浙江大学[微积分(1)]历年期末考试试题

浙江大学《微积分(1)》历年期末考试试题

一、 极限与连续

1、

求lim−(x+2)]

x→+∞

2、 求lim(−

x→0

1x1 x

e−1

3、

求lim

x→−∞

x

x+lnx4、 求

x→0

1x．

5、 求 lim(e−x)

x→0

x

6、 求lim

sinx−tanx

x→0tanx(ex−1)ln(1−x)12+cosxx[(−1] 3x37、 求lim

x→0

8、

求x→0

9、

求lim

1

2

x,

10、 求lim(cosx)sin

x→0

1

x

sinxx 11、 求lim(

x→0x

1

12、 求lim(xsinx+cosx)x.

x→0

1

13、 求 lim(sinx+cosx)

x→0

2

x．

2+cosxx2

14、 求lim().

x→03

1

1−1

15、

若lim=求：a的值. ax→0x2

16、 设un=（1+L（1+，求：limun. 1+nn→∞nn





12

n

1n

x+enx

17、 设当x>−1时f(x)=lim，讨论f(x)的连续性．

n→+∞1+enx

18、 设f(x)=u(x)+v(x)，g(x)=u(x)−v(x)，并设limu(x)与limv(x)均不存在，则下

x→0

x→0

列结论正确的是 【 】 （A）若limf(x)不存在，则limg(x)必存在；

x→0

x→0

（B）若limf(x)不存在，则limg(x)必不存在；

x→0

x→0

（C）若limf(x)存在，则limg(x)必不存在；

x→0

x→0

（D）若limf(x)存在，则limg(x)必存在.

x→0

x→0

二、 导数与微分

1、 设y=(cosx)sinx+(arcsin2x)3+eπ，求：dy. 2、 设y=

dy1

tan5x+e4xxcosx+lnπ，求：. 2dx

dyf2(cosx)

3、 设f(x)可导，y=x，求：.

dx

lnx

4、 求：y=(x>0)的值域.

x

(10)

5、 设 y=xln(1+x)，求：y对x的10阶导数y(x).

dxd2x

6、 设函数x=x(y)由y−x+sinx=0所确定，求：2

dydy

7、

设y=arcsin

xe，求：dy.

2

2x

=t2

d2yx∫0cossds,

8、 设y=y(x)由参数式所确定，求：2.

dx4y=sint,

9、 设y=y(x)是由方程ln(x2+y)=x3y+sinx所确定，求：

dy

dx

．

x=0

10、

设y=+xe，求：dy.

2

3

2x

11、 设y=y(x)是由方程ln(x+y)=xy+sinx所确定，求：

sin4x

+(arctan2x)3+ln2，求:12、 设y=x

dy

dx

．

x=0

dy. dx

x+y

13、 设y=y(x)是由方程e−2x−xy−1=0确定的x的可导函数，求：dyx=0.

14、 设f′′(a)存在，f′(a)≠0，求：lim[

x→a

11

−.

f′(a)(x−a)f(x)−f(a)

x→∞

15、 设f(x)在(a，+∞)内可导，且limf′(x)=a,证明：lim

x→∞

f(x)

=a． x

dyd2yx=sint−arctant,x

16、

设,2 3.

设y(x)=arccote−，求y′(x). 求

dxdxy=ln(t+d2yx=17、

设,求2.

dxy=arcsint

18、 设由参数式

x=t+arctant+1

3

y=t+6t

，所确定的函数y=y(x)在t=−1处的一阶导数

dy,dx

d2y

及二阶导数2.

dx

x=t2+2t

19、 设由参数式，确定了y为x的函数y=y(x)，求曲线y=y(x)的凹、

y=t−ln(1+t)

凸区间及拐点坐标（区间用x表示，点用(x,y)表示）. 20、 求函数y=x⋅2的极小值.

