第三章电容第二节电容器的充电和放电

第三节 电容器的充电和放电

一、电容器的充电

充电过程中，随着电容器两极板上所带的电荷量的增加，电容器两端电压逐渐增大，充电电流逐渐减小，当充电结束时，电流为零，电容器两端电压

UC = E

二、电容器的放电

放电过程中，随着电容器极板上电量的减少，电容器两端电压逐渐减小，放电电流也逐渐减小直至为零，此时放电过程结束。

三、电容器充放电电流

充放电过程中，电容器极板上储存的电荷发生了变化，电路中有电流产生。其电流大小为

q it

由qCuC，可得 qCuC。所以

uCq Ctt

需要说明的是，电路中的电流是由于电容器充放电形成的，并非电荷直接通过了介质。 。

四. 电容器中的电场能量 i

1、电容器中的电场能量

(1)．能量来源

电容器在充电过程中，两极板上有电荷积累，极板间形成电场。电场具有能量，此能量是从电源吸取过来储存在电容器中的。

(2)．储能大小的计算

电容器充电时，极板上的电荷量q逐渐增加，两板间电压uC也在逐渐增加，电压与电荷量成正比，即 q = CuC，如图4-6所示。

把充入电容器的总电量q分成许多小等份，每一等

份的电荷量为 q表示在某个很短的时间内电容器极板

上增加的电量，在这段时间内，可认为电容器两端的电

压为uC，此时电源运送电荷做功为

WCuCq 即为这段时间内电容器所储存的能量增加的数值。 图4-6 uC—q关系 当充电结束时，电容器两极板间的电压达到稳定值UC，

此时，电容器所储存的电场能量应为整个充电过程中电源运送电荷所做的功之和，即把图中每一小段所做的功都加起来。利用积分的方法可得

112WCqUCCUC 22

式中，电容C的单位为F，电压UC的单位为V，电荷量q的单位为C，能量的单位为J。 电容器中储存的能量与电容器的电容成正比，与电容器两极板间电压的平方成正比。

2、电容器在电路中的作用

当电容器两端电压增加时，电容器从电源吸收能量并储存起来；当电容器两端电压降低时，电容器便把它原来所储存的能量释放出来。即电容器本身只与电源进行能量交换，而并不损耗能量，因此电容器是一种储能元件。

实际的电容器由于介质漏电及其他原因，也要消耗一些能量，使电容器发热，这种能量消耗称为电容器的损耗。

(附)电容元件

电路理论中的电容元件是实际电容器的理想化模型，它具有储存电场能量这一电磁性质的元件。

1．电容元件的定义

一个二端元件，如果在任一时刻t，它的电荷q(t)同它的端电压u(t)之间的关系可以用q-u平面上的一条曲线来确定，则此二端元件称为电容元件。在某一时刻t，q(t)和u(t)所取的值分别称为电荷和电压在该时刻的瞬时值。因此，我们说电容元件的电荷瞬时值与电压瞬时值之间存在着一种代数关系。电容元件的符号如图1.7所示。在讨论q(t)与u(t)的关系（库伏特性）时，采用关联的参考方向，即在假定为正电位的极板上电荷也假定为正。把q(t)标注在假定为正电荷的极板侧，即标注在假定为正电位的极板侧。图1.7所示即为关联参考方向。

如果q-u平面的曲线是一条通过原点的直线，且不随时间而变化，则此电容元件称之为线性非时变电容元件，亦即

q(t)=Cu(t) (1.10)

式中C为正值常数，它是用来度量特性曲线斜率的，称之为电容。习惯上，常把电容元件简称为电容，且如不加申明，电容都系指线性非时变电容。在国际单位制中，电容在SI单位制中为法拉(F)，也常用微法（μF）和皮法（pF），1μF =106F，1pF=109F。

实际的电容器除了具有上述的存贮电荷的主要性质外，还有一些漏电现象。这是由于电容中的介质不是理想的，多少有点导电能力的缘故。在这种情况下，电容器的模型中除了上述的电容元件外，还应附加电阻元件。每一个电容器允许承受的电压是有限的，电压过高，介质就会被击穿。所以使用电容器时不应超过它的额定工作电压。

