四法求二面角
二面角是高考的热点内容之一，求二面角的大小应先作出它的平面角，下面介绍作二面角的平面角四种方法：定义法、垂面法、三垂线定理法、射影面积法。
（1）定义法——在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。注：o 点在棱上，用定义法。
(2)垂线法（三垂线定理法）——利用三垂线定理作出平面角，通过解直角三角形求角的大小。注：o 点在一个半平面上，用三垂线定理法。
l
A
图3
(3)垂面法——通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角。注：点O 在二面角内，用垂面法。
O
B
l
图5
(4)射影面积法——若多边形的面积是S ，它在一个平面上的射影图形面积是S`，则二面角θ的大小为COS θ= S`÷ S
例1
如图1-125，PC ⊥平面ABC ，AB ＝BC=CA＝PC ，求二面角B －PA －C 的平面角的正切值。（三垂线定理法）
分析 由PC ⊥平面ABC ，知平面ABC ⊥平面PAC ，从而B 在平面PAC 上的射影在AC 上，由此可用三垂线定理作出二面角的平面角。
解 ∵ PC⊥平面ABC
∴ 平面PAC ⊥平面ABC ，交线为AC 作BD ⊥AC 于D 点，据面面垂直性质定理，BD ⊥平面PAC ，作DE ⊥PA 于E ，连BE ，据三垂线定理，则BE ⊥PA ，从而∠BED 是二面角B －PA －C 的平面角。
设PC ＝a ，依题意知三角形ABC 是边长为a 的正三角形，∴ D是
∵PC = CA=a，∠PCA=90°，∴ ∠PAC ＝45°∴ 在Rt △
DEA
评注 本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后，再用解三角形的方法来求解。
例2 在60°二面角M －a －N 内有一点P ，P 到平面M 、平面N 的距离分别为1和2，求点P 到直线a 的距离。（图1－126）（垂面法）
分析 设PA 、PB 分别为点P 到平面M 、N 的距离，过PA 、PB 作平面α，分别交M 、N 于AQ 、BQ.
同理，有PB ⊥a ，
∵ PA∩PB=P，
∴ a⊥面PAQB 于Q
又 AQ、BQ
平面PAQB
∴ AQ⊥a ，BQ ⊥a.
∴ ∠AQB 是二面角M －a －N 的平面角。
∴ ∠AQB ＝60°
连PQ ，则PQ 是P 到a 的距离，在平面图形PAQB 中，有
∠PAQ ＝∠PBQ=90°
∴ P、A 、Q 、B 四点共圆，且PQ 是四边形PAQB 的外接圆的直径2R
在△PAB 中，∵ PA=1，PB=2，∠BPA ＝180°-60°=120°，由余弦定理得
AB2＝1＋4-2×1×2cos120°＝7
由正弦定理：
评注 本例题中，通过作二面角的棱的垂面，找到二面角的平面角。
例3 如图在三棱锥 S-ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交 AC 、SC 于D 、E ，又SA =AB，BS =BC， 求以BD 为棱，BDE 与BDC 为面的二面角的度（定义法） 数。
解：∵ BS =BC，又DE 垂直平分
SC
∴ BE⊥SC ，SC ⊥面BDE ∴ BD⊥SC ，又SA ⊥面ABC ∴ SA⊥BD ，BD ⊥面SAC
∴ BD⊥DE ，且BD ⊥DC （定义法） 则 ∠EDC 就是所要求的平面角 设 SA =AB =a，
则 BC =SB =2a 且 AC = 易证 △SAC ∽△DEC
3
∴ ∠CDE =∠SAC =60°
例4如图△ABC 与△BCD 所在平面垂直，且AB =BC =BD，∠ABC =∠DBC =120，求二面角 A-BD-C 的余弦值。（补棱法和射影面积法） 解：过 A 作 AE ⊥CB 的延长线于E ， 连结 DE ， ∵ 面ABC ⊥面BCD ∴ AE⊥面BCD
∴ E点即为点A 在面BCD 内的射影
C
∴ △EBD 为△ABD 在面BCD 内的射影
设 AB =a 则AE =DE =ABsin60°=
a 2
∴ AD =
61cos ∠ABD =， 24
4
∴ sin∠ABD =
∴ S ∆ABD =
1122
a ×=a 又 BE =a 24821132⋅a ⋅a =a 2228
∴ S ∆BDE =
∴ cos θ=
S ∆BDE =
S ∆ABD 5
考虑到我们求的是二面角 A-BD-E ，而二面角 A-BD-C 与A-BD-C 互补
∴ 二面角 A-BD-C 的余弦值为−
5
。 5
例5. 已知正方体 AC' ，M 、N 分别是BB' ，DD' 的中点，求截面 AMC'N 与面ABCD ，（射影面积法） CC'D'D 所成的角。
解：设边长为a ，易证 ANC'M 是菱形 且MN =2a ，AC' =3a ∴Ｓ□AMC'N = MN ⋅
A’
A
∴ Ｓ□ABCD =a ∴ cos θ1=
2
C’
162
AC ' =a 22
由于AMC'N 在面ABCD 上的射影即 为正方形ABCD
C a 22a 2
=
3
∴ θ1=arccos
6 3
取CC' 的中点M' ，连结DM'
则平行四边形DM'C'N 是四边形AMC'N 在CC'D'D 上的射影，
12a 212a
∴ cos θ2= =662
a 2
Ｓ□DM'C'M =
∴θ2=arccos
6
四法求二面角