21、 求由方程2y−2y+2xy+y−x=0确定的函数y=y(x)的极值,并问此极值是极大

值还是极小值，说明理由．

22、 求曲线y=arctanx在横坐标为1的点处的切线方程23、 求曲线ln(y+x)−cos(xy)=x上点x=0处的切线方程. 24、 设x>0,证明f(x)=(x−4)e−(x−2)ex+2

x

2

3

2

2

x

4

(b−a). 2e

exsinx

26、 已知F(x)=x

a

数连续.

x≠0x=0

为连续函数.（1）求常数a； （2）证明F(x)的导函

27、 设常数a>0，讨论曲线y=ax与y=2lnx在第一象限中公共点的个数.

28、 设f(x)在(−∞,+∞)上存在二阶导数, f(0)0,证明: (1) f(x)至多有两

个零点,至少有一个零点；（2）若f(x)的确有两个零点，则此两个零点必反号（.注：f(x)的零点就是方程f(x)=0的根）

29、 设f(x)在闭区间[a，b]上连续，(a，b)内可导， （Ｉ）叙述并证明拉格朗日中值定理；

（II）如果再设f(a)=f(b)，且f(x)不是常数，试证明至少存在一点ξ∈(a，b)使

f′(ξ)>0．

30、 证明函数f(x)极值的第二充分条件定理：

（1）设f(x)在x=x0处存在二阶导数，f′(x0)=0,f′′(x0)=A>0(A

（2）并请举例说明：上述定理仅是充分条件而非必要条件，即：f(x)在x=x0处存在二阶导数，f′(x0)=0，f(x0)为f(x)的极小（大）值，但f′′(x0)并不一定为正（负）． 31、设y=f(x)为连续函数，除点x=a外，f(x)二阶可导，y′=f′(x)的图形如图，则

y=f(x) 【 】

（A）有一个拐点，一个极小值点，一个极大值点. （B）有二个拐点，一个极小值点，一个极大值点. （C）有一个拐点，一个极小值点，二个极大值点. （D）有一个拐点，二个极小值点，一个极大值点.

32、曲线y=

1

+ln(1+ex)的渐近线的条数 【 】

x(x−1)

（A）4条； （B）3条； （C）2条； （D）1条.

x2n−1+x2+x

33、设f(x)=lim，则f(x)的不连续点的个数为 【 】 2nn→∞x+1

（A）0个； （B）1个； （C）2个； （D）多于2个. 34、设f(x)在[a,b]上可导，且f′(a)>0,f′(b)f(a)； （B）至少存在一点x0∈(a,b)使f(x0)>f(b)； （C）至少存在一点x0∈(a,b)使f′(x0)=0； （D）至少存在一点x0∈(a,b)使f(x0)=

1

2

(f(a)+f(b))． 三、 不定积分

1、 求∫2x+1

x2+2x+2dx. 2、 求

∫1

(x+1)(x2+1)dx 3、 求

∫1

x2(x+1)dx.

4、

求

． 、 求∫arcsinex

5ex

. 求∫arctanex

6、 e2x

.

7、 求

∫xcosxsin2xdx.

8、 求∫ln(1+x2)

x

3

dx,

x2−x+1

9、 求∫lnxdx, 2

x(x−1)

四、 定积分

1.

求

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫

1−11−11−12−2π060

3+x2

2.

求3.

求4.

求5. 求6.

求

(x3+x2 (x+2x), (x3+2xx, x

sin2x

． 2

1+cosx

.

x3e−xdx. .

+∞0

2

7.

求

+∞2

8.

求

+∞1+∞0+∞0

9. 求

10.

求

11.

已知

∫

e

−x2

−x

+∞dx=，求：∫．

0212. 设f(x)=

∫

1x

sintdt，计算：∫f(x)dx及lim

x→1

2

1

f(x)

x−1

π

13. 已知f(0)=a,f(π)=b,且f′′(x)连续，求：14. 已知

∫[f(x)+f′′(x)]sinxdx

.

sinx3

是f(x)的一个原函数，求：∫xf′(x)dx. x

15. 设b为常数，且积分

∫

+∞1

x2+bx+1(−1)dx收敛，并求b的值及该积分的值. x(x+2)

S(x)

.

x→+∞x

16. 设S(x)=

∫

x0

sintdt, (1) 求：S(π)及S(nπ)；(2) 求：lim

17. 设常数α>0，积分I1=

∫

π20

π

cosxsinx2

dx与I=dx， 2αα∫01+x1+x

试比较I1与I2的大小是I1>I2，I1

18. 设y=y(x)是由y+xy+x

x

32

∫−2x+1=0及y(1)=0所确定，求：lim

x→1

x1

y(t)dt

3

(x−1)

.

x2

19. 当x→0时，∫ecostdt−x−与AxB等价无穷小，求：常数A与B的值.

