第八讲 倍长中线与截长补短
一、 学法建议
1、 倍长中线和截长补短是几何证明题中常用的两种方法，非常重要。每种方法都有它们适用的条件。我们需要熟练掌握这两种方法的条件和结论。
2、 几何题目书写要规范。在这一节中，我们需要熟练掌握证明全等三角形的书写方法。另外，倍长中线和截长补短是辅助线的添加方式，我们也需要规范辅助线的描述方法。
3、 几何题目需要大家多加练习，在掌握了方法之后，更要学会熟练应用、总结规律。
二、 应掌握的基础知识点
1、 基础知识复习回顾
全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等；全等三角形的对应边相等；能够完全重合的顶点叫对应顶点； 全等三角形的对应边上的高对应相等； 全等三角形的对应角的角平分线相等；全等三角形的对应边上的中线相等；全等三角形面积和周长相等；全等三角形的对应角的三角函数值相等。
全等三角形的判定：
S.S.S.（Side-Side-Side）（边、边、边）：如果两个三角形的三条边的长度都对应地相等的话，则这两个三角形就是全等三角形。
S.A.S.（Side-Angle-Side）（边、角、边）：如果两个三角形的其中两条边的长度都对应地相等，且两条边夹着的角都对应地相等的话，则这两个三角形就是全等三角形。
A.S.A. （Angle-Side-Angle）（角、边、角）：如果两个三角形的其中两个角都对应地相等，且两个角夹着的边都对应地相等的话，则这两个三角形就是全等三角形。
A.A.S.（Angle-Angle-Side）（角、角、边）：如果两个三角形的其中两个角都对应地相等，
且对应相等的角所对应的边对应相等的话，则这两个三角形就是全等三角形。
H.L.（hypotenuse -leg） （斜边、直角边）：直角三角形中一条斜边和一条直角边都对应相等，则这两个三角形就是全等三角形。
注意：利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点、对应角、对应边的顺序写一致，为找对应边、对应角提供方便。
全等三角形证明步骤：
①找到要证明全等的两个三角形
②从已知及图形出发找两个条件
③确定判定定理
④证明第三个条件
⑤书写全等的标准格式
⑥写出结论
三角形的三大变换：平移、轴对称、旋转（复习第六讲内容）
2、 全等三角形辅助线的添加
①利用判定定理添加
②利用中点添加（倍长中线）
③利用角平分线添加
④利用截长补短添加
⑤利用等腰三角形三线合一定理添加等
这节我们需要重点掌握倍长中线和截长补短
倍长中线（这里的中线并不一定都是三角形中线，倍长中线体现旋转的思想）
总结：①特征：三角形中遇到中点（中线），题目中出现线段的2倍关系。
②作法：加倍延长过中点的线段
③目的：转移边、角，构造旋转型全等，把边角转移到一个三角形中
④结论：出现全等三角形、全等三角形对应边相等、全等三角形对应角相等、出现
平行线、出现平行四边形
口诀：见中线（2倍）必倍长，全等三角形必出现，平行线必出现，全连起来平行四边形
也出现。
截长补短（截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或
是将某线段延长，使之与特定线段相等，再利用两线段所在三角形全等的有关性质加以说明）
总结：①特征：题目或结论中出现线段的和、差、倍、分等量关系，一般也会出现三角形
内角平分线
②作法：通常情况下大部分题目截长、补短能同时使用解同一题。习惯来说，线段
和用补短法，线段差用截长法。
③目的：构造相等的边，从而构造对称性全等
④结论：出现对称性全等，有可能出现等腰三角形
添加辅助线步骤的书写规范：
①连接：连接AB
②延长作相等线段：延长AM至E，使ME=AM
③在长线段上截取相等线段：在AC上，截取AE=AB
④作平行线：过点B，作AC的平行线（作BE∥AC），与AD延长线的交点为E ⑤作垂线：过点F，作AE的垂线（作FH⊥AE），垂足为H
三、 应掌握的题型
1. 如图，在△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是( )
A.2＜AB＜12 B.4＜AB＜12 C.9＜AB＜19 D.10＜AB＜19
2、如图，点E是BC的中点，∠BAE=∠CDE，延长DE到点F使得EF=DE，连接BF，则下列说法正确的是（）
①BF∥CD ②△BFE≌△CDE ③AB=BF ④△ABE为等腰三角形
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④
3、如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为（）
A.1 B.2 C.3 D.4
4、如图，在△ABC中，点D、E为边BC的三等分点，则下列说法正确的有（）
①BD=DE=EC ②AB+AE＞2AD ③AD+AC＞2AE ④AB+AC＞AD+AE
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5、正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，
BE+DF=EF，则∠EAF的度数为( )
A.30° B.37.5° C.45° D.60°
6、已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，则下列说法正确的是（）
A.CD=AD+BE B.AE=CE+BE C.AE=AD+BE D.AC=AD+BE
7、如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，
延长BD至E，是DE=AD，则∠ECA的度数为（）
A.30° B.35° C.40° D.45°
四、答案解析
1、C
解题思路：延长AD至E，使DE=AD，连接CE，可先证明△ABD≌△ECD，则AB=CE，在△ACE中，根据三角形的三边关系，得AE-AC＜CE＜AE+AC，即9＜CE＜19.则9＜AB＜
19.故选C.
