一、简答题
1、已知：如图，E、F是□ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．
求证：四边形BEDF是平行四边形．
2、在□ABCD中，AE=CF．四边形BFDE是平行四边形吗？如果是请说明理由
.
3、如图，在△ABC中，D是BC上的点，O是AD的中点，过A作BC的平行线交BO的延长线于点E，则四边形ABDE是什么四边形？并说明理由。
4、已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF//BE交BC于点F，AF与BE交于点M，CE与DF交于点N．
求证：四边形MFNE是平行四边形．
ABCD的各边AB、BC、CD、DA上，分别取点K、L、M、N，使AK=CM、BL=DN，
求证：四边形KLMN为平行四边形。 5
、如图，在
6、如图20
，在平行四边形
中，平分
交于点
，
平分
交于点. 求证：（1
）；
（2
）若
，则判断四边形是什么特殊四边形，请证明你的结论.
7、如图,已知ABCD中DE⊥AC,BF⊥AC,证明四边形DEBF为平行四边形
.
8、已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，且AB=DC=5，AC=4，BC=3．
求证：四边形ABCD为平行四边形.
9、在△ABC中，BC的垂直平分线EF交BC于D，且CF=BE．试说明四边形BFCE是菱形
.
10、已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB的中点。
求证：四边形BCDE是菱形
11
、如图，在ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，点E、F分别是AB、CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G。
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明。
12、 如图．矩形ABCD的对角线相交于点0．DE∥AC，CE∥BD．
(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)若∠ACB=30°，菱形OCED
的而积为，求AC的长．
13、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，过点D
作DE⊥BC，垂足为E，并延长
（1）求证：四边形ABFC是平行
（2）如果DE＝BE·CE，求证四边形ABFC是矩形．
14、如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交2DE至F，使EF＝DE．联结BF、CD、AC． 四边形；
CB的延长线于点G．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若∠G＝90º，，求证：四边形DEBF是菱形．
15、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，
求证：四边形BEDF是菱形。
16、如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．
⑴求证：△ABF≌△ECF
⑵若∠AFC=2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．
17、如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连结EC。
(1)求证：AD=EC；
(2)当∠BAC=Rt∠时，求证：四边形ADCE是菱形；
18、 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连结AD，在AD的延长线上取一点E，连结BE，CE．
（1）求证：△ABE≌△ACE；
（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由．
19、已知：如图，在⊿ABC中，AB=AC，D、E、F分别是BC、AB、AC边的中点.
求证：四边形AEDF 是菱形.
20、已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD // BC，AB⊥AD，BC = CD，BE⊥CD，垂足为点
E，点F在BD上，联结AF、EF．
（1）求证：AD = ED；
（2）如果AF // CD，求证：四边形ADEF是菱形．
21
、已知：如图，梯形
. 中，∥
，是
的中点，
，联结
、
相交于点
，
（1
）求证：；
（2
）求证：四边形是菱形.
22、已知：如图，在□ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，CE、AF与对角线BD分别相交于点G、H．
（1） 求证：DH=HG=BG；
（2） 如果AD⊥BD，求证：四边形EGFH是菱形．
23、如图7，等腰三角形ABC中，AB=AC，AH垂直BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH=EH，
（1）求证：四边形EBFC是菱形；
（2）如果
=
，求证：．
24、观察控究，完成证明和填空．
如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H，得到的四边形EFGH叫中点四边形．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图，当四边形ABCD变成等腰梯形时，它的中点四边形是菱形，请你探究并填空：
当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
当四边形ABCD变成菱形时，它的中点四边形是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
（3）根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？
25、如图, 在△ABC, AB=AC, D是BC的中点, DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
求证：（1）△BDE≌△CDF；（2）∠A=90度时，四边形AEDF是正方形．
26、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点P、Q分别是AB、AC上的一动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点
（1）求证：△PDQ是等腰直角三角形；
（2）当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由。
二、选择题
（每空？ 分，共？ 分）
27、在
中，点、
、
分别在、、
上，且
，，则下列三种说法：
①如果
，那么四边形是矩形；
②如果
平分
，那么四边形是菱形；
③如果且
，那么四边形是菱形．
其中正确的有 ………………………………………（ ）
（A）3个； （B）2个； （C）1个； （D）0个．
28、对角线互相垂直且相等的四边形一定是…………………………………………………（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．以上均不对
三、填空题
（每空？ 分，共？ 分）
29、如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件： ，使得该菱形为正方形．
30、已知四边形ABCD中，
以是 . ，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可
31、有一组邻边________,并且有一个角是_______的平行四边形是正方形.
