概率公式整理
1．随机事件及其概率
P (AB ) =P (A ) P (B A )(P (A ) >0)
P (A 1A 2 A n ) =P (A 1) P (A 2A 1) P (A n A 1A 2 A n -1)
(P (A 1A 2 A n -1) >0)
全概率公式
A ⋃Ω=ΩA ⋂Ω=A
吸收律：A ⋃∅=A A ⋂∅=∅
A ⋃(AB ) =A A ⋂(A ⋃B ) =A
A -B =A =A -(AB )
反演律：A ⋃B = AB =⋃
P (A ) =∑P (AB i ) =∑P (B i ) ⋅P (A B i )
i =1
i =1
n n
Bayes 公式
A = A A = A
i
i
i
i
i =1
i =1
i =1
i =1
n n n n
P (B k A ) =
2．概率的定义及其计算
P (B k ) P (A B k ) P (AB k )
=n
P (A )
∑P (B i ) P (A B i )
i =1
P () =1-P (A )
若A ⊂B ⇒P (B -A ) =P (B ) -P (A ) 对
4．随机变量及其分布
分布函数计算
P (a
=F (b ) -F (a )
B ,
有
5．离散型随机变量
(1) 0 – 1 分布
任意两个事件A ,
P (B -A ) =P (B ) -P (AB )
加法公式：对任意两个事件A , B , 有
P (X =k ) =p k (1-p ) 1-k , k =0, 1
(2) 二项分布 B (n , p )
P (A ⋃B ) =P (A ) +P (B ) -P (AB ) P (A ⋃B ) ≤P (A ) +P (B )
若P ( A ) = p
i
j
P ( A i ) =∑P (A i ) -
i =1
i =1
n n
1≤i
∑P (A A )
+
1≤i
k k n -k
P (X =k ) =n C , k =0, 1, , n -1n p (1-p ) P (A A A ) + +(-1) P (A A A ∑i j k 12n ) n
3．条件概率
*Possion 定理
lim np n =λ>0
n →∞
P (AB )
P (B A )=
P (A )
乘法公式
有
l i m C p (1-p n )
n →∞
k
n k n
n -k
k !
k =0, 1, 2,
=e
-λ
λk
(3) Poisson 分布 P (λ)
P (X =k ) =e -λ
λ
k
k !
, k =0, 1, 2,
6．连续型随机变量
(1) 均匀分布 U (a , b )
⎧f (x ) =⎪
1
⎨b -a
, a
0, 其他⎧⎪0, F (x ) =⎪⎨x -a b -a ,
⎪⎪⎩
1
(2) 指数分布 E (λ)
f (x ) =⎧⎪-λx ⎨λe , x >0⎪,
⎩0其他F (x ) =⎧⎨0,
x
1-e -λx
, x ≥0
(3) 正态分布 N (μ , σ 2 )
2f (x ) =
1
e -
(x -μ) 2σ2
2σ
-∞
F (x ) =
1
x
(t -μ) 22σ2⎰
-∞
e
-
d t
*N (0,1) — 标准正态分布 x 2
ϕ(x ) =1
e
-2
2π
-∞
2
Φ(x ) =
1
-t 2
2π
⎰
x
-∞
e d t -∞
7. 多维随机变量及其分布
二维随机变量( X ,Y ) 的分布函数
F (x , y ) =⎰
x
-∞⎰
y
-∞
f (u , v ) dvdu
边缘分布函数与边缘密度函数
F X (x ) =⎰
x
-∞⎰
+∞
-∞
f (u , v ) dvdu
f +∞
X (x ) =⎰-∞f (x , v ) dv
F (y ) =⎰
y
Y -∞⎰
+∞
-∞
f (u , v ) dudv
f +∞
Y (y ) =⎰-∞
f (u , y ) du
8. 连续型二维随机变量
(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G )
⎧f (x , y ) =⎪1
⎨A , (x , y ) ∈G
⎪⎩0,
其他
(2)二维正态分布
-
1
⎡(x -μ1) 2(x -μ1)(y -μ2) (y -μ2) 2f (x , y ) =
12πσ⨯e
2(1-ρ) ⎢⎣⎢σ-2ρσ+⎤
σ⎥11σ22⎦⎥1σ2-ρ
2
-∞
9. 二维随机变量的 条件分布
f (x , y ) =f X (x ) f Y X (y x )
f X (x ) >0 =f Y (y ) f X (x y )
f Y (y ) >0
f (x ) =⎰+∞
-∞
f (x , y ) dy =⎰+∞
X -∞
