达朗伯原理作业参考答案及解答
1．汽车以加速度a 作水平直线运动，如图所示。若不计车轮质量，汽车的总质量为m ，质心距地面的高度为h 。若汽车的前后轮轴到过质心的铅垂线的距离分别等于l 1和l 2。试求前后轮的铅垂压力；并分析汽车行驶加速度a 为何值时其前后轮的压力相等（滚动摩擦阻力不计）？
g (l 1−l 2)
2h
答案：a =
2．为了用实验方法测定无轨电车的减速度，采用了液体加速度计，它是由一个盛有油并安放在铅垂平面内的折管构成。当电车掣动时，安放在运动前进方向的一段管内的液面上升到高度h 2，而在反向的一段管内的液面则下降到高度h 1。加速度计的安放位置如图所示，θ1=θ2=45°，且已知h 1=250mm，h 2=750mm。试求此时电车的减速度大小。
d =h 1cot θ1+h 2cot θ2
当电车掣动时，筒中两端油的高差为h 2−h 1，取油面上一滴油为研究对象，其受力图（含虚加惯性力）如下图。
由
∑F
x
=0, ⇒ma cos θ−mg sin θ=0
注意到几何关系
tan θ=
h 2−h 1h 2−h 1
= d h 1cot θ1+h 2cot θ2
解得
a =g tan θ=
g (h 2−h 1) g (h 2−h 1)
==0. 5g
h 1cot θ1+h 2cot θ2h 1+h 2
3．题图所示均质杆AB 的质量为4kg ，置于光滑的水平面上。在杆的B 端作用一水平推力F = 60N，使杆AB 沿F 力方向作直线平移。试求AB 杆的加速度和角
θ 之值。
答案：a =
F g mg =15m/s2, tanθ===0. 654, θ=33.2o m a F
4．在题图所示系统中，已知：均质杆AB 的长为l ，质量为m ，均质圆盘的半径为r ，质量也为m ，在水平面上作纯滚动。在图示位置由静止开始运动。试求该瞬时：（1）杆AB 的角加速度；（2）圆盘中心A 的加速度a A 。
解：先进行运动分析，显然杆AB 和轮A 均作平面运动，由运动学关系有
l t t
, =αAB a A =r αA , a C =a A +a CA a CA
2
取整体为研究对象，加上惯性力，其受力图见下左图
各惯性力和力偶为
1111
M I A =mr 2αA =mra A , M I C =ml 2αAB , F I A =F I C x =ma A , F I C y =ml αAB (1)
22122
根据达朗伯原理 由
∑M
D
(F ) =0, M I A +M I C
11
+r (F I A +F I C x ) +lF I C y −mgl =0
22
将式（1）代入上式得
2l 2αAB +15ra A −3gl =0 (2)
再取杆AB 为研究对象，加上惯性力，其受力图见上右图 由
∑M
A
(F ) =0, M I C
11
+lF I C y −mgl =0 22
将式（1）代入上式得
2l 2αAB −3gl =0 (3)
由式（2）和（3）解得
3g
αAB = a A =0
2l
5．题图所示内侧光滑的圆环在水平面内绕过点O 的铅垂轴转动，均质细杆的A 端与圆环铰接，B 端压在环上。已知：环的内半径为r ，杆长l =2r ，质量为m 。试求图示角速度为ω ，角加速度为α 瞬时，杆上A 、B 两点在水平面内的约束力。
解：杆AB 绕轴O 作定轴转动，以杆AB 为研究对象，虚加上惯性力，其受力分析如上右图所示。注意惯性力系向转轴O 简化，可以设想将杆AB 固连在一无质量的刚体上，转轴O 为该刚体上的点。各惯性力为 F In =ma C n =
222rm ω2, F It =ma C t =rm α, M I O =J O α=mr 2α 223
根据达朗伯原理
由 由
∑M
O
(F ) =0, M I O −rF Ay =0, ⇒F Ay =
2
mr α 3
∑F x =0, F Ax −
21
(F I n +F I t ) =0, ⇒F Ax =mr (α+ω2) 222
(F I n −F I t ) =0, ⇒2
F B =
1α
mr (+ω2) 23
由
∑F y =0, F Ay −F B +
注：惯性力系也可向质心C 简化
6．质量各为3kg 的均质杆AB 和BC 焊成一刚体ABC ，由金属线AE 和杆BE 、AD 支持于图示位置。设不计杆的质量，试求割断线AE 的瞬时，AD 、BE 杆的内力。
解：刚体ABC 作平行移动，各点加速度相同。割断线AE 的瞬时，速度为零，故仅有切向加速度，方向与AD 垂直。在不计杆的质量的前提下，杆AD 、BE 的内力沿杆的轴线方向，虚加上惯性力，其受力分析如右上图所示。
其中
F I2=F I1=ma =3a , P =mg =3g
根据达朗伯原理
由 由
∑F x =0, F I1+F I2−2P sin 30o =0, ⇒a =
1g 2
11o
() 0, 1cos 30M F =P +⋅F −F I1sin 30o −1⋅F I2cos 30o =0 ∑B A
22
代入数据解得 F A =1. 97N 由
∑F
y
=0, 2P cos 30o +F A +F B =0, ⇒F B =−52. 9N
负号表示杆BE 受压。
