

 max  [ ]

变截面或变扭矩圆轴:

[ ]

u

n

T   max    W   p  max

等截面圆轴:

u －材料的扭转极限应力

n - 安全因数 危

险点处于纯剪切状态，又有 塑性材料：[] =（0.5~0.577）[] 脆性材料：[] = （0.8~1.0）[t]

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Tmax  max  Wp

LOGO

强度计算三方面：

① 校核强度：

 max

Tmax   [ ] Wt

② 设计截面尺寸： Wt 

Tmax [ ]

实： D3 16     3 Wt   D 1 空： （   4）   16  

③ 计算许可载荷： Tmax  Wt[ ]

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33

LOGO [例2] 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，

许用剪应力 [ ]=30M Pa, 试校核其强度。 m m 解：①求扭矩及扭矩图 A B D3 =135 m C D2=75 D1=70

TBC

T

150 103  (N  m) 2  3.14 15.4  1.55(kN  m)

N× 3 10 =m= 2πn

②计算并校核剪应力强度

③此轴满足强度要求。

τ max

x T 1.55 × 3 10 = = = 23MPa ≤[ τ ] 3 Wt π 0.07 16

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34

LOGO

例3

 汽车传动轴为无缝钢管， D＝90mm，t=2.5mm ，材料为45钢。TMAX＝1.5kN· m。[]=60MPa， 校核轴的强度。

35

Page 35

例3 解

 D＝90mm，t=2.5mm，TMAX＝1.5kN· m 。[]=60MPa，校核轴的强度。

LOGO

结论：安全

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36

三、 圆轴合理强度设计

1. 合理截面形状

LOGO

（实心截面） （空心截面） 工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。

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三、 圆轴合理强度设计

LOGO

若 Ro/ 过大将产 生皱褶

2. 采用变截面轴与阶梯形轴

注意减缓应 力集中

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§9-7

一、圆轴扭转变形

圆轴扭转变形与刚度条件

LOGO

由公式

d T  dx GI p

知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角 为

T Tl    d   dx  (若T 值不变） 0 GI GI p p

l

GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的扭转刚度。

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39

LOGO

单位扭转角 ：

d T   dx GI p

(rad/m)

或

d T 180    dx GI p 

(/m)

二、圆轴扭转刚度条件

或

T θmax = ≤[θ ] (rad/m) GI p T 180 θmax = ≤[θ ] (° /m) GI p π

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[ ]为单位长度许用扭转角。

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刚度计算的三方面：

① 校核刚度： ② 设计截面尺寸：

③ 计算许可载荷：

θmax ≤[θ ]

T max Ip ≥ G[θ ]

T

max

≤GI p [θ ]

有时，还可依据此条件进行选材。

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41

[例4]长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如 LOGO 图，若杆的内外径之比为 =0.8 ， G =80GPa ，许用剪应力

[ ]=30MPa，试设计杆的外径；若[]=2º ，试校核此杆的 /m

刚度，并求右端面转角。 解：①设计杆的外径

Tmax Wt ≥ [τ ]

Wt 

D3

（ -  4） 1 16

1 3

 16Tmax  D  4 1 [  （   ） ] 

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 16Tmax  D  4 1 [  （   ） ] 

代入数值得：

D  0.0226m。 40Nm

1 3

T

② 由扭转刚度

条件校核刚度

max

x

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Tmax 180   GIP 

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max

Tmax 180 32  40  180     1.89  [ ]  9 2 4 4 GIP  80  10   D ( 1   )

③右端面转角为：

  0L T dx  02 40  20x dx  10 ( 4 x  x2 ) GIP GIP GIP

 0.033 (弧度）

T 40Nm

2 0

x

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[例4] 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = LOGO

500 马力， 输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力， N1 A B 已知：G=80GPa ，[ ]=70M Pa，[ ]=1º ，试确定： /m

①AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？

②若全轴选同一直径，应为多少？ ③主动轮与从动轮如何安排合理？

N2

N3 C

500 解：①图示状态下,扭矩如

图，由强度条件得： T (kNm)

400 x – 4.21

N m  7.024 (kN  m) n

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–7.024

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T  d1  3 16T  3 16  7024  80mm  Wt   [ ]  3.14  70  106 16 [ ]

 d13

  d2  3

16T

[ ] 

3

N1

16  4210 6  67.4mm 3.14  70  10

N2 B N3

由刚度条件得：

A

C

400

d T Ip   32 G [ ]

4

500

T (kNm) –7.024

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x

–4.21

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LOGO

 d1 4

32 T 32  7024  180 4  84mm 2 9  G [ ] 3.14  80  10  1

 d2  4

32 T 32  4210  180 4  74.4mm 2 9  G [ ] 3.14  80  10  1

综上：

[d1 ]  84mm , [d 2 ]  75mm [d ]  [d1 ]  84mm

②全轴选同一直径时

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47

LOGO

③ 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应

该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才 为 75mm。

T

(kNm)

2.814

x

– 4.21

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作业： 9-2（c）（d）

9-11 9-17 9-18

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