空间几何体的三视图及球的接切问题
一、三视图
1、空间几何体的三视图及应用
例1、一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_______ ①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱.
例2、已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为(
)
解析：选C “高平齐”，故正视图的高一定是2，正视图和俯视图“长对正”，根据侧视图中的直角说明这个空间几何体最前面的面垂直于底面，这个面遮住了后面的一个侧棱，故为虚线，如果D 中垂直于底面的线为虚线，则也有可能是正视图.
例3、已知某组合体的正视图与侧视图相同(其中AB
＝AC ，四边形BCDE 为矩形) ，则该组合体的俯视图
可以是________，并说明不同的俯视图对应组合体
的构成.
例4、已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于( ) A、1 B、2 C、3 D
、例5、如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点，则三棱锥P -ABC 的正视图与侧视图的面积的比值为________．(考查投影的应用
)
2、与三视图有关的最值问题：要求能准确的还原三视图.
例6、某四面体的三视图如中图所示，该四面体四个面中面积的最大值是
例7、如右上图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为 .
3、空间几何体的表面积与体积（主要是正方体的切割问题）
例9、（1）一个几何体的三视图如左下图1所示，则侧视图的面积为
（2）某几何体三视图如中下图所示，说明其是由哪些几何体组合而来的，该几何体的体积为
（3）一个几何体的三视图如右上图所示，则该几何体的体积可能是______.
思考：如果三视图中的正方形内部的实线变为虚线，其几何体的组成又是什么？ 例10、如右上图4所示是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为
二、球
1、球的表面积和体积、截面有关计算
例1（1）圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同) 后，水恰好淹没最上面的球(如图所示) ，则球的半径是 _
（2）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为
例2（1）半径为8的球O 上有三点A , B , C ，其中BC =5，∠A =30，求球心O 到面ABC
的距离。
（2）一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面的不可能图形是(
)
[解析] 截面的角度和方向不同、球的截面不同。
过球心与正方体的对角面时为B ，截面平行于正方体的一个侧面时为C ，过正方体上下底面的中心且不过体对角线的截面为A ，∴不可能为D.
2、球的接、切问题
例3（1） 三棱锥P-ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，若PA=AC=2，则该三棱锥的外接球的体积是 。
(2）已知三棱锥P-ABC 的四个顶点都在球O 的球面上,AB ⊥BC 且
AC=10,则球O 的表面积为能否找到直径？)
(3)若三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径、且SC=2，求此棱锥的体积。
例4（1）三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有顶点都在球O 的球面上，底面边长为1，侧棱长为2
，
求外接球体积 。
（2）已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB 3，∠ASC ＝∠BSC ＝30°，
则棱锥S －ABC 的体积为
A ．33 B ．3 C ．3 D ．1
【补充】 ( )
1、球的性质：(1)用任何一个平面去截球，所得的截面是一个圆面. 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆
(2)球心和截面圆圆心的连线垂直于截面.
(3)若球的半径为R ，截面圆半径为r
，则球心到截面的距离d =
(4)三视图特点：正、侧、俯视图都是圆。
2、球与多面体的接切问题：球的内接正多面体和外切正多面体的中心均为球心。
（1）球与正方体：外接球2R =a ，棱切球2R =
（2）长方体的外接球：体对角线是球的直径2R =2a ，内切球2R =a ； a 2+b 2+c 2；
（3）请动手计算边长为a 的正四面体的内切球、外接球的半径。
提示：内切球（两种方法：截面相似法和等体积法）；外接球（截面法）
（4）球的接切问题的常用方法：
①截面法：球心、接切点确定的截面解三角形，如求直三棱柱、正三棱锥的外接球球心？ ②补形法：如一条侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球可补成三棱柱；侧棱两两垂直的三棱锥的外接球可补成长方体。
（5）柱、锥的内切球球心如何确定？（截面法、等体积法）
空间几何体的三视图及球的接切问题
一、三视图
1、空间几何体的三视图及应用
例1、一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_______ ①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱.
例2、已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为(
)
解析：选C “高平齐”，故正视图的高一定是2，正视图和俯视图“长对正”，根据侧视图中的直角说明这个空间几何体最前面的面垂直于底面，这个面遮住了后面的一个侧棱，故为虚线，如果D 中垂直于底面的线为虚线，则也有可能是正视图.
例3、已知某组合体的正视图与侧视图相同(其中AB
＝AC ，四边形BCDE 为矩形) ，则该组合体的俯视图
可以是________，并说明不同的俯视图对应组合体
的构成.
例4、已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于( ) A、1 B、2 C、3 D
、例5、如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点，则三棱锥P -ABC 的正视图与侧视图的面积的比值为________．(考查投影的应用
)
2、与三视图有关的最值问题：要求能准确的还原三视图.
例6、某四面体的三视图如中图所示，该四面体四个面中面积的最大值是
例7、如右上图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为 .
3、空间几何体的表面积与体积（主要是正方体的切割问题）
例9、（1）一个几何体的三视图如左下图1所示，则侧视图的面积为
（2）某几何体三视图如中下图所示，说明其是由哪些几何体组合而来的，该几何体的体积为
（3）一个几何体的三视图如右上图所示，则该几何体的体积可能是______.
思考：如果三视图中的正方形内部的实线变为虚线，其几何体的组成又是什么？ 例10、如右上图4所示是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为
二、球
1、球的表面积和体积、截面有关计算
例1（1）圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同) 后，水恰好淹没最上面的球(如图所示) ，则球的半径是 _
（2）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为
例2（1）半径为8的球O 上有三点A , B , C ，其中BC =5，∠A =30，求球心O 到面ABC
的距离。
（2）一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面的不可能图形是(
)
[解析] 截面的角度和方向不同、球的截面不同。
过球心与正方体的对角面时为B ，截面平行于正方体的一个侧面时为C ，过正方体上下底面的中心且不过体对角线的截面为A ，∴不可能为D.
2、球的接、切问题
例3（1） 三棱锥P-ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，若PA=AC=2，则该三棱锥的外接球的体积是 。
(2）已知三棱锥P-ABC 的四个顶点都在球O 的球面上,AB ⊥BC 且
AC=10,则球O 的表面积为能否找到直径？)
(3)若三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径、且SC=2，求此棱锥的体积。
例4（1）三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有顶点都在球O 的球面上，底面边长为1，侧棱长为2
，
求外接球体积 。
（2）已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB 3，∠ASC ＝∠BSC ＝30°，
则棱锥S －ABC 的体积为
A ．33 B ．3 C ．3 D ．1
【补充】 ( )
1、球的性质：(1)用任何一个平面去截球，所得的截面是一个圆面. 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆
(2)球心和截面圆圆心的连线垂直于截面.
(3)若球的半径为R ，截面圆半径为r
，则球心到截面的距离d =
(4)三视图特点：正、侧、俯视图都是圆。
2、球与多面体的接切问题：球的内接正多面体和外切正多面体的中心均为球心。
（1）球与正方体：外接球2R =a ，棱切球2R =
（2）长方体的外接球：体对角线是球的直径2R =2a ，内切球2R =a ； a 2+b 2+c 2；
（3）请动手计算边长为a 的正四面体的内切球、外接球的半径。
提示：内切球（两种方法：截面相似法和等体积法）；外接球（截面法）
（4）球的接切问题的常用方法：
①截面法：球心、接切点确定的截面解三角形，如求直三棱柱、正三棱锥的外接球球心？ ②补形法：如一条侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球可补成三棱柱；侧棱两两垂直的三棱锥的外接球可补成长方体。
（5）柱、锥的内切球球心如何确定？（截面法、等体积法）