02

t

20. 设f(x)在[01]，上连续，f(0)=0，并设f(x)在x=0处存在右导数f+′(0)=1，又设

x→

0时，F(x)=x∫A的值．

+

x20

f(u)du−∫

x20

(u)du与Axn为等价无穷小，求：常数n及

21. 设f(x)连续，且f(x)在x=0处存在一阶导数，f(0)=0，f′(0)=1，并设

F(x)=∫

t

x20

f(u)du，已知当x→0时F(x)与Axn为等价无穷小，求：A与n的值．

t

2

dyd2y

22. 设x=∫eds，

y=∫sin(t−s)ds，求：t=处的及2.

00dxdx

−s2

x=tcoss2ds2

dy∫023. 设y=y(x)由参数式所确定，求：2. dx4siny=t

24. 求曲线y=sinx(0≤x≤π)与x轴围成的平面图形分别绕x轴和y轴旋转一周所得的

旋转体体积Vx和Vy.

25. 在曲线段 y=x(0≤x≤8)上, 求一点P(a，a)使得过P点的切线与直线

y=0，x=8所围成的三角形的面积最大．

26. 设曲线C1:y=1−x2(0≤x≤1),x轴和y轴所围区域被曲线C2:y=ax2(a>0)分为面

积相等的两部分，试求常数a的值.

27. 设a

围成的图形的面积D=积V最小.

2

2

2

1

，试确定常数a与b使该图形绕x轴旋转一周而成的旋转体体3

28. 设曲线y=ax2(x≥0，常数a>0)与曲线y=1−x2交于点A，过坐标原点O和点A的

直线与曲线y=ax2围成一平面形D．

(I) 求D绕x轴旋转一周所成的旋转体体积V(a)；（II）求：a的值使V(a)为最大. 29. 求由曲线y=x与y=x+2围成的图形绕直线y=4旋转一周所生成的旋转体体积V. 30. 过坐标原点作曲线y=ex的切线L， (1) 求：L的方程；

（2）以曲线y=e，切线L及x轴负向为边界构成的向左无限伸展的平面区域记为D，求

x2

D的面积；

（3）将D绕x轴旋转一周生成的旋转体记为V，求V的体积.

31.

设α=

∫

6arcsint2dt，β=∫(et−1)dt，则x→0时 【 】

x

2

（A）α与β是同阶但不等价无穷小. （B）α与β是等价无穷小. （C）α是β的高价无穷小. （D）β是α的高价无穷小.

ex

31. 设f(x)=

x

x(x≤0)

，F(x)=∫f(t)dt，则F(x)在x=0处 【 】

−1(x>0)

（A）极限不存在； （B）极限存在，但不连续；

（C）连续但不可导； （D）可导.

五、 无穷级数

∞

2n+12n2n+1n

的收敛区间以及在收敛区间上的和函数，并求∑的和. 1. 求幂级数∑n!n!n=0n=0

∞

2. 设f(x)=

x

，试将f(x)展开成x的幂级数，并求f(n)(0)2

2x−3x+1

(n≥1).

∞

(−1)n1−2x

3. 将函数f(x)=arctan展开成x的幂级数，并求级数∑的和.

1+2x2n+1n=0

4. 试将函数f(x)=arctan

∞

1−2x

展开成x的幂级数，并写出此展开式成立的开区间. 1+2x

5. 求幂级数

n!n

的收敛半径及收敛区间，并讨论收敛区间端点处级数的敛散性. ∑nnn=1

enx2

6. 设n为正整数，F(x)=

∫

x0

edt+∫

−t2

1

dt t4+1

（I）试证明：函数F(x)有且仅有一个（实）零点（即F(x)=0有且仅有一个实根），

并且是正的，记此零点xn； （II）试证明级数

2

x∑n收敛． n=1∞

7. 将函数f(x)=xarctanx−

并指明成立范围.

