常用公式........................................................................................................................................... 2 划分问题：....................................................................................................................................... 3 Stirling 公式 . ..................................................................................................................................... 3 皮克定理........................................................................................................................................... 3 卡特兰数........................................................................................................................................... 4 错排公式........................................................................................................................................... 4 等比数列........................................................................................................................................... 5 等差数列........................................................................................................................................... 5 二次函数........................................................................................................................................... 6 二次方程........................................................................................................................................... 7 约瑟夫环........................................................................................................................................... 7 多边形面积....................................................................................................................................... 7 均值不等式的简介 . .......................................................................................................................... 8 均值不等式的变形 . .......................................................................................................................... 8 Lucas 定理 ....................................................................................................................................... 9 斐波那契数列 . ................................................................................................................................ 10 欧拉函数......................................................................................................................................... 11 蚂蚁爬绳......................................................................................................................................... 12 (a/b)%m........................................................................................................................................... 13 泰勒公式......................................................................................................................................... 13 乘法与因式分解公式 . .................................................................................................................... 14 三角不等式..................................................................................................................................... 14 某些数列的前n 项和 . .................................................................................................................... 15 二项式展开公式 . ............................................................................................................................ 15 三角函数公式 . ................................................................................................................................ 16
常用公式
划分问题：
1、n 个点最多把直线分成C(n,0)+C(n,1)份；
2、n 条直线最多把平面分成C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)份；
3、n 个平面最多把空间分成C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+C(n,3)=(n³+5n+6)/6份；
4、n 个空间最多把“时空”分成C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+C(n,3)+C(n,4)份.
Stirling 公式
lim(n→∞) √(2πn) * (n/e)^n = n!
也就是说当n 很大的时候,n! 与√(2πn) * (n/e) ^ n 的值十分接近
这就是Stirling 公式. (2πn) ^0.5× n^ n × e^(-n) =n!;
皮克定理
一个多边形的顶点如果全是格点，这多边形就叫做格点多边形。有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出。
这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理”，这是一个实用而有趣的定理。
给定顶点坐标均是整点（或正方形格点）的简单多边形，皮克定理说明了其面积S 和内部格点数目a 、边上格点数目b 的关系：
S=a+ b/2 - 1。
(其中a 表示多边形内部的点数,b 表示多边形边界上的点数,S 表示多边形的面积)
卡特兰数
原理:
令h(1)＝1,h(0)=1，catalan 数满足递归式：
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2)
另类递归式：
h(n) = h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);
该递推关系的解为：
h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...) 卡特兰数的应用
（实质上都是递归等式的应用）
错排公式
当n 个编号元素放在n 个编号位置, 元素编号与位置编号各不对应的方法数用M(n)表示, 那么M(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置, 各不对应的方法数, 其它类推.
第一步, 把第n 个元素放在一个位置, 比如位置k, 一共有n-1种方法;
第二步, 放编号为k 的元素, 这时有两种情况.1, 把它放到位置n, 那么, 对于剩下的n -2个元素, 就有M(n-2)种方法;2, 不把它放到位置n, 这时, 对于这n-1个元素, 有M(n-1)种方法;
综上得到递推公式：
M(n)=(n-1)[M(n-2)+M(n-1)] 特殊地，M(1)=0,M(2)=1
通项公式：
M(n)=n![(-1)^2/2!+…+(-1)^(n-1)/(n-1)!+(-1)^n/n!]
优美的式子：
Dn=[n!/e+0.5],[x]为取整函数．
公式证明较简单．观察一般书上的公式，可以发现e-1的前项与之相同，然后作比较可得/Dn-n!e-1/
等比数列
(1) 等比数列：
a (n+1)/an=q (n∈N) 。 (2) 通项公式：
an=a1×q^(n-1)； 推广式：
an=am×q^(n-m)； (3) 求和公式：
Sn=n*a1 (q=1)
Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) (q为比值，n 为项数） (4)性质：
①若 m 、n 、p 、q ∈N ，且m ＋n=p＋q ，则am*an=ap*aq； ②在等比数列中，依次每 k 项之和仍成等比数列. ③若m 、n 、q ∈N ，且m+n=2q，则am*an=aq^2 (5)"G是a 、b 的等比中项""G^2=ab（G ≠ 0）".
