第22卷第6期电 网 技 术V ol. 22N o. 6
1998年6月Po wer System T echno lo gy Jun. 1998
基于原对偶内点法的电压无功功率优化
张元明
复旦大学计算机与网络信息中心, 200433 上海
王晓东 李乃湖
东南大学电气工程系, 210096 南京
VOLTAGE /REACTIVE POWER OPTIMZATION BASED ON PRIMAL -DUAL
INTERIOR POINT METHOD
Zhang Yuanming Fudan U niv ersity Shang hai , 200433China
ABSTRACT T his paper pr esent s a quadrat ic vo lt age /reac-tiv e po w er o pt imization method based o n a pat h-follow ing
prim al-dual interior po int alg or it hm. A pr edict or -cor recto r
, techno log y is applied in this algo rithm and a new metho d to
select t he co mput atio n st ep-size and to update t he bar r ier paramet er is developed. T his method can effectiv ely deal w ith inequality co nstr aints which is mor e impor tant in on -line vo ltag e -r eactiv e pow er o pt imization . T est in a pr act ical
pow er system demonstr ates that the dev elo ped method is ef-fect ive a nd accur ate.
KEY WORDS V oltage /r eact ive po wer optimizatio n Inte-rior point met ho d Pr edict or -cor recto r Bar r ier par ameter
Step size
摘要 文章以电压无功优化的二次规划模型为基础, 对原对偶内点法进行了扩展, 使之能处理电压无功优化控制中大量的不等式约束。文章提出了一种壁垒参数的选取方法和控制计算步长的策略, 并采用了一种有效的预测校正方法来提高算法的收敛性。
关键词 电压无功优化 原对偶内点法 预测校正 壁垒参数 迭代步长
Wang Xiaodong Li Naihu Southeast U niv ersity Nanjing , 210096China
功优化控制中的大量不等式约束。线性规划法也是一种较快的优化方法, 但由于通常在电压无功优化控制中, 以网损作为目标函数的极度的不可分离特性, 使得该法不能有效地用于电压无功优化控制。综上所述, 由于电压无功优化问题具有高度非线性以及在实际应用时必须计及大量不等式约束条件等特点, 因此现有方法尚不能有效地处理这一问题。
自Karmarkar 于1984年提出具有多项式时间可解性的线性规划内点算法以来, 不断提出各种不同类型的内点法, 如投影尺度法、仿射尺度法、路径跟随法等。它们的主要优点是计算时间对问题的规模不敏感, 不会随着问题规模的增大而显著增加, 且有很好的收敛特性。这些特性显示了内点法的强大吸引力。在过去的几年中, 内点法已被用于求解电力系统的状态估计、经济调度和优化潮流等问题。文[3]～[5]应用仿射变换内点法解决无功优化问题, 但是它们都采用了线性目标函数, 由于其精度不够, 要多次重复迭代优化过程, 从而降低了计算效率。文[6]提出了一种基于原对偶路径跟随内点法的电力系统优化算法, 文[7]解决最优潮流问题也引入了原对偶路径跟随法, 但这两篇文章都没有对函数不等式约束进行讨论。本文提出一个可处理大量不等式函数约束、以网损的二次规划模型为目标函数的原对偶路径跟随算法模型, 用于求解电压无功功率优化控制问题。为此, 本文首先对原对偶内点法进行了扩展, 使之能够处理函数不等式约束, 在此基础上, 构造新的壁垒参数, 提出新的步长控制策略, 并提出有效的预测校正方法, 从而提高了用原对偶内点法求解电压无功优化控制问题的收敛性。该方法在实际电力系统中的应用表明, 原对偶内点法可有效地[2]
1 引言
随着电力系统的不断发展, 特别是联网的加强, 使得电力系统中电压无功功率优化控制的重要性越
来越为突出。电压无功优化控制在数学上表现为一带有非线性约束的大规模优化问题。电力系统中控制手段和约束条件的日益增加对优化问题的求解提出了越来越高的要求。多年来, 国内外学者对此开展了大量的研究工作, 提出了一系列的优化算法。其中比较成熟的有:Dom mel-Tinny 的简化梯度法、二次规划法、牛顿法和线性规划法。简化梯度法对罚函数和梯度步长的选取要求严格, 收敛慢, 且不能有效地处理函数不等式约束。二次规划法尽管精确和可靠, 但其计算时间随变量和约束条件数目的增加而急剧增长, 在求临界可行问题时会导致不收敛。牛顿法具有快速的特点, 但尚不能有效地处理电压无
[1]
第22卷第6期电 网 技 术
43
2 基于原对偶内点法的电压无功优化模型