f X (x y ) f Y (y ) dy
f Y (y ) =⎰+∞+∞
-∞
f (x , y ) dx =⎰-∞
f Y X (y x ) f X (x ) dx
f x , y ) X Y (x y ) =
f (f Y X (y x ) f X (x ) f =(y )
Y (y ) f Y f y x ) =
f (x , y )
f X Y (x y ) f Y (y ) Y X (f = X (x ) f X
(x )
10. 随机变量的数字特征
数学期望
+∞
E (X ) =∑x k p k
k =1
E (X ) =⎰+∞
-∞
xf (x ) dx
随机变量函数的数学期望
X 的 k 阶原点矩
E (X k )
X 的 k 阶绝对原点矩
E (|X |k )
X 的 k 阶中心矩
E ((X -E (X )) k )
X 的 方差
E ((X -E (X )) 2) =D (X )
X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩
E (X k Y l )
X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩
E ((X -E (X )) k (Y -E (Y )) l )
X ,Y 的 二阶混合原点矩
E (XY )
X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差
E ((X -E (X ))(Y -E (Y )) )
X ,Y 的相关系数
E ⎛
(X -E (X ))(Y -E (Y )) ⎫
⎪=ρ⎝D (X ) D (Y ) ⎪⎭
XY
X 的方差
D (X ) = E ((X - E(X ))2)
D (X ) =E (X 2) -E 2(X )
协方差
cov(X , Y ) =E ((X -E (X ))(Y -E (Y )) )
=E (XY ) -E (X ) E (Y )
=±
1
2
(D (X ±Y ) -D (X ) -D (Y ) )相关系数
ρcov(X , Y )
XY =
D (X ) D (Y )
概率公式整理
1．随机事件及其概率
P (AB ) =P (A ) P (B A )(P (A ) >0)
P (A 1A 2 A n ) =P (A 1) P (A 2A 1) P (A n A 1A 2 A n -1)
(P (A 1A 2 A n -1) >0)
全概率公式
A ⋃Ω=ΩA ⋂Ω=A
吸收律：A ⋃∅=A A ⋂∅=∅
A ⋃(AB ) =A A ⋂(A ⋃B ) =A
A -B =A =A -(AB )
反演律：A ⋃B = AB =⋃
P (A ) =∑P (AB i ) =∑P (B i ) ⋅P (A B i )
i =1
i =1
n n
Bayes 公式
A = A A = A
i
i
i
i
i =1
i =1
i =1
i =1
n n n n
P (B k A ) =
2．概率的定义及其计算
P (B k ) P (A B k ) P (AB k )
=n
P (A )
∑P (B i ) P (A B i )
i =1
P () =1-P (A )
若A ⊂B ⇒P (B -A ) =P (B ) -P (A ) 对
4．随机变量及其分布
分布函数计算
P (a
=F (b ) -F (a )
B ,
有
5．离散型随机变量
(1) 0 – 1 分布
任意两个事件A ,
P (B -A ) =P (B ) -P (AB )
加法公式：对任意两个事件A , B , 有
P (X =k ) =p k (1-p ) 1-k , k =0, 1
(2) 二项分布 B (n , p )
P (A ⋃B ) =P (A ) +P (B ) -P (AB ) P (A ⋃B ) ≤P (A ) +P (B )
若P ( A ) = p
i
j
P ( A i ) =∑P (A i ) -
i =1
i =1
n n
1≤i
∑P (A A )
+
1≤i
k k n -k
P (X =k ) =n C , k =0, 1, , n -1n p (1-p ) P (A A A ) + +(-1) P (A A A ∑i j k 12n ) n
3．条件概率
*Possion 定理
lim np n =λ>0
n →∞
P (AB )
P (B A )=
P (A )
乘法公式
有
l i m C p (1-p n )
n →∞
k
n k n
n -k
k !
k =0, 1, 2,
=e
-λ
λk
(3) Poisson 分布 P (λ)
P (X =k ) =e -λ
λ
k
k !
