东 莞 理 工 学 院
本 科 毕 业 论 文
（2015届）
题 目: 多项式方程的判别式与求根公式
学生姓名: 姚培基
学 号: [1**********]0
院（系）: 计算机学院
专业班级: 信息与计算科学（2）班
指导教师:
起止时间: 2015年1月—2015年5月
多项式方程的判别式与求根公式
摘 要: 近代数学史甚至能说是一部求解多项式方程的历史。对于高次方程的数值根求解法，人们从很早就开始并一直探求这样的问题。而且在古代，很多人都想出了一个办法来解决各种各样的多项式方程。如卡尔米诺的《大术》，贾宪的《黄帝九章算法细草》，秦九韶的《数书九章》等等。
在目前，有关问题求解多项式方程根的在工程实践中占有举足轻重的地位。如在人类的生活过程中，经济建设和科学技术的发展过程中，计算一直起着非常重要的作用。当人们在进行科学或者工程计算时，求解多项式方程组更是非常容易遇到的问题之一。许多领域如自然生活和工程科学最终都可以归结为求解多项式方程组的问题。这个时候人们就通常需要处理求解代数方程组的问题，如果当项较简单或变元较少时，计算过程就好相对来说简单一些; 但是当项非常复杂或变元非常多的时候，那么其求解的过程中往往会遇到比较多的困难。
对多项式方程的判别式和求根公式的研究，在理论研究和
实际工程计算中，具有十分重要的意义。
关键词: 多项式; 判别式; 求根公式; MATLAB
Discriminant and seek the root of polynomial equations
Abstract : the modern mathematics that would become a history of polynomial equation solution. People long ago began to explore the problem of high order equation of numerical method. But in ancient times, many people have been developed to solve all kinds of method of polynomial equations. Such as "chapter nine of the yellow emperor algorithm fine grass" of jia xian, chiu-shao the number of book chapter nine, Carl mino "big operation" and so on.
In nowadays, polynomial equation for the root problem
has a pivotal position in the engineering practice. As in human life, economic construction and development of science and technology in the process of calculation is always plays a very important role. In science and engineering calculation, to solve the polynomial equations is one of the most common problems in the natural life and the computing problem in the field of engineering science and many other eventually all boils down to solving the polynomial equations. At this time often need to deal with algebraic equations to solve the problem, if the argument or a simpler, less calculation process is relatively simple; And when the argument is very more or when the item is very complex, its
solving process is often more difficult.
The discriminant and seek the root of polynomial
equations, in theoretical research and practical engineering calculation, have very important significance.
Key words :
MATLAB polynomial; The discriminant.
Root formula;
目 录
一、引言..................................................................................................... 1
（一）一元二次方程的判别式和求根与韦达定理 ..................... 1
（二）一元三次方程的判别式和求根公式及其推导 ................... 2
（三） 一元四次方程的解法 ...................................... 5
二、一元多次多项式 ................................................................................ 8
（一） 代数基本定理 . ........................................... 9
（二） 域论基础 . .............................................. 10
（三） 多项式方程的判别式 ..................................... 11
（四） 牛顿恒等式 . ............................................ 12
（五） 关于一元五次方程 ....................................... 19
三、总结与展望 ......................................................................................20
参考文献...................................................................................................23
致谢 . ..........................................................................................................25
一、引言
在人类研究数学的历史长河中，追溯到公元9世纪的波斯，数学家、天文学家及地理学家花拉子米作为第一人给出了一元二次方程的一般解法。而在1100年奥玛·海亚姆则根据于一元三次的方程的特殊性作出了不一般的解法。到了1541年，有名数学家塔尔塔利亚提出了对于一元三次方程一般解法的问题。1797年，德国著名数学家、物理学家、天文学家高斯提出了代数的基本定理，首次证实了一元高次代数方程的根的存在。1819年，霍纳给数值方程根的另一种解法——霍纳法，俗称为劈因子法。
（一） 一元二次方程的求根
代数方程中的一个重要内容是一元二次方程，他是我们学习基本代数的重点和基础，在方程和方程组的进一步研究的基础上有非常重要的作用，如初始知识的功能，二次曲线和不等式等。
对于一元二次方程 ax +bx +c =0(a ≠0) 的判别式为：∆=b -4ac 。 ∆>0⇔有两个不相等的实数根。
∆=0⇔有两个不相等的实数根。
∆
判别式包括以下几点作用：
1、对于数字系数的方程可以先直接计算判别式值，然后根据判别式的值，确定根的情况；
2、对于未知系数的一元二次方程，如果已知方程的根的情况，借此可判断判别式的值大于零、等于零还是小于零，从而判断未知系数的取值范围；
3、使用配方法，并连接一元二次方程根的判别式，即可证明存在未知系数的一元二次方程根的相关问题。
首先，对于ax 2+bx +c =0的方程进行配方化解：
2
b b c 2x +x +=0；再同时加上和减去2，得： a a 4a
b b 2b 2c x +x +2=2-；两边同时配方： a 4a 4a a 2
b 2b 2+4ac (x +) = 22a 4a
最后即可得
: x =根据一元二次方程的两个解，
。
-b +-b b x 1+x 2=+=-2a 2a a ，
-b +-b -c x 1∙x 2=∙=2a 2a a
理。
，这就是著名的韦达定
开拓和应用创造了广阔的发展空间，为数学中的一元多次方程的发展和研究奠定了厚实基础。
（二） 一元三次方程的求根公式及其推导
三次方程是未知项总次数最高为3的整式方程，一元三次方程一般形式为Ax 3+Bx 2+Cx +D =0（A ≠0），其中A, B,C和D (A≠0) 是属于一个域的数字，通常这个域为R 或C 。
实际上，我们在高中的时候，在数学书上也接触过不少的一元三次方程。但是那些一元三次方程往往都是相对比较简单的，就如x -1=0，x
3233+x =0 ，还有x -2x +x =0。对与这种一元三次方程我们都能一目了然的找到其解。不过，对于一元三次方程的探究，这点是远远不够的。
南宋的数学家秦九韶最晚在公元1247年就已经成功地发现一元三次方程的求根公式，而根据据现在可靠的史料可知，欧洲人是在之后的400多年才发现的。但非常遗憾的是，在中国的课本上依然是用那个欧洲人的名字来命名这个公式的。