(6)在等比数列中，首项a1与公比q 都不为零.
注意：上述公式中an 表示等比数列的第n 项。
等差数列
1、 S n=n(a1+an)/2 2、 S n=a1*n+n(n-1)d/2
an=a1+(n-1)d Sn ＝（a1＋an ）*n/2
项数＝（末项-首项）÷公差＋1 A1=2*S/n-an
an=2*S/n-a1 an=a1+（n-1）*d; 性质：
若 m 、n 、p 、q ∈N
①若m ＋n=p＋q ，则am+an=ap+aq ②若m+n=2q，则am+an=2aq
注意：上述公式中an 表示等差数列的第n 项。
二次函数
定义与定义表达式
1：一般式：
y=ax^2;+bx+c (a≠0，a 、b 、c 为常数)
对称轴为直线x = -b/2a，顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)。
2：顶点式：
y=a(x-h）^2+k 或 y=a(x+m)^2+k
(两个式子实质一样, 但初中课本上都是第一个式子) （若给出抛物线的顶点坐标或对称轴与最值，通常可设顶点式）
3：交点式（与x 轴）：
y=a(x-x1)(x-x2)
（若给出抛物线与x 轴的交点及对称轴与x 轴的交点距离或其他一的条件，通常可设交点式） 重要概念：
（a ，b ，c 为常数，a≠0，且a 决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a
y ＝ax 2＋bx ＋c
＝
＝
＝
＝
二次方程
a*x+b*y+c=0; 当△
当△>0 ，x1= [-b-sqrt(b*b-4*a*c)]/(2*a)，x2=[-b+ sqrt(b*b-4*a*c)]/(2*a)。
约瑟夫环
令f 表示i 个人玩游戏报m 退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]. 递推公式: f[1]=0;
f=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了这个公式，我们要做的就是从1-n 顺序算出f 的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1由于是逐级递推，不需要保存每个f ，程序也是异常简单：
多边形面积
点顺序给出
S=0.5*abs(x1*y2-y1*x2+x2*y3-y2*x3+...+xn*y1-yn*x1)
均值不等式的简介
概念：
1、调和平均数：
Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an) 2、几何平均数：
Gn=(a1a2...an)^(1/n)=n次√(a1*a2*a3*...*an) 3、算术平均数：
An=(a1+a2+...+an)/n 4、 平方平均数：
Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n] 5、 这四种平均数满足:
Hn≤Gn≤An≤Qn
a1、a2、… 、an ∈R +，当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号 均值不等式的一般形式：
设函数D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r) (当r 不等于0时); (a1a2...an)^(1/n)(当r=0时）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n)） 则有：当r
注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)
均值不等式的变形
(1)对实数a,b ，有a^2+b^2≥2ab (当且仅当a=b时取“=”号) ，a^2+b^2>0>-2ab (2)对非负实数a,b ，有a+b≥2√(a*b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0 (3)对负实数a,b ，有a+b
(6)对非负数a,b ，有a^2+b^2 ≥1/2*(a+b)^2≥ab (7)对非负数a,b,c ，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2 (8)对非负数a,b,c ，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac (9)对非负数a,b ，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2
