存在温度梯度的气体分子数密度的空间分布
张善文
（山东大学物理与微电子学院2004级济南250100）摘要：存在温度梯度的非平衡气体的分子数密度在空间的分布是什么呢？根据局域平衡的观点就可以导出分布函数。关键词：粒子流密度，麦克斯韦速度分布，傅立叶定律
按照分子混沌性假设，处于平衡态的气体在无外场的条件下其分子数密度n 处处相等，当分子受到重力场，惯性力场等的作用时，n 有一定的空间分布。它们都服从玻尔兹曼分布。那么对于存在温度梯度的非平衡态气体来说，它又服从何种分布呢？空间各处的分子数密度是否相等呢？下面我们就来讨论这个问题。要研究分子数密度在空间的分布。首先必须研究粒子数密度在温度场中的分布规律，然后再由傅立叶定律可推导出温度场在空间的分布，将二者结合起来即可得到分子数密度的空间分布。
dN 在介绍菲克定律的时候，我们引入了粒子流密度的概念，即J N =。ds *dt
现在气体中取一个微小圆柱体，其截面积为ds ，长为dl ，圆柱体足够小，可以认为其内气体温度恒定设为T ，左侧气体温度为（T+dT）, 右侧气体温度为（TdT）。
当气体中存在温度梯度时，作杂乱无章运动的气体分子在空间交换分子对的同时交换了具有不同热运动平均能量的分子，因而发生了能量的迁移。我们把上述迁移过程简化为下面的形式：单位时间内，圆柱体左侧气体有N 1分子穿过S 1截面，圆柱体内同时也有N 1个分子穿过S 1截面，由于它们的平均动能并不相等，因而就产生了所谓的能量转移。同样，圆柱体内会有N 2个分子穿过S 2截面，而右侧气体中也会有N 2个分子穿过S 2截面，这也要发生能量交换。当整个气体系统处于稳态时，应满足：
∆E 1=∆E 2
即
3
N 1(1-0)=N 2(0-2)KN 1[(T +dT )-T ]=3
KN 2[T -(T -dT )]
N 1N 2，J N 2=，故J N 1=J N 2。这表明系ds *dt ds *dt 由上式得N 1=N2，又J N 1=
统稳定后，沿某一确定方向上，粒子流密度处处相等，记为J N 。
对于气体内部的任意一截面，若在相同的时间内穿过截面的气体分子在垂直于截面方向上的动量和为零，则气体内部压强处处相等，不存在压差。但对于存在温度梯度的气体系统，穿过某一截面的分子在垂直于截面方向上的动量之和不为零，所以其内部存在着压强差。仍以上面的小圆柱体为研究对象，S 1，S 2两侧的压强差dp 可表示为：
dp =dN m 1x -m 2x =J N m (1x -2x )ds *dt （1）
其中，1x ，2x 分别为左右两侧穿过截面S 1，S 2的气体分子在垂直于截面方向上速度投影的平均值。由麦克斯韦速度分布
⎛mv i 2⎛m ⎫f (v i )dv i = -⎪exp 2πKT ⎝⎭⎝2KT
∞12⎫⎪⎪dv i 可得：⎭KT
2πm （2）i =⎰v i f (v i )dv i =0
(由于v i 在-∞~0的分子不会穿过截面，故积分下限为0)
(1)式和(2)式联立，得到下式
⎛K T +dT K T -dT ⎫⎪dp =J N m - 2πm 2πm ⎪⎝⎭
=J N Km 2π+dT --dT )
(3)=J N
对上式积分，有Km dT 2π⎰(p (T )p T 0)dp =J N Km T dT 2π⎰T 0⎫⎪⎪⎭(4)⎛2KmT 2KmT 0即p (T )-p (T 0)=J N - ππ⎝
由上式可看出：
p (T )=J N (5)2KmT +C π（6）
如果认为T=0时p(T)=0,则C=0，可得到p(T)的简化形式
p (T )=J N 2KmT π(7)