2．电容元件的伏安关系

电容是根据q-u关系来定义的，但在电路分析和电子技术中我们感兴趣的往往是元件的伏安关系。所以下边我们推导电容的伏安关系。

设图1.7中的电流i(t)的参考方向箭头指向标注q(t)的正极板，这就意味着当i(t)为正值时，正电荷向这一极板聚集，因而电荷q(t)的变化率为正。于是，我们有

设电压u(t)和q(t)参考方向一致，则对线性电容，得

q(t)=Cu(t) (1.12)

以(1.11)式代入(1.12)式得

式(1.13)为电容的伏安关系，其中涉及对电压的微分，表明在某一时刻电容的电流取决于电容电压的变化率。如果电压不变化， du/dt等于零，虽有电压，但电流为零。因此，电容有隔离直流的作用。这与电阻元件是不相同的，电阻两端有电压(无论其是否变化)，电阻中就一定有电流。

应当注意，若u和i的参考方向不一致，则

我们也可以通过简单的数学变换把电容的电压u表示为电流i的函数，对(1-13)式积分可得

如果只需了解在某一任意选定的初始时刻t0以后电容电流的情况，上式写为

3．电容的性质

式(1.15)表明在某一时刻t的电容电压的数值并不取决于该时刻的电流大小，而是取决于从-∞到t所有时刻的电流值，也就是说与电流过去的历史有关。式(1.15)和式(1.16)反映电容的两个重要性质，即电容电压的连续性质和记忆性质。

电容电压的连续性质可表述为电容电压不能跃变，即

uC(t－)=uC(t+)

t－表示时刻t的前一瞬时；t+表示时刻t的后一瞬时。电容电压的记忆性质是指某一时刻电容的电压值取决于过去电容的电流值。因此，电容是一种记忆元件。

4．电容元件的贮能公式

设在t1到t2期间对电容C充电，电容电压为u(t)，电流为i(t)，则在此期间供给电容的能量为

上式也可改写为

由上式可见：在t1到t2期间供给电容的能量只与时间端点的电值u(t1)和u(t2)有关，与在此期间其它电压无关。(例1.5)

第三节 电容器的充电和放电

一、电容器的充电

充电过程中，随着电容器两极板上所带的电荷量的增加，电容器两端电压逐渐增大，充电电流逐渐减小，当充电结束时，电流为零，电容器两端电压

UC = E

二、电容器的放电

放电过程中，随着电容器极板上电量的减少，电容器两端电压逐渐减小，放电电流也逐渐减小直至为零，此时放电过程结束。

三、电容器充放电电流

充放电过程中，电容器极板上储存的电荷发生了变化，电路中有电流产生。其电流大小为

q it

由qCuC，可得 qCuC。所以

uCq Ctt

需要说明的是，电路中的电流是由于电容器充放电形成的，并非电荷直接通过了介质。 。

四. 电容器中的电场能量 i

1、电容器中的电场能量

(1)．能量来源

电容器在充电过程中，两极板上有电荷积累，极板间形成电场。电场具有能量，此能量是从电源吸取过来储存在电容器中的。

(2)．储能大小的计算

电容器充电时，极板上的电荷量q逐渐增加，两板间电压uC也在逐渐增加，电压与电荷量成正比，即 q = CuC，如图4-6所示。

把充入电容器的总电量q分成许多小等份，每一等

份的电荷量为 q表示在某个很短的时间内电容器极板

上增加的电量，在这段时间内，可认为电容器两端的电

压为uC，此时电源运送电荷做功为

WCuCq 即为这段时间内电容器所储存的能量增加的数值。 图4-6 uC—q关系 当充电结束时，电容器两极板间的电压达到稳定值UC，

此时，电容器所储存的电场能量应为整个充电过程中电源运送电荷所做的功之和，即把图中每一小段所做的功都加起来。利用积分的方法可得

112WCqUCCUC 22

式中，电容C的单位为F，电压UC的单位为V，电荷量q的单位为C，能量的单位为J。 电容器中储存的能量与电容器的电容成正比，与电容器两极板间电压的平方成正比。

2、电容器在电路中的作用

当电容器两端电压增加时，电容器从电源吸收能量并储存起来；当电容器两端电压降低时，电容器便把它原来所储存的能量释放出来。即电容器本身只与电源进行能量交换，而并不损耗能量，因此电容器是一种储能元件。