(10)对实数a,b,c ，有(a+b+c)/3>=(abc)^(1/3) (11) a^3+b^3+c^3>=3abc,a、b 、c 都是正数。
扩展：若有y=x1*x2*x3.....Xn 且x1+x2+x3+...+Xn=常数P, 则Y 的最大值为((x1+x2+x3+.....+Xn)/n)^n
1、| |a|-|b| |≤|a-b|≤|a|+|b| 2、| |a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|
设a1,a2,…an；b1,b2…bn均是实数，且a1≥a2≥a3≥…≥an,b1≥b2≥b3≥…≥bn;则有a1b1+a2b2+…+anbn（顺序和）≥a1b2+a2b1+a3b3+…+aibj+…+anbm（乱序和）≥a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1（逆序和）, 仅当a1=a2=a3=…an,b1=b2=b3=…=bn时等号成立。
Lucas 定理
斐波那契数列
欧拉函数
实际使用的时候是用下面这个式子：
在程序中利用欧拉函数如下性质，可以快速求出欧拉函数的值(a为N 的质因素) (1) 若(N%a==0 && (N/a)%a==0) 则有:E(N)=E(N/a)*a; (2) 若(N%a==0 && (N/a)%a!=0) 则有:E(N)=E(N/a)*(a-1); 欧拉函数的值
（小于等于1的正整数中唯一和1互质的数就是1本身）。
若n 是质数p 的k 次幂，其他数都跟n 互质。
欧拉函数是积性函数，即是说若m , n 互质，是跟m , n , mn 互质的数的集，据中国剩余定理，的关系。因此
的值使用算术基本定理便知，
，因为除了p 的倍数外，
。证明：设A , B , C
和C 可建立双射(一一对应)
若
则例如
。
先看（2）式，N%a==0 && (N/a)%a!=0，因为a 是质数，而N/a不能被a 整除，说明N/a与a 互质，由上面的
为按照欧拉函数定义欧拉函数
可知E(N)=E(N/a)*E(a);而E(a)=a-1 （因
是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的数目，
a 为质数，从1到a-1都和a 互质，所以E(a)=a-1）, 故E(N)=E(N/a)*(a-1); 再看（1）式，由于a 是N/a的质因数，不能像（2）一样用上面的积性函数的公式。
那看这个式子，假设E(n)可以表示成a^k*(a-1)*C，C 为后面的部分，则E(n/a)可以表示成a^(k-1)*(a-1)*C，比较两式的差别可以得到E(n)是E(n/a)的a 倍，即E(N)=E(N/a)*a。
其实，（2）式也可以像（1）式一样证明，因为N/a与a 互质，说明N 的质因数有且只有一个a ，则E(n)可表示为(a-1)*C，E(N/a)可表示为C ，比较两式差别可以得到E(N)=E(N/a)*(a-1).
蚂蚁爬绳
一绳长L 米，一蚂蚁从绳的一端爬向另一端，速度为每秒v m/s，同时，绳子以每秒u 米的速度均匀伸长，问：蚂蚁能否达到绳的另一端？如能，需多长时间？如不能，请说明理由。（假设绳子质量无限好，蚂蚁寿命无限长）
T=[e
(u/v)
-1]*L/u;
(a/b)%m
背景：a 是b 的倍数
1. 如果m 是质数，很简单，直接用扩展的欧几里德求b 关于m 的逆元
对于 a/b%m = ans, 求 ans。 a = a%m, b = b%m
ans = (a % m)*(x % m) % m （x 为b 的逆元） 求逆元则利用扩展欧几里德： 对于 b*x = 1(mod m)
可以求b*x + m*y = 1的解（ 用extennd_Euclid(b, m, x, y) )! 然后把 x 映射到 [0,m)区间，带入上式， 即得解。
2. 如果m 不是质数，把m 质数分解成质数p1,p2,……,pk的积
然后把a 分解成a1*a2，其中a1的质因数只能在p[]中，a2与p[]中的所有质数都互质，即a2与m 互质
同理把b 分解成b1*b2，其中b1的质因数只能在p[]中，b2与p[]中的所有质数都互质，即b2与m 互质
3. 现在问题变成了(a1*a2)/(b1*b2)%m，即(a1/b1)%m*(a2/b2)%m。 问题分解成了两个问题: 对于a1/b1%m，可以化为:
(p1^m1*p2^m2*……*pk^mk)/(p1^n1*p2^n2*……*pk^nk)%m， 即:p1^(m1-n1)*p2^(m2-n2)*……*pk^(mk-nk)%m
对于a2/b2%m，b2与m 互质，则可以直接求出b2关于m 的逆元化为a2*b2^(-1)%m.