参考答案
一、简答题
1、法1）连接BD，证明BO=DO且EO=FO；
（法2）证明，进而DE=BF且DE//BF；
2、解：四边形BFDE是平行四边形（2分） 在□ABCD中→AD∥BC，AD=BC（4分）
AE=CF→ED=BF （5分） →四边形BFDE是平行四边形（8分）
3、四边形ABCD是平行四边形。（2分） 由△AOE≌△DOB得AE=BD（4分）
∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形。（2分）
4、证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD//BC
又∵DF//BE，∴四边形BEDF是平行四边形． ∴DE=BF．
∴AD-DE=BC-BF，即AE=CF
又∵AE//CF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
5、证明：∵四边形ABCD是平行四边形. ∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，∠B=∠D
∵AK=CM，BL=DN，
∴BK=DM，CL=AN
∴△AKN≌△CML，△BKL≌△DMN
∴KN=ML，KL=MN
∴四边形KLMN是平行四边形.
6、证明：（1
）∵四边形是平行四边形， ∴ ∵
平分
平分∴
∴
（2
）由得
在平行四边形
中， ∴
∴四边形是平行四边形 若
则四边形是菱形
7、答案:证明：在
∴∠DAC=∠BCA. ABCD中,AD=BC,AD∥BC,
又∵∠DEA=∠BFC=90°,
∴Rt△ADE≌Rt△CBF.
∴DE=BF.
同理,可证DF=BE.
∴四边形DEBF为平行四边形.
8、证明：∵AB=5，AC=4，BC=3
∴AB=AC+BC
∴∠BCA=90
∵AD∥BC
∴∠DAC=∠BCA=90
∵DC=5，AC=4，
∴AD=DC-AC=9
∴AD=BC=3
∴四边形ABCD为平行四边形。
9、解：EF是BC的垂直平分线→FC=FB EB=EC （4分） 22200222
又CF=BE→FC=CE=EB=BF （7分）
→四边形BECF是菱形（9分）.
（其它解法，只要正确即可参照本标准给分）
10、
11、（1）证明略。
（2）四边形AGBD是矩形。理由略。
12、
13、 [解] (1) 等腰梯形ABCD中，AB=DC，ÐB=ÐDCB，∵ △DFC是等腰三角形，∴ ÐDCB=ÐFCE， DC=CF，所以ÐB=ÐFCE，AB=CF，易证四边形ABFC是平行四边形。
(2) 提示：射影定理的逆定理不能直接在中考中使用，必须通过相似三角形来证明，内 角为90°。
14、
15、证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC,OB=OD
∵∠EDO=∠FBO, ∠OED=∠OFB
∴△OED≌△OFB
∴DE=BF
又∵ED∥BF
∴四边形BEDF是平行四边形
∵EF⊥BD
∴平行四边形BEDF是菱形。
16、证明：⑴∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AB=CD．∴∠ABF=∠ECF. ∵EC=DC, ∴AB=EC．
在△ABF和△ECF中，∵∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC，
∴⊿ABF≌⊿ECF．
（2）解法一：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∴AF=EF， BF=CF． ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D，又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABC． ∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，∴∠ABF=∠BAF．∴FA=FB．
∴FA=FE=FB=FC, ∴AE=BC．∴口ABEC是矩形．
解法二：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D=∠BCE．
又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠BCE，
∵∠AFC=∠FCE+∠FEC，∴∠FCE=∠FEC．∴∠D=∠FEC．∴AE=AD．
又∵CE=DC，∴AC⊥DE．即∠ACE=90°．∴口ABEC是矩形．
17、 (1)解法1
证明：∵DE∥AB，AE∥BC，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BD，且AE=BD
又∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD
∴AE∥CD，且AE=CD
∴四边形ADCE是平行四边形
∴AD=CE
解法2
证明：∵DE∥AB，AE∥BC
∴四边形ABDE是平行四边形，∠B=∠EDC
∴AB=DE
又∵AD是BC边上的中线
∴BD=CD
∴△ABD≌△EDC(SAS)
∴AD=EC
(2)解法1