由于一个一般的一元三次方程Ax 3+Bx 2+Cx +D =0（A ≠0）均可讲过移轴B 3B 2B 2B 3BC -+D ) =0 公式化为A (x +) +(C -)(x +) +(3A 3A 3A 27A 23A
即是(3Ax +B ) 3+(9AC -3AB )(3Ax +B ) +(2B 3-9ABC +27A 2D ) =0
x 3+px +q =0的特别形式，所以，研究此类一元三次方程即可。
1. 实数根的判定：
设F (x ) =x 3+px +q ，则F (x ) =0既方程x 3+px +q =0，F (x ) 零点的个数即方程x 3+px +q =0实数根的个数。
（1）若p>0，则方程F '(x ) =0没有实根，F (x ) 有唯一零点⇔F (x ) =0有唯一实数根。
（2）若p=0，则方程F '(x ) =0有一实根，F (x ) 有唯一零点⇔F (x ) =0有唯一实数根。
（3）若p
x 1=α=
x 2=β=。 1(81q 2+12p 3) >0时，F (x ) 有唯一零点⇔F (x ) =0有唯一81
1(81q 2+12p 3) =0时，F (x ) 有两个零点⇔F (x ) =0有两个81
1(81q 2+12p 3)
实数根。
2.实数根的求解
设有方程
y 3+py +q =0
令
⎧p =-3mn ⎫(m ≥n ) ⎨33⎬⎩q =-(m +n ) ⎭
代入方程：
y 3+py +q
=y 3-3mny -(m 3+n 3)
=(y -m -n )(y -ωm -n )(y -m -ωn )
所以方程
y 3+py +q =0
的解可以归纳为
⎧y 1=m +n ⎪y =ωm +ϖn
⎨2⎪y =ϖm +ωn ⎩3
-1+-1, ϖ=其中ω=。 22
下面我们来求解m 、n 与p 、q 之间的关系，即求解有关m 、n 的二元一次方程组
⎧⎨p =-3mn
⎩q =-(m 3+n 3)
的解集。
在第（2）式中
q 2=(m 3+n 3) 2=m 6+2m 3n 3+n 6
所以
(m 3-n 3) 2=q 2-4(mn ) 3=q 2+4(p 3
3)
故
m 3-n 3=
由此得解
⎧⎪m =⎪⎪
⎨⎪⎪
⎪n =⎩这就建立了m 、n 和p 、q 的函数关系。
因此，方程y 3+py +q =0的全部解为:
⎧⎪y =+⎪1⎪
⎪
⎪y =ω∙+ϖ∙⎨2 ⎪
⎪⎪y =ϖ∙+ω∙⎪3⎪⎩
从而根据 y=3Ax+B 分别可求出x1，x2，x3。 （三） 一元四次方程的解法
同理，一个方程的最高次数项的次数为4的话，那就是一元四次方程。毫无争议的事，我们在高中课本中，也接触过不少的一元四次的方程。但是那些一元
4
四次次方程往往都是相对比较简单的，就如x -1=0，x 4+x =0 ，还有
x 4+x 3-2x 2+x =0等等。对与这种一元三次方程我们都能一目了然的找到其
解。不过，对于一元三次方程的探究，这点更是远远不够的。
自然，人们做了许多努力去找到这些根。像其他的多项式，有时一元四次方程的能够分解出因式；但大部分时间，要把多项式方程因式分解不容易，甚至说这项工作是非常困难的，尤其是当根是复数或无理数时。因此如果能找到一个通式解法或运算法则（如二次方程那样，根据一元二次多项式的特性，能分解为所有的一元二次方程）是很有用的。经过一番努力之后，人们终于找到了可以解决任何四次方程的算法；但经过埃瓦里斯特·伽罗瓦的证明，这样的方法在五次方程在这里停止；也就是说，次数最高的方程就是一元四次方程了，通过一个运算法则可以求出它的解，由一元三次方程上未知数前的系数给出。对于一元五次方程和五次以上的方程，人们就必须找到一种更为有效的方法来寻求高次方程的代数解，就类似于对于五次方程以下的方程那样做。
由于一元四次方程的特殊复杂性，人们并不经常使用求解公式的。通过使用
（对于任何次数的多项式都是真）试错法，或是通过使用鲁菲尼法则（只需所给定的多项式的系数都是有理数）能够求解有理数实根。到了我们现在的高科技时代，通过使用牛顿法，就可以使用无限逼近数值的方法迅速得到要求的解。有时你会想，如何得到四次方程精确的解？那么有：
对形如
的一元四次方程，首先，两边同时除以方程的最高项的系数a ，得
ax 4+bx 3+cx 2+dx +e =0.(a ≠0)
x 4+
b 3c 2d e
x +x +x +=0.(a ≠0) a a a a
移项后有
b ⎫
方程两边同时加上⎛ x ⎪，使方程的左边能够配方为完全平方式：
⎝2a ⎭
2
c ⎫2d e ⎛2b ⎫⎛b
x +x =-x -x -⎪ ⎪
2a ⎭⎝4a 2a ⎭a a ⎝
2
2
x 4+
b 3c d e x =-x 2-x - a a a a
2
此时，两边再同时加上y x +
⎛⎝b ⎫12
x ⎪+y 得:
2a ⎭4
⎡⎛2b ⎫21⎤⎛b 2⎫2⎛b c d ⎫12e x +x +y =-+y x +y -x +y -,(*) ⎢ ⎥ 2⎪⎪ ⎪
2a ⎭2⎥a a ⎭4a ⎝2a ⎢⎝4a ⎭⎣⎝⎦
无论y 的值是什么，若x 为原方程的根，则上式总是成立的。特殊地，如果y 所取的值使等式右边。关于x 的二次三项式实际上也能够化简成一个完全平方式，则对*
式对两边同时进行开方即可得到较低次数的方程。
2
为使上式右边关于x 的二次三项式也能够化简为一个完全平方式，首先令
它的判别式为0，即
⎛b 2d ⎫c ⎛b
∆= y -⎪-4 2-+
a ⎭a ⎝2a ⎝4a
公式求出 y 值，代入
*
2
⎫⎛12e ⎫
y ⎪ y -⎪=0
a ⎭⎭⎝4
该方程是一个关于 y 的一元三次方程，通过一元三次方程的判别式和求根
后并两边开平方，此时一元四次方程就被降次为了一
个一元二次方程，再通过一般求根公式来求解一元二次方程，
最终能得到该一元四次方程的四个复数根。
省略计算步骤，我们最后能够得出一般一元四次方程的求根公式，如下： 设关于x 的一元四次方程
ax 4+bx 3+cx 2+dx +e =0.(a ≠0)
在复数域内的四个解为分别为x1，x2，x3 ，x4 ， 令
2
⎧⎪∆1=c -3bd +12ae ⎨ 322∆=2c -9bcd +27ad +27b e -72ace ⎪⎩2
并记
∆=
+
则有
⎧⎪
⎪x 1=-b -⎪4a ⎪⎪⎪⎪
b ⎪x =--⎪2
4a ⎪⎪⎨⎪⎪b x =-+⎪3
4a ⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪x 4=-b +⎪4a ⎪⎩
-
+由此可见，一元二次到四次方程都可通过求根公式求解。
二、一元多次多项式
（一） 代数基本定理
代数学基本定理：任一系数为复数的一元n 次多项式方程在复数域至少有
一个根(n≥1) 。通过类推法，一个n 次系数为复数的多项式方程在复数域的根（根重按重数计算）有且仅有n 个。代数基本定理在现在代数和数学中有着非常重要和基础的作用。据说，现在已经有200种方法对代数基本定理的证明。
代数基本定理在现在代数和数学中有着非常重要和基础的作用。据说，现在
已经有200种方法对代数基本定理的证明。但目前为止，该定理仍然没有使用纯代数方法的证明。伟大数学家 J.P. 塞尔 曾经说过：代数基本定理的任何证明在根本上都是拓扑的。 美国数学家John Willard Milnor 也曾经给了一个几何直观的证明在数学名著一书《从微分观点看拓扑》上，但是其中许多地方用到了与临界点测度有关的sard 定理。
法国数学家达朗贝尔是第一个给出证明代数学基本定理的人，实际上他的
证明不完整。后来，欧拉也给出了另一个证明，但也存在不足。公元1772年，拉格朗日于又重新给出了该定理的证明，但后来经高斯分析，证明中依然存在很不严格的地方。
通常，人们认为是高斯给出了第一个严格证明代数基本定理(他在哥根 大学的博士论文，1799年) ，该证明的思想如下：
设f (z )为n 次实系数多项式，记z
=x +yi .(x , y ∈R ) ，我们考虑方根：
f (x +yi )=u (x , y )+v (x , y )i =0
即u (x , y )=0, v (x , y )i =0。
这里平面坐标Oxy 上的两条曲线S1、S2，分别表示为
u (x , y )=0, v (x , y )i =0，于是经过对两条曲线作定性的研究之后，高斯证明了
这两条曲线S1、S2一定存在一个交叉点
z 0=a +bi ，能够使
u (x , )y =(v , x )=y 0i f (a +bi )=0，所以Z0就是方程f (z )=0的一个，即
根，这个论证非常高度的具有创造性，但是从我们现代的证明标准来看似乎依然是不够严格的，因为他需要用到曲线的图形，证明它们一定有交叉点，而这些图形往往是比较复杂，里面又隐含了很多尚未证明的拓扑结论等等。
后来高斯又给出了不同的三个证法，其中他在71岁是才公布最后一个证法，
并且他允许多项式的系数是复数在这个证明中。 （二） 域论基础
域：域是环的一种。一般的环和域的不同在于，环中的元素不能进行除法运算，而域要求它的元素（除零元之外）可以进行除法运算，这也就是说每个非零的元素都要存在乘法逆元。同时，在当代的定义中，一般情况下，域中的元素关于乘法要求是可交换的。
一般来说，域是乘法可交换的除环。乘法非交换的除环则称为体，或者反称域。在比较老的定义里，除环则被称作为“域”，而当代意义上的域则被称为“交换域”。
域明确的满足如下性质：
在加法和乘法上封闭
对任意属于F 的a , b , a +b 和a *b 属于F （换一种方式说：加法和乘法是F 上的二元运算）。
加法和乘法符合结合律
对所有属于F 的
a , b , c
，
(a +b ) +c =a +(b +c )
，
(a *b ) *c =a *(b *c )
加法和乘法符合交换律
对所有属于F 的a , b , a +b =b +a , a *b =b *a .
乘法对加法的符合分配律
对所有属于F 的a , b , c , a *(b +c ) =(a *b ) +(a *c ) .
存在加法单位
在F 中有元素0，使得所有属于F 的a , a +0=
存在乘法单位
a .
在F 中有与0不同的元素1，使得所有属于F 的a , a *1=a .