4. 于是，问题解决，时间复杂度约为O(sqrt(m) + log(m))
泰勒公式
乘法与因式分解公式
1.2
1.4
三角不等式
2.1 2.2 2.3 2.4 2.6
某些数列的前n 项和
4.2
4.3
4.7
二项式展开公式
三角函数公式
1 两角和公式
2 倍角公式 6.5
6.6
3 半角公式
4 和差化积
常用公式........................................................................................................................................... 2 划分问题：....................................................................................................................................... 3 Stirling 公式 . ..................................................................................................................................... 3 皮克定理........................................................................................................................................... 3 卡特兰数........................................................................................................................................... 4 错排公式........................................................................................................................................... 4 等比数列........................................................................................................................................... 5 等差数列........................................................................................................................................... 5 二次函数........................................................................................................................................... 6 二次方程........................................................................................................................................... 7 约瑟夫环........................................................................................................................................... 7 多边形面积....................................................................................................................................... 7 均值不等式的简介 . .......................................................................................................................... 8 均值不等式的变形 . .......................................................................................................................... 8 Lucas 定理 ....................................................................................................................................... 9 斐波那契数列 . ................................................................................................................................ 10 欧拉函数......................................................................................................................................... 11 蚂蚁爬绳......................................................................................................................................... 12 (a/b)%m........................................................................................................................................... 13 泰勒公式......................................................................................................................................... 13 乘法与因式分解公式 . .................................................................................................................... 14 三角不等式..................................................................................................................................... 14 某些数列的前n 项和 . .................................................................................................................... 15 二项式展开公式 . ............................................................................................................................ 15 三角函数公式 . ................................................................................................................................ 16
常用公式
划分问题：
1、n 个点最多把直线分成C(n,0)+C(n,1)份；
2、n 条直线最多把平面分成C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)份；
3、n 个平面最多把空间分成C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+C(n,3)=(n³+5n+6)/6份；
4、n 个空间最多把“时空”分成C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+C(n,3)+C(n,4)份.
Stirling 公式
lim(n→∞) √(2πn) * (n/e)^n = n!
也就是说当n 很大的时候,n! 与√(2πn) * (n/e) ^ n 的值十分接近
这就是Stirling 公式. (2πn) ^0.5× n^ n × e^(-n) =n!;
皮克定理
一个多边形的顶点如果全是格点，这多边形就叫做格点多边形。有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出。
这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理”，这是一个实用而有趣的定理。
给定顶点坐标均是整点（或正方形格点）的简单多边形，皮克定理说明了其面积S 和内部格点数目a 、边上格点数目b 的关系：
S=a+ b/2 - 1。
(其中a 表示多边形内部的点数,b 表示多边形边界上的点数,S 表示多边形的面积)
卡特兰数
原理:
令h(1)＝1,h(0)=1，catalan 数满足递归式：
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2)
另类递归式：
h(n) = h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);
该递推关系的解为：
h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...) 卡特兰数的应用
（实质上都是递归等式的应用）
错排公式
当n 个编号元素放在n 个编号位置, 元素编号与位置编号各不对应的方法数用M(n)表示, 那么M(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置, 各不对应的方法数, 其它类推.
第一步, 把第n 个元素放在一个位置, 比如位置k, 一共有n-1种方法;
第二步, 放编号为k 的元素, 这时有两种情况.1, 把它放到位置n, 那么, 对于剩下的n -2个元素, 就有M(n-2)种方法;2, 不把它放到位置n, 这时, 对于这n-1个元素, 有M(n-1)种方法;
综上得到递推公式：
M(n)=(n-1)[M(n-2)+M(n-1)] 特殊地，M(1)=0,M(2)=1
通项公式：
M(n)=n![(-1)^2/2!+…+(-1)^(n-1)/(n-1)!+(-1)^n/n!]
优美的式子：
Dn=[n!/e+0.5],[x]为取整函数．
公式证明较简单．观察一般书上的公式，可以发现e-1的前项与之相同，然后作比较可得/Dn-n!e-1/
等比数列
(1) 等比数列：
a (n+1)/an=q (n∈N) 。 (2) 通项公式：
an=a1×q^(n-1)； 推广式：
an=am×q^(n-m)； (3) 求和公式：
Sn=n*a1 (q=1)
Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) (q为比值，n 为项数） (4)性质：
①若 m 、n 、p 、q ∈N ，且m ＋n=p＋q ，则am*an=ap*aq； ②在等比数列中，依次每 k 项之和仍成等比数列. ③若m 、n 、q ∈N ，且m+n=2q，则am*an=aq^2 (5)"G是a 、b 的等比中项""G^2=ab（G ≠ 0）".
