圆弧计算公式及运用
一. 教学内容：
弧长及扇形的面积 圆锥的侧面积
二. 教学要求
1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。 2、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。
三. 重点及难点 重点：
1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。
2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。 难点：
1、弧长公式、扇形面积公式的推导。 2、圆锥的侧面积、全面积的计算。
［知识要点］
知识点1、弧长公式
因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C ＝2R ，所以1
°的圆心角所对的弧长是
，于是可得半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式：，
说明：（1）在弧长公式中，n 表示1°的圆心角的倍数，n 和180都不带单位“度”，例如，圆的半径R ＝10，计算20°的圆心角所对的弧长l 时，不要错写成
（2）在弧长公式中，已知l ，n ，R 中的任意两个量，都可以求出第三个量。
。
知识点2、扇形的面积
如图所示，阴影部分的面积就是半径为R ，圆心角为n °的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积为1°的扇形面积是
又因为扇形的弧长的另一个计算公式：
，由此得圆心角为n °的扇形面积的计算公式是
，扇形面积。
，所以圆心角
。
，所以又得到扇形面积
知识点3、弓形的面积
（1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。 （2）弓形的周长＝弦长＋弧长 （3）弓形的面积
如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形OAmB 的面积和△AOB 的面积计算出来，就可以得到弓形AmB 的面积。
当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示，当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示，
当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示，
例：如图所示，⊙O 的半径为2，∠ABC ＝45°，则图中阴影部分的面积是 （ ）（结果用表示）
分析：由图可知由圆周角定理可知∠ABC
＝∠AOC ＝2∠ABC ＝90°，所以△OAC 是直角三角形，所以
，
所以
∠AOC ，所以
（2）扇形与弓形的联系与区别
知识点4、圆锥的侧面积
圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r ，那么这个扇形的半径为l ，扇形的弧长为2面积
，圆锥的侧面积
，圆锥的全
说明：（1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。
（2）研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。 知识点5、圆柱的侧面积
圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长，若圆柱的底面半径为r ，高为h ，则圆柱的侧面
积
，圆柱的全面
积
知识小结：
【典型例题】
例1. （2003. 辽宁）如图所示，在同心圆中，两圆的半径分别为2，1，∠AOB ＝120°，则阴影部分的面积是（ ）
A.
B.
C. D. 分析：阴影部分所在的两个扇形的圆心角为所以
故答案为：B.
，
例2. （2004·陕西）如图所示，点C 在以AB 为直径的半圆上，连接AC ，BC ，AB ＝10厘米，tan ∠BAC ＝
，求阴影部分的面积。
分析：本题考查的知识点有：（1）直径所对圆周角为90°，（2）解直角三角形的知识（3）组合图形面积的计算。
解：因为AB 为直径，所以∠ACB ＝90°，
在Rt △ABC 中，AB ＝10， tan ∠BAC ＝，而tan ∠BAC ＝设BC ＝3k ，AC ＝4k ，（k 不为0，且为正数） 由勾股定理得所以BC ＝6，AC ＝8，所以
例3. （2003. 福州）如图所示，已知扇形AOB 的圆心角为直角，正方形OCDE 内接于扇形AOB ，点C ，E ，D 分别在OA ，OB 及AB 弧上，过点A 作AF ⊥ED 交ED 的延长线于F ，垂足为F ，如果正方形的边长为1，那么阴影部分的面积为（ ）
，而
分析：连接OD ，由正方形性质可知∠EOD ＝∠DOC ＝45°，在Rt △OED 中，OD
＝
，
因为正方形的边长为1，所以OE ＝DE ＝1，所以
，设两部分阴影的面积中的
一部分为M ，另一部分为N ，则，阴影部分面积可求，但这种方法较麻烦，用割补法解此题较为简单，设一部分空白面积为P ，
因为∠BOD ＝∠DOC ，所以
所以M ＝P ，所以
答案：
例4. 如图所示，直角梯形ABCD 中，∠B ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝2，BC ＝7，AD ＝3，以BC 为轴把直角梯形ABCD 旋转一周，求所得几何体的表面积。
。
分析：将直角梯形ABCD 绕BC 旋转一周所得的几何体是由相同底面的圆柱和圆锥组成的，所得几何体的表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面积三者之和。
解：作DH ⊥BC 于H ，所以DH ＝AB ＝2 CH ＝BC －BH ＝BC －AD ＝7－3＝4 在△CDH 中，
所以
例5. （2003. 宁波）已知扇形的圆心角为120°，面积为300平方厘米 （1）求扇形的弧长。
（2）若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积是多少？
分析：（1）由扇形面积公式
，可得扇形半径R ，扇形的弧长可由弧长
公式求得。（2）由此扇形卷成的圆锥如图所示，这个圆锥的轴截面为等腰三角形ABC ，（1）问中求得的弧长是这个圆锥的底面圆周长，而圆周长公式为C ＝2r ，底面圆半径r 即CD 的长可求，圆锥的高AD 可在Rt △ADC 中求得，所以
解：（1）设扇形的半径为R ，
可求。
由，得，解得R ＝30.