二面角是高考的热点内容之一，求二面角的大小应先作出它的平面角，下面介绍作二面角的平面角四种方法：定义法、垂面法、三垂线定理法、射影面积法。
（1）定义法——在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。注：o 点在棱上，用定义法。
(2)垂线法（三垂线定理法）——利用三垂线定理作出平面角，通过解直角三角形求角的大小。注：o 点在一个半平面上，用三垂线定理法。
l
A
图3
(3)垂面法——通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角。注：点O 在二面角内，用垂面法。
O
B
l
图5
(4)射影面积法——若多边形的面积是S ，它在一个平面上的射影图形面积是S`，则二面角θ的大小为COS θ= S`÷ S
例1
如图1-125，PC ⊥平面ABC ，AB ＝BC=CA＝PC ，求二面角B －PA －C 的平面角的正切值。（三垂线定理法）
分析 由PC ⊥平面ABC ，知平面ABC ⊥平面PAC ，从而B 在平面PAC 上的射影在AC 上，由此可用三垂线定理作出二面角的平面角。
解 ∵ PC⊥平面ABC
∴ 平面PAC ⊥平面ABC ，交线为AC 作BD ⊥AC 于D 点，据面面垂直性质定理，BD ⊥平面PAC ，作DE ⊥PA 于E ，连BE ，据三垂线定理，则BE ⊥PA ，从而∠BED 是二面角B －PA －C 的平面角。
设PC ＝a ，依题意知三角形ABC 是边长为a 的正三角形，∴ D是
∵PC = CA=a，∠PCA=90°，∴ ∠PAC ＝45°∴ 在Rt △
DEA
评注 本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后，再用解三角形的方法来求解。
例2 在60°二面角M －a －N 内有一点P ，P 到平面M 、平面N 的距离分别为1和2，求点P 到直线a 的距离。（图1－126）（垂面法）
分析 设PA 、PB 分别为点P 到平面M 、N 的距离，过PA 、PB 作平面α，分别交M 、N 于AQ 、BQ.
同理，有PB ⊥a ，
∵ PA∩PB=P，
∴ a⊥面PAQB 于Q
又 AQ、BQ
平面PAQB
∴ AQ⊥a ，BQ ⊥a.
∴ ∠AQB 是二面角M －a －N 的平面角。
∴ ∠AQB ＝60°
连PQ ，则PQ 是P 到a 的距离，在平面图形PAQB 中，有
∠PAQ ＝∠PBQ=90°
∴ P、A 、Q 、B 四点共圆，且PQ 是四边形PAQB 的外接圆的直径2R
在△PAB 中，∵ PA=1，PB=2，∠BPA ＝180°-60°=120°，由余弦定理得
AB2＝1＋4-2×1×2cos120°＝7
由正弦定理：
评注 本例题中，通过作二面角的棱的垂面，找到二面角的平面角。
例3 如图在三棱锥 S-ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交 AC 、SC 于D 、E ，又SA =AB，BS =BC， 求以BD 为棱，BDE 与BDC 为面的二面角的度（定义法） 数。
解：∵ BS =BC，又DE 垂直平分
SC
∴ BE⊥SC ，SC ⊥面BDE ∴ BD⊥SC ，又SA ⊥面ABC ∴ SA⊥BD ，BD ⊥面SAC
∴ BD⊥DE ，且BD ⊥DC （定义法） 则 ∠EDC 就是所要求的平面角 设 SA =AB =a，
则 BC =SB =2a 且 AC = 易证 △SAC ∽△DEC
3
∴ ∠CDE =∠SAC =60°
例4如图△ABC 与△BCD 所在平面垂直，且AB =BC =BD，∠ABC =∠DBC =120，求二面角 A-BD-C 的余弦值。（补棱法和射影面积法） 解：过 A 作 AE ⊥CB 的延长线于E ， 连结 DE ， ∵ 面ABC ⊥面BCD ∴ AE⊥面BCD
∴ E点即为点A 在面BCD 内的射影
C
∴ △EBD 为△ABD 在面BCD 内的射影
设 AB =a 则AE =DE =ABsin60°=
a 2
∴ AD =
61cos ∠ABD =， 24
4
∴ sin∠ABD =
∴ S ∆ABD =
1122
a ×=a 又 BE =a 24821132⋅a ⋅a =a 2228
∴ S ∆BDE =
∴ cos θ=
S ∆BDE =
S ∆ABD 5
考虑到我们求的是二面角 A-BD-E ，而二面角 A-BD-C 与A-BD-C 互补
∴ 二面角 A-BD-C 的余弦值为−
5
。 5
例5. 已知正方体 AC' ，M 、N 分别是BB' ，DD' 的中点，求截面 AMC'N 与面ABCD ，（射影面积法） CC'D'D 所成的角。
解：设边长为a ，易证 ANC'M 是菱形 且MN =2a ，AC' =3a ∴Ｓ□AMC'N = MN ⋅
A’
A
∴ Ｓ□ABCD =a ∴ cos θ1=
2
C’
162
AC ' =a 22
由于AMC'N 在面ABCD 上的射影即 为正方形ABCD
C a 22a 2
=
3
∴ θ1=arccos
6 3
取CC' 的中点M' ，连结DM'
则平行四边形DM'C'N 是四边形AMC'N 在CC'D'D 上的射影，
12a 212a
∴ cos θ2= =662
a 2
Ｓ□DM'C'M =
∴θ2=arccos
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