(6)在等比数列中，首项a1与公比q 都不为零.
注意：上述公式中an 表示等比数列的第n 项。
等差数列
1、 S n=n(a1+an)/2 2、 S n=a1*n+n(n-1)d/2
an=a1+(n-1)d Sn ＝（a1＋an ）*n/2
项数＝（末项-首项）÷公差＋1 A1=2*S/n-an
an=2*S/n-a1 an=a1+（n-1）*d; 性质：
若 m 、n 、p 、q ∈N
①若m ＋n=p＋q ，则am+an=ap+aq ②若m+n=2q，则am+an=2aq
注意：上述公式中an 表示等差数列的第n 项。
二次函数
定义与定义表达式
1：一般式：
y=ax^2;+bx+c (a≠0，a 、b 、c 为常数)
对称轴为直线x = -b/2a，顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)。
2：顶点式：
y=a(x-h）^2+k 或 y=a(x+m)^2+k
(两个式子实质一样, 但初中课本上都是第一个式子) （若给出抛物线的顶点坐标或对称轴与最值，通常可设顶点式）
3：交点式（与x 轴）：
y=a(x-x1)(x-x2)
（若给出抛物线与x 轴的交点及对称轴与x 轴的交点距离或其他一的条件，通常可设交点式） 重要概念：
（a ，b ，c 为常数，a≠0，且a 决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a
y ＝ax 2＋bx ＋c
＝
＝
＝
＝
二次方程
a*x+b*y+c=0; 当△
当△>0 ，x1= [-b-sqrt(b*b-4*a*c)]/(2*a)，x2=[-b+ sqrt(b*b-4*a*c)]/(2*a)。
约瑟夫环
令f 表示i 个人玩游戏报m 退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]. 递推公式: f[1]=0;
f=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了这个公式，我们要做的就是从1-n 顺序算出f 的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1由于是逐级递推，不需要保存每个f ，程序也是异常简单：
多边形面积
点顺序给出
S=0.5*abs(x1*y2-y1*x2+x2*y3-y2*x3+...+xn*y1-yn*x1)
均值不等式的简介
概念：
1、调和平均数：
Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an) 2、几何平均数：
Gn=(a1a2...an)^(1/n)=n次√(a1*a2*a3*...*an) 3、算术平均数：
An=(a1+a2+...+an)/n 4、 平方平均数：
Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n] 5、 这四种平均数满足:
Hn≤Gn≤An≤Qn
a1、a2、… 、an ∈R +，当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号 均值不等式的一般形式：
设函数D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r) (当r 不等于0时); (a1a2...an)^(1/n)(当r=0时）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n)） 则有：当r
注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)
均值不等式的变形
(1)对实数a,b ，有a^2+b^2≥2ab (当且仅当a=b时取“=”号) ，a^2+b^2>0>-2ab (2)对非负实数a,b ，有a+b≥2√(a*b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0 (3)对负实数a,b ，有a+b
(6)对非负数a,b ，有a^2+b^2 ≥1/2*(a+b)^2≥ab (7)对非负数a,b,c ，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2 (8)对非负数a,b,c ，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac (9)对非负数a,b ，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2
(10)对实数a,b,c ，有(a+b+c)/3>=(abc)^(1/3) (11) a^3+b^3+c^3>=3abc,a、b 、c 都是正数。