证明：∵∠BAC=Rt∠，AD上斜边BC上的中线，
∴AD=BD=CD
又∵四边形ADCE是平行四边形
∴四边形ADCE是菱形
解法2
证明：∵DE∥AB，∠BAC=Rt∠，
∴DE⊥AC
又∵四边形ADCE是平行四边形
∴四边形ADCE是菱形
解法3
证明：∵∠BAC=Rt∠，AD是斜边BC上的中线，
∴AD=BD=CD
又∵AD=EC
∴AD=CD=CE=AE
∴四边形ADCE是菱形
(3)解法1
解：∵四边形ADCE是菱形
∴AO=CO，∠ADO=90°,
又∵BD=CD
∴OD是△ABC
的中位线，则
∵AB=AO
∴
∴在Rt△AOD中，
解法2
解：∵四边形ADCE是菱形
∴AO=CO=，AD=CD，∠AOD=90°，
∵AB=AO
∴AB=
∴在Rt△ABC中，
∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA
∴
18、 (1)证明：因为AB=AC且D是BC的中点
所以AD垂直平分BC
所以BE=CE
又因为AE=AE
所以△ABE≌△ACE
（2）当AE=2AD时，四边形ABEC是菱形，
理由如下：
因为AE=2AD，AD垂直平分BC
所以BC垂直平分AE，
所以对角线AE与BC互相垂直平分
所以四边形ABEC是菱形
19、证明：⊿ABC中，E、D分别是AB, BC的中点
∴ED =(三角形的中位线等于第三边的一半)
同理 FD=
∵ AE= ，AF =
∴ AE=AF=ED=FD
∴ 四边形AEDF是菱形
（四条边相等的四边形是菱形）
20、证明：（1）∵ BC = CD，∴ ∠CDB =∠CBD．
∵ AD // BC，∴ ∠ADB =∠CBD．
∴ ∠ADB =∠CDB．
又∵ AB⊥AD，BE⊥CD，∴ ∠BAD =∠BED = 90°．
于是，在△ABD和△EBD中，
∵ ∠ADB =∠CDB，∠BAD =∠BED，BD = BD，
∴ △ABD≌△EBD．
∴ AD = ED．
（2）∵ AF // CD，∴ ∠AFD =∠EDF．
∴ ∠AFD =∠ADF，即得 AF = AD．
又∵ AD = ED，∴ AF = DE．
于是，由 AF // DE，AF = DE，
得四边形ADEF是平行四边形．又∵ AD = ED，
∴ 四边形ADEF是菱形．
21、证明：（1）∵BD⊥CD
，∴， ∵
是
的中点，∴， ∵，∴EF⊥BD
，即，∴
∥ ∵
∥
，∴四边形是平行四边形， ∴.
（2
）∵四边形
是平行四边形，∴， ∴
∵
=
，又∥
，∴四边形是菱形. 是平行四边形， ，∴四边形
22、证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AB=CD． ∵点E、F分别是AB、CD的中点， ∴．∴DH
=．
同理：BG=．
∴DH=HG=GB=．
（2）联结EF，交BD于点O．
∵AB//CD，AB=CD，点E、F分别是AB、CD的中点， ∴．
∴FO=EO，DO=BO．
∵DH=GB，∴OH=OG．∴四边形EGFH是平行四边形．
∵点E、O分别是AB、BD的中点，∴OE//AD．
∵AD⊥BD，∴EF⊥GH．
∴□HEGF是菱形．
23、（1）
证明：∵，， ∴． ∵，
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形是菱形．
（2
）证明：∵四边形是菱形． ∴． ∵
，， ∴． ∵
= ∴． ∵ ∴． ∴．
即：．
24、（1）证明：连接BD
∵E、H分别是AB、AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线
∴EH＝BD，EH∥
BD
同理得FG
＝BD，FG∥BD
∴EH＝FG，EH∥FG
∴四边形EFGH是平行四边形
（2）填空依次为平行四边形，菱形，矩形，正方形
（3）中点四边形的形状由原四边形的对角线的关系来决定的．
25、略
26、解：（1）证明：连结
AD
∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点
∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠DAQ=∠B
又∵BP=AQ
∴△BPD≌△AQD
∴PD=QD，∠ADQ=∠BDP
∵∠BDP+∠ADP=90°
∴∠ADQ+∠ADP=∠PDQ=90°
∴△PDQ为等腰直角三角形
（2）当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形
由（1）知△ABD为等腰直角三角形
当P为AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD=90°
又∵∠A=90°，∠PDQ=90°
∴四边形APDQ为矩形
又∵DP=AP=AB
∴四边形APDQ为正方形
二、选择题
27、A
28、D
三、填空题
29、AB⊥BC或AC=BD或AO=BO等。
30、AB=BC(或AC⊥BD
31、相等;直角
一、简答题
1、已知：如图，E、F是□ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．
求证：四边形BEDF是平行四边形．
2、在□ABCD中，AE=CF．四边形BFDE是平行四边形吗？如果是请说明理由
.