电压无功功率优化控制的数学模型常以网损为目标函数, 并考虑一系列的电流、电压和控制变量本身的不等式约束。通过在初始运行点附近线性化, 可得以二次型表示的电压无功优化控制的标准型为
T T
min f (x ) =c x +x Qx (1-a)
2
s. t. A x ≤b (1-b)
0≤x ≤h
(1-c)
为便于处理不等式约束, 可在式(1-b) 中引入松弛变量使之成为等式约束。为使在迭代过程中的解总是保持为“内点”, 即在可行域里面而不到达边界, 可通过势推方法或壁垒函数来实现。迄今为止的研究表明, 壁垒函数法是最为有效的。在原目标函数中施加一个对数壁垒函数后, 得到如下形式的扩展问题:
m
n
利用牛顿法, 可以得到如下的线性方程组:
T
Q $x +A $y h +$y x -$z =-F x 0
A $x +$S h =-F y h 0$x +$S x =-F y x 0
[S h ]$y h +[y h ]$S h =-F S h 0-[S x ]$y x +[y x ]$S x =-F S x 0-[x ]$z +[z ]$x =L e -[x ]z -[$y h ]$S h [$y x ]$S x [$x ]$z
(6-a ) (6-b) (6-c ) (6-d ) (6-e ) (6-f )
式中 F x 0、F y h 0、F y x 0、F S h 0、F S x 0为在初始点展开的值。求解方程组(6) 可得变量u 的偏差量。应用式(7)
u 长。
k +1
=u +A $u
k
(7)
可迭代求解原问题(1) 的最优解, 其中A 为迭代步
3 预测校正技术
由于在式(6-d) ～(6-f) 中含有变量偏差量$u 的二次项, 直接求解方程(6) 是十分困难和费时的, 但如果将其忽略显然会影响解的精度。为此, 本文引入一种预测校正方法。它的基本思想就是先略去方程中$u 的二次项得到一个近似系统, 解近似系统得出$u , 再将$u 代入原精确系统的右端项中, 作为对$u 二次项的估计, 从而得出较精确的$u 。按照这个思想, 先略去式(6-d) ～(6-f) 中的偏差量二次项, 可以得
$y h =[S h ]
-1
[8]
min F =f (x ) -L 61n(S h i ) -L 61n(S x i ) -i =1i =1
n
L 61n(x i ) i =1
s. t. A x +S h =b S h >0
(2-a) (2-b)
x +S x =h S x >0(2-c )
式中 L >0, L 称为壁垒参数, 在迭代过程中, 它应逐渐趋近于零; m 为函数不等式约束条件数; n 为控制变量数; S h 和S x 分别为函数不等式约束和变量不等式约束的松驰变量, 它们都应大于0。
对上述带有等式约束条件的优化问题(2) , 可对其用拉格朗日法处理。此时, 最优点所需满足的K-T 条件应为:F 对变量u , 即y h 、S h 、y x 、S x 、x 的偏导数等于零。因此, 有
F x =c +Qx +A T y h +y x -L =0
x
F y h =A x -S h -b =0F y x =x +S x -h =0F S h =[S h ]y h -L e =0F S x =[S x ]y x -L e =0
m
n
[y h ]A $x +[S h ]
-1
([y h ]F y h 0-F S h 0
(8-a)
$y x =[S x ]-1[y x ]$x +[S x ]-1([y x ]F y x 0-F S x 0
(8-b )
-1-1
$z =[x ](L e -[x ]z ) -[x ][z ]$x D $x =R
(8-c ) (8-d )
式中
(3-a) (3-b ) (3-c) (3-d) (3-e)
D =Q +A T [S h ]-1[y h ]A +[S h ]-1[y x ]+[x ]-1[z ]
(8-e )
T -1
R =-F x 0-A [S h ]([y h ]F y h 0-F S h 0) - [S x ]-1([y x ]F y x 0-F S x 0) +[x ]-1(L e -[x ]z )
(8-f)
解式(8) 得到$u , 将它代入式(6) , 可得
D $x =R 式中R =R +A [S h ]
′
T
-1
′
式中 y h ∈R 、y x ∈R 分别是等式约束条件(2-b) 、(2-c) 的拉格朗日乘子向量, 带符号[]的为对角阵, e 为单位阵。为求解方程组(3) , 进一步令:
L =z
x
并引入一附加方程:
](4) ((9-a)
[$y h ]$S h +
[S x ]-1[$y x ]$S x -[x ]-1[$x ]$z (9-b ) 这样, 求解式(9) 就可以得到校正后的偏差量$u 。因
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Po w er Sy st em T echno lo gy
1T 1
(z +A k $z ) (x +A k $x ) *
V ol . 22N o . 6
对比较少。事实上保留了偏差量的二次项而采用预
测校正方法后, 每次迭代中以较小的计算量换得了精度的提高。研究中的大量实践亦表明, 采用预测校正方法后的程序比不采用它的程序在计算收敛速度上有了较大的提高。
(16)
式中 gap 为求解近似方程组以前的对偶间隙; gap 为求解近似方程组以后的对偶间隙; d 为在区