扩展：若有y=x1*x2*x3.....Xn 且x1+x2+x3+...+Xn=常数P, 则Y 的最大值为((x1+x2+x3+.....+Xn)/n)^n
1、| |a|-|b| |≤|a-b|≤|a|+|b| 2、| |a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|
设a1,a2,…an；b1,b2…bn均是实数，且a1≥a2≥a3≥…≥an,b1≥b2≥b3≥…≥bn;则有a1b1+a2b2+…+anbn（顺序和）≥a1b2+a2b1+a3b3+…+aibj+…+anbm（乱序和）≥a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1（逆序和）, 仅当a1=a2=a3=…an,b1=b2=b3=…=bn时等号成立。
Lucas 定理
斐波那契数列
欧拉函数
实际使用的时候是用下面这个式子：
在程序中利用欧拉函数如下性质，可以快速求出欧拉函数的值(a为N 的质因素) (1) 若(N%a==0 && (N/a)%a==0) 则有:E(N)=E(N/a)*a; (2) 若(N%a==0 && (N/a)%a!=0) 则有:E(N)=E(N/a)*(a-1); 欧拉函数的值
（小于等于1的正整数中唯一和1互质的数就是1本身）。
若n 是质数p 的k 次幂，其他数都跟n 互质。
欧拉函数是积性函数，即是说若m , n 互质，是跟m , n , mn 互质的数的集，据中国剩余定理，的关系。因此
的值使用算术基本定理便知，
，因为除了p 的倍数外，
。证明：设A , B , C
和C 可建立双射(一一对应)
若
则例如
。
先看（2）式，N%a==0 && (N/a)%a!=0，因为a 是质数，而N/a不能被a 整除，说明N/a与a 互质，由上面的
为按照欧拉函数定义欧拉函数
可知E(N)=E(N/a)*E(a);而E(a)=a-1 （因
是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的数目，
a 为质数，从1到a-1都和a 互质，所以E(a)=a-1）, 故E(N)=E(N/a)*(a-1); 再看（1）式，由于a 是N/a的质因数，不能像（2）一样用上面的积性函数的公式。
那看这个式子，假设E(n)可以表示成a^k*(a-1)*C，C 为后面的部分，则E(n/a)可以表示成a^(k-1)*(a-1)*C，比较两式的差别可以得到E(n)是E(n/a)的a 倍，即E(N)=E(N/a)*a。
其实，（2）式也可以像（1）式一样证明，因为N/a与a 互质，说明N 的质因数有且只有一个a ，则E(n)可表示为(a-1)*C，E(N/a)可表示为C ，比较两式差别可以得到E(N)=E(N/a)*(a-1).
蚂蚁爬绳
一绳长L 米，一蚂蚁从绳的一端爬向另一端，速度为每秒v m/s，同时，绳子以每秒u 米的速度均匀伸长，问：蚂蚁能否达到绳的另一端？如能，需多长时间？如不能，请说明理由。（假设绳子质量无限好，蚂蚁寿命无限长）
T=[e
(u/v)
-1]*L/u;
(a/b)%m
背景：a 是b 的倍数
1. 如果m 是质数，很简单，直接用扩展的欧几里德求b 关于m 的逆元
对于 a/b%m = ans, 求 ans。 a = a%m, b = b%m
ans = (a % m)*(x % m) % m （x 为b 的逆元） 求逆元则利用扩展欧几里德： 对于 b*x = 1(mod m)
可以求b*x + m*y = 1的解（ 用extennd_Euclid(b, m, x, y) )! 然后把 x 映射到 [0,m)区间，带入上式， 即得解。
2. 如果m 不是质数，把m 质数分解成质数p1,p2,……,pk的积
然后把a 分解成a1*a2，其中a1的质因数只能在p[]中，a2与p[]中的所有质数都互质，即a2与m 互质
同理把b 分解成b1*b2，其中b1的质因数只能在p[]中，b2与p[]中的所有质数都互质，即b2与m 互质
3. 现在问题变成了(a1*a2)/(b1*b2)%m，即(a1/b1)%m*(a2/b2)%m。 问题分解成了两个问题: 对于a1/b1%m，可以化为:
(p1^m1*p2^m2*……*pk^mk)/(p1^n1*p2^n2*……*pk^nk)%m， 即:p1^(m1-n1)*p2^(m2-n2)*……*pk^(mk-nk)%m
对于a2/b2%m，b2与m 互质，则可以直接求出b2关于m 的逆元化为a2*b2^(-1)%m.
4. 于是，问题解决，时间复杂度约为O(sqrt(m) + log(m))
泰勒公式
乘法与因式分解公式
1.2
1.4
三角不等式
2.1 2.2 2.3 2.4 2.6
某些数列的前n 项和
4.2
4.3
4.7
二项式展开公式
三角函数公式
1 两角和公式
2 倍角公式 6.5
6.6
3 半角公式
4 和差化积