界面主裂纹和微裂纹之间的干涉

第29卷第3期1997年5月

力学学报

Vol. 29, No. 3M ay , 1997

界面主裂纹和微裂纹之间的干涉1)

高山王晓明沈亚鹏

(西安交通大学建筑工程与力学学院工程力学系, 西安710049)

摘要采用复势函数的位错解方法, 通过对奇异积分方程的建立和数值求解, 研究了界面主

裂纹同界面及基体微裂纹之间的干涉. 结果表明远场载荷角W 同Dunder . s 参数A 对界面微裂纹及基体中水平微裂纹同主裂纹干涉的影响都很显著, 而W 对屏蔽区的影响则远小于A 对其的影响. 关键词

复势函数, 奇异积分方程, 主裂纹, 干涉, 屏蔽

引言

复合材料具有重量轻、强度高、刚度大的优点, 并具有抗腐蚀、抗疲劳、抗磁性、耐磨性及良好的高温性能、热稳定性、减振性等优点, 因此在航空、航天、汽车、造船、化工、机械、土建等方面都得到日益广泛的应用, 然而由于其内部本身的多相性, 一方面对材料起到增强增韧的效果, 同时也使材料内部极易形成缺陷, 例如夹杂、孔洞、裂纹等. Kachanov [1]就微裂纹对材料整体宏观量的影响进行详细的研究, 以后又出现微裂纹对主裂纹扩展影响的研究, H utchinson 指出物体中微裂纹的出现并非总是弱化材料, 在某些条件下它会屏蔽主裂纹, 增强材料. 自此以后, 对于主裂纹, 尤其是位于界面上主裂纹, 它们的形成、扩展以及同微裂纹之间的相互干涉的研究引起许多学者的兴趣.

界面裂纹问题由来已久, 早在20年代, Knein [6]就发现其裂尖应力场的奇异性, Williams [7]采用特征展开的办法得到其具有r -1/2+{i E

11]

[2~4]

[5]

奇异性. Eng land [8]用求解Rieman -Hilbert 问题的方法提出著名的闭合区理论, Rice [12]又对这个问题做深入

得到有限界面裂纹全场解, Com ninou [9~

的讨论, 提出小范围接触区假设和界面裂纹复应力强度因子的概念, 这使得线弹性解在小范围假

设下可以应用. Suo 和H utchinson [13~15]研究了平行于界面的基体裂纹及界面宏观裂纹问题, 所有上述工作都集中在对单根界面微裂纹或单根界面主裂纹的研究中, 本文将采和位错解法研究界面主裂纹同基体及界面微裂纹之间的干涉问题.

1奇异积分方程的建立

平面线弹性问题采用Muskhelishv ili [16]的复势方法求解. 应力分量和位移分量可分别表示

为

R x x +R yy =2[z ) +(z ) ]

c R yy +i R xy =5(z ) +8(z ) +(z -z ) 5(z ) st

(u x -i u y ) =k 5(z ) -8(z ) -(z -z ) 5c (z ) (1)

1) 机械结构强度与振动国家重点实验室基金资助项目.

288 力学学报 1997 年第 29 卷

式中5(z ) , 8(z ) 是复势函数, J 是材料常数, 对平面应变问题J =3-4M , 而对平面应力问题J =(3-M ) /(1+M ) , L 是剪切模量. 对无限大各向同性介质中的位错, 势函数取为[14]

, 80(z ) =B , B =(b +i b y ) +B z -s z -s x (z -s )

) 其中b x , b y 是位错的两个分量, s 是位错的座标.

50(z 要) =B

我们考虑无穷大两相介质, 当位错位于两相界面时(如图1) , 势函数取为[15]

50(z ) =B

z -s

图1) , 势函数取为

采

, 8(z ) =B z -s

, B =

(b x +i b y 体宏) c 2(1-B ) P i

(2)

其中c 2=(1+J 2) /L 2, 当y >0时, B =B , 而y

[13]

用复

讨论5(z ) =

(1++) 50(z ) 50(z ) +080(z )

(z I #1) (z I #2)

, 8(z ) =

(1+0) 8(z ) 80(z ) ++50(z )

(z I #1) (z I #2)

(3)

式中+=(A +B ) /(1-B ) ; 0=(A -B ) /(1+B ) ; A , B 是Dunder . s 常数, 定义为

#(J 2+1) -(J 1+1) #(J 2-1) -(J 1-1)