实际的电容器由于介质漏电及其他原因，也要消耗一些能量，使电容器发热，这种能量消耗称为电容器的损耗。

(附)电容元件

电路理论中的电容元件是实际电容器的理想化模型，它具有储存电场能量这一电磁性质的元件。

1．电容元件的定义

一个二端元件，如果在任一时刻t，它的电荷q(t)同它的端电压u(t)之间的关系可以用q-u平面上的一条曲线来确定，则此二端元件称为电容元件。在某一时刻t，q(t)和u(t)所取的值分别称为电荷和电压在该时刻的瞬时值。因此，我们说电容元件的电荷瞬时值与电压瞬时值之间存在着一种代数关系。电容元件的符号如图1.7所示。在讨论q(t)与u(t)的关系（库伏特性）时，采用关联的参考方向，即在假定为正电位的极板上电荷也假定为正。把q(t)标注在假定为正电荷的极板侧，即标注在假定为正电位的极板侧。图1.7所示即为关联参考方向。

如果q-u平面的曲线是一条通过原点的直线，且不随时间而变化，则此电容元件称之为线性非时变电容元件，亦即

q(t)=Cu(t) (1.10)

式中C为正值常数，它是用来度量特性曲线斜率的，称之为电容。习惯上，常把电容元件简称为电容，且如不加申明，电容都系指线性非时变电容。在国际单位制中，电容在SI单位制中为法拉(F)，也常用微法（μF）和皮法（pF），1μF =106F，1pF=109F。

实际的电容器除了具有上述的存贮电荷的主要性质外，还有一些漏电现象。这是由于电容中的介质不是理想的，多少有点导电能力的缘故。在这种情况下，电容器的模型中除了上述的电容元件外，还应附加电阻元件。每一个电容器允许承受的电压是有限的，电压过高，介质就会被击穿。所以使用电容器时不应超过它的额定工作电压。

2．电容元件的伏安关系

电容是根据q-u关系来定义的，但在电路分析和电子技术中我们感兴趣的往往是元件的伏安关系。所以下边我们推导电容的伏安关系。

设图1.7中的电流i(t)的参考方向箭头指向标注q(t)的正极板，这就意味着当i(t)为正值时，正电荷向这一极板聚集，因而电荷q(t)的变化率为正。于是，我们有

设电压u(t)和q(t)参考方向一致，则对线性电容，得

q(t)=Cu(t) (1.12)

以(1.11)式代入(1.12)式得

式(1.13)为电容的伏安关系，其中涉及对电压的微分，表明在某一时刻电容的电流取决于电容电压的变化率。如果电压不变化， du/dt等于零，虽有电压，但电流为零。因此，电容有隔离直流的作用。这与电阻元件是不相同的，电阻两端有电压(无论其是否变化)，电阻中就一定有电流。

应当注意，若u和i的参考方向不一致，则

我们也可以通过简单的数学变换把电容的电压u表示为电流i的函数，对(1-13)式积分可得

如果只需了解在某一任意选定的初始时刻t0以后电容电流的情况，上式写为

3．电容的性质

式(1.15)表明在某一时刻t的电容电压的数值并不取决于该时刻的电流大小，而是取决于从-∞到t所有时刻的电流值，也就是说与电流过去的历史有关。式(1.15)和式(1.16)反映电容的两个重要性质，即电容电压的连续性质和记忆性质。

电容电压的连续性质可表述为电容电压不能跃变，即

uC(t－)=uC(t+)

t－表示时刻t的前一瞬时；t+表示时刻t的后一瞬时。电容电压的记忆性质是指某一时刻电容的电压值取决于过去电容的电流值。因此，电容是一种记忆元件。

4．电容元件的贮能公式

设在t1到t2期间对电容C充电，电容电压为u(t)，电流为i(t)，则在此期间供给电容的能量为

上式也可改写为

由上式可见：在t1到t2期间供给电容的能量只与时间端点的电值u(t1)和u(t2)有关，与在此期间其它电压无关。(例1.5)