间[0, 1]上的减幅因子, 以加速收敛性。
当gap 远小于gap *时, L 迅速减小; 而当两者相近时, 包括接近收敛时, L 的减小变缓。这正符合壁垒函数L 变化的要求。大量的计算表明, 上述控制策略是十分有效的。
综上所述, 应用原对偶内点法求解电压无功优化的计算步骤可概括如下:
¹初始化。为加速收敛, 宜选择一个初始内点, 使其满足所有约束条件。
º解近似系统式(8) 。
»计算壁垒参数以及估计非线性项。¼解精确系统式(9) 及相应方程。
½计算步长A , 迭代得到新解。¾收敛性检查。假如解满足收敛条件gap
和L
4 迭代步长和壁垒参数的确定
在内点算法中, 步长的确定和壁垒参数的修改
策略是至关重要的一环, 它直接影响着算法的收敛速度和收敛特性。针对本文引入的二次目标函数, 结合所使用的预测校正方法, 本文提出了一种新的步长和壁垒参数的控制策略。
与线性规划不同, 二次规划具有椭球等值面。沿着给定的方向移动有时可能先减少目标值, 但越过一个确定点后则会使目标值增加。因此, 对于二次规划, 确定适当的步长变得更为复杂。为此, 在选择步长上必须使得目标函数获得最大程度的减少, 且避免违背对u 的大于零的要求。换句话说, 必须考虑两
1
个中间的步长:一个记为A k , 是不违反u 的大于零要
2求的最大步长; 第二个记为A k , 是不使目标值增加的
4 算例
为验证本文所提方法的正确性和有效性, 分别应用12节点的模型系统和540节点的实际电力系统(华东电力系统) 的数据进行了无功电压优化计算。
计算中分别考虑了不同控制变量和边界条件数目。
图1给出了引入预测校正方法前后迭代次数与问题规模之间的关系。图2给出了收敛速度与问题规模之间的关系。图中, pdipa 代表未引入预测校正方法的算法, pcpdipa 代表引入了预测校正方法后的算法。问题的规模取
m +n , n 为控制变量数, m 为不
等式约束条件数目。结果表明, 与常规的单纯型方法不同, 原对偶内点法的迭代次数和计算时间不随问题规模而指数增加; 此外, 引入了预测校正方法以后比引入之前, 迭代次数明显减少, 计算时间也相应减少。
为了验证本文算法的正确性, 分别对应于不同网络的不同负荷情况, 与受到大量工程实践检验的基于二次规划法的电压无功优化程序进行了比较。表1给出了几组代表性的结果。
由表可见, 两种方法优化出来的目标函数是基本一致的。因此, 本文所提的基于预测校正技术的原对偶内点法有足够的精度。由于本文尚未引入稀疏技术, 在计算时间上同二次规划法相比还未能显示最大步长。而实际步长应该取二者中的最小值。这
1
样, A k 可由如下方法确定
A =min {u /(-$u ) , $u
2
k
k
k
1k
k i
k i
k i
(10)
为了确定A , 令x =x +A $x , 并估算在该点的目标函数的值为
z (a ) =(x k +A $x k ) T Q (x k +A $x k ) +
2
k
c T (x k +A (11) $x ) 求z 对A 的导数, 并令其为零, 可以求出
A k =-[($x ) (Qx +c ) ]/[($x ) Q $x ](12) 而最终采用的步长可取为
k =r ×m in{A k , A k }A
1
2
2
k
T
k
k T
k
(13)
式中 r 为避免到达边界而采用的一个安全系数, 本文中取为0. 995。
根据原对偶内点法的原理, 壁垒参数L 在迭代过程中必须趋近于零。因此必须选择合适的修正策略来逐步减小L 值。结合上述所采用的预测校正方法, 充分利用预测校正中所产生的中间结果, 利用下列方式确定壁垒参数:
2
L =gap *
2(n +m ) d
*T T T gap =y h S h +y x S x +z x
gap =(y h +A $y h ) (S h +A $S h ) +
1
y k y x k ) 1
k
T
1k
(14) (15)
第22卷第6期电 网 技 术
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速度是笔者的后续工作重点之一。
6 结论
本文应用原对偶内点法对电力系统的电压无功优化问题进行了研究。为使该方法能更有效地处理电压无功优化控制中大量的函数不等式约束, 本文对原对偶路径跟随内点法进行了扩展, 并提出了一种预测校正方法和新的步长及壁垒参数的控制策略。所提算法在模型系统和实际电力系统中的计算表明, 该方法能够有效地减少迭代次数, 提高算法的收敛速度; 同基于二次规划法的电压无功优化方法的计算结果比较表明, 本文的算法有足够的精度。
图1 迭代步数与问题规模的关系
Fig . 1 Relationship between the number of iteration and
scale of the optimization
problem
7 参考文献
1 Frauendorfer K, Glavits ch H, Bacher R. Optimization in plan ning and operation of electric pow er s ystem s. T hun, S witz lan d, 19922 Karmarkar N . A new polyn om ial time alg or ith m for lin ear pro-grammin g. Combinatorica, 1984