, B =

2+1) +(J 1+1) #(J 2+1) +(J 1+1) ,

A =#=L 1/L 2

图1 位于两相界面及界面下的位错

Fig. 1 Dislocations on and under the interface

图2 界面主裂纹同界面微裂纹及界面下微裂纹分布位置图

Fig. 2 Configuration of macrocrack, interfaci al microcrack and microcrack

underneath the interface

我们以图2所示的模型来研究裂纹的干涉问题. 用一个位于界面半无限长裂纹代表主裂纹, 另外存在M I 个界面微裂纹及M s 个界面下微裂纹, 它们的裂纹中心位于z 0(J ) , 它们各自局部坐标系位置用c

(J )

表示(k =1, 2, , M I , M I +1, , , M I +M s ) , 界面下裂纹的倾角和位置角分别用

R yy

(ma )

(u ) +i R xy

M I

(ma)

(u ) =P B i B

(ma)

(u ) +

-1

12(u +1) (ma)

#B (t ) d t +u -t t +1

[H 1(u , N ) 61

j =H 6-1

u , N ) B

(N ) d N +B

(i)

(N ) +H 2(u , N ) B

02(i)

(N ) ]d N (4)

第 3 期高山等:界面主裂和微裂纹之间的干涉 289

对于界面微裂纹应力为

(k) R yy (

G k ) +

(k)

i R x y (

G B i B k ) =2P

2(G k ,

(G k ) +

(k)

B (N ) d N +

-1G k -N

(i )

-1

H 2(G k , t ) B

10(ma)

(t) d t +

j =1

j k

H 6Q -1

N ) B

j )

(N ) d N +

i=1

[H 1(G k , N ) B 6Q -1

(N ) +H 2(G k , N ) B (N ) ]d N

(k =1, 2, , , M I ) (5)

对于界面下方微裂纹应力为

(k )

R nn (

G k ) +

201(

(k ) i R tn (G k )

2e k (k)

B (N ) d N +

-1G {k -N

202(

i H

Q [h (G , N ) B

1-1

(k )

(N ) +h 2(G k , N ) B

(j)

(k )

(N ) ]d N +

-1

[H G k , t) B

(m a)

(t ) +H

G k , t) B

(m a)

(t ) ]d t +

j=1

[H 1(G ) B k , N 6Q -1

(i)

(N ) +

G ) B k , N

j )

(N ) ]d N +

i=1

i X k

[H 1(G ) B k , N 6Q -1

(i )

(N ) +H 2(G k , N ) B (N ) ]d N

(k =1, 2, , , M s ) (6)

(4) ~(6) 式中假定所有微裂纹半长度为1, 其中函数H 1, H 1, 等均在附录中给出.

我们假定所有裂面均无应力作用, 则可建立奇异积分方程组

R (yy ma) (u) +i R (x ma) y (u) =0P

R yy (G j ) +i R xy (G j ) =0R (tn k) (G k ) +i R (tn k) (G k ) =0

位移单值性要求微裂纹

(j )

(j)

(j =1, 2, , M I ) (k =1, 2, , M s )

(7)

2 方程的求解

-1

B J (N ) d N =0 (J =1, 2, M I , M I +1, , M I +M s )

(8)

根据Rice [12]提出的界面断裂理论, 裂尖前方的应力场和位移场分别为

R yy +i R x y =D y +i D x =G =

-1/2+

2P 2

i E

c 1+c 2

K r -1/

2P (1+2i E ) cosh(P E )

(9)

c 1+c 2

|K |

290 力学学报 1997 年第 29 卷

其中K 是复应力强度因子(SIF) , G 是应变能释放率(SERR) , E =反变换, 得到主裂纹裂尖

K =(2P ) K

]

3/2

ln . 利用文[16]给出的2P 1+B

1-B lim t y 1

1+t

1/2-i E

B (m a) (t)

(10)

B (t)

=(2P ) 3/2

[17]

[18]

1-B lim t y -1+1+t

1/2-i E

式中K ]代表远场载荷.

我们采用Erdogan

及Lu

的方法数值求解方程(7) , (8). 将主裂纹位错函数取为N

1/2+i E (ma)

B (t) =A (m ma) T m (t ) H 61-t m=0

3/2

式中T m (N ) 是m 阶Chebyshev 多项式, A m 为复系数. 主裂纹裂尖SIF 可表示为

K =(2P )

1-B

m=0

A (m m a)

于是界面主裂纹同微裂纹之间的干涉问题得到解决.