3、如图，在△ABC中，D是BC上的点，O是AD的中点，过A作BC的平行线交BO的延长线于点E，则四边形ABDE是什么四边形？并说明理由。
4、已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF//BE交BC于点F，AF与BE交于点M，CE与DF交于点N．
求证：四边形MFNE是平行四边形．
ABCD的各边AB、BC、CD、DA上，分别取点K、L、M、N，使AK=CM、BL=DN，
求证：四边形KLMN为平行四边形。 5
、如图，在
6、如图20
，在平行四边形
中，平分
交于点
，
平分
交于点. 求证：（1
）；
（2
）若
，则判断四边形是什么特殊四边形，请证明你的结论.
7、如图,已知ABCD中DE⊥AC,BF⊥AC,证明四边形DEBF为平行四边形
.
8、已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，且AB=DC=5，AC=4，BC=3．
求证：四边形ABCD为平行四边形.
9、在△ABC中，BC的垂直平分线EF交BC于D，且CF=BE．试说明四边形BFCE是菱形
.
10、已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB的中点。
求证：四边形BCDE是菱形
11
、如图，在ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，点E、F分别是AB、CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G。
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明。
12、 如图．矩形ABCD的对角线相交于点0．DE∥AC，CE∥BD．
(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)若∠ACB=30°，菱形OCED
的而积为，求AC的长．
13、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，过点D
作DE⊥BC，垂足为E，并延长
（1）求证：四边形ABFC是平行
（2）如果DE＝BE·CE，求证四边形ABFC是矩形．
14、如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交2DE至F，使EF＝DE．联结BF、CD、AC． 四边形；
CB的延长线于点G．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若∠G＝90º，，求证：四边形DEBF是菱形．
15、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，
求证：四边形BEDF是菱形。
16、如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．
⑴求证：△ABF≌△ECF
⑵若∠AFC=2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．
17、如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连结EC。
(1)求证：AD=EC；
(2)当∠BAC=Rt∠时，求证：四边形ADCE是菱形；
18、 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连结AD，在AD的延长线上取一点E，连结BE，CE．
（1）求证：△ABE≌△ACE；
（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由．
19、已知：如图，在⊿ABC中，AB=AC，D、E、F分别是BC、AB、AC边的中点.
求证：四边形AEDF 是菱形.
20、已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD // BC，AB⊥AD，BC = CD，BE⊥CD，垂足为点
E，点F在BD上，联结AF、EF．
（1）求证：AD = ED；
（2）如果AF // CD，求证：四边形ADEF是菱形．
21
、已知：如图，梯形
. 中，∥
，是
的中点，
，联结
、
相交于点
，
（1
）求证：；
（2
）求证：四边形是菱形.
22、已知：如图，在□ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，CE、AF与对角线BD分别相交于点G、H．
（1） 求证：DH=HG=BG；
（2） 如果AD⊥BD，求证：四边形EGFH是菱形．
23、如图7，等腰三角形ABC中，AB=AC，AH垂直BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH=EH，
（1）求证：四边形EBFC是菱形；
（2）如果
=
，求证：．
24、观察控究，完成证明和填空．
如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H，得到的四边形EFGH叫中点四边形．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图，当四边形ABCD变成等腰梯形时，它的中点四边形是菱形，请你探究并填空：
当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
当四边形ABCD变成菱形时，它的中点四边形是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
（3）根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？
25、如图, 在△ABC, AB=AC, D是BC的中点, DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
求证：（1）△BDE≌△CDF；（2）∠A=90度时，四边形AEDF是正方形．
26、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点P、Q分别是AB、AC上的一动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点
（1）求证：△PDQ是等腰直角三角形；
（2）当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由。
二、选择题
（每空？ 分，共？ 分）
27、在
中，点、
、
分别在、、
上，且
，，则下列三种说法：
①如果
，那么四边形是矩形；
②如果
平分
，那么四边形是菱形；
③如果且
，那么四边形是菱形．
其中正确的有 ………………………………………（ ）
（A）3个； （B）2个； （C）1个； （D）0个．
28、对角线互相垂直且相等的四边形一定是…………………………………………………（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．以上均不对
三、填空题
（每空？ 分，共？ 分）
29、如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件： ，使得该菱形为正方形．
30、已知四边形ABCD中，
以是 . ，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可
31、有一组邻边________,并且有一个角是_______的平行四边形是正方形.