存在加法逆元
对所有属于F 的
存在乘法逆元
a ，存在-a 使得a +(-a ) =0。
对所有a ≠0，存在元素a -1使得a *a -1=1。
其中0 ≠ 1的要求直接排除了没有什么意义的仅由单个元素组成的域。
扩域：若F ⊆K ，则称K 为F 的扩域，而F 为基域。a 1, a 2,......, a n 分裂域：设
f =∑c αx α(c α∈R ) 为F 上关于n 个未知数的多项式，K 为F 的
α
扩域，若F 在K[x]中可分解为c 为f 在F 上的分裂域。
（三） 多项式方程的判别式
∏
m i =1
(x -a 1) ，且K=F(a 1, a 2,......, a n ) ，则称K
我们在对多项式的讨论中，总是预先给定一个的数域G 作为讨论的基础。设x 是一个符号，我们有
定义一： 设n 是以非负整数，形式表达式
f (x ) =a n x n +a n -1x n -1+.... +a 0，
其中a n x n （n=1，……n ）每一项都属于数域G 中的一元多项式，或者简单称之为数域G 上的一元多项式。。
通过对前面的学习我们能够知道，n 次多项式在复数域上恰好有n 个复数根，重根的数可以按重数来计算。我们也可以用多项式方程的因式分解语言来描述这一结论：“任何n 次多项式在复数域上都可以被分解成那个一次项式的乘积”。 代数基本定理实质是一个纯粹的多项式的根的存在性定理，它非常的纯粹，并没有给出具体的求解方法。一个n 次多项式方程的求根公式是指，其的根通过其系数经由加法、减法、乘法、除法以及乘方、开方的表示式，也被称为该方程的求根的解决方案。
范德蒙德行列式：这个数的所有可能的差的乘积即等于n 阶范德蒙行列式。
通过范德蒙行列式的特点，我们可以把所给出的行列式化为范德蒙德行列式，再利用其结果计算。范德蒙行列式就是在求线形递归方程通解的时候计算的行列式. 如果给出递归方程的n 个解为a1,a2,a3,...,an 则范德蒙行列式如右图所示：
a 1, a 12,..., a 1m -1
V n =
2m -1
a 2, a 2,..., a 2
................
2m -1a m , a m ,..., a m
=
1≤j
∏
(a i -a j )
。
定义二：设K 为域，而a 1, a 2,..., a m ∈K 。关于a 1, a 2,..., a m 的范德蒙德矩阵定
义为：
⎛1, a 1, a 12,..., a 1m -1⎫
⎪2m -1 1, a 2, a 2,..., a 2⎪
Van (a 1, a 2,..., a m ) = ⎪
................ ⎪ 1, a , a 2,..., a m -1⎪
m ⎭⎝m m
定义三：设
f =∑c i x i ∈F (x ) ，该多项式方程的判别式为
i =0
m
2m -22m -22
disc (f ) =c m det(Van (a 1,.... a m )) 2=c m (a -a ) ∏i j ，
i
其中c m 为f 的首项系数，而a i (1≤i
≤m ) 为f 在分裂域K 中的根。
从多项式的判别式可知，多项式方程在其分裂域中有重根等价于多项式判别式为零。但是，如果按照以上方法求出多项式方程的判别式，就必须先求出多项式方程的根。为了避免求根，我们需要找到另外一种计算多项式方程的判别式的方法。
令M
T =Van (a 1,..., a m ) , 则det(M )2=det(M T M ) ，其中M 为M
的
转置。这样，对于任意的
f =∑c i x i ∈F (x ) 多项式方程，它的判别式为
i =0
m
2m -2
c m det(M T M ) ，其中
⎛1,1,...................,1⎫⎛1,1,...................,1⎫
⎪ ⎪a , a ,.............., a a , a ,.............., a 12m ⎪ 12m ⎪T M M =∙
........................... ⎪ ........................... ⎪ a m -1, a m -1,....., a m -1⎪⎪ a m -1, a m -1,....., a m -1⎪⎪⎝122⎭⎝122⎭⎛t 0, t 1,..............., t m -1⎫
⎪
t 1, t 2,..............., t m ⎪ =
........................... ⎪ ⎪⎝t m -1, t m ,..........., t 2m -2⎭
其中
m
t i =∑a i j , i =1,....,2m -2, 且t 0=m。
j =1
从上述可知，如果能求出以上矩阵中的每一个的判别式。 （四） 牛顿恒等式
t i ，就可以求出多项式方程
艾萨克·牛顿（Isaac Newton ）是英国伟大的数学家、天文学家、物理学家和自然哲学家，其研究领域包括了神学、天文学、物理学、自然哲学、数学和炼金术。牛顿的主要贡献有发明了微积分，发现了万有引力定律和经典力学，设计并实际制造了第一架反射式望远镜等等，被誉为人类历史上最伟大，最有影响力的科学家。
人们为了纪念在经典力学方面牛顿所作出的杰出成就，“牛顿”这个词就成为了衡量力的大小的通用物理单位。其实牛顿贡献颇多在数学方面上，以他和莱布尼兹一起发明的微积分更是非常重要。另外，二项式展开定理、牛顿恒等式等重要定理也是牛顿发现的。
牛顿恒等式叙述如下：设f =
m
∑c x ∈F (x ) ，c m =1, a 1,..., a m 为f 在其分
i i i =0
m
i
t =a ∑j , i =1,....,2m -2, 且t 0=m，则有 裂域K 中的根。令i
j =1
当l 当
≤m 时，t l +c m -1t l -1+... +c m -l +1t 1+lc m -l =0；
l >m 时，t l +c m -1t l -1+... +c 0t l -m =0.
牛顿恒等式的证明过程：
牛顿恒等式的证明有点复杂，我们首先给出它的另一种等价表述。 令多项式根a i 的初等对称函数s i 的
=∑a k 1... a k i
，即所有可能的i 个不同
a k j 的乘积之和。因为多项式根和系数的关系，所以有s i =(-1) i c m -i ，则
牛顿恒等式等价为：
l
l ≤m t -s t +s t -... +(-1) ls l =0； 当时，l 1l -12l -2
m l >m t -s t +... +(-1) s m t l -m =0 。 当时，l 1l -1
设
b 1b r (b 1,..., b r ) 为非负且非增的一列整数，令F (b 1,..., b r ) =∑a σ... a (1)σ(m ) ，其
中∑是对排列 ｛1，2，…，m ｝中所有互不相同的置换
所以有
σ进行求和。
t i =F (i ) , s i =F (1,...,1)
其中（1，…,1）的长度为i ，简记为(1i ) 。同理，若(b ,1,...,1) 的长度为i+1，则简记为(b ,1i ) 。
则有 F (l -1) F (1) F (l -2) F (1,1) F (l -3) F (1,1,1)……… ……… ……… 所以有
l -11
=(∑a σ) ∙(a ∑σ(1)) =F (l ) +lF (l -1,1) , (1)
l -212=(∑a σ) ∙(a a ∑σ(1)σ(2)) =F (l -1,1) +lF (l -2,1,1) , (1)
l -3123=(∑a σ) ∙(a a a ∑σ(1)σ(2)σ(3)) =F (l -2,1,1) +lF (l -3,1,1,1) , (1)
F (l -i ) F (1i ) =F (l -i +1,1i -1) +lF (l -i ,1i ) (1)，其中
i -1
1≤i
将（1）式中的第i 式乘以(-1) 当l
当
在代数学中的多项式理论上，在各式各样文献中有关牛顿恒等式的证明已很多出现。例如，在文献邓勇．关于矩阵迹结论的一个应用和陈冬君，马艳芳．具有相同特征值的矩阵的刻画中，作者得到了它的两种新颖证明, 分别利用的是矩
，再对i 进行求和即可得
≤m 时，t l +c m -1t l -1+... +c m -l +1t 1+lc m -l =0；
l >m 时，t l +c m -1t l -1+... +c 0t l -m =0.