3结果分析和讨论

为简化问题, 本文研究单根微裂纹同主裂纹之间的干涉. 当G m a /G ]

主裂纹, 当G ma /G ]>1时称锐化主裂纹, 而当G ma /G ]=1时叫中性效应. 定义远场载荷角W =

]

tg -1(K I ]/K II ) , 我们依次讨论以下几类干涉问题.

首先考虑界面主裂纹同界面微裂纹之间的干涉(如图3(a) 所示). 假定W =90即纯I 型载荷, 图4给出在不同L/2a 下主裂纹SERR 同A 关系曲线, 由图中可以看出, 通常微裂纹的出现是锐化主裂纹, 并且随A 增大而增大, 即两相材料差别越大, 主裂纹裂尖SERR

放大程度越大. A =0时计算值同Cai [2]等给出的解析解完全符合. 图5说明在不同载荷角下SERR 同L/2a 的关系. 图中可以看出, 在复合加载时, 裂尖SERR 随载荷角W 增大而增大, 进一步研究表明, 当W =0b 时即纯Ò型载荷, 微裂纹对主裂纹裂尖没有影响. 容易理解, 当微裂纹同主裂纹距离越来越远时, 其对主裂纹的影响也将越来越小.

图3 界面主裂纹同单根微裂纹的干涉图

Fig. 3 The interaction betw een macrocrack and a single m i crocrack

其次考虑基体内位于主裂纹裂尖正下方的微裂纹同界同主裂纹的干涉(如图3(b) ). 图6给出在不同载荷角W 下SERR 同A 关系曲线, 由图可以看出W >30b 时, 微裂纹都对主裂纹产生屏蔽效应, 并且随A 增大屏蔽程度也增大. 当W =0b 和5b 时G ma /G 0存在大于1的峰值, 说明在这些载荷条件下, 微裂纹可能放大主裂纹SERR. 图7给出在不同载荷角W 下SERR 同H /2a 之间的关系曲线. 可以看出在小W 情况下出现峰值.

第 3 期高山等:界面主裂和微裂纹之间的干涉 291

图4 W =90. , L/2a 分别为0. 1, 0. 15, 0. 25, 0. 5时界面主裂纹SERR 同Dunder . s 参数A 的关系图

Fig. 4 T he SERR of the macrocrack versus

Dunder . s parameter A , W =90. , L/2a=0. 1, 0. 15, 0. 25, 0. 5

图5 A =0. 4, 远场载荷角W 分别为90. , 60. , 45. , 30.

时界面主裂纹SERR 同L/2a 的关系图

Fig. 5 The SERR of the macrocrack versus L/2a,

A =0. 4, W =90. , 60. , 45. , 30

图6 H/2a=0. 5, W 分别为0. , 15. , 30. , 45. , 90.

时界面主裂纹SERR 同Dunder c s 参数A 的关系图Fi g. 6 T he S ERR of the macrocrack vers us A ,

H/2a=0. 5,

时界面主裂纹S ERR 同H/2a 的关系图

Fig. 7 The S ERR of the macrocrack versus H/2a,

A =0. 4,

再次考虑界面主裂纹同界面下平行于主裂纹的微裂纹之间的干涉(如图3(c) 所示). 定义中性角为主裂纹G m a /G 0=1时的微裂纹位置角H , 仍然先假定W =90b , 图8给出不同A 下主裂纹SER R 同位置角H 关系曲线, 可以看出最大值同最小值差随A 增大而增大. 图9给出了最大最小值的差值同d /a 关系曲线, 当d/a >10时, 可以认为微裂纹对主裂纹干涉效应可以忽略.

最后考虑界面主裂纹同界面下斜微裂纹之间的干涉(如图2所示). 假定W =90b , d /a =1. 5, 定义X G =G m a /G 0, 图10给出不同A 下屏蔽区和放大区, 由图可以看出A 的绝对值越大, 屏蔽区越大, 图中AB 段被截断是因为H 角再小时微裂纹已经穿透界面, 计算不再有效. 图11给出在不同W 及A 下屏蔽区的关系曲线, 可以看出远场载荷对屏蔽区的影响远小于A 对其的影响程度. 当A =0, W =90b 时即在无穷大各向同性介质内受纯I 型载荷下屏蔽图, 同文[4]中的完

292 力学学报 1997 年第 29 卷

图8 d/a=1. 5, A 分别为-0. 4, 0, 0. 4时界面主裂纹SERR 同裂纹位置角H 的关系图Fi g. 8 T he S ERR of the macrocrack versus H ,

d /a =1. 5, A =0. 4, 0, -0. 4

图9 A 分别为-0. 4, 0, 0. 4时界面主裂纹S ERR

最大值同最小值的差值同d /a 的关系图Fig. 9 The difference betw een the maximum

and minimum S ERR versus d /a ,

A =-0. 4, 0, 0.