所以扇形的弧长（厘米）。
（2）如图所示，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝R ＝30，BC ＝2r ，底面圆周长C ＝2r ，因为底面圆周长即为扇形的弧长，所以
在Rt △ADC 中，高AD ＝所以轴截面面积
（平方厘米）。
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
一、选择题
1. 若一个扇形的圆心角是45°，面积为2л，则这个扇形的半径是（ ） A. 4 B. 2 C. 47л D. 2л
2. 扇形的圆心角是60°，则扇形的面积是所在图面积的（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 扇形的面积等于其半径的平方，则扇形的圆心角是（ ）
A. 90° B. C. D.180°
4. 两同心圆的圆心是O ，大圆的半径是以OA ，OB 分别交小圆于点M ， N ．已知大圆半径是小圆半径的3倍，则扇形OAB 的面积是扇形OMN 的面积的（ ）
A. 2倍 B. 3倍 C. 6倍 D. 9倍
5. 半圆O 的直径为6cm ，∠BAC ＝30°，则阴影部分的面积是（ ） A.
C.
B. D.
6 用一个半径长为 6cm 的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径为（ ） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 6cm
7. 圆锥的全面积和侧面积之比是3 ：2，这个圆锥的轴截面的顶角是（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°
8. 已知两个母线相等的圆锥的侧面展开图恰好能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1∶2，则它们的高之比为（ ）
A. 2：1 B. 3：2 C. 2： D. 5：
9. 如图，在△ABC 中，∠C ＝Rt ∠，AC > BC，若以AC 为底面圆半径，BC 为高的圆锥的侧面积为S 1，以BC 为底面圆半径，AC 为高的圆锥的侧面积为S 2，则（ ）
A. S1＝S 2 B. S1 > S2 C. S1
二、填空题
1. 扇形的弧长是12лcm ，其圆心角是90°，则扇形的半径是 cm ，扇形的面积是 cm 2.
2. 扇形的半径是一个圆的半径的3倍，且扇形面积等于圆面积，则扇形的圆心角是 . 3. 已知扇形面积是12cm 2，半径为8cm ，则扇形周长为 .
4 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，∠A ＝90°，把Rt △ABC 绕直线AC 旋转一周得到一
个圆锥，其全面积为S 1；把Rt △ABC 绕AB 旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S 2，则S 1： S 2＝ 。
5. 一个圆柱形容器的底面直径为2cm ，要用一块圆心角为240°的扇形铁板做一个圆锥形的盖子，做成的盖子要能盖住圆柱形容器，这个扇形的半径至少要有 cm 。 6. 如图，扇形AOB 的圆心角为60°，半径为6cm ，C ，D 分别是影部分的面积是 。
的三等分点，则阴
7. 如图正方形的边长为2，分别以正方形的两个对角顶点为圆心，以2为半径画弧，则阴影部分面积为 。
三、计算题
1. 如图，在Rt △ABC 中，AC ＝BC ，以A 为圆心画弧，交AB 于点D ，交AC 延长线于点F ，交BC 于点E ，若图中两个阴影部分的面积相等，求AC 与AF 的长度之比（л取3）。
2. 一个等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）的侧面积是S 1，另一个圆锥的侧面积是S 2，如果圆锥和圆柱等底等高，求．
3. 圆锥的底面半径是R ，母线长是3R ，M 是底面圆周上一点，从点M 拉一根绳子绕圆锥一圈，再回到M 点，求这根绳子的最短长度．
【试题答案】
一、选择题 1. A 2. B 3. C 4. D 5. B 6. B 7. B 8. C 9. B
二、填空题
1、24 1442、40° 3、19cm 4、3：4 5、3 6、2 7、2－4
三、计算题 1、连接AE ，则
，所以
2、
3、连接展开图的两个端点MM' ，即是最短长度。
利用等量关系得出∠MAM ′＝120°，∠AMD ＝30°，AD ＝
，
圆弧计算公式及运用
一. 教学内容：
弧长及扇形的面积 圆锥的侧面积
二. 教学要求
1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。 2、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。
三. 重点及难点 重点：
1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。
2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。 难点：
1、弧长公式、扇形面积公式的推导。 2、圆锥的侧面积、全面积的计算。
［知识要点］
知识点1、弧长公式
因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C ＝2R ，所以1
°的圆心角所对的弧长是
，于是可得半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式：，