阵迹结论与凯莱－哈密尔顿定理和母函数与比较系数法。
除此之外，还有很多不同的证明方法，在此不再叙述。
其实，在高等代数的多项式理论中，牛顿恒等式在多项式的恒等变形及其因式分解中都占有举足轻重的地位。而在初等代数理论中，牛顿恒等式在求解方程的有关问题及实数的有关性质等等问题中都有重要的应用价值。
这样根据牛顿恒等式，就可以求出多项式方程的判别式了。
例1：求首项系数为一二次多项式方程
f =x 2+bx +c
的判别式和所有
根。
根据牛顿恒等式
⎧p =-3mn
⎨33 q =-(m +n ) ⎩
t 1+b =0t 2+bt 1+2c =0
所以求得
t 1=-b
t 2=-bt 1-2c =b 2-2c
从而判别式为：
2-b 22
disc (f ) ==2(b -2c ) -b
-b b 2-2c =b 2-4c
从得出的结果可知，通过牛顿恒等式求出的多项式方程判别式和第一章所述的一元二次方程的判别式所得的结果是一致的。通过配方法可得根为
-b ±x =
2
例2：前面我们已经知道，任何一元三次方程
f =ax 3+bx 2+cx +d =0都
可通过变量替换为
f =x 3+px +q =0，所以考虑一元三次的判别式和根只
需考虑此种方式即可。
由牛顿恒等式可知
t 0=m =3, t 1+3c 2=0, t 2+c 2t 1+2c 1=0, t 3+c 2t 2+c 1t 1+3c 0=0, t 4+c 2t 3+c 1t 2+c 0t 1=0.
得
t 0=3, t 1=0, t 2=-2p ,
t 3=-3q , t 4=-4p 3-27q 2.
所以多项式的判别式
disc (f ) =
30-2p
0-2q -2p -3q -3q
2p 2
=-4p 3-27q 2.
由于在第一章中一般的方法求一元三次方程的根公式
⎧y 1=m +n ⎪
⎨y 2=ωm +ϖn ， ⎪y =ϖm +ωn ⎩3
⎧
⎪m =⎪⎪⎨⎪⎪n =⎪⎩
所有根为
。
⎧⎪y =+⎪1⎪
⎪
⎪⎨y 2=ω∙+ϖ∙ ⎪
⎪⎪y =ϖ∙+ω∙⎪3⎪⎩
容易看出多项式的根与判别式的关系为
⎧⎪y 1=⎪
⎪
⎪ϖ∙⎨y 2=ω∙⎪
⎪
⎪y 3=ϖ∙+ω∙⎪⎩
例3：同理，对形如
ax 4+bx 3+cx 2+dx +e =0.(a ≠0)
的一元四次方程，可通过求解一个一元三次方程和两个一元二次方程找到判别式和根的关系。
把方程两边同时除以最高项系数a ，得
b 3c 2d e
x +x +x +x +=0.(a ≠0)
a a a a
4
移项后有
x 4+
b 3c d e x =-x 2-x - a a a a
2
⎛b ⎫
x ⎪，使等号左边可以配方成完全平方式： 等式两边同时加上
⎝2a ⎭
2
c ⎫2d e ⎛2b ⎫⎛b
x ⎪= 2-⎪x -x - x +
2a ⎭⎝4a a ⎭a a ⎝
2
2
此时，两边再同时加上y x +
⎛⎝
b ⎫12
x ⎪+y 得
2a ⎭4
⎡⎛2b ⎫21⎤⎛b 2⎫2⎛b c d ⎫12e x +x +y =-+y x +y -x +y - ⎢ ⎥ 2⎪⎪ ⎪
2a ⎭2⎥a a ⎭4a ⎝2a ⎢⎝4a ⎭⎣⎝⎦
无论y 的值是什么, 若x 为原方程的根，则上式总是成立的。特殊地，如果
2
y 所取的值使等式右边。关于x 的二次三项式也能够化简成一个完全平方式，则
*
式对两边同时进行开方即可得到较低次数的方程。
为使上式右边关于x 的二次三项式也能够化简为一个完全平方式，令它的判别式为0，即
⎛b 2d ⎫c ⎛b ∆= y -⎪-4 2-+
a ⎭a ⎝2a ⎝4a
2
⎫⎛12e ⎫
y ⎪ y -⎪=0
a ⎭⎭⎝4
该方程是一个关于 y 的一元三次方程，通过一元三次方程的判别式和求根公式求出 y
*
并两边开平方，此时一元四次方程就被降次为了一
个一元二次方程，再通过一般求根公式来求解一元二次方程，
最终能得到该一元四次方程的四个复数根。
省略计算步骤，我们最后能够得出一般一元四次方程的求根公式，如下：
设关于x 的一元四次方程
ax 4+bx 3+cx 2+dx +e =0.(a ≠0)
在复数域内的四个解为分别为x1，x2，x3 ，x4 ， 令
2
⎧⎪∆1=c -3bd +12ae ⎨ 322∆=2c -9bcd +27ad +27b e -72ace ⎪⎩2
并记
∆=
+
则有
⎧
⎪
⎪x 1=-b -⎪4a ⎪⎪⎪⎪
b ⎪x =--⎪2
4a ⎪⎪⎨⎪⎪b x =-+⎪3
4a ⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪x 4=-b +⎪4a ⎪⎩
-
+
（五） 关于一元五次多项式方程
在第十六世纪，意大利伟大的数学家卡当和塔塔利亚等人，发掘了一元三次方程的求根公式。该公式发布之后还没到两年，卡当的学生法拉利就惊人地发现了一元四次方程的根的求解公式。当时，数学家们都很乐观，认为我们可以立即找到一元五次方程，一元六次方程，乃至能写出更加高次方程的根的求解公式了。然而，然而，千百年来时间的流逝，谁也找不到这样的公式。
大约三百年过后，到了1825年，挪威的学者阿贝尔最后证明出：一个一般的代数方程，如果方程的最高次数n ≥5，可以得出结论，这个方程不能用到根式求解。也就是说，不可能存在一般的有根式表达的一元五次方程的求根公式。这就是著名的阿贝尔定理。
虽然五次的一元实系数方程，能像三次的一元实系数方程一样必须有一个实根，但是要找到一元五次方程的解，一直是一个重要的数学问题。后来，保罗鲁菲尼（paoloruffini ）和尼尔斯阿贝尔（nielshenrikabel ）证实了一元五次方程并不存在一个统一的根式解（即由方程的所有系数经过有限次的四则运算或根号组合而成的公式解）。认为五次的一般方程没有公式解的观点实际上是不正确的。
事实上，使用一些超越函数，例如θ函数或戴德金η函数能够构造- 9 -五次方程的求根公式。埃瓦里斯特·伽罗瓦（ÉvaristeGalois) 在后来证明了一般五次以上的方程式无根式解，利用群论，他巧妙地解决了上述的各种问题。虽然一般的五次方程的根式解是不存在的，但是对于一些特殊的五次方程在满足一定条件时仍有根式解的。在这个计算机时代，把高次多项式方程当做函数，去求实根的数值解，一般来说都是可行的。
三、总结与展望
本文探讨了一些一元多项式进行求解的方法。重点介绍了多项式方程的判别式的求根公式。并且引入了一元多项式的三次求根公式的四次求根公式来进行求解一元多项式。
至到今天, 五次以上一元多项式的求根问题, 还远未解决，而且大多数方程不存在求根公式，故求其精确根非常困难，甚至是不可能的事，尽管, 已出现了一些数值计算意义下的求近似解的方法. 但是, 即使如此, 任何一种方法却都有模糊的先决条件和其他一些局限性。
在目前，有关问题求解多项式方程根的在工程实践中占有举足轻重的地位。如在人类的生活过程中，经济建设和科学技术的发展过程中，计算一直起着非常重要的作用。在工程计算与科学计算中，最为常见的问题之一更是求解多项式方程组。许多领域如自然生活和工程科学最终都可以归结为求解多项式方程组的问题。这个时候人们就通常需要处理求解代数方程组的问题，如果当项较简单或变元较少时，计算过程就好相对来说简单一些; 但是当项非常复杂或变元非常多的时候，那么其求解的过程中往往会遇到比较多的困难。
对多项式方程的判别式和求根公式的研究，在理论研究和实际工程计算中，具有十分重要的意义。
参考文献
［1］王东明，李晓亮，多项式代数. 高等教育出版社 ［2］韩海清 ， 关于求解多项式方程．教育时空，2007.6
［3］贾小涛 ， 倪旭敏 ， 求解多项式方程所有实根的算法及程序实现. 《科技创新导报》 2010年31期
［4］黄海燕 ， 求解多项式方程组的几种方法 《东北师范大学》 2011年
［5］林隆. 几何定理自动证明与参数多项式方程组求解 方方数据 2006 ［6］百度百科
致谢
临近四年，在这个充满惜别忧伤的月份，我即将要迎来一个崭新的未来。 首先，导师给予我无微不至的帮助令我十分的感激。导师严谨的教学和探究态度，以及东莞理工学院优良的校风传统，还有广大老师教授们的帮助在大学四年里深深的影响了我。俗话说“潜移默化”，大概就是指我的这种情况了，相信这对我的将来会带来非常重要的帮助。
我仍然感激父母对我的养育之恩，没有父母我辛劳复出，我现在也不会在这所美丽的大学里接受毕业仪式。
东 莞 理 工 学 院
本 科 毕 业 论 文
（2015届）
题 目: 多项式方程的判别式与求根公式
学生姓名: 姚培基
学 号: [1**********]0
院（系）: 计算机学院
专业班级: 信息与计算科学（2）班
指导教师:
起止时间: 2015年1月—2015年5月
多项式方程的判别式与求根公式
摘 要: 近代数学史甚至能说是一部求解多项式方程的历史。对于高次方程的数值根求解法，人们从很早就开始并一直探求这样的问题。而且在古代，很多人都想出了一个办法来解决各种各样的多项式方程。如卡尔米诺的《大术》，贾宪的《黄帝九章算法细草》，秦九韶的《数书九章》等等。
在目前，有关问题求解多项式方程根的在工程实践中占有举足轻重的地位。如在人类的生活过程中，经济建设和科学技术的发展过程中，计算一直起着非常重要的作用。当人们在进行科学或者工程计算时，求解多项式方程组更是非常容易遇到的问题之一。许多领域如自然生活和工程科学最终都可以归结为求解多项式方程组的问题。这个时候人们就通常需要处理求解代数方程组的问题，如果当项较简单或变元较少时，计算过程就好相对来说简单一些; 但是当项非常复杂或变元非常多的时候，那么其求解的过程中往往会遇到比较多的困难。
对多项式方程的判别式和求根公式的研究，在理论研究和
实际工程计算中，具有十分重要的意义。
关键词: 多项式; 判别式; 求根公式; MATLAB
Discriminant and seek the root of polynomial equations
Abstract : the modern mathematics that would become a history of polynomial equation solution. People long ago began to explore the problem of high order equation of numerical method. But in ancient times, many people have been developed to solve all kinds of method of polynomial equations. Such as "chapter nine of the yellow emperor algorithm fine grass" of jia xian, chiu-shao the number of book chapter nine, Carl mino "big operation" and so on.