参考答案
一、简答题
1、法1）连接BD，证明BO=DO且EO=FO；
（法2）证明，进而DE=BF且DE//BF；
2、解：四边形BFDE是平行四边形（2分） 在□ABCD中→AD∥BC，AD=BC（4分）
AE=CF→ED=BF （5分） →四边形BFDE是平行四边形（8分）
3、四边形ABCD是平行四边形。（2分） 由△AOE≌△DOB得AE=BD（4分）
∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形。（2分）
4、证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD//BC
又∵DF//BE，∴四边形BEDF是平行四边形． ∴DE=BF．
∴AD-DE=BC-BF，即AE=CF
又∵AE//CF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
5、证明：∵四边形ABCD是平行四边形. ∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，∠B=∠D
∵AK=CM，BL=DN，
∴BK=DM，CL=AN
∴△AKN≌△CML，△BKL≌△DMN
∴KN=ML，KL=MN
∴四边形KLMN是平行四边形.
6、证明：（1
）∵四边形是平行四边形， ∴ ∵
平分
平分∴
∴
（2
）由得
在平行四边形
中， ∴
∴四边形是平行四边形 若
则四边形是菱形
7、答案:证明：在
∴∠DAC=∠BCA. ABCD中,AD=BC,AD∥BC,
又∵∠DEA=∠BFC=90°,
∴Rt△ADE≌Rt△CBF.
∴DE=BF.
同理,可证DF=BE.
∴四边形DEBF为平行四边形.
8、证明：∵AB=5，AC=4，BC=3
∴AB=AC+BC
∴∠BCA=90
∵AD∥BC
∴∠DAC=∠BCA=90
∵DC=5，AC=4，
∴AD=DC-AC=9
∴AD=BC=3
∴四边形ABCD为平行四边形。
9、解：EF是BC的垂直平分线→FC=FB EB=EC （4分） 22200222
又CF=BE→FC=CE=EB=BF （7分）
→四边形BECF是菱形（9分）.
（其它解法，只要正确即可参照本标准给分）
10、
11、（1）证明略。
（2）四边形AGBD是矩形。理由略。
12、
13、 [解] (1) 等腰梯形ABCD中，AB=DC，ÐB=ÐDCB，∵ △DFC是等腰三角形，∴ ÐDCB=ÐFCE， DC=CF，所以ÐB=ÐFCE，AB=CF，易证四边形ABFC是平行四边形。
(2) 提示：射影定理的逆定理不能直接在中考中使用，必须通过相似三角形来证明，内 角为90°。
14、
15、证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC,OB=OD
∵∠EDO=∠FBO, ∠OED=∠OFB
∴△OED≌△OFB
∴DE=BF
又∵ED∥BF
∴四边形BEDF是平行四边形
∵EF⊥BD
∴平行四边形BEDF是菱形。
16、证明：⑴∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AB=CD．∴∠ABF=∠ECF. ∵EC=DC, ∴AB=EC．
在△ABF和△ECF中，∵∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC，
∴⊿ABF≌⊿ECF．
（2）解法一：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∴AF=EF， BF=CF． ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D，又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABC． ∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，∴∠ABF=∠BAF．∴FA=FB．
∴FA=FE=FB=FC, ∴AE=BC．∴口ABEC是矩形．
解法二：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D=∠BCE．
又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠BCE，
∵∠AFC=∠FCE+∠FEC，∴∠FCE=∠FEC．∴∠D=∠FEC．∴AE=AD．
又∵CE=DC，∴AC⊥DE．即∠ACE=90°．∴口ABEC是矩形．
17、 (1)解法1
证明：∵DE∥AB，AE∥BC，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BD，且AE=BD
又∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD
∴AE∥CD，且AE=CD
∴四边形ADCE是平行四边形
∴AD=CE
解法2
证明：∵DE∥AB，AE∥BC
∴四边形ABDE是平行四边形，∠B=∠EDC