说明：（1）在弧长公式中，n 表示1°的圆心角的倍数，n 和180都不带单位“度”，例如，圆的半径R ＝10，计算20°的圆心角所对的弧长l 时，不要错写成
（2）在弧长公式中，已知l ，n ，R 中的任意两个量，都可以求出第三个量。
。
知识点2、扇形的面积
如图所示，阴影部分的面积就是半径为R ，圆心角为n °的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积为1°的扇形面积是
又因为扇形的弧长的另一个计算公式：
，由此得圆心角为n °的扇形面积的计算公式是
，扇形面积。
，所以圆心角
。
，所以又得到扇形面积
知识点3、弓形的面积
（1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。 （2）弓形的周长＝弦长＋弧长 （3）弓形的面积
如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形OAmB 的面积和△AOB 的面积计算出来，就可以得到弓形AmB 的面积。
当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示，当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示，
当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示，
例：如图所示，⊙O 的半径为2，∠ABC ＝45°，则图中阴影部分的面积是 （ ）（结果用表示）
分析：由图可知由圆周角定理可知∠ABC
＝∠AOC ＝2∠ABC ＝90°，所以△OAC 是直角三角形，所以
，
所以
∠AOC ，所以
（2）扇形与弓形的联系与区别
知识点4、圆锥的侧面积
圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r ，那么这个扇形的半径为l ，扇形的弧长为2面积
，圆锥的侧面积
，圆锥的全
说明：（1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。
（2）研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。 知识点5、圆柱的侧面积
圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长，若圆柱的底面半径为r ，高为h ，则圆柱的侧面
积
，圆柱的全面
积
知识小结：
【典型例题】
例1. （2003. 辽宁）如图所示，在同心圆中，两圆的半径分别为2，1，∠AOB ＝120°，则阴影部分的面积是（ ）
A.
B.
C. D. 分析：阴影部分所在的两个扇形的圆心角为所以
故答案为：B.
，
例2. （2004·陕西）如图所示，点C 在以AB 为直径的半圆上，连接AC ，BC ，AB ＝10厘米，tan ∠BAC ＝
，求阴影部分的面积。
分析：本题考查的知识点有：（1）直径所对圆周角为90°，（2）解直角三角形的知识（3）组合图形面积的计算。
解：因为AB 为直径，所以∠ACB ＝90°，
在Rt △ABC 中，AB ＝10， tan ∠BAC ＝，而tan ∠BAC ＝设BC ＝3k ，AC ＝4k ，（k 不为0，且为正数） 由勾股定理得所以BC ＝6，AC ＝8，所以
例3. （2003. 福州）如图所示，已知扇形AOB 的圆心角为直角，正方形OCDE 内接于扇形AOB ，点C ，E ，D 分别在OA ，OB 及AB 弧上，过点A 作AF ⊥ED 交ED 的延长线于F ，垂足为F ，如果正方形的边长为1，那么阴影部分的面积为（ ）
，而
分析：连接OD ，由正方形性质可知∠EOD ＝∠DOC ＝45°，在Rt △OED 中，OD
＝
，
因为正方形的边长为1，所以OE ＝DE ＝1，所以
，设两部分阴影的面积中的
一部分为M ，另一部分为N ，则，阴影部分面积可求，但这种方法较麻烦，用割补法解此题较为简单，设一部分空白面积为P ，
因为∠BOD ＝∠DOC ，所以
所以M ＝P ，所以
答案：
例4. 如图所示，直角梯形ABCD 中，∠B ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝2，BC ＝7，AD ＝3，以BC 为轴把直角梯形ABCD 旋转一周，求所得几何体的表面积。
。
分析：将直角梯形ABCD 绕BC 旋转一周所得的几何体是由相同底面的圆柱和圆锥组成的，所得几何体的表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面积三者之和。
解：作DH ⊥BC 于H ，所以DH ＝AB ＝2 CH ＝BC －BH ＝BC －AD ＝7－3＝4 在△CDH 中，
所以
例5. （2003. 宁波）已知扇形的圆心角为120°，面积为300平方厘米 （1）求扇形的弧长。
（2）若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积是多少？
分析：（1）由扇形面积公式
，可得扇形半径R ，扇形的弧长可由弧长
公式求得。（2）由此扇形卷成的圆锥如图所示，这个圆锥的轴截面为等腰三角形ABC ，（1）问中求得的弧长是这个圆锥的底面圆周长，而圆周长公式为C ＝2r ，底面圆半径r 即CD 的长可求，圆锥的高AD 可在Rt △ADC 中求得，所以
解：（1）设扇形的半径为R ，
可求。
由，得，解得R ＝30.