In nowadays, polynomial equation for the root problem
has a pivotal position in the engineering practice. As in human life, economic construction and development of science and technology in the process of calculation is always plays a very important role. In science and engineering calculation, to solve the polynomial equations is one of the most common problems in the natural life and the computing problem in the field of engineering science and many other eventually all boils down to solving the polynomial equations. At this time often need to deal with algebraic equations to solve the problem, if the argument or a simpler, less calculation process is relatively simple; And when the argument is very more or when the item is very complex, its
solving process is often more difficult.
The discriminant and seek the root of polynomial
equations, in theoretical research and practical engineering calculation, have very important significance.
Key words :
MATLAB polynomial; The discriminant.
Root formula;
目 录
一、引言..................................................................................................... 1
（一）一元二次方程的判别式和求根与韦达定理 ..................... 1
（二）一元三次方程的判别式和求根公式及其推导 ................... 2
（三） 一元四次方程的解法 ...................................... 5
二、一元多次多项式 ................................................................................ 8
（一） 代数基本定理 . ........................................... 9
（二） 域论基础 . .............................................. 10
（三） 多项式方程的判别式 ..................................... 11
（四） 牛顿恒等式 . ............................................ 12
（五） 关于一元五次方程 ....................................... 19
三、总结与展望 ......................................................................................20
参考文献...................................................................................................23
致谢 . ..........................................................................................................25
一、引言
在人类研究数学的历史长河中，追溯到公元9世纪的波斯，数学家、天文学家及地理学家花拉子米作为第一人给出了一元二次方程的一般解法。而在1100年奥玛·海亚姆则根据于一元三次的方程的特殊性作出了不一般的解法。到了1541年，有名数学家塔尔塔利亚提出了对于一元三次方程一般解法的问题。1797年，德国著名数学家、物理学家、天文学家高斯提出了代数的基本定理，首次证实了一元高次代数方程的根的存在。1819年，霍纳给数值方程根的另一种解法——霍纳法，俗称为劈因子法。
（一） 一元二次方程的求根
代数方程中的一个重要内容是一元二次方程，他是我们学习基本代数的重点和基础，在方程和方程组的进一步研究的基础上有非常重要的作用，如初始知识的功能，二次曲线和不等式等。
对于一元二次方程 ax +bx +c =0(a ≠0) 的判别式为：∆=b -4ac 。 ∆>0⇔有两个不相等的实数根。
∆=0⇔有两个不相等的实数根。
∆
判别式包括以下几点作用：
1、对于数字系数的方程可以先直接计算判别式值，然后根据判别式的值，确定根的情况；
2、对于未知系数的一元二次方程，如果已知方程的根的情况，借此可判断判别式的值大于零、等于零还是小于零，从而判断未知系数的取值范围；
3、使用配方法，并连接一元二次方程根的判别式，即可证明存在未知系数的一元二次方程根的相关问题。
首先，对于ax 2+bx +c =0的方程进行配方化解：
2
b b c 2x +x +=0；再同时加上和减去2，得： a a 4a
b b 2b 2c x +x +2=2-；两边同时配方： a 4a 4a a 2
b 2b 2+4ac (x +) = 22a 4a
最后即可得
: x =根据一元二次方程的两个解，
。
-b +-b b x 1+x 2=+=-2a 2a a ，
-b +-b -c x 1∙x 2=∙=2a 2a a
理。
，这就是著名的韦达定
开拓和应用创造了广阔的发展空间，为数学中的一元多次方程的发展和研究奠定了厚实基础。
（二） 一元三次方程的求根公式及其推导
三次方程是未知项总次数最高为3的整式方程，一元三次方程一般形式为Ax 3+Bx 2+Cx +D =0（A ≠0），其中A, B,C和D (A≠0) 是属于一个域的数字，通常这个域为R 或C 。
实际上，我们在高中的时候，在数学书上也接触过不少的一元三次方程。但是那些一元三次方程往往都是相对比较简单的，就如x -1=0，x
3233+x =0 ，还有x -2x +x =0。对与这种一元三次方程我们都能一目了然的找到其解。不过，对于一元三次方程的探究，这点是远远不够的。
南宋的数学家秦九韶最晚在公元1247年就已经成功地发现一元三次方程的求根公式，而根据据现在可靠的史料可知，欧洲人是在之后的400多年才发现的。但非常遗憾的是，在中国的课本上依然是用那个欧洲人的名字来命名这个公式的。
由于一个一般的一元三次方程Ax 3+Bx 2+Cx +D =0（A ≠0）均可讲过移轴B 3B 2B 2B 3BC -+D ) =0 公式化为A (x +) +(C -)(x +) +(3A 3A 3A 27A 23A
即是(3Ax +B ) 3+(9AC -3AB )(3Ax +B ) +(2B 3-9ABC +27A 2D ) =0
x 3+px +q =0的特别形式，所以，研究此类一元三次方程即可。
1. 实数根的判定：
设F (x ) =x 3+px +q ，则F (x ) =0既方程x 3+px +q =0，F (x ) 零点的个数即方程x 3+px +q =0实数根的个数。
（1）若p>0，则方程F '(x ) =0没有实根，F (x ) 有唯一零点⇔F (x ) =0有唯一实数根。
（2）若p=0，则方程F '(x ) =0有一实根，F (x ) 有唯一零点⇔F (x ) =0有唯一实数根。
（3）若p
x 1=α=
x 2=β=。 1(81q 2+12p 3) >0时，F (x ) 有唯一零点⇔F (x ) =0有唯一81
1(81q 2+12p 3) =0时，F (x ) 有两个零点⇔F (x ) =0有两个81
1(81q 2+12p 3)
实数根。
2.实数根的求解
设有方程
y 3+py +q =0
令