在任意微小区域内，气体均可视为处在平衡态，所以压强可用p=nKT来表示，因此可以得到粒子数密度在温度场中的分布式，即
n (T )=J N 2m πKT (8)
(8)式对于所有的处于定常态（温度在空间的分布不随时间变化）的气体系统都是成立的。所以只要将T 在空间的分布表达式代入（8），就可得到气体分子数密度的空间分布表达式。现举两例说明：
1. AB 为一绝热圆筒，截面积为S ，长为L 。AB 之间充满了可以导热的
同种气体，两端的温度保持为T 1和T 2。当系统达到稳态时，求分子数密度的空间分布。
解：AB 段上任意一点C 坐标x 的温度T =T 1+
将其代入（8）式，得n 的空间分布：2m
K πn =T -T x T 1+21
L J N
2. 两个圆筒共轴套在一起，内筒温度为T 1，高于外筒温度，其半径分别
，求两圆筒间空气分为R 1，R 2，两圆筒间空气导热系数为κ热流为Q
子数密度分布。
解：两圆筒空气的温度T 的分布如下：
Q r T =T 1-ln 2πκR 1
T 为距轴线距离为r 的气体温度，将上式代入（8），得
2m
K π
Q
2πκ(T 2-T 1)x L n =J N T 1-ln r
R 1
当然需要强调的是，对不同的气体系统来说，J N 是不同的，但对于同一系统，它是处处相等。
我设计了下面这个实验来检验上面推导的结论，其实验装置如图所示，A ，B 为两个恒温热源，温度分别为T 1和T 2，A ，B 之间有一充有氯气的绝热圆筒相连接，A ，B 与圆筒同时处于真空装置C 中。
当圆筒中氯气达到稳态时，根据上面的结论，各处的分子数密度
是不同的，因而氯气的颜色深浅也是变化的。当然这只是定性上的检验而已，要真正检验还需设计精密的定量实验，对此我已无能为力。参考文献：
秦允豪. 热学. 第二版. 北京：高等教育出版社，2004
存在温度梯度的气体分子数密度的空间分布
张善文
（山东大学物理与微电子学院2004级济南250100）摘要：存在温度梯度的非平衡气体的分子数密度在空间的分布是什么呢？根据局域平衡的观点就可以导出分布函数。关键词：粒子流密度，麦克斯韦速度分布，傅立叶定律
按照分子混沌性假设，处于平衡态的气体在无外场的条件下其分子数密度n 处处相等，当分子受到重力场，惯性力场等的作用时，n 有一定的空间分布。它们都服从玻尔兹曼分布。那么对于存在温度梯度的非平衡态气体来说，它又服从何种分布呢？空间各处的分子数密度是否相等呢？下面我们就来讨论这个问题。要研究分子数密度在空间的分布。首先必须研究粒子数密度在温度场中的分布规律，然后再由傅立叶定律可推导出温度场在空间的分布，将二者结合起来即可得到分子数密度的空间分布。
dN 在介绍菲克定律的时候，我们引入了粒子流密度的概念，即J N =。ds *dt
现在气体中取一个微小圆柱体，其截面积为ds ，长为dl ，圆柱体足够小，可以认为其内气体温度恒定设为T ，左侧气体温度为（T+dT）, 右侧气体温度为（TdT）。
当气体中存在温度梯度时，作杂乱无章运动的气体分子在空间交换分子对的同时交换了具有不同热运动平均能量的分子，因而发生了能量的迁移。我们把上述迁移过程简化为下面的形式：单位时间内，圆柱体左侧气体有N 1分子穿过S 1截面，圆柱体内同时也有N 1个分子穿过S 1截面，由于它们的平均动能并不相等，因而就产生了所谓的能量转移。同样，圆柱体内会有N 2个分子穿过S 2截面，而右侧气体中也会有N 2个分子穿过S 2截面，这也要发生能量交换。当整个气体系统处于稳态时，应满足：
∆E 1=∆E 2
即
3
N 1(1-0)=N 2(0-2)KN 1[(T +dT )-T ]=3
KN 2[T -(T -dT )]