3 Ponn amb alam K, Quintana V H, Vannelli A . A fast algorith m for pow er sys tem optimiz ation problems us ing an interior point m ethod. IEEE T rans actions on Pow er S ystems , 1992; 7(2) 4 李劲波, 周理, 陈允平. 基于仿射变换内点算法的大电网无功优化. 电网技术, 1997; 21(3)
5 张小平, 陈朝晖. 基于内点法的安全约束经济调度. 电力系统自动化, 1997; 21(6)
6 W er H, Sasaki H, Yokoyama R. An application of interior point quadratic progr amm ing algorithm to pow er system optimization pr ob lem s . IEEE Tr ans action s on Pow er Sys tems , 1996; 11(1) 7 郝玉国, 刘广一, 于尔铿. 一种基于Karmarkar 内点法的最优潮流算法. 中国电机工程学报, 1996; 16(6)
8 Wu Y, Deb s A S, M as ten R E. A direct nonlinear predictor -cor-rector pr imal -dual in terior point algorithm for optimal power flow s . IEE E T ransactions on Power Systems , 1994; 9(2) 收稿日期:1997-09-27; 改回日期:1998-02-19。
张元明 1973年生, 硕士, 工程师, 主要从事电力系统能量管理系统方面的研究。
李乃湖 1960年生, 博士, 教授, 博士生导师, 主要从事电力系统运行优化、FACT S 等方面的研究。
图2 CPU 时间与问题规模的关系
Fig . 2 Relationship between CPU time and scale of the op -timization problem 表1 基于原对偶内点法和二次规划法的电压无功优化结果Table 1 Comparison of the results by Primal -Dual interior
point method and quadratic programming
不同网络和负荷情况下的目标函数12节点网络
优化方法本文方法二次规划法
高峰负荷0. 0779360. 077938
低谷负荷0. 0501620. 050165
540节点网络高峰负荷3. 750993. 75101
低谷负荷2. 195692. 19578
(上接第41页C ontinued f rom page 41)
版社, 1977
2 UFV-2系列频率电压紧急控制装置技术说明书. 电力部电力自
动化研究院系统所, 1996收稿日期:
秦明亮 男, 副所长, 从事电网运行及调度管理工作。杨秀朝 男, 所长助理, 从事电网运行方式及计算工作。
致 谢
感谢电力部电力自动化研究院系统所孙光辉总工的支持。
5 参考文献
1 东北电业管理局调度局. 电力系统运行操作和计算. 水利电力出
第22卷第6期电 网 技 术V ol. 22N o. 6
1998年6月Po wer System T echno lo gy Jun. 1998
基于原对偶内点法的电压无功功率优化
张元明
复旦大学计算机与网络信息中心, 200433 上海
王晓东 李乃湖
东南大学电气工程系, 210096 南京
VOLTAGE /REACTIVE POWER OPTIMZATION BASED ON PRIMAL -DUAL
INTERIOR POINT METHOD
Zhang Yuanming Fudan U niv ersity Shang hai , 200433China
ABSTRACT T his paper pr esent s a quadrat ic vo lt age /reac-tiv e po w er o pt imization method based o n a pat h-follow ing
prim al-dual interior po int alg or it hm. A pr edict or -cor recto r
, techno log y is applied in this algo rithm and a new metho d to
select t he co mput atio n st ep-size and to update t he bar r ier paramet er is developed. T his method can effectiv ely deal w ith inequality co nstr aints which is mor e impor tant in on -line vo ltag e -r eactiv e pow er o pt imization . T est in a pr act ical
pow er system demonstr ates that the dev elo ped method is ef-fect ive a nd accur ate.