1

ln(1+x2)在x=0处展开成泰勒级数（即麦克劳林级数）2

(−1)n−12n

8. 求幂级数∑x的收敛半径、收敛区间及收敛域，并求其和函数.

−2n1n=1

∞

(−1)n

9. 设常数 a满足0

n=1(1+a)n

∞

是发散? 请说明理由. 10. 试将函数f(x)=11. 设an=

1

展开成x−2的幂级数，并写出其成立范围. x2

n−1

∫

10

x(1−x)

dx(n=1，2，L)，(1) 求an； (2) 求∑(−1)nnan.

n=1

∞

12. （1）写出f(x)=e

（2）积分

x2

+e

−x2

展成x的幂级数展开式，并写出其收敛域；

1

x3

−x3

∫

10

(e+e

x2−x2

)dx与积分∫(e+e

)dx谁大谁小，并请说明理由．

13. 设f(x)在区间(0,1)内可导，且f′(x)≤M（M为常数）

证明：① 级数

∑(f(

n=1

∞

111

−f(绝对收敛；② 极限limf()存在.

n→∞2n2n+12n

14. 设an>0(n=1,2,L)，下列结论正确的是 【 】

∞

an1

（A）若存在N>0，当n>N时均有

ann=1∞an1

（B）若存在N>0，当n>N时均有>1，则∑an必发散.

ann=1

∞

（C）若

∑an收敛.则必存在N>0，当n>N时必有

n=1

an+1

（D）若

∑an发散.则必存在N>0，当n>N时必有

n=1

n

∞

an1

>1． an

15. 设级数

∑a

n=1∞n=1∞

∞

收敛，则下述结论不正确的是 【 】

（A）

22

(a+a)必收敛. （B）(a−a∑nn+1∑nn+1)必收敛.

n=1∞

∞

（C）

∑(a

n=1

2n

+a2n+1)必收敛. （D）∑(a2n−a2n+1)必收敛.

n=1

六、 其它

1. 已知抛物线y=ax+bx+c过点(1，2)，且在该点的曲率圆方程为

2

151

(x−2+(y−2=. 则：a=，b=c=222

浙江大学《微积分(1)》历年期末考试试题

一、 极限与连续

1、

求lim−(x+2)]

x→+∞

2、 求lim(−

x→0

1x1 x

e−1

3、

求lim

x→−∞

x

x+lnx4、 求

x→0

1x．

5、 求 lim(e−x)

x→0

x

6、 求lim

sinx−tanx

x→0tanx(ex−1)ln(1−x)12+cosxx[(−1] 3x37、 求lim

x→0

8、

求x→0

9、

求lim

1

2

x,

10、 求lim(cosx)sin

x→0

1

x

sinxx 11、 求lim(

x→0x

1

12、 求lim(xsinx+cosx)x.

x→0

1

13、 求 lim(sinx+cosx)

x→0

2

x．

2+cosxx2

14、 求lim().

x→03

1

1−1

15、

若lim=求：a的值. ax→0x2

16、 设un=（1+L（1+，求：limun. 1+nn→∞nn





12

n

1n

x+enx

17、 设当x>−1时f(x)=lim，讨论f(x)的连续性．

n→+∞1+enx

18、 设f(x)=u(x)+v(x)，g(x)=u(x)−v(x)，并设limu(x)与limv(x)均不存在，则下

x→0

x→0

列结论正确的是 【 】 （A）若limf(x)不存在，则limg(x)必存在；

x→0

x→0

（B）若limf(x)不存在，则limg(x)必不存在；

x→0

x→0

（C）若limf(x)存在，则limg(x)必不存在；

x→0

x→0

（D）若limf(x)存在，则limg(x)必存在.

x→0

x→0

二、 导数与微分

1、 设y=(cosx)sinx+(arcsin2x)3+eπ，求：dy. 2、 设y=

dy1

tan5x+e4xxcosx+lnπ，求：. 2dx

dyf2(cosx)

3、 设f(x)可导，y=x，求：.

dx

lnx

4、 求：y=(x>0)的值域.

x

(10)

5、 设 y=xln(1+x)，求：y对x的10阶导数y(x).

dxd2x

6、 设函数x=x(y)由y−x+sinx=0所确定，求：2

dydy

7、

设y=arcsin

xe，求：dy.