N 1N 2，J N 2=，故J N 1=J N 2。这表明系ds *dt ds *dt 由上式得N 1=N2，又J N 1=
统稳定后，沿某一确定方向上，粒子流密度处处相等，记为J N 。
对于气体内部的任意一截面，若在相同的时间内穿过截面的气体分子在垂直于截面方向上的动量和为零，则气体内部压强处处相等，不存在压差。但对于存在温度梯度的气体系统，穿过某一截面的分子在垂直于截面方向上的动量之和不为零，所以其内部存在着压强差。仍以上面的小圆柱体为研究对象，S 1，S 2两侧的压强差dp 可表示为：
dp =dN m 1x -m 2x =J N m (1x -2x )ds *dt （1）
其中，1x ，2x 分别为左右两侧穿过截面S 1，S 2的气体分子在垂直于截面方向上速度投影的平均值。由麦克斯韦速度分布
⎛mv i 2⎛m ⎫f (v i )dv i = -⎪exp 2πKT ⎝⎭⎝2KT
∞12⎫⎪⎪dv i 可得：⎭KT
2πm （2）i =⎰v i f (v i )dv i =0
(由于v i 在-∞~0的分子不会穿过截面，故积分下限为0)
(1)式和(2)式联立，得到下式
⎛K T +dT K T -dT ⎫⎪dp =J N m - 2πm 2πm ⎪⎝⎭
=J N Km 2π+dT --dT )
(3)=J N
对上式积分，有Km dT 2π⎰(p (T )p T 0)dp =J N Km T dT 2π⎰T 0⎫⎪⎪⎭(4)⎛2KmT 2KmT 0即p (T )-p (T 0)=J N - ππ⎝
由上式可看出：
p (T )=J N (5)2KmT +C π（6）
如果认为T=0时p(T)=0,则C=0，可得到p(T)的简化形式
p (T )=J N 2KmT π(7)
在任意微小区域内，气体均可视为处在平衡态，所以压强可用p=nKT来表示，因此可以得到粒子数密度在温度场中的分布式，即
n (T )=J N 2m πKT (8)
(8)式对于所有的处于定常态（温度在空间的分布不随时间变化）的气体系统都是成立的。所以只要将T 在空间的分布表达式代入（8），就可得到气体分子数密度的空间分布表达式。现举两例说明：
1. AB 为一绝热圆筒，截面积为S ，长为L 。AB 之间充满了可以导热的
同种气体，两端的温度保持为T 1和T 2。当系统达到稳态时，求分子数密度的空间分布。
解：AB 段上任意一点C 坐标x 的温度T =T 1+
将其代入（8）式，得n 的空间分布：2m
K πn =T -T x T 1+21
L J N
2. 两个圆筒共轴套在一起，内筒温度为T 1，高于外筒温度，其半径分别
，求两圆筒间空气分为R 1，R 2，两圆筒间空气导热系数为κ热流为Q
子数密度分布。
解：两圆筒空气的温度T 的分布如下：
Q r T =T 1-ln 2πκR 1
T 为距轴线距离为r 的气体温度，将上式代入（8），得
2m
K π
Q
2πκ(T 2-T 1)x L n =J N T 1-ln r
R 1
当然需要强调的是，对不同的气体系统来说，J N 是不同的，但对于同一系统，它是处处相等。
我设计了下面这个实验来检验上面推导的结论，其实验装置如图所示，A ，B 为两个恒温热源，温度分别为T 1和T 2，A ，B 之间有一充有氯气的绝热圆筒相连接，A ，B 与圆筒同时处于真空装置C 中。
当圆筒中氯气达到稳态时，根据上面的结论，各处的分子数密度
是不同的，因而氯气的颜色深浅也是变化的。当然这只是定性上的检验而已，要真正检验还需设计精密的定量实验，对此我已无能为力。参考文献：
秦允豪. 热学. 第二版. 北京：高等教育出版社，2004