, k =0, 1, 2,
6．连续型随机变量
(1) 均匀分布 U (a , b )
⎧f (x ) =⎪
1
⎨b -a
, a
0, 其他⎧⎪0, F (x ) =⎪⎨x -a b -a ,
⎪⎪⎩
1
(2) 指数分布 E (λ)
f (x ) =⎧⎪-λx ⎨λe , x >0⎪,
⎩0其他F (x ) =⎧⎨0,
x
1-e -λx
, x ≥0
(3) 正态分布 N (μ , σ 2 )
2f (x ) =
1
e -
(x -μ) 2σ2
2σ
-∞
F (x ) =
1
x
(t -μ) 22σ2⎰
-∞
e
-
d t
*N (0,1) — 标准正态分布 x 2
ϕ(x ) =1
e
-2
2π
-∞
2
Φ(x ) =
1
-t 2
2π
⎰
x
-∞
e d t -∞
7. 多维随机变量及其分布
二维随机变量( X ,Y ) 的分布函数
F (x , y ) =⎰
x
-∞⎰
y
-∞
f (u , v ) dvdu
边缘分布函数与边缘密度函数
F X (x ) =⎰
x
-∞⎰
+∞
-∞
f (u , v ) dvdu
f +∞
X (x ) =⎰-∞f (x , v ) dv
F (y ) =⎰
y
Y -∞⎰
+∞
-∞
f (u , v ) dudv
f +∞
Y (y ) =⎰-∞
f (u , y ) du
8. 连续型二维随机变量
(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G )
⎧f (x , y ) =⎪1
⎨A , (x , y ) ∈G
⎪⎩0,
其他
(2)二维正态分布
-
1
⎡(x -μ1) 2(x -μ1)(y -μ2) (y -μ2) 2f (x , y ) =
12πσ⨯e
2(1-ρ) ⎢⎣⎢σ-2ρσ+⎤
σ⎥11σ22⎦⎥1σ2-ρ
2
-∞
9. 二维随机变量的 条件分布
f (x , y ) =f X (x ) f Y X (y x )
f X (x ) >0 =f Y (y ) f X (x y )
f Y (y ) >0
f (x ) =⎰+∞
-∞
f (x , y ) dy =⎰+∞
X -∞
f X (x y ) f Y (y ) dy
f Y (y ) =⎰+∞+∞
-∞
f (x , y ) dx =⎰-∞
f Y X (y x ) f X (x ) dx
f x , y ) X Y (x y ) =
f (f Y X (y x ) f X (x ) f =(y )
Y (y ) f Y f y x ) =
f (x , y )
f X Y (x y ) f Y (y ) Y X (f = X (x ) f X
(x )
10. 随机变量的数字特征
数学期望
+∞
E (X ) =∑x k p k
k =1
E (X ) =⎰+∞
-∞
xf (x ) dx
随机变量函数的数学期望
X 的 k 阶原点矩
E (X k )
X 的 k 阶绝对原点矩
E (|X |k )
X 的 k 阶中心矩
E ((X -E (X )) k )
X 的 方差
E ((X -E (X )) 2) =D (X )
X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩
E (X k Y l )
X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩
E ((X -E (X )) k (Y -E (Y )) l )
X ,Y 的 二阶混合原点矩
E (XY )
X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差
E ((X -E (X ))(Y -E (Y )) )
X ,Y 的相关系数
E ⎛
(X -E (X ))(Y -E (Y )) ⎫
⎪=ρ⎝D (X ) D (Y ) ⎪⎭
XY
X 的方差
D (X ) = E ((X - E(X ))2)
D (X ) =E (X 2) -E 2(X )
协方差
cov(X , Y ) =E ((X -E (X ))(Y -E (Y )) )
=E (XY ) -E (X ) E (Y )
=±
1
2
(D (X ±Y ) -D (X ) -D (Y ) )相关系数
ρcov(X , Y )
XY =
D (X ) D (Y )