图10 d /a =1. 5, W =90b , A 分别为-0. 8, -0. 6, -0. 4, -0. 2, 0, 0. 2, 0. 4, 0. 6, 0. 8时界面主裂纹的屏蔽区和锐化区图

Fig. 10 The regions of the shielding and amplificati on for d /a =1. 5, W =90

图11 d /a =1. 5, W 分别为90b , 120b , A 分别为-0. 4, 0时界面主裂纹的屏蔽区和锐化区图

Fig. 11 The regions of the sh i eldi ng and amplification for d /a =1. 5, W =90b and A =0. 4, 0

第 3 期高山等:界面主裂和微裂纹之间的干涉 293

参考文献

1 Kachanov M. Effective elastic properties of crack ed solid:cri tical reviews of som e basic concepts. App l. M ech. Re v. , 1992, 15:304~335

2 Cai H, Faber KT. On the use of approxi m ati on methods for microcrack shieldi ng problems. J App 1. M ech , AS M E , 1992, 59:

497~501

3 Horri M , Nemat-nasser S. Interacti ng microcracks near the ti p in the process zone of a macrocrack. J M e ch Phys Solid s , 1987,

35:601~629

4 Gong XS, Horii H. General solution to the problem of m icrocrack n ear th e tip of a main crack. J M ech Phys S olids, 1989,

37:27~46

5 Hutchinson JW. Crack tip shielding by microcracking i n brittle solids. A cta M etall. , 1987, 37:1605~16196 Knein M. Zur theorie des Druckversuchs. Institut an der T echnischen Hochschule Achen, 1927, 7:43~62

7 Williams M L. The stresses around a fault or crack in dissimi lar m edia. Bu lle tin of the Seismolog ical Society of A merica , 1959,

49:199~2048 England AH. A crack betw een dissi m i lar media. J Appl Mech. , ASM E, 1965, 32:403~4109 Comninou M. The interface crackr.

J Ap pl M ech A SM E , 1977, 44:780~782

10 Comninou M. Interface crack with friction in the contact zone. J App l M ech , AS M E , 1977, 44:780~78211 Comninou M. The interface crack in a shear field. J App l M ech , AS M E , 1978, 45:287~290

12 Rice JR. Elastic fracture mechan ics concepts for interfacial cracks. J A ppl M ech , AS M E , 1988, 55:98~10313 Suo Z, Hutchinson JW. M ixed-mode crack i ng in layered materi als. Harvard Universi ty Report, 1990, M ech~16414 Suo Z. Singulari ties interacting w ith interface and cracks. Int. J S olids S tr uct , 1989, 25:1133~114215 Suo Z, Hutchinson JW. Interface crack betw een two elastic layers. Int J Fract , 1990, 43:1~1816 M uskhelishvili NI. 数学弹性力学中的几个基本问题. Holland:Nordhoff, 1953

17 Erdogan F, Gupta GD, Cook TS. Numerical solution of singular integral equati ons. M echanics of Fracture (Edited by GC Sih) ,

1973, 1

18 Lu H , Larner T J. A note on the interface crack problem. J App l M ec h , A SM E . 1992, 59:452~454

附录

H 2(u , N ) =

j -S j

, s =N

u +1

ma)

2iIm [z (i ma) -s i ]20iIm (S i ) 20iIm [z (]i 02

H 1(u , N ) =+

[z (i ma ) -s i ]2[z (i m a) -s i ]2[z (i ma) -s i ]2

ma)

80Im [z (]Im (s i ) i 02H 2(u , N ) =2Re z (ma) -s ++-P i i z i -s i z i - s i [z i - s i ]

, s =[z (i ) -c (i ) ]+N e i H z (i ma) =-c (i) +i 0i u +1

H 012(G k , t) =[z ma -s ](1+t)

(k ) (k ) z ma =z 0+G k , s =t +1

H 11) =(k ) 2(G k , N

z j -s j

z (j k) =c (k) -c (j ) +G k , s j =N

2iIm [z (i k ) -s i ]20iIm (s i ) 20iIm [z i (k) ]12

H 1(G k , N ) =+

[(k ) ]2k ) i 2z (i k ) s i 2Z (j ma) =-c (j ) +

294 力学学报 1997 年第 29 卷

H (2 12) (

G k , N ) =2Re 80Im [z (z i k ) ]i -s i +z i -s i +z i -s i Im (s i ) [z i -s i ]p

z (i k ) =c (k) -c (i ) +G k , s i =z (0i) -c (i)