2

2x

=t2

d2yx∫0cossds,

8、 设y=y(x)由参数式所确定，求：2.

dx4y=sint,

9、 设y=y(x)是由方程ln(x2+y)=x3y+sinx所确定，求：

dy

dx

．

x=0

10、

设y=+xe，求：dy.

2

3

2x

11、 设y=y(x)是由方程ln(x+y)=xy+sinx所确定，求：

sin4x

+(arctan2x)3+ln2，求:12、 设y=x

dy

dx

．

x=0

dy. dx

x+y

13、 设y=y(x)是由方程e−2x−xy−1=0确定的x的可导函数，求：dyx=0.

14、 设f′′(a)存在，f′(a)≠0，求：lim[

x→a

11

−.

f′(a)(x−a)f(x)−f(a)

x→∞

15、 设f(x)在(a，+∞)内可导，且limf′(x)=a,证明：lim

x→∞

f(x)

=a． x

dyd2yx=sint−arctant,x

16、

设,2 3.

设y(x)=arccote−，求y′(x). 求

dxdxy=ln(t+d2yx=17、

设,求2.

dxy=arcsint

18、 设由参数式

x=t+arctant+1

3

y=t+6t

，所确定的函数y=y(x)在t=−1处的一阶导数

dy,dx

d2y

及二阶导数2.

dx

x=t2+2t

19、 设由参数式，确定了y为x的函数y=y(x)，求曲线y=y(x)的凹、

y=t−ln(1+t)

凸区间及拐点坐标（区间用x表示，点用(x,y)表示）. 20、 求函数y=x⋅2的极小值.

21、 求由方程2y−2y+2xy+y−x=0确定的函数y=y(x)的极值,并问此极值是极大

值还是极小值，说明理由．

22、 求曲线y=arctanx在横坐标为1的点处的切线方程23、 求曲线ln(y+x)−cos(xy)=x上点x=0处的切线方程. 24、 设x>0,证明f(x)=(x−4)e−(x−2)ex+2

x

2

3

2

2

x

4

(b−a). 2e

exsinx

26、 已知F(x)=x

a

数连续.

x≠0x=0

为连续函数.（1）求常数a； （2）证明F(x)的导函

27、 设常数a>0，讨论曲线y=ax与y=2lnx在第一象限中公共点的个数.

28、 设f(x)在(−∞,+∞)上存在二阶导数, f(0)0,证明: (1) f(x)至多有两

个零点,至少有一个零点；（2）若f(x)的确有两个零点，则此两个零点必反号（.注：f(x)的零点就是方程f(x)=0的根）

29、 设f(x)在闭区间[a，b]上连续，(a，b)内可导， （Ｉ）叙述并证明拉格朗日中值定理；

（II）如果再设f(a)=f(b)，且f(x)不是常数，试证明至少存在一点ξ∈(a，b)使

f′(ξ)>0．

30、 证明函数f(x)极值的第二充分条件定理：

（1）设f(x)在x=x0处存在二阶导数，f′(x0)=0,f′′(x0)=A>0(A

（2）并请举例说明：上述定理仅是充分条件而非必要条件，即：f(x)在x=x0处存在二阶导数，f′(x0)=0，f(x0)为f(x)的极小（大）值，但f′′(x0)并不一定为正（负）． 31、设y=f(x)为连续函数，除点x=a外，f(x)二阶可导，y′=f′(x)的图形如图，则

y=f(x) 【 】

（A）有一个拐点，一个极小值点，一个极大值点. （B）有二个拐点，一个极小值点，一个极大值点. （C）有一个拐点，一个极小值点，二个极大值点. （D）有一个拐点，二个极小值点，一个极大值点.