2、A
解题思路：可以先证明△BEF≌△CED，可以得到②正确，进而得到∠F=∠D，BF∥CD，①正确，又∵∠BAE=∠CDE=∠F，∴AB=BF，③正确。④不正确。
3、C
解题思路：延长FE交DA的延长线于点M，则可证△AEM≌△BEF，再证明△GEM≌△GEF，可以得到GF=GM=GA+BF=3，答案选C
4、D
解题思路：点D、E为边BC的三等分点，∴BD=DE=CE延长AD至点M，AE至点N，使得DM=AD，EN=AE，连接EM、CN，则可证明△ABD≌△MED，进而可得AB+AE＞2AD，再证明△ADE≌△NCE，进而可得AD+AC＞2AE，将两式相加可得到AB+AE+AD+AC＞2AD+2AE,即AB+AC＞AD+AE.∴①②③④均正确。
5、C
解题思路：延长EB至点G，使得BG=DF，连接AG，可证明：△ABG≌△ADF（SAS），∴∠DAF=∠BAG，AF=AG，又∵EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE∴△AEG≌△AEF（SSS）∴∠EAG=∠EAF，∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=90°∴∠EAG+∠EAF=90°，∴∠EAF=45°。
6、C
解题思路：在AB上截取AF，使得AF=AD，连接CF，则可先证△ADC≌△AFC，再证明△CEF≌△CEB，就可以得到AE=AD+BE，所以C选项正确。
7、C
解题思路：在BC上截取BF=AB，连DF，则有△ABD≌△FBD，∴DF=DA=DE，又∵∠ACB=∠ABC=40°，∠DFC=180°-∠A=80°，∴∠FDC=60°，∵∠EDC=∠ADB=180°-∠ABD-∠A=180°-20°-100°=60°，∴△DCE≌△DCF，故∠ECA=∠DCB=40°.故选C.
第八讲 倍长中线与截长补短
一、 学法建议
1、 倍长中线和截长补短是几何证明题中常用的两种方法，非常重要。每种方法都有它们适用的条件。我们需要熟练掌握这两种方法的条件和结论。
2、 几何题目书写要规范。在这一节中，我们需要熟练掌握证明全等三角形的书写方法。另外，倍长中线和截长补短是辅助线的添加方式，我们也需要规范辅助线的描述方法。
3、 几何题目需要大家多加练习，在掌握了方法之后，更要学会熟练应用、总结规律。
二、 应掌握的基础知识点
1、 基础知识复习回顾
全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等；全等三角形的对应边相等；能够完全重合的顶点叫对应顶点； 全等三角形的对应边上的高对应相等； 全等三角形的对应角的角平分线相等；全等三角形的对应边上的中线相等；全等三角形面积和周长相等；全等三角形的对应角的三角函数值相等。
全等三角形的判定：
S.S.S.（Side-Side-Side）（边、边、边）：如果两个三角形的三条边的长度都对应地相等的话，则这两个三角形就是全等三角形。
S.A.S.（Side-Angle-Side）（边、角、边）：如果两个三角形的其中两条边的长度都对应地相等，且两条边夹着的角都对应地相等的话，则这两个三角形就是全等三角形。
A.S.A. （Angle-Side-Angle）（角、边、角）：如果两个三角形的其中两个角都对应地相等，且两个角夹着的边都对应地相等的话，则这两个三角形就是全等三角形。
A.A.S.（Angle-Angle-Side）（角、角、边）：如果两个三角形的其中两个角都对应地相等，
且对应相等的角所对应的边对应相等的话，则这两个三角形就是全等三角形。
H.L.（hypotenuse -leg） （斜边、直角边）：直角三角形中一条斜边和一条直角边都对应相等，则这两个三角形就是全等三角形。
注意：利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点、对应角、对应边的顺序写一致，为找对应边、对应角提供方便。
全等三角形证明步骤：
①找到要证明全等的两个三角形
②从已知及图形出发找两个条件
③确定判定定理
④证明第三个条件
⑤书写全等的标准格式
⑥写出结论
三角形的三大变换：平移、轴对称、旋转（复习第六讲内容）
2、 全等三角形辅助线的添加
①利用判定定理添加
②利用中点添加（倍长中线）
③利用角平分线添加
④利用截长补短添加
⑤利用等腰三角形三线合一定理添加等
这节我们需要重点掌握倍长中线和截长补短
倍长中线（这里的中线并不一定都是三角形中线，倍长中线体现旋转的思想）
总结：①特征：三角形中遇到中点（中线），题目中出现线段的2倍关系。
②作法：加倍延长过中点的线段
③目的：转移边、角，构造旋转型全等，把边角转移到一个三角形中
④结论：出现全等三角形、全等三角形对应边相等、全等三角形对应角相等、出现
平行线、出现平行四边形
口诀：见中线（2倍）必倍长，全等三角形必出现，平行线必出现，全连起来平行四边形