⎧p =-3mn ⎫(m ≥n ) ⎨33⎬⎩q =-(m +n ) ⎭
代入方程：
y 3+py +q
=y 3-3mny -(m 3+n 3)
=(y -m -n )(y -ωm -n )(y -m -ωn )
所以方程
y 3+py +q =0
的解可以归纳为
⎧y 1=m +n ⎪y =ωm +ϖn
⎨2⎪y =ϖm +ωn ⎩3
-1+-1, ϖ=其中ω=。 22
下面我们来求解m 、n 与p 、q 之间的关系，即求解有关m 、n 的二元一次方程组
⎧⎨p =-3mn
⎩q =-(m 3+n 3)
的解集。
在第（2）式中
q 2=(m 3+n 3) 2=m 6+2m 3n 3+n 6
所以
(m 3-n 3) 2=q 2-4(mn ) 3=q 2+4(p 3
3)
故
m 3-n 3=
由此得解
⎧⎪m =⎪⎪
⎨⎪⎪
⎪n =⎩这就建立了m 、n 和p 、q 的函数关系。
因此，方程y 3+py +q =0的全部解为:
⎧⎪y =+⎪1⎪
⎪
⎪y =ω∙+ϖ∙⎨2 ⎪
⎪⎪y =ϖ∙+ω∙⎪3⎪⎩
从而根据 y=3Ax+B 分别可求出x1，x2，x3。 （三） 一元四次方程的解法
同理，一个方程的最高次数项的次数为4的话，那就是一元四次方程。毫无争议的事，我们在高中课本中，也接触过不少的一元四次的方程。但是那些一元
4
四次次方程往往都是相对比较简单的，就如x -1=0，x 4+x =0 ，还有
x 4+x 3-2x 2+x =0等等。对与这种一元三次方程我们都能一目了然的找到其
解。不过，对于一元三次方程的探究，这点更是远远不够的。
自然，人们做了许多努力去找到这些根。像其他的多项式，有时一元四次方程的能够分解出因式；但大部分时间，要把多项式方程因式分解不容易，甚至说这项工作是非常困难的，尤其是当根是复数或无理数时。因此如果能找到一个通式解法或运算法则（如二次方程那样，根据一元二次多项式的特性，能分解为所有的一元二次方程）是很有用的。经过一番努力之后，人们终于找到了可以解决任何四次方程的算法；但经过埃瓦里斯特·伽罗瓦的证明，这样的方法在五次方程在这里停止；也就是说，次数最高的方程就是一元四次方程了，通过一个运算法则可以求出它的解，由一元三次方程上未知数前的系数给出。对于一元五次方程和五次以上的方程，人们就必须找到一种更为有效的方法来寻求高次方程的代数解，就类似于对于五次方程以下的方程那样做。
由于一元四次方程的特殊复杂性，人们并不经常使用求解公式的。通过使用
（对于任何次数的多项式都是真）试错法，或是通过使用鲁菲尼法则（只需所给定的多项式的系数都是有理数）能够求解有理数实根。到了我们现在的高科技时代，通过使用牛顿法，就可以使用无限逼近数值的方法迅速得到要求的解。有时你会想，如何得到四次方程精确的解？那么有：
对形如
的一元四次方程，首先，两边同时除以方程的最高项的系数a ，得
ax 4+bx 3+cx 2+dx +e =0.(a ≠0)
x 4+
b 3c 2d e
x +x +x +=0.(a ≠0) a a a a
移项后有
b ⎫
方程两边同时加上⎛ x ⎪，使方程的左边能够配方为完全平方式：
⎝2a ⎭
2
c ⎫2d e ⎛2b ⎫⎛b
x +x =-x -x -⎪ ⎪
2a ⎭⎝4a 2a ⎭a a ⎝
2
2
x 4+
b 3c d e x =-x 2-x - a a a a
2
此时，两边再同时加上y x +
⎛⎝b ⎫12
x ⎪+y 得:
2a ⎭4
⎡⎛2b ⎫21⎤⎛b 2⎫2⎛b c d ⎫12e x +x +y =-+y x +y -x +y -,(*) ⎢ ⎥ 2⎪⎪ ⎪
2a ⎭2⎥a a ⎭4a ⎝2a ⎢⎝4a ⎭⎣⎝⎦
无论y 的值是什么，若x 为原方程的根，则上式总是成立的。特殊地，如果y 所取的值使等式右边。关于x 的二次三项式实际上也能够化简成一个完全平方式，则对*
式对两边同时进行开方即可得到较低次数的方程。
2
为使上式右边关于x 的二次三项式也能够化简为一个完全平方式，首先令
它的判别式为0，即
⎛b 2d ⎫c ⎛b
∆= y -⎪-4 2-+
a ⎭a ⎝2a ⎝4a
公式求出 y 值，代入
*
2
⎫⎛12e ⎫
y ⎪ y -⎪=0
a ⎭⎭⎝4
该方程是一个关于 y 的一元三次方程，通过一元三次方程的判别式和求根
后并两边开平方，此时一元四次方程就被降次为了一
个一元二次方程，再通过一般求根公式来求解一元二次方程，
最终能得到该一元四次方程的四个复数根。
省略计算步骤，我们最后能够得出一般一元四次方程的求根公式，如下： 设关于x 的一元四次方程
ax 4+bx 3+cx 2+dx +e =0.(a ≠0)
在复数域内的四个解为分别为x1，x2，x3 ，x4 ， 令
2
⎧⎪∆1=c -3bd +12ae ⎨ 322∆=2c -9bcd +27ad +27b e -72ace ⎪⎩2
并记
∆=
+
则有
⎧⎪
⎪x 1=-b -⎪4a ⎪⎪⎪⎪
b ⎪x =--⎪2
4a ⎪⎪⎨⎪⎪b x =-+⎪3
4a ⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪x 4=-b +⎪4a ⎪⎩
-
+由此可见，一元二次到四次方程都可通过求根公式求解。
二、一元多次多项式
（一） 代数基本定理
代数学基本定理：任一系数为复数的一元n 次多项式方程在复数域至少有
一个根(n≥1) 。通过类推法，一个n 次系数为复数的多项式方程在复数域的根（根重按重数计算）有且仅有n 个。代数基本定理在现在代数和数学中有着非常重要和基础的作用。据说，现在已经有200种方法对代数基本定理的证明。
代数基本定理在现在代数和数学中有着非常重要和基础的作用。据说，现在
已经有200种方法对代数基本定理的证明。但目前为止，该定理仍然没有使用纯代数方法的证明。伟大数学家 J.P. 塞尔 曾经说过：代数基本定理的任何证明在根本上都是拓扑的。 美国数学家John Willard Milnor 也曾经给了一个几何直观的证明在数学名著一书《从微分观点看拓扑》上，但是其中许多地方用到了与临界点测度有关的sard 定理。
法国数学家达朗贝尔是第一个给出证明代数学基本定理的人，实际上他的
证明不完整。后来，欧拉也给出了另一个证明，但也存在不足。公元1772年，拉格朗日于又重新给出了该定理的证明，但后来经高斯分析，证明中依然存在很不严格的地方。
通常，人们认为是高斯给出了第一个严格证明代数基本定理(他在哥根 大学的博士论文，1799年) ，该证明的思想如下：
设f (z )为n 次实系数多项式，记z
=x +yi .(x , y ∈R ) ，我们考虑方根：
f (x +yi )=u (x , y )+v (x , y )i =0
即u (x , y )=0, v (x , y )i =0。
这里平面坐标Oxy 上的两条曲线S1、S2，分别表示为
u (x , y )=0, v (x , y )i =0，于是经过对两条曲线作定性的研究之后，高斯证明了
这两条曲线S1、S2一定存在一个交叉点
z 0=a +bi ，能够使
u (x , )y =(v , x )=y 0i f (a +bi )=0，所以Z0就是方程f (z )=0的一个，即
根，这个论证非常高度的具有创造性，但是从我们现代的证明标准来看似乎依然是不够严格的，因为他需要用到曲线的图形，证明它们一定有交叉点，而这些图形往往是比较复杂，里面又隐含了很多尚未证明的拓扑结论等等。
后来高斯又给出了不同的三个证法，其中他在71岁是才公布最后一个证法，
并且他允许多项式的系数是复数在这个证明中。 （二） 域论基础
域：域是环的一种。一般的环和域的不同在于，环中的元素不能进行除法运算，而域要求它的元素（除零元之外）可以进行除法运算，这也就是说每个非零的元素都要存在乘法逆元。同时，在当代的定义中，一般情况下，域中的元素关于乘法要求是可交换的。
一般来说，域是乘法可交换的除环。乘法非交换的除环则称为体，或者反称域。在比较老的定义里，除环则被称作为“域”，而当代意义上的域则被称为“交换域”。
域明确的满足如下性质：
在加法和乘法上封闭
对任意属于F 的a , b , a +b 和a *b 属于F （换一种方式说：加法和乘法是F 上的二元运算）。
加法和乘法符合结合律
对所有属于F 的
a , b , c
，
(a +b ) +c =a +(b +c )
，
(a *b ) *c =a *(b *c )
加法和乘法符合交换律
对所有属于F 的a , b , a +b =b +a , a *b =b *a .
乘法对加法的符合分配律
对所有属于F 的a , b , c , a *(b +c ) =(a *b ) +(a *c ) .
存在加法单位
在F 中有元素0，使得所有属于F 的a , a +0=
存在乘法单位
a .
在F 中有与0不同的元素1，使得所有属于F 的a , a *1=a .