KEY WORDS V oltage /r eact ive po wer optimizatio n Inte-rior point met ho d Pr edict or -cor recto r Bar r ier par ameter
Step size
摘要 文章以电压无功优化的二次规划模型为基础, 对原对偶内点法进行了扩展, 使之能处理电压无功优化控制中大量的不等式约束。文章提出了一种壁垒参数的选取方法和控制计算步长的策略, 并采用了一种有效的预测校正方法来提高算法的收敛性。
关键词 电压无功优化 原对偶内点法 预测校正 壁垒参数 迭代步长
Wang Xiaodong Li Naihu Southeast U niv ersity Nanjing , 210096China
功优化控制中的大量不等式约束。线性规划法也是一种较快的优化方法, 但由于通常在电压无功优化控制中, 以网损作为目标函数的极度的不可分离特性, 使得该法不能有效地用于电压无功优化控制。综上所述, 由于电压无功优化问题具有高度非线性以及在实际应用时必须计及大量不等式约束条件等特点, 因此现有方法尚不能有效地处理这一问题。
自Karmarkar 于1984年提出具有多项式时间可解性的线性规划内点算法以来, 不断提出各种不同类型的内点法, 如投影尺度法、仿射尺度法、路径跟随法等。它们的主要优点是计算时间对问题的规模不敏感, 不会随着问题规模的增大而显著增加, 且有很好的收敛特性。这些特性显示了内点法的强大吸引力。在过去的几年中, 内点法已被用于求解电力系统的状态估计、经济调度和优化潮流等问题。文[3]～[5]应用仿射变换内点法解决无功优化问题, 但是它们都采用了线性目标函数, 由于其精度不够, 要多次重复迭代优化过程, 从而降低了计算效率。文[6]提出了一种基于原对偶路径跟随内点法的电力系统优化算法, 文[7]解决最优潮流问题也引入了原对偶路径跟随法, 但这两篇文章都没有对函数不等式约束进行讨论。本文提出一个可处理大量不等式函数约束、以网损的二次规划模型为目标函数的原对偶路径跟随算法模型, 用于求解电压无功功率优化控制问题。为此, 本文首先对原对偶内点法进行了扩展, 使之能够处理函数不等式约束, 在此基础上, 构造新的壁垒参数, 提出新的步长控制策略, 并提出有效的预测校正方法, 从而提高了用原对偶内点法求解电压无功优化控制问题的收敛性。该方法在实际电力系统中的应用表明, 原对偶内点法可有效地[2]
1 引言
随着电力系统的不断发展, 特别是联网的加强, 使得电力系统中电压无功功率优化控制的重要性越
来越为突出。电压无功优化控制在数学上表现为一带有非线性约束的大规模优化问题。电力系统中控制手段和约束条件的日益增加对优化问题的求解提出了越来越高的要求。多年来, 国内外学者对此开展了大量的研究工作, 提出了一系列的优化算法。其中比较成熟的有:Dom mel-Tinny 的简化梯度法、二次规划法、牛顿法和线性规划法。简化梯度法对罚函数和梯度步长的选取要求严格, 收敛慢, 且不能有效地处理函数不等式约束。二次规划法尽管精确和可靠, 但其计算时间随变量和约束条件数目的增加而急剧增长, 在求临界可行问题时会导致不收敛。牛顿法具有快速的特点, 但尚不能有效地处理电压无
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2 基于原对偶内点法的电压无功优化模型
电压无功功率优化控制的数学模型常以网损为目标函数, 并考虑一系列的电流、电压和控制变量本身的不等式约束。通过在初始运行点附近线性化, 可得以二次型表示的电压无功优化控制的标准型为
T T
min f (x ) =c x +x Qx (1-a)
2
s. t. A x ≤b (1-b)
0≤x ≤h
(1-c)
为便于处理不等式约束, 可在式(1-b) 中引入松弛变量使之成为等式约束。为使在迭代过程中的解总是保持为“内点”, 即在可行域里面而不到达边界, 可通过势推方法或壁垒函数来实现。迄今为止的研究表明, 壁垒函数法是最为有效的。在原目标函数中施加一个对数壁垒函数后, 得到如下形式的扩展问题:
m
n
利用牛顿法, 可以得到如下的线性方程组:
T
Q $x +A $y h +$y x -$z =-F x 0
A $x +$S h =-F y h 0$x +$S x =-F y x 0