也出现。
截长补短（截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或
是将某线段延长，使之与特定线段相等，再利用两线段所在三角形全等的有关性质加以说明）
总结：①特征：题目或结论中出现线段的和、差、倍、分等量关系，一般也会出现三角形
内角平分线
②作法：通常情况下大部分题目截长、补短能同时使用解同一题。习惯来说，线段
和用补短法，线段差用截长法。
③目的：构造相等的边，从而构造对称性全等
④结论：出现对称性全等，有可能出现等腰三角形
添加辅助线步骤的书写规范：
①连接：连接AB
②延长作相等线段：延长AM至E，使ME=AM
③在长线段上截取相等线段：在AC上，截取AE=AB
④作平行线：过点B，作AC的平行线（作BE∥AC），与AD延长线的交点为E ⑤作垂线：过点F，作AE的垂线（作FH⊥AE），垂足为H
三、 应掌握的题型
1. 如图，在△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是( )
A.2＜AB＜12 B.4＜AB＜12 C.9＜AB＜19 D.10＜AB＜19
2、如图，点E是BC的中点，∠BAE=∠CDE，延长DE到点F使得EF=DE，连接BF，则下列说法正确的是（）
①BF∥CD ②△BFE≌△CDE ③AB=BF ④△ABE为等腰三角形
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④
3、如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为（）
A.1 B.2 C.3 D.4
4、如图，在△ABC中，点D、E为边BC的三等分点，则下列说法正确的有（）
①BD=DE=EC ②AB+AE＞2AD ③AD+AC＞2AE ④AB+AC＞AD+AE
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5、正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，
BE+DF=EF，则∠EAF的度数为( )
A.30° B.37.5° C.45° D.60°
6、已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，则下列说法正确的是（）
A.CD=AD+BE B.AE=CE+BE C.AE=AD+BE D.AC=AD+BE
7、如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，
延长BD至E，是DE=AD，则∠ECA的度数为（）
A.30° B.35° C.40° D.45°
四、答案解析
1、C
解题思路：延长AD至E，使DE=AD，连接CE，可先证明△ABD≌△ECD，则AB=CE，在△ACE中，根据三角形的三边关系，得AE-AC＜CE＜AE+AC，即9＜CE＜19.则9＜AB＜
19.故选C.
2、A
解题思路：可以先证明△BEF≌△CED，可以得到②正确，进而得到∠F=∠D，BF∥CD，①正确，又∵∠BAE=∠CDE=∠F，∴AB=BF，③正确。④不正确。
3、C
解题思路：延长FE交DA的延长线于点M，则可证△AEM≌△BEF，再证明△GEM≌△GEF，可以得到GF=GM=GA+BF=3，答案选C
4、D
解题思路：点D、E为边BC的三等分点，∴BD=DE=CE延长AD至点M，AE至点N，使得DM=AD，EN=AE，连接EM、CN，则可证明△ABD≌△MED，进而可得AB+AE＞2AD，再证明△ADE≌△NCE，进而可得AD+AC＞2AE，将两式相加可得到AB+AE+AD+AC＞2AD+2AE,即AB+AC＞AD+AE.∴①②③④均正确。
5、C
解题思路：延长EB至点G，使得BG=DF，连接AG，可证明：△ABG≌△ADF（SAS），∴∠DAF=∠BAG，AF=AG，又∵EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE∴△AEG≌△AEF（SSS）∴∠EAG=∠EAF，∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=90°∴∠EAG+∠EAF=90°，∴∠EAF=45°。
6、C
解题思路：在AB上截取AF，使得AF=AD，连接CF，则可先证△ADC≌△AFC，再证明△CEF≌△CEB，就可以得到AE=AD+BE，所以C选项正确。
7、C
解题思路：在BC上截取BF=AB，连DF，则有△ABD≌△FBD，∴DF=DA=DE，又∵∠ACB=∠ABC=40°，∠DFC=180°-∠A=80°，∴∠FDC=60°，∵∠EDC=∠ADB=180°-∠ABD-∠A=180°-20°-100°=60°，∴△DCE≌△DCF，故∠ECA=∠DCB=40°.故选C.