+N e i H i

(k)

h 1(G k , N

) =te e k 2i H

-k h k e

k ar

z (k k ) -s 2+z (k k)

-s 2

+(1-e k 2i H )

z (41k k ) -s

k z (k 61

k) -s 2h 2(G k e k

2i H 80Im M e z (k k )

, N ) =

Im (s k ) z (k k ) -s k +z (k k ) - s k [z (k k) -s k ]3

(ct

1-e k 2i H )

z (k k ) +20iIm (s k )

-s k z (k k )

-s 2

z (k k ) =z (0k ) -c (k ) +G k e i H k , s k =z (0k ) -c (k )

+N e i H k (k)

201(

G k , t) =2i H

(1+t)

2(1-e k ) z (ma k ) -s +e k 2i H [z (ma k )

-s ]3H 202(G k , t) =

2(1+t) 2

(1-e i H k ) z (ma -s +e 2i H z (ma -s +k )

k k ) z (m k) a -s z (m k) a =z (0k) +G k e i H k , s =

t +1

H 211(

G k , N ) =(

1-e k 2i H )

-B ) I m [z (j k)

z (j k) -s j +e k

2i H 2i(1

][z (j k ) -s j ]

H 212(G k , N ) =(1-[e 2i H (k )

(j k)

-s j +e 2i H k z j -s j +z j -s j z (j k) =z (0k) -c (j ) +G k e i

H k , s j =N H 221(

G k , N ) =e k

2i H z (i k) -s i [20iIm (s i ) (k)

z (i k)

-s i

2z (i k ) -s i 2+z i

z (i k) -s i 2+

(1-e 之间

k 2i H ) 20iIm S i

z i -s i

i - s i

z K n

i -s H 222(

G k , N ) =e 2i

H k 2Re v 80Im z (i k)

(Im +(s i ) z i -s i + z (i k ) -s i

+z i (k) - s i z (i k ) -s 3+ (1-e k 2i H )

iIm (s i )

z |

i - s i

z i -s i

20z i - s i (

z (i k ) =z (0k ) -c (i ) j

+G k e i H k , s i =z (0i) -c (i )

+N e i H i

(

第 3 期高山等:界面主裂和微裂纹之间的干涉 295

INTERAC TIO N MBETWEEN INTERFACE MACROCRACK AND MIC ROCRACKS

Gao Shan Wang Xiaoming Shen Yapeng

(Dep ar tment of Engineer ing Mechanics , Xi . an J iaotong University , Shaanx i Xi . an 710049, China )

Abstract With the use of the dislocation method of complex potential function, this paper studies the interaction between the interface macrocrack and the interface or beneath-interface microcracks by the construction and numerical solution of singular integ ral equations. The results show that the remote field phase angle W and Dunder c s parameter A have great influnce on the interaction betw een interface m acrocrack and m icrocracks, w hile the effect of W on the shielding zone is far less than that of A . Key words complex potential, singular integral equations, macrocrack, interaction, shielding

第29卷第3期1997年5月

力学学报

Vol. 29, No. 3M ay , 1997

界面主裂纹和微裂纹之间的干涉1)

高山王晓明沈亚鹏

(西安交通大学建筑工程与力学学院工程力学系, 西安710049)

摘要采用复势函数的位错解方法, 通过对奇异积分方程的建立和数值求解, 研究了界面主

复势函数, 奇异积分方程, 主裂纹, 干涉, 屏蔽

引言

界面裂纹问题由来已久, 早在20年代, Knein [6]就发现其裂尖应力场的奇异性, Williams [7]采用特征展开的办法得到其具有r -1/2+{i E

11]

[2~4]

[5]

奇异性. Eng land [8]用求解Rieman -Hilbert 问题的方法提出著名的闭合区理论, Rice [12]又对这个问题做深入

得到有限界面裂纹全场解, Com ninou [9~

的讨论, 提出小范围接触区假设和界面裂纹复应力强度因子的概念, 这使得线弹性解在小范围假

1奇异积分方程的建立

平面线弹性问题采用Muskhelishv ili [16]的复势方法求解. 应力分量和位移分量可分别表示

为

R x x +R yy =2[z ) +(z ) ]

c R yy +i R xy =5(z ) +8(z ) +(z -z ) 5(z ) st

(u x -i u y ) =k 5(z ) -8(z ) -(z -z ) 5c (z ) (1)

1) 机械结构强度与振动国家重点实验室基金资助项目.