[S h ]$y h +[y h ]$S h =-F S h 0-[S x ]$y x +[y x ]$S x =-F S x 0-[x ]$z +[z ]$x =L e -[x ]z -[$y h ]$S h [$y x ]$S x [$x ]$z
(6-a ) (6-b) (6-c ) (6-d ) (6-e ) (6-f )
式中 F x 0、F y h 0、F y x 0、F S h 0、F S x 0为在初始点展开的值。求解方程组(6) 可得变量u 的偏差量。应用式(7)
u 长。
k +1
=u +A $u
k
(7)
可迭代求解原问题(1) 的最优解, 其中A 为迭代步
3 预测校正技术
由于在式(6-d) ～(6-f) 中含有变量偏差量$u 的二次项, 直接求解方程(6) 是十分困难和费时的, 但如果将其忽略显然会影响解的精度。为此, 本文引入一种预测校正方法。它的基本思想就是先略去方程中$u 的二次项得到一个近似系统, 解近似系统得出$u , 再将$u 代入原精确系统的右端项中, 作为对$u 二次项的估计, 从而得出较精确的$u 。按照这个思想, 先略去式(6-d) ～(6-f) 中的偏差量二次项, 可以得
$y h =[S h ]
-1
[8]
min F =f (x ) -L 61n(S h i ) -L 61n(S x i ) -i =1i =1
n
L 61n(x i ) i =1
s. t. A x +S h =b S h >0
(2-a) (2-b)
x +S x =h S x >0(2-c )
式中 L >0, L 称为壁垒参数, 在迭代过程中, 它应逐渐趋近于零; m 为函数不等式约束条件数; n 为控制变量数; S h 和S x 分别为函数不等式约束和变量不等式约束的松驰变量, 它们都应大于0。
对上述带有等式约束条件的优化问题(2) , 可对其用拉格朗日法处理。此时, 最优点所需满足的K-T 条件应为:F 对变量u , 即y h 、S h 、y x 、S x 、x 的偏导数等于零。因此, 有
F x =c +Qx +A T y h +y x -L =0
x
F y h =A x -S h -b =0F y x =x +S x -h =0F S h =[S h ]y h -L e =0F S x =[S x ]y x -L e =0
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[y h ]A $x +[S h ]
-1
([y h ]F y h 0-F S h 0
(8-a)
$y x =[S x ]-1[y x ]$x +[S x ]-1([y x ]F y x 0-F S x 0
(8-b )
-1-1
$z =[x ](L e -[x ]z ) -[x ][z ]$x D $x =R
(8-c ) (8-d )
式中
(3-a) (3-b ) (3-c) (3-d) (3-e)
D =Q +A T [S h ]-1[y h ]A +[S h ]-1[y x ]+[x ]-1[z ]
(8-e )
T -1
R =-F x 0-A [S h ]([y h ]F y h 0-F S h 0) - [S x ]-1([y x ]F y x 0-F S x 0) +[x ]-1(L e -[x ]z )
(8-f)
解式(8) 得到$u , 将它代入式(6) , 可得
D $x =R 式中R =R +A [S h ]
′
T
-1
′
式中 y h ∈R 、y x ∈R 分别是等式约束条件(2-b) 、(2-c) 的拉格朗日乘子向量, 带符号[]的为对角阵, e 为单位阵。为求解方程组(3) , 进一步令:
L =z
x
并引入一附加方程:
](4) ((9-a)
[$y h ]$S h +
[S x ]-1[$y x ]$S x -[x ]-1[$x ]$z (9-b ) 这样, 求解式(9) 就可以得到校正后的偏差量$u 。因
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(z +A k $z ) (x +A k $x ) *
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对比较少。事实上保留了偏差量的二次项而采用预
测校正方法后, 每次迭代中以较小的计算量换得了精度的提高。研究中的大量实践亦表明, 采用预测校正方法后的程序比不采用它的程序在计算收敛速度上有了较大的提高。