达朗伯原理作业参考答案及解答
1．汽车以加速度a 作水平直线运动，如图所示。若不计车轮质量，汽车的总质量为m ，质心距地面的高度为h 。若汽车的前后轮轴到过质心的铅垂线的距离分别等于l 1和l 2。试求前后轮的铅垂压力；并分析汽车行驶加速度a 为何值时其前后轮的压力相等（滚动摩擦阻力不计）？
g (l 1−l 2)
2h
答案：a =
2．为了用实验方法测定无轨电车的减速度，采用了液体加速度计，它是由一个盛有油并安放在铅垂平面内的折管构成。当电车掣动时，安放在运动前进方向的一段管内的液面上升到高度h 2，而在反向的一段管内的液面则下降到高度h 1。加速度计的安放位置如图所示，θ1=θ2=45°，且已知h 1=250mm，h 2=750mm。试求此时电车的减速度大小。
d =h 1cot θ1+h 2cot θ2
当电车掣动时，筒中两端油的高差为h 2−h 1，取油面上一滴油为研究对象，其受力图（含虚加惯性力）如下图。
由
∑F
x
=0, ⇒ma cos θ−mg sin θ=0
注意到几何关系
tan θ=
h 2−h 1h 2−h 1
= d h 1cot θ1+h 2cot θ2
解得
a =g tan θ=
g (h 2−h 1) g (h 2−h 1)
==0. 5g
h 1cot θ1+h 2cot θ2h 1+h 2
3．题图所示均质杆AB 的质量为4kg ，置于光滑的水平面上。在杆的B 端作用一水平推力F = 60N，使杆AB 沿F 力方向作直线平移。试求AB 杆的加速度和角
θ 之值。
答案：a =
F g mg =15m/s2, tanθ===0. 654, θ=33.2o m a F
4．在题图所示系统中，已知：均质杆AB 的长为l ，质量为m ，均质圆盘的半径为r ，质量也为m ，在水平面上作纯滚动。在图示位置由静止开始运动。试求该瞬时：（1）杆AB 的角加速度；（2）圆盘中心A 的加速度a A 。
解：先进行运动分析，显然杆AB 和轮A 均作平面运动，由运动学关系有
l t t
, =αAB a A =r αA , a C =a A +a CA a CA
2
取整体为研究对象，加上惯性力，其受力图见下左图
各惯性力和力偶为
1111
M I A =mr 2αA =mra A , M I C =ml 2αAB , F I A =F I C x =ma A , F I C y =ml αAB (1)
22122
根据达朗伯原理 由
∑M
D
(F ) =0, M I A +M I C
11
+r (F I A +F I C x ) +lF I C y −mgl =0
22
将式（1）代入上式得
2l 2αAB +15ra A −3gl =0 (2)
再取杆AB 为研究对象，加上惯性力，其受力图见上右图 由
∑M
A
(F ) =0, M I C
11
+lF I C y −mgl =0 22
将式（1）代入上式得
2l 2αAB −3gl =0 (3)
由式（2）和（3）解得
3g
αAB = a A =0
2l
5．题图所示内侧光滑的圆环在水平面内绕过点O 的铅垂轴转动，均质细杆的A 端与圆环铰接，B 端压在环上。已知：环的内半径为r ，杆长l =2r ，质量为m 。试求图示角速度为ω ，角加速度为α 瞬时，杆上A 、B 两点在水平面内的约束力。
解：杆AB 绕轴O 作定轴转动，以杆AB 为研究对象，虚加上惯性力，其受力分析如上右图所示。注意惯性力系向转轴O 简化，可以设想将杆AB 固连在一无质量的刚体上，转轴O 为该刚体上的点。各惯性力为 F In =ma C n =
222rm ω2, F It =ma C t =rm α, M I O =J O α=mr 2α 223
根据达朗伯原理
由 由
∑M
O
(F ) =0, M I O −rF Ay =0, ⇒F Ay =
2
mr α 3
∑F x =0, F Ax −
21
(F I n +F I t ) =0, ⇒F Ax =mr (α+ω2) 222
(F I n −F I t ) =0, ⇒2
F B =
1α
mr (+ω2) 23
由
∑F y =0, F Ay −F B +
注：惯性力系也可向质心C 简化
6．质量各为3kg 的均质杆AB 和BC 焊成一刚体ABC ，由金属线AE 和杆BE 、AD 支持于图示位置。设不计杆的质量，试求割断线AE 的瞬时，AD 、BE 杆的内力。
解：刚体ABC 作平行移动，各点加速度相同。割断线AE 的瞬时，速度为零，故仅有切向加速度，方向与AD 垂直。在不计杆的质量的前提下，杆AD 、BE 的内力沿杆的轴线方向，虚加上惯性力，其受力分析如右上图所示。
其中
F I2=F I1=ma =3a , P =mg =3g
根据达朗伯原理
由 由
∑F x =0, F I1+F I2−2P sin 30o =0, ⇒a =
1g 2
11o
() 0, 1cos 30M F =P +⋅F −F I1sin 30o −1⋅F I2cos 30o =0 ∑B A
22
代入数据解得 F A =1. 97N 由
∑F
y
=0, 2P cos 30o +F A +F B =0, ⇒F B =−52. 9N
负号表示杆BE 受压。