∴AB=DE
又∵AD是BC边上的中线
∴BD=CD
∴△ABD≌△EDC(SAS)
∴AD=EC
(2)解法1
证明：∵∠BAC=Rt∠，AD上斜边BC上的中线，
∴AD=BD=CD
又∵四边形ADCE是平行四边形
∴四边形ADCE是菱形
解法2
证明：∵DE∥AB，∠BAC=Rt∠，
∴DE⊥AC
又∵四边形ADCE是平行四边形
∴四边形ADCE是菱形
解法3
证明：∵∠BAC=Rt∠，AD是斜边BC上的中线，
∴AD=BD=CD
又∵AD=EC
∴AD=CD=CE=AE
∴四边形ADCE是菱形
(3)解法1
解：∵四边形ADCE是菱形
∴AO=CO，∠ADO=90°,
又∵BD=CD
∴OD是△ABC
的中位线，则
∵AB=AO
∴
∴在Rt△AOD中，
解法2
解：∵四边形ADCE是菱形
∴AO=CO=，AD=CD，∠AOD=90°，
∵AB=AO
∴AB=
∴在Rt△ABC中，
∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA
∴
18、 (1)证明：因为AB=AC且D是BC的中点
所以AD垂直平分BC
所以BE=CE
又因为AE=AE
所以△ABE≌△ACE
（2）当AE=2AD时，四边形ABEC是菱形，
理由如下：
因为AE=2AD，AD垂直平分BC
所以BC垂直平分AE，
所以对角线AE与BC互相垂直平分
所以四边形ABEC是菱形
19、证明：⊿ABC中，E、D分别是AB, BC的中点
∴ED =(三角形的中位线等于第三边的一半)
同理 FD=
∵ AE= ，AF =
∴ AE=AF=ED=FD
∴ 四边形AEDF是菱形
（四条边相等的四边形是菱形）
20、证明：（1）∵ BC = CD，∴ ∠CDB =∠CBD．
∵ AD // BC，∴ ∠ADB =∠CBD．
∴ ∠ADB =∠CDB．
又∵ AB⊥AD，BE⊥CD，∴ ∠BAD =∠BED = 90°．
于是，在△ABD和△EBD中，
∵ ∠ADB =∠CDB，∠BAD =∠BED，BD = BD，
∴ △ABD≌△EBD．
∴ AD = ED．
（2）∵ AF // CD，∴ ∠AFD =∠EDF．
∴ ∠AFD =∠ADF，即得 AF = AD．
又∵ AD = ED，∴ AF = DE．
于是，由 AF // DE，AF = DE，
得四边形ADEF是平行四边形．又∵ AD = ED，
∴ 四边形ADEF是菱形．
21、证明：（1）∵BD⊥CD
，∴， ∵
是
的中点，∴， ∵，∴EF⊥BD
，即，∴
∥ ∵
∥
，∴四边形是平行四边形， ∴.
（2
）∵四边形
是平行四边形，∴， ∴
∵
=
，又∥
，∴四边形是菱形. 是平行四边形， ，∴四边形
22、证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AB=CD． ∵点E、F分别是AB、CD的中点， ∴．∴DH
=．
同理：BG=．
∴DH=HG=GB=．
（2）联结EF，交BD于点O．
∵AB//CD，AB=CD，点E、F分别是AB、CD的中点， ∴．
∴FO=EO，DO=BO．
∵DH=GB，∴OH=OG．∴四边形EGFH是平行四边形．
∵点E、O分别是AB、BD的中点，∴OE//AD．
∵AD⊥BD，∴EF⊥GH．
∴□HEGF是菱形．
23、（1）
证明：∵，， ∴． ∵，
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形是菱形．
（2
）证明：∵四边形是菱形． ∴． ∵
，， ∴． ∵
= ∴． ∵ ∴． ∴．
即：．
24、（1）证明：连接BD
∵E、H分别是AB、AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线
∴EH＝BD，EH∥
BD
同理得FG
＝BD，FG∥BD
∴EH＝FG，EH∥FG
∴四边形EFGH是平行四边形
（2）填空依次为平行四边形，菱形，矩形，正方形
（3）中点四边形的形状由原四边形的对角线的关系来决定的．
25、略
26、解：（1）证明：连结
AD
∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点
∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠DAQ=∠B
又∵BP=AQ
∴△BPD≌△AQD
∴PD=QD，∠ADQ=∠BDP
∵∠BDP+∠ADP=90°
∴∠ADQ+∠ADP=∠PDQ=90°
∴△PDQ为等腰直角三角形
（2）当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形
由（1）知△ABD为等腰直角三角形
当P为AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD=90°
又∵∠A=90°，∠PDQ=90°
∴四边形APDQ为矩形
又∵DP=AP=AB
∴四边形APDQ为正方形
二、选择题
27、A
28、D
三、填空题
29、AB⊥BC或AC=BD或AO=BO等。
30、AB=BC(或AC⊥BD
31、相等;直角