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式中 gap 为求解近似方程组以前的对偶间隙; gap 为求解近似方程组以后的对偶间隙; d 为在区
间[0, 1]上的减幅因子, 以加速收敛性。
当gap 远小于gap *时, L 迅速减小; 而当两者相近时, 包括接近收敛时, L 的减小变缓。这正符合壁垒函数L 变化的要求。大量的计算表明, 上述控制策略是十分有效的。
综上所述, 应用原对偶内点法求解电压无功优化的计算步骤可概括如下:
¹初始化。为加速收敛, 宜选择一个初始内点, 使其满足所有约束条件。
º解近似系统式(8) 。
»计算壁垒参数以及估计非线性项。¼解精确系统式(9) 及相应方程。
½计算步长A , 迭代得到新解。¾收敛性检查。假如解满足收敛条件gap
和L
4 迭代步长和壁垒参数的确定
在内点算法中, 步长的确定和壁垒参数的修改
策略是至关重要的一环, 它直接影响着算法的收敛速度和收敛特性。针对本文引入的二次目标函数, 结合所使用的预测校正方法, 本文提出了一种新的步长和壁垒参数的控制策略。
与线性规划不同, 二次规划具有椭球等值面。沿着给定的方向移动有时可能先减少目标值, 但越过一个确定点后则会使目标值增加。因此, 对于二次规划, 确定适当的步长变得更为复杂。为此, 在选择步长上必须使得目标函数获得最大程度的减少, 且避免违背对u 的大于零的要求。换句话说, 必须考虑两
1
个中间的步长:一个记为A k , 是不违反u 的大于零要
2求的最大步长; 第二个记为A k , 是不使目标值增加的
4 算例
为验证本文所提方法的正确性和有效性, 分别应用12节点的模型系统和540节点的实际电力系统(华东电力系统) 的数据进行了无功电压优化计算。
计算中分别考虑了不同控制变量和边界条件数目。
图1给出了引入预测校正方法前后迭代次数与问题规模之间的关系。图2给出了收敛速度与问题规模之间的关系。图中, pdipa 代表未引入预测校正方法的算法, pcpdipa 代表引入了预测校正方法后的算法。问题的规模取
m +n , n 为控制变量数, m 为不
等式约束条件数目。结果表明, 与常规的单纯型方法不同, 原对偶内点法的迭代次数和计算时间不随问题规模而指数增加; 此外, 引入了预测校正方法以后比引入之前, 迭代次数明显减少, 计算时间也相应减少。
为了验证本文算法的正确性, 分别对应于不同网络的不同负荷情况, 与受到大量工程实践检验的基于二次规划法的电压无功优化程序进行了比较。表1给出了几组代表性的结果。
由表可见, 两种方法优化出来的目标函数是基本一致的。因此, 本文所提的基于预测校正技术的原对偶内点法有足够的精度。由于本文尚未引入稀疏技术, 在计算时间上同二次规划法相比还未能显示最大步长。而实际步长应该取二者中的最小值。这
1
样, A k 可由如下方法确定
A =min {u /(-$u ) , $u
2
k
k
k
1k
k i
k i
k i
(10)
为了确定A , 令x =x +A $x , 并估算在该点的目标函数的值为
z (a ) =(x k +A $x k ) T Q (x k +A $x k ) +
2
k
c T (x k +A (11) $x ) 求z 对A 的导数, 并令其为零, 可以求出
A k =-[($x ) (Qx +c ) ]/[($x ) Q $x ](12) 而最终采用的步长可取为
k =r ×m in{A k , A k }A
1
2
2
k
T
k
k T
k
(13)
式中 r 为避免到达边界而采用的一个安全系数, 本文中取为0. 995。
根据原对偶内点法的原理, 壁垒参数L 在迭代过程中必须趋近于零。因此必须选择合适的修正策略来逐步减小L 值。结合上述所采用的预测校正方法, 充分利用预测校正中所产生的中间结果, 利用下列方式确定壁垒参数:
2
L =gap *
2(n +m ) d
*T T T gap =y h S h +y x S x +z x
gap =(y h +A $y h ) (S h +A $S h ) +
1
y k y x k ) 1
k
T
1k
(14) (15)
第22卷第6期电 网 技 术
45
速度是笔者的后续工作重点之一。
6 结论