32、曲线y=

1

+ln(1+ex)的渐近线的条数 【 】

x(x−1)

（A）4条； （B）3条； （C）2条； （D）1条.

x2n−1+x2+x

33、设f(x)=lim，则f(x)的不连续点的个数为 【 】 2nn→∞x+1

（A）0个； （B）1个； （C）2个； （D）多于2个. 34、设f(x)在[a,b]上可导，且f′(a)>0,f′(b)f(a)； （B）至少存在一点x0∈(a,b)使f(x0)>f(b)； （C）至少存在一点x0∈(a,b)使f′(x0)=0； （D）至少存在一点x0∈(a,b)使f(x0)=

1

2

(f(a)+f(b))． 三、 不定积分

1、 求∫2x+1

x2+2x+2dx. 2、 求

∫1

(x+1)(x2+1)dx 3、 求

∫1

x2(x+1)dx.

4、

求

． 、 求∫arcsinex

5ex

. 求∫arctanex

6、 e2x

.

7、 求

∫xcosxsin2xdx.

8、 求∫ln(1+x2)

x

3

dx,

x2−x+1

9、 求∫lnxdx, 2

x(x−1)

四、 定积分

1.

求

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫

1−11−11−12−2π060

3+x2

2.

求3.

求4.

求5. 求6.

求

(x3+x2 (x+2x), (x3+2xx, x

sin2x

． 2

1+cosx

.

x3e−xdx. .

+∞0

2

7.

求

+∞2

8.

求

+∞1+∞0+∞0

9. 求

10.

求

11.

已知

∫

e

−x2

−x

+∞dx=，求：∫．

0212. 设f(x)=

∫

1x

sintdt，计算：∫f(x)dx及lim

x→1

2

1

f(x)

x−1

π

13. 已知f(0)=a,f(π)=b,且f′′(x)连续，求：14. 已知

∫[f(x)+f′′(x)]sinxdx

.

sinx3

是f(x)的一个原函数，求：∫xf′(x)dx. x

15. 设b为常数，且积分

∫

+∞1

x2+bx+1(−1)dx收敛，并求b的值及该积分的值. x(x+2)

S(x)

.

x→+∞x

16. 设S(x)=

∫

x0

sintdt, (1) 求：S(π)及S(nπ)；(2) 求：lim

17. 设常数α>0，积分I1=

∫

π20

π

cosxsinx2

dx与I=dx， 2αα∫01+x1+x

试比较I1与I2的大小是I1>I2，I1

18. 设y=y(x)是由y+xy+x

x

32

∫−2x+1=0及y(1)=0所确定，求：lim

x→1

x1

y(t)dt

3

(x−1)

.

x2

19. 当x→0时，∫ecostdt−x−与AxB等价无穷小，求：常数A与B的值.

02

t

20. 设f(x)在[01]，上连续，f(0)=0，并设f(x)在x=0处存在右导数f+′(0)=1，又设

x→

0时，F(x)=x∫A的值．

+

x20

f(u)du−∫

x20

(u)du与Axn为等价无穷小，求：常数n及

21. 设f(x)连续，且f(x)在x=0处存在一阶导数，f(0)=0，f′(0)=1，并设

F(x)=∫

t

x20

f(u)du，已知当x→0时F(x)与Axn为等价无穷小，求：A与n的值．

t

2

dyd2y

22. 设x=∫eds，

y=∫sin(t−s)ds，求：t=处的及2.

00dxdx

−s2

x=tcoss2ds2

dy∫023. 设y=y(x)由参数式所确定，求：2. dx4siny=t

24. 求曲线y=sinx(0≤x≤π)与x轴围成的平面图形分别绕x轴和y轴旋转一周所得的

旋转体体积Vx和Vy.

25. 在曲线段 y=x(0≤x≤8)上, 求一点P(a，a)使得过P点的切线与直线

y=0，x=8所围成的三角形的面积最大．

26. 设曲线C1:y=1−x2(0≤x≤1),x轴和y轴所围区域被曲线C2:y=ax2(a>0)分为面

积相等的两部分，试求常数a的值.

27. 设a

围成的图形的面积D=积V最小.

2

2

2

1

，试确定常数a与b使该图形绕x轴旋转一周而成的旋转体体3

28. 设曲线y=ax2(x≥0，常数a>0)与曲线y=1−x2交于点A，过坐标原点O和点A的

直线与曲线y=ax2围成一平面形D．

(I) 求D绕x轴旋转一周所成的旋转体体积V(a)；（II）求：a的值使V(a)为最大. 29. 求由曲线y=x与y=x+2围成的图形绕直线y=4旋转一周所生成的旋转体体积V. 30. 过坐标原点作曲线y=ex的切线L， (1) 求：L的方程；

（2）以曲线y=e，切线L及x轴负向为边界构成的向左无限伸展的平面区域记为D，求

x2

D的面积；

（3）将D绕x轴旋转一周生成的旋转体记为V，求V的体积.