所以扇形的弧长（厘米）。
（2）如图所示，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝R ＝30，BC ＝2r ，底面圆周长C ＝2r ，因为底面圆周长即为扇形的弧长，所以
在Rt △ADC 中，高AD ＝所以轴截面面积
（平方厘米）。
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
一、选择题
1. 若一个扇形的圆心角是45°，面积为2л，则这个扇形的半径是（ ） A. 4 B. 2 C. 47л D. 2л
2. 扇形的圆心角是60°，则扇形的面积是所在图面积的（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 扇形的面积等于其半径的平方，则扇形的圆心角是（ ）
A. 90° B. C. D.180°
4. 两同心圆的圆心是O ，大圆的半径是以OA ，OB 分别交小圆于点M ， N ．已知大圆半径是小圆半径的3倍，则扇形OAB 的面积是扇形OMN 的面积的（ ）
A. 2倍 B. 3倍 C. 6倍 D. 9倍
5. 半圆O 的直径为6cm ，∠BAC ＝30°，则阴影部分的面积是（ ） A.
C.
B. D.
6 用一个半径长为 6cm 的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径为（ ） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 6cm
7. 圆锥的全面积和侧面积之比是3 ：2，这个圆锥的轴截面的顶角是（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°
8. 已知两个母线相等的圆锥的侧面展开图恰好能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1∶2，则它们的高之比为（ ）
A. 2：1 B. 3：2 C. 2： D. 5：
9. 如图，在△ABC 中，∠C ＝Rt ∠，AC > BC，若以AC 为底面圆半径，BC 为高的圆锥的侧面积为S 1，以BC 为底面圆半径，AC 为高的圆锥的侧面积为S 2，则（ ）
A. S1＝S 2 B. S1 > S2 C. S1
二、填空题
1. 扇形的弧长是12лcm ，其圆心角是90°，则扇形的半径是 cm ，扇形的面积是 cm 2.
2. 扇形的半径是一个圆的半径的3倍，且扇形面积等于圆面积，则扇形的圆心角是 . 3. 已知扇形面积是12cm 2，半径为8cm ，则扇形周长为 .
4 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，∠A ＝90°，把Rt △ABC 绕直线AC 旋转一周得到一
个圆锥，其全面积为S 1；把Rt △ABC 绕AB 旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S 2，则S 1： S 2＝ 。
5. 一个圆柱形容器的底面直径为2cm ，要用一块圆心角为240°的扇形铁板做一个圆锥形的盖子，做成的盖子要能盖住圆柱形容器，这个扇形的半径至少要有 cm 。 6. 如图，扇形AOB 的圆心角为60°，半径为6cm ，C ，D 分别是影部分的面积是 。
的三等分点，则阴
7. 如图正方形的边长为2，分别以正方形的两个对角顶点为圆心，以2为半径画弧，则阴影部分面积为 。
三、计算题
1. 如图，在Rt △ABC 中，AC ＝BC ，以A 为圆心画弧，交AB 于点D ，交AC 延长线于点F ，交BC 于点E ，若图中两个阴影部分的面积相等，求AC 与AF 的长度之比（л取3）。
2. 一个等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）的侧面积是S 1，另一个圆锥的侧面积是S 2，如果圆锥和圆柱等底等高，求．
3. 圆锥的底面半径是R ，母线长是3R ，M 是底面圆周上一点，从点M 拉一根绳子绕圆锥一圈，再回到M 点，求这根绳子的最短长度．
【试题答案】
一、选择题 1. A 2. B 3. C 4. D 5. B 6. B 7. B 8. C 9. B
二、填空题
1、24 1442、40° 3、19cm 4、3：4 5、3 6、2 7、2－4
三、计算题 1、连接AE ，则
，所以
2、
3、连接展开图的两个端点MM' ，即是最短长度。
利用等量关系得出∠MAM ′＝120°，∠AMD ＝30°，AD ＝
，