存在加法逆元
对所有属于F 的
存在乘法逆元
a ，存在-a 使得a +(-a ) =0。
对所有a ≠0，存在元素a -1使得a *a -1=1。
其中0 ≠ 1的要求直接排除了没有什么意义的仅由单个元素组成的域。
扩域：若F ⊆K ，则称K 为F 的扩域，而F 为基域。a 1, a 2,......, a n 分裂域：设
f =∑c αx α(c α∈R ) 为F 上关于n 个未知数的多项式，K 为F 的
α
扩域，若F 在K[x]中可分解为c 为f 在F 上的分裂域。
（三） 多项式方程的判别式
∏
m i =1
(x -a 1) ，且K=F(a 1, a 2,......, a n ) ，则称K
我们在对多项式的讨论中，总是预先给定一个的数域G 作为讨论的基础。设x 是一个符号，我们有
定义一： 设n 是以非负整数，形式表达式
f (x ) =a n x n +a n -1x n -1+.... +a 0，
其中a n x n （n=1，……n ）每一项都属于数域G 中的一元多项式，或者简单称之为数域G 上的一元多项式。。
通过对前面的学习我们能够知道，n 次多项式在复数域上恰好有n 个复数根，重根的数可以按重数来计算。我们也可以用多项式方程的因式分解语言来描述这一结论：“任何n 次多项式在复数域上都可以被分解成那个一次项式的乘积”。 代数基本定理实质是一个纯粹的多项式的根的存在性定理，它非常的纯粹，并没有给出具体的求解方法。一个n 次多项式方程的求根公式是指，其的根通过其系数经由加法、减法、乘法、除法以及乘方、开方的表示式，也被称为该方程的求根的解决方案。
范德蒙德行列式：这个数的所有可能的差的乘积即等于n 阶范德蒙行列式。
通过范德蒙行列式的特点，我们可以把所给出的行列式化为范德蒙德行列式，再利用其结果计算。范德蒙行列式就是在求线形递归方程通解的时候计算的行列式. 如果给出递归方程的n 个解为a1,a2,a3,...,an 则范德蒙行列式如右图所示：
a 1, a 12,..., a 1m -1
V n =
2m -1
a 2, a 2,..., a 2
................
2m -1a m , a m ,..., a m
=
1≤j
∏
(a i -a j )
。
定义二：设K 为域，而a 1, a 2,..., a m ∈K 。关于a 1, a 2,..., a m 的范德蒙德矩阵定
义为：
⎛1, a 1, a 12,..., a 1m -1⎫
⎪2m -1 1, a 2, a 2,..., a 2⎪
Van (a 1, a 2,..., a m ) = ⎪
................ ⎪ 1, a , a 2,..., a m -1⎪
m ⎭⎝m m
定义三：设
f =∑c i x i ∈F (x ) ，该多项式方程的判别式为
i =0
m
2m -22m -22
disc (f ) =c m det(Van (a 1,.... a m )) 2=c m (a -a ) ∏i j ，
i
其中c m 为f 的首项系数，而a i (1≤i
≤m ) 为f 在分裂域K 中的根。
从多项式的判别式可知，多项式方程在其分裂域中有重根等价于多项式判别式为零。但是，如果按照以上方法求出多项式方程的判别式，就必须先求出多项式方程的根。为了避免求根，我们需要找到另外一种计算多项式方程的判别式的方法。
令M
T =Van (a 1,..., a m ) , 则det(M )2=det(M T M ) ，其中M 为M
的
转置。这样，对于任意的
f =∑c i x i ∈F (x ) 多项式方程，它的判别式为
i =0
m
2m -2
c m det(M T M ) ，其中
⎛1,1,...................,1⎫⎛1,1,...................,1⎫
⎪ ⎪a , a ,.............., a a , a ,.............., a 12m ⎪ 12m ⎪T M M =∙
........................... ⎪ ........................... ⎪ a m -1, a m -1,....., a m -1⎪⎪ a m -1, a m -1,....., a m -1⎪⎪⎝122⎭⎝122⎭⎛t 0, t 1,..............., t m -1⎫
⎪
t 1, t 2,..............., t m ⎪ =
........................... ⎪ ⎪⎝t m -1, t m ,..........., t 2m -2⎭
其中
m
t i =∑a i j , i =1,....,2m -2, 且t 0=m。
j =1
从上述可知，如果能求出以上矩阵中的每一个的判别式。 （四） 牛顿恒等式
t i ，就可以求出多项式方程
艾萨克·牛顿（Isaac Newton ）是英国伟大的数学家、天文学家、物理学家和自然哲学家，其研究领域包括了神学、天文学、物理学、自然哲学、数学和炼金术。牛顿的主要贡献有发明了微积分，发现了万有引力定律和经典力学，设计并实际制造了第一架反射式望远镜等等，被誉为人类历史上最伟大，最有影响力的科学家。
人们为了纪念在经典力学方面牛顿所作出的杰出成就，“牛顿”这个词就成为了衡量力的大小的通用物理单位。其实牛顿贡献颇多在数学方面上，以他和莱布尼兹一起发明的微积分更是非常重要。另外，二项式展开定理、牛顿恒等式等重要定理也是牛顿发现的。
牛顿恒等式叙述如下：设f =
m
∑c x ∈F (x ) ，c m =1, a 1,..., a m 为f 在其分
i i i =0
m
i
t =a ∑j , i =1,....,2m -2, 且t 0=m，则有 裂域K 中的根。令i
j =1
当l 当
≤m 时，t l +c m -1t l -1+... +c m -l +1t 1+lc m -l =0；
l >m 时，t l +c m -1t l -1+... +c 0t l -m =0.
牛顿恒等式的证明过程：
牛顿恒等式的证明有点复杂，我们首先给出它的另一种等价表述。 令多项式根a i 的初等对称函数s i 的
=∑a k 1... a k i
，即所有可能的i 个不同
a k j 的乘积之和。因为多项式根和系数的关系，所以有s i =(-1) i c m -i ，则
牛顿恒等式等价为：
l
l ≤m t -s t +s t -... +(-1) ls l =0； 当时，l 1l -12l -2
m l >m t -s t +... +(-1) s m t l -m =0 。 当时，l 1l -1
设
b 1b r (b 1,..., b r ) 为非负且非增的一列整数，令F (b 1,..., b r ) =∑a σ... a (1)σ(m ) ，其
中∑是对排列 ｛1，2，…，m ｝中所有互不相同的置换
所以有
σ进行求和。
t i =F (i ) , s i =F (1,...,1)
其中（1，…,1）的长度为i ，简记为(1i ) 。同理，若(b ,1,...,1) 的长度为i+1，则简记为(b ,1i ) 。
则有 F (l -1) F (1) F (l -2) F (1,1) F (l -3) F (1,1,1)……… ……… ……… 所以有
l -11
=(∑a σ) ∙(a ∑σ(1)) =F (l ) +lF (l -1,1) , (1)
l -212=(∑a σ) ∙(a a ∑σ(1)σ(2)) =F (l -1,1) +lF (l -2,1,1) , (1)
l -3123=(∑a σ) ∙(a a a ∑σ(1)σ(2)σ(3)) =F (l -2,1,1) +lF (l -3,1,1,1) , (1)
F (l -i ) F (1i ) =F (l -i +1,1i -1) +lF (l -i ,1i ) (1)，其中
i -1
1≤i
将（1）式中的第i 式乘以(-1) 当l
当
在代数学中的多项式理论上，在各式各样文献中有关牛顿恒等式的证明已很多出现。例如，在文献邓勇．关于矩阵迹结论的一个应用和陈冬君，马艳芳．具有相同特征值的矩阵的刻画中，作者得到了它的两种新颖证明, 分别利用的是矩
，再对i 进行求和即可得
≤m 时，t l +c m -1t l -1+... +c m -l +1t 1+lc m -l =0；
l >m 时，t l +c m -1t l -1+... +c 0t l -m =0.