288 力学学报 1997 年第 29 卷

, 80(z ) =B , B =(b +i b y ) +B z -s z -s x (z -s )

) 其中b x , b y 是位错的两个分量, s 是位错的座标.

50(z 要) =B

我们考虑无穷大两相介质, 当位错位于两相界面时(如图1) , 势函数取为[15]

50(z ) =B

z -s

图1) , 势函数取为

采

, 8(z ) =B z -s

, B =

(b x +i b y 体宏) c 2(1-B ) P i

(2)

其中c 2=(1+J 2) /L 2, 当y >0时, B =B , 而y

[13]

用复

讨论5(z ) =

(1++) 50(z ) 50(z ) +080(z )

(z I #1) (z I #2)

, 8(z ) =

(1+0) 8(z ) 80(z ) ++50(z )

(z I #1) (z I #2)

(3)

式中+=(A +B ) /(1-B ) ; 0=(A -B ) /(1+B ) ; A , B 是Dunder . s 常数, 定义为

#(J 2+1) -(J 1+1) #(J 2-1) -(J 1-1)

, B =

2+1) +(J 1+1) #(J 2+1) +(J 1+1) ,

A =#=L 1/L 2

图1 位于两相界面及界面下的位错

Fig. 1 Dislocations on and under the interface

图2 界面主裂纹同界面微裂纹及界面下微裂纹分布位置图

Fig. 2 Configuration of macrocrack, interfaci al microcrack and microcrack

underneath the interface

(J )

表示(k =1, 2, , M I , M I +1, , , M I +M s ) , 界面下裂纹的倾角和位置角分别用

R yy

(ma )

(u ) +i R xy

M I

(ma)

(u ) =P B i B

(ma)

(u ) +

-1

12(u +1) (ma)

#B (t ) d t +u -t t +1

[H 1(u , N ) 61

j =H 6-1

u , N ) B

(N ) d N +B

(i)

(N ) +H 2(u , N ) B

02(i)

(N ) ]d N (4)

第 3 期高山等:界面主裂和微裂纹之间的干涉 289

对于界面微裂纹应力为

(k) R yy (

G k ) +

(k)

i R x y (

G B i B k ) =2P

2(G k ,

(G k ) +

(k)

B (N ) d N +

-1G k -N

(i )

-1

H 2(G k , t ) B

10(ma)

(t) d t +

j =1

j k

H 6Q -1

N ) B

j )

(N ) d N +

i=1

[H 1(G k , N ) B 6Q -1

(N ) +H 2(G k , N ) B (N ) ]d N

(k =1, 2, , , M I ) (5)

对于界面下方微裂纹应力为

(k )

R nn (

G k ) +

201(

(k ) i R tn (G k )

2e k (k)

B (N ) d N +

-1G {k -N

202(

i H

Q [h (G , N ) B

1-1

(k )

(N ) +h 2(G k , N ) B

(j)

(k )

(N ) ]d N +

-1

[H G k , t) B

(m a)

(t ) +H

G k , t) B

(m a)

(t ) ]d t +

j=1

[H 1(G ) B k , N 6Q -1

(i)

(N ) +

G ) B k , N

j )

(N ) ]d N +

i=1

i X k

[H 1(G ) B k , N 6Q -1

(i )

(N ) +H 2(G k , N ) B (N ) ]d N

(k =1, 2, , , M s ) (6)

(4) ~(6) 式中假定所有微裂纹半长度为1, 其中函数H 1, H 1, 等均在附录中给出.

我们假定所有裂面均无应力作用, 则可建立奇异积分方程组

R (yy ma) (u) +i R (x ma) y (u) =0P

R yy (G j ) +i R xy (G j ) =0R (tn k) (G k ) +i R (tn k) (G k ) =0

位移单值性要求微裂纹

(j )

(j)

(j =1, 2, , M I ) (k =1, 2, , M s )

(7)

2 方程的求解

-1

B J (N ) d N =0 (J =1, 2, M I , M I +1, , M I +M s )

(8)

根据Rice [12]提出的界面断裂理论, 裂尖前方的应力场和位移场分别为

R yy +i R x y =D y +i D x =G =

-1/2+

2P 2

i E

c 1+c 2

K r -1/

2P (1+2i E ) cosh(P E )

(9)

c 1+c 2

|K |

290 力学学报 1997 年第 29 卷

其中K 是复应力强度因子(SIF) , G 是应变能释放率(SERR) , E =反变换, 得到主裂纹裂尖

K =(2P ) K

]

3/2

ln . 利用文[16]给出的2P 1+B

1-B lim t y 1

1+t

1/2-i E

B (m a) (t)

(10)

B (t)

=(2P ) 3/2

[17]

[18]

1-B lim t y -1+1+t

1/2-i E

式中K ]代表远场载荷.