本文应用原对偶内点法对电力系统的电压无功优化问题进行了研究。为使该方法能更有效地处理电压无功优化控制中大量的函数不等式约束, 本文对原对偶路径跟随内点法进行了扩展, 并提出了一种预测校正方法和新的步长及壁垒参数的控制策略。所提算法在模型系统和实际电力系统中的计算表明, 该方法能够有效地减少迭代次数, 提高算法的收敛速度; 同基于二次规划法的电压无功优化方法的计算结果比较表明, 本文的算法有足够的精度。
图1 迭代步数与问题规模的关系
Fig . 1 Relationship between the number of iteration and
scale of the optimization
problem
7 参考文献
1 Frauendorfer K, Glavits ch H, Bacher R. Optimization in plan ning and operation of electric pow er s ystem s. T hun, S witz lan d, 19922 Karmarkar N . A new polyn om ial time alg or ith m for lin ear pro-grammin g. Combinatorica, 1984
3 Ponn amb alam K, Quintana V H, Vannelli A . A fast algorith m for pow er sys tem optimiz ation problems us ing an interior point m ethod. IEEE T rans actions on Pow er S ystems , 1992; 7(2) 4 李劲波, 周理, 陈允平. 基于仿射变换内点算法的大电网无功优化. 电网技术, 1997; 21(3)
5 张小平, 陈朝晖. 基于内点法的安全约束经济调度. 电力系统自动化, 1997; 21(6)
6 W er H, Sasaki H, Yokoyama R. An application of interior point quadratic progr amm ing algorithm to pow er system optimization pr ob lem s . IEEE Tr ans action s on Pow er Sys tems , 1996; 11(1) 7 郝玉国, 刘广一, 于尔铿. 一种基于Karmarkar 内点法的最优潮流算法. 中国电机工程学报, 1996; 16(6)
8 Wu Y, Deb s A S, M as ten R E. A direct nonlinear predictor -cor-rector pr imal -dual in terior point algorithm for optimal power flow s . IEE E T ransactions on Power Systems , 1994; 9(2) 收稿日期:1997-09-27; 改回日期:1998-02-19。
张元明 1973年生, 硕士, 工程师, 主要从事电力系统能量管理系统方面的研究。
李乃湖 1960年生, 博士, 教授, 博士生导师, 主要从事电力系统运行优化、FACT S 等方面的研究。
图2 CPU 时间与问题规模的关系
Fig . 2 Relationship between CPU time and scale of the op -timization problem 表1 基于原对偶内点法和二次规划法的电压无功优化结果Table 1 Comparison of the results by Primal -Dual interior
point method and quadratic programming
不同网络和负荷情况下的目标函数12节点网络
优化方法本文方法二次规划法
高峰负荷0. 0779360. 077938
低谷负荷0. 0501620. 050165
540节点网络高峰负荷3. 750993. 75101
低谷负荷2. 195692. 19578
(上接第41页C ontinued f rom page 41)
版社, 1977
2 UFV-2系列频率电压紧急控制装置技术说明书. 电力部电力自
动化研究院系统所, 1996收稿日期:
秦明亮 男, 副所长, 从事电网运行及调度管理工作。杨秀朝 男, 所长助理, 从事电网运行方式及计算工作。
致 谢
感谢电力部电力自动化研究院系统所孙光辉总工的支持。
5 参考文献
1 东北电业管理局调度局. 电力系统运行操作和计算. 水利电力出