31.

设α=

∫

6arcsint2dt，β=∫(et−1)dt，则x→0时 【 】

x

2

（A）α与β是同阶但不等价无穷小. （B）α与β是等价无穷小. （C）α是β的高价无穷小. （D）β是α的高价无穷小.

ex

31. 设f(x)=

x

x(x≤0)

，F(x)=∫f(t)dt，则F(x)在x=0处 【 】

−1(x>0)

（A）极限不存在； （B）极限存在，但不连续；

（C）连续但不可导； （D）可导.

五、 无穷级数

∞

2n+12n2n+1n

的收敛区间以及在收敛区间上的和函数，并求∑的和. 1. 求幂级数∑n!n!n=0n=0

∞

2. 设f(x)=

x

，试将f(x)展开成x的幂级数，并求f(n)(0)2

2x−3x+1

(n≥1).

∞

(−1)n1−2x

3. 将函数f(x)=arctan展开成x的幂级数，并求级数∑的和.

1+2x2n+1n=0

4. 试将函数f(x)=arctan

∞

1−2x

展开成x的幂级数，并写出此展开式成立的开区间. 1+2x

5. 求幂级数

n!n

的收敛半径及收敛区间，并讨论收敛区间端点处级数的敛散性. ∑nnn=1

enx2

6. 设n为正整数，F(x)=

∫

x0

edt+∫

−t2

1

dt t4+1

（I）试证明：函数F(x)有且仅有一个（实）零点（即F(x)=0有且仅有一个实根），

并且是正的，记此零点xn； （II）试证明级数

2

x∑n收敛． n=1∞

7. 将函数f(x)=xarctanx−

并指明成立范围.

1

ln(1+x2)在x=0处展开成泰勒级数（即麦克劳林级数）2

(−1)n−12n

8. 求幂级数∑x的收敛半径、收敛区间及收敛域，并求其和函数.

−2n1n=1

∞

(−1)n

9. 设常数 a满足0

n=1(1+a)n

∞

是发散? 请说明理由. 10. 试将函数f(x)=11. 设an=

1

展开成x−2的幂级数，并写出其成立范围. x2

n−1

∫

10

x(1−x)

dx(n=1，2，L)，(1) 求an； (2) 求∑(−1)nnan.

n=1

∞

12. （1）写出f(x)=e

（2）积分

x2

+e

−x2

展成x的幂级数展开式，并写出其收敛域；

1

x3

−x3

∫

10

(e+e

x2−x2

)dx与积分∫(e+e

)dx谁大谁小，并请说明理由．

13. 设f(x)在区间(0,1)内可导，且f′(x)≤M（M为常数）

证明：① 级数

∑(f(

n=1

∞

111

−f(绝对收敛；② 极限limf()存在.

n→∞2n2n+12n

14. 设an>0(n=1,2,L)，下列结论正确的是 【 】

∞

an1

（A）若存在N>0，当n>N时均有

ann=1∞an1

（B）若存在N>0，当n>N时均有>1，则∑an必发散.

ann=1

∞

（C）若

∑an收敛.则必存在N>0，当n>N时必有

n=1

an+1

（D）若

∑an发散.则必存在N>0，当n>N时必有

n=1

n

∞

an1

>1． an

15. 设级数

∑a

n=1∞n=1∞

∞

收敛，则下述结论不正确的是 【 】

（A）

22

(a+a)必收敛. （B）(a−a∑nn+1∑nn+1)必收敛.

n=1∞

∞

（C）

∑(a

n=1

2n

+a2n+1)必收敛. （D）∑(a2n−a2n+1)必收敛.

n=1

六、 其它

1. 已知抛物线y=ax+bx+c过点(1，2)，且在该点的曲率圆方程为

2

151

(x−2+(y−2=. 则：a=，b=c=222