我们采用Erdogan

及Lu

的方法数值求解方程(7) , (8). 将主裂纹位错函数取为N

1/2+i E (ma)

B (t) =A (m ma) T m (t ) H 61-t m=0

3/2

式中T m (N ) 是m 阶Chebyshev 多项式, A m 为复系数. 主裂纹裂尖SIF 可表示为

K =(2P )

1-B

m=0

A (m m a)

于是界面主裂纹同微裂纹之间的干涉问题得到解决.

3结果分析和讨论

为简化问题, 本文研究单根微裂纹同主裂纹之间的干涉. 当G m a /G ]

主裂纹, 当G ma /G ]>1时称锐化主裂纹, 而当G ma /G ]=1时叫中性效应. 定义远场载荷角W =

]

tg -1(K I ]/K II ) , 我们依次讨论以下几类干涉问题.

图3 界面主裂纹同单根微裂纹的干涉图

Fig. 3 The interaction betw een macrocrack and a single m i crocrack

第 3 期高山等:界面主裂和微裂纹之间的干涉 291

图4 W =90. , L/2a 分别为0. 1, 0. 15, 0. 25, 0. 5时界面主裂纹SERR 同Dunder . s 参数A 的关系图

Fig. 4 T he SERR of the macrocrack versus

Dunder . s parameter A , W =90. , L/2a=0. 1, 0. 15, 0. 25, 0. 5

图5 A =0. 4, 远场载荷角W 分别为90. , 60. , 45. , 30.

时界面主裂纹SERR 同L/2a 的关系图

Fig. 5 The SERR of the macrocrack versus L/2a,

A =0. 4, W =90. , 60. , 45. , 30

图6 H/2a=0. 5, W 分别为0. , 15. , 30. , 45. , 90.

时界面主裂纹SERR 同Dunder c s 参数A 的关系图Fi g. 6 T he S ERR of the macrocrack vers us A ,

H/2a=0. 5,

时界面主裂纹S ERR 同H/2a 的关系图

Fig. 7 The S ERR of the macrocrack versus H/2a,

A =0. 4,

292 力学学报 1997 年第 29 卷

图8 d/a=1. 5, A 分别为-0. 4, 0, 0. 4时界面主裂纹SERR 同裂纹位置角H 的关系图Fi g. 8 T he S ERR of the macrocrack versus H ,

d /a =1. 5, A =0. 4, 0, -0. 4

图9 A 分别为-0. 4, 0, 0. 4时界面主裂纹S ERR

最大值同最小值的差值同d /a 的关系图Fig. 9 The difference betw een the maximum

and minimum S ERR versus d /a ,

A =-0. 4, 0, 0.

图10 d /a =1. 5, W =90b , A 分别为-0. 8, -0. 6, -0. 4, -0. 2, 0, 0. 2, 0. 4, 0. 6, 0. 8时界面主裂纹的屏蔽区和锐化区图

Fig. 10 The regions of the shielding and amplificati on for d /a =1. 5, W =90

图11 d /a =1. 5, W 分别为90b , 120b , A 分别为-0. 4, 0时界面主裂纹的屏蔽区和锐化区图

Fig. 11 The regions of the sh i eldi ng and amplification for d /a =1. 5, W =90b and A =0. 4, 0

第 3 期高山等:界面主裂和微裂纹之间的干涉 293

参考文献

1 Kachanov M. Effective elastic properties of crack ed solid:cri tical reviews of som e basic concepts. App l. M ech. Re v. , 1992, 15:304~335

2 Cai H, Faber KT. On the use of approxi m ati on methods for microcrack shieldi ng problems. J App 1. M ech , AS M E , 1992, 59:

497~501

3 Horri M , Nemat-nasser S. Interacti ng microcracks near the ti p in the process zone of a macrocrack. J M e ch Phys Solid s , 1987,

35:601~629

4 Gong XS, Horii H. General solution to the problem of m icrocrack n ear th e tip of a main crack. J M ech Phys S olids, 1989,

37:27~46

7 Williams M L. The stresses around a fault or crack in dissimi lar m edia. Bu lle tin of the Seismolog ical Society of A merica , 1959,

49:199~2048 England AH. A crack betw een dissi m i lar media. J Appl Mech. , ASM E, 1965, 32:403~4109 Comninou M. The interface crackr.