阵迹结论与凯莱－哈密尔顿定理和母函数与比较系数法。
除此之外，还有很多不同的证明方法，在此不再叙述。
其实，在高等代数的多项式理论中，牛顿恒等式在多项式的恒等变形及其因式分解中都占有举足轻重的地位。而在初等代数理论中，牛顿恒等式在求解方程的有关问题及实数的有关性质等等问题中都有重要的应用价值。
这样根据牛顿恒等式，就可以求出多项式方程的判别式了。
例1：求首项系数为一二次多项式方程
f =x 2+bx +c
的判别式和所有
根。
根据牛顿恒等式
⎧p =-3mn
⎨33 q =-(m +n ) ⎩
t 1+b =0t 2+bt 1+2c =0
所以求得
t 1=-b
t 2=-bt 1-2c =b 2-2c
从而判别式为：
2-b 22
disc (f ) ==2(b -2c ) -b
-b b 2-2c =b 2-4c
从得出的结果可知，通过牛顿恒等式求出的多项式方程判别式和第一章所述的一元二次方程的判别式所得的结果是一致的。通过配方法可得根为
-b ±x =
2
例2：前面我们已经知道，任何一元三次方程
f =ax 3+bx 2+cx +d =0都
可通过变量替换为
f =x 3+px +q =0，所以考虑一元三次的判别式和根只
需考虑此种方式即可。
由牛顿恒等式可知
t 0=m =3, t 1+3c 2=0, t 2+c 2t 1+2c 1=0, t 3+c 2t 2+c 1t 1+3c 0=0, t 4+c 2t 3+c 1t 2+c 0t 1=0.
得
t 0=3, t 1=0, t 2=-2p ,
t 3=-3q , t 4=-4p 3-27q 2.
所以多项式的判别式
disc (f ) =
30-2p
0-2q -2p -3q -3q
2p 2
=-4p 3-27q 2.
由于在第一章中一般的方法求一元三次方程的根公式
⎧y 1=m +n ⎪
⎨y 2=ωm +ϖn ， ⎪y =ϖm +ωn ⎩3
⎧
⎪m =⎪⎪⎨⎪⎪n =⎪⎩
所有根为
。
⎧⎪y =+⎪1⎪
⎪
⎪⎨y 2=ω∙+ϖ∙ ⎪
⎪⎪y =ϖ∙+ω∙⎪3⎪⎩
容易看出多项式的根与判别式的关系为
⎧⎪y 1=⎪
⎪
⎪ϖ∙⎨y 2=ω∙⎪
⎪
⎪y 3=ϖ∙+ω∙⎪⎩
例3：同理，对形如
ax 4+bx 3+cx 2+dx +e =0.(a ≠0)
的一元四次方程，可通过求解一个一元三次方程和两个一元二次方程找到判别式和根的关系。
把方程两边同时除以最高项系数a ，得
b 3c 2d e
x +x +x +x +=0.(a ≠0)
a a a a
4
移项后有
x 4+
b 3c d e x =-x 2-x - a a a a
2
⎛b ⎫
x ⎪，使等号左边可以配方成完全平方式： 等式两边同时加上
⎝2a ⎭
2
c ⎫2d e ⎛2b ⎫⎛b
x ⎪= 2-⎪x -x - x +
2a ⎭⎝4a a ⎭a a ⎝
2
2
此时，两边再同时加上y x +
⎛⎝
b ⎫12
x ⎪+y 得
2a ⎭4
⎡⎛2b ⎫21⎤⎛b 2⎫2⎛b c d ⎫12e x +x +y =-+y x +y -x +y - ⎢ ⎥ 2⎪⎪ ⎪
2a ⎭2⎥a a ⎭4a ⎝2a ⎢⎝4a ⎭⎣⎝⎦
无论y 的值是什么, 若x 为原方程的根，则上式总是成立的。特殊地，如果
2
y 所取的值使等式右边。关于x 的二次三项式也能够化简成一个完全平方式，则
*
式对两边同时进行开方即可得到较低次数的方程。
为使上式右边关于x 的二次三项式也能够化简为一个完全平方式，令它的判别式为0，即
⎛b 2d ⎫c ⎛b ∆= y -⎪-4 2-+
a ⎭a ⎝2a ⎝4a
2
⎫⎛12e ⎫
y ⎪ y -⎪=0
a ⎭⎭⎝4
该方程是一个关于 y 的一元三次方程，通过一元三次方程的判别式和求根公式求出 y
*
并两边开平方，此时一元四次方程就被降次为了一
个一元二次方程，再通过一般求根公式来求解一元二次方程，
最终能得到该一元四次方程的四个复数根。
省略计算步骤，我们最后能够得出一般一元四次方程的求根公式，如下：
设关于x 的一元四次方程
ax 4+bx 3+cx 2+dx +e =0.(a ≠0)
在复数域内的四个解为分别为x1，x2，x3 ，x4 ， 令
2
⎧⎪∆1=c -3bd +12ae ⎨ 322∆=2c -9bcd +27ad +27b e -72ace ⎪⎩2
并记
∆=
+
则有
⎧
⎪
⎪x 1=-b -⎪4a ⎪⎪⎪⎪
b ⎪x =--⎪2
4a ⎪⎪⎨⎪⎪b x =-+⎪3
4a ⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪x 4=-b +⎪4a ⎪⎩
-
+
（五） 关于一元五次多项式方程
在第十六世纪，意大利伟大的数学家卡当和塔塔利亚等人，发掘了一元三次方程的求根公式。该公式发布之后还没到两年，卡当的学生法拉利就惊人地发现了一元四次方程的根的求解公式。当时，数学家们都很乐观，认为我们可以立即找到一元五次方程，一元六次方程，乃至能写出更加高次方程的根的求解公式了。然而，然而，千百年来时间的流逝，谁也找不到这样的公式。
大约三百年过后，到了1825年，挪威的学者阿贝尔最后证明出：一个一般的代数方程，如果方程的最高次数n ≥5，可以得出结论，这个方程不能用到根式求解。也就是说，不可能存在一般的有根式表达的一元五次方程的求根公式。这就是著名的阿贝尔定理。
虽然五次的一元实系数方程，能像三次的一元实系数方程一样必须有一个实根，但是要找到一元五次方程的解，一直是一个重要的数学问题。后来，保罗鲁菲尼（paoloruffini ）和尼尔斯阿贝尔（nielshenrikabel ）证实了一元五次方程并不存在一个统一的根式解（即由方程的所有系数经过有限次的四则运算或根号组合而成的公式解）。认为五次的一般方程没有公式解的观点实际上是不正确的。
事实上，使用一些超越函数，例如θ函数或戴德金η函数能够构造- 9 -五次方程的求根公式。埃瓦里斯特·伽罗瓦（ÉvaristeGalois) 在后来证明了一般五次以上的方程式无根式解，利用群论，他巧妙地解决了上述的各种问题。虽然一般的五次方程的根式解是不存在的，但是对于一些特殊的五次方程在满足一定条件时仍有根式解的。在这个计算机时代，把高次多项式方程当做函数，去求实根的数值解，一般来说都是可行的。
三、总结与展望
本文探讨了一些一元多项式进行求解的方法。重点介绍了多项式方程的判别式的求根公式。并且引入了一元多项式的三次求根公式的四次求根公式来进行求解一元多项式。
至到今天, 五次以上一元多项式的求根问题, 还远未解决，而且大多数方程不存在求根公式，故求其精确根非常困难，甚至是不可能的事，尽管, 已出现了一些数值计算意义下的求近似解的方法. 但是, 即使如此, 任何一种方法却都有模糊的先决条件和其他一些局限性。
在目前，有关问题求解多项式方程根的在工程实践中占有举足轻重的地位。如在人类的生活过程中，经济建设和科学技术的发展过程中，计算一直起着非常重要的作用。在工程计算与科学计算中，最为常见的问题之一更是求解多项式方程组。许多领域如自然生活和工程科学最终都可以归结为求解多项式方程组的问题。这个时候人们就通常需要处理求解代数方程组的问题，如果当项较简单或变元较少时，计算过程就好相对来说简单一些; 但是当项非常复杂或变元非常多的时候，那么其求解的过程中往往会遇到比较多的困难。
对多项式方程的判别式和求根公式的研究，在理论研究和实际工程计算中，具有十分重要的意义。
参考文献
［1］王东明，李晓亮，多项式代数. 高等教育出版社 ［2］韩海清 ， 关于求解多项式方程．教育时空，2007.6
［3］贾小涛 ， 倪旭敏 ， 求解多项式方程所有实根的算法及程序实现. 《科技创新导报》 2010年31期
［4］黄海燕 ， 求解多项式方程组的几种方法 《东北师范大学》 2011年
［5］林隆. 几何定理自动证明与参数多项式方程组求解 方方数据 2006 ［6］百度百科
致谢
临近四年，在这个充满惜别忧伤的月份，我即将要迎来一个崭新的未来。 首先，导师给予我无微不至的帮助令我十分的感激。导师严谨的教学和探究态度，以及东莞理工学院优良的校风传统，还有广大老师教授们的帮助在大学四年里深深的影响了我。俗话说“潜移默化”，大概就是指我的这种情况了，相信这对我的将来会带来非常重要的帮助。
我仍然感激父母对我的养育之恩，没有父母我辛劳复出，我现在也不会在这所美丽的大学里接受毕业仪式。