J Ap pl M ech A SM E , 1977, 44:780~782

17 Erdogan F, Gupta GD, Cook TS. Numerical solution of singular integral equati ons. M echanics of Fracture (Edited by GC Sih) ,

1973, 1

18 Lu H , Larner T J. A note on the interface crack problem. J App l M ec h , A SM E . 1992, 59:452~454

附录

H 2(u , N ) =

j -S j

, s =N

u +1

ma)

2iIm [z (i ma) -s i ]20iIm (S i ) 20iIm [z (]i 02

H 1(u , N ) =+

[z (i ma ) -s i ]2[z (i m a) -s i ]2[z (i ma) -s i ]2

ma)

80Im [z (]Im (s i ) i 02H 2(u , N ) =2Re z (ma) -s ++-P i i z i -s i z i - s i [z i - s i ]

, s =[z (i ) -c (i ) ]+N e i H z (i ma) =-c (i) +i 0i u +1

H 012(G k , t) =[z ma -s ](1+t)

(k ) (k ) z ma =z 0+G k , s =t +1

H 11) =(k ) 2(G k , N

z j -s j

z (j k) =c (k) -c (j ) +G k , s j =N

2iIm [z (i k ) -s i ]20iIm (s i ) 20iIm [z i (k) ]12

H 1(G k , N ) =+

[(k ) ]2k ) i 2z (i k ) s i 2Z (j ma) =-c (j ) +

294 力学学报 1997 年第 29 卷

H (2 12) (

G k , N ) =2Re 80Im [z (z i k ) ]i -s i +z i -s i +z i -s i Im (s i ) [z i -s i ]p

z (i k ) =c (k) -c (i ) +G k , s i =z (0i) -c (i)

+N e i H i

(k)

h 1(G k , N

) =te e k 2i H

-k h k e

k ar

z (k k ) -s 2+z (k k)

-s 2

+(1-e k 2i H )

z (41k k ) -s

k z (k 61

k) -s 2h 2(G k e k

2i H 80Im M e z (k k )

, N ) =

Im (s k ) z (k k ) -s k +z (k k ) - s k [z (k k) -s k ]3

(ct

1-e k 2i H )

z (k k ) +20iIm (s k )

-s k z (k k )

-s 2

z (k k ) =z (0k ) -c (k ) +G k e i H k , s k =z (0k ) -c (k )

+N e i H k (k)

201(

G k , t) =2i H

(1+t)

2(1-e k ) z (ma k ) -s +e k 2i H [z (ma k )

-s ]3H 202(G k , t) =

2(1+t) 2

(1-e i H k ) z (ma -s +e 2i H z (ma -s +k )

k k ) z (m k) a -s z (m k) a =z (0k) +G k e i H k , s =

t +1

H 211(

G k , N ) =(

1-e k 2i H )

-B ) I m [z (j k)

z (j k) -s j +e k

2i H 2i(1

][z (j k ) -s j ]

H 212(G k , N ) =(1-[e 2i H (k )

(j k)

-s j +e 2i H k z j -s j +z j -s j z (j k) =z (0k) -c (j ) +G k e i

H k , s j =N H 221(

G k , N ) =e k

2i H z (i k) -s i [20iIm (s i ) (k)

z (i k)

-s i

2z (i k ) -s i 2+z i

z (i k) -s i 2+

(1-e 之间

k 2i H ) 20iIm S i

z i -s i

i - s i

z K n

i -s H 222(

G k , N ) =e 2i

H k 2Re v 80Im z (i k)

(Im +(s i ) z i -s i + z (i k ) -s i

+z i (k) - s i z (i k ) -s 3+ (1-e k 2i H )

iIm (s i )

z |

i - s i

z i -s i

20z i - s i (

z (i k ) =z (0k ) -c (i ) j

+G k e i H k , s i =z (0i) -c (i )

+N e i H i

(

第 3 期高山等:界面主裂和微裂纹之间的干涉 295

INTERAC TIO N MBETWEEN INTERFACE MACROCRACK AND MIC ROCRACKS

Gao Shan Wang Xiaoming Shen Yapeng

(Dep ar tment of Engineer ing Mechanics , Xi . an J iaotong University , Shaanx i Xi . an 710049, China )

界面主裂纹和微裂纹之间的干涉

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