小专题(六) 一元二次方程根与系数关系的运用
【例】 (泸州中考) 已知x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2-2(m+1)x +m 2+5=0的两个实数根.
(1)若(x1-1)(x2-1) =28,求m 的值;
(2)已知等腰△ABC 的一边长为7,若x 1、x 2恰好是△ABC 另外两边的边长,求这个三角形的周长.
【思路点拨】 (1)根据根与系数的关系,求得m 的值,再由判别式确定m 的值;(2)根据等腰三角形的性质,边长为7分底边长、腰长两种情况求解.
b c 【方法归纳】 一元二次方程ax 2+bx +c =0(a≠0) 根与系数关系:x 1+x 2x 1x 2=,是a a
求解一元二次方程中未知字母的值的重要数量关系,可结合两根之差通过配方相互进行转化.另外,注意运用它们的前提条件是方程必须要有两个实数根.
1.(防城港中考)x 1,x 2是关于x 的一元二次方程x 2-mx +m -2=0的两个实数根,是否存
11在实数m 使=0成立?则正确的结论是( ) x 1x 2
A .m =0时成立 B .m =2时成立
C .m =0或2时成立 D .不存在
2.关于方程49x 2-98x -1=0的解,下列叙述正确的是( )
A .无解 B .有两正根
C .有两负根 D .有一正根及一负根
3.(西宁中考) 若矩形的长和宽是方程2x 2-16x +m =0(0<m≤32)的两根,则矩形的周长为________.
4.(江西中考) 若一个一元二次方程的两个根分别是Rt △ABC 的两条直角边长,且S △ABC =3,
请写出一个符合题意的一元二次方程____________________.
5.已知方程x 2-6x +m 2-2m +5=0的一个根为2,求另一个根及m 的值.
6.不解方程,判别方程2x 2+3x -7=0两根的符号.
7.小明和小红一起做作业,在解一道一元二次方程时,小明在化简过程中写错了常数项,因而得到方程的两个根是8和2;小红在化简过程中写错了一次项的系数,因而得到方程的两个根是-9和-1,你知道原来的方程是什么吗?
8.已知一直角三角形的两条直角边是关于x 的一元二次方程x 2+(2k-1)x +k 2+3=0的两个不相等的实数根,如果此直角三角形的斜边是5,求它的两条直角边分别是多少?
9.已知方程x 2-3x +1=0的两根分别为x 1和x 2,不解方程:
2(1)求代数式x 21+x 2的值;
(2)试证明两根中一根大于1,另一根小于1.
10.已知:关于x 的方程x 2-(k+3)x +3k =0的两根为α,β.
112(1)是否存在实数k 使=成立?若成立,求k 的值;若不成立,说明理由; αβ3
(2)若Rt △ABC 的一边长为4,另两边长恰好是此方程的两根α,β,求Rt △ABC 的周长.
参考答案
【例】∵x 1,x 2是关于x 的一元二次方程x 2-2(m+1)x +m 2+5=0的两实数根, ∴x 1+x 2=2(m+1) ,x 1x 2=m 2+5.
∴(x1-1)(x2-1) =x 1x 2-(x1+x 2) +1=m 2+5-2(m+1) +1=28.
解得m =-4或m =6.
又∵Δ=[-2(m+1)]2-4(m2+5) =4(m+1) 2-4(m2+5) =4m 2+8m +4-4m 2-20=8m -16≥0,解得m≥2.
∴m =6.(2)当7为底边时,此时方程x 2-2(m+1)x +m 2+5=0有两个相等的实数根, ∴Δ=4(m+1) 2-4(m2+5) =0,解得m =2.
∴方程变为x 2-6x +9=0,解得x 1=x 2=3.
∵3+3<7,∴不能构成三角形.
当7为腰时,设x 1=7,代入方程得49-14(m+1) +m 2+5=0,解得m =10或4; 当m =10时,方程变为x 2-22x +105=0,解得x =7或x =15.
∵7+7<15,∴不能组成三角形;当m =4时,方程变为x 2-10x +21=0,解得x =3或x =7.
此时三角形的周长为7+7+3=17.
针对训练
1.A 2. D 3. 16 4. x 2-5x +6=0(答案不唯一)
5. 设方程的另一个根为x 2,根据题意由根与系数关系,得x 1+x 2=-(-6) =6,x 1x 2=m 2-2m +5,
∵x 1=2,∴把x 1=2代入x 1+x 2=6,可得x 2=4. ∴把x 1=2,x 2=4代入x 1x 2=m 2-2m +5,可得m 2-2m +5=8,解得m 1=3,m 2=-1. ∴方程x 2-6x +m 2-2m +5=0的另一根为4,m 的值为3或-1.
6. ∵2x 2+3x -7=0,∴Δ=32-4×2×(-7) =65>0. ∴方程有两个不相等的实数根.设方程的
7两个根为x 1,x 2,∵x 1x 2=-<0,∴原方程有两个异号的实数根. 2
b c 7. 设此方程的两个根是α、β,根据题意,得α+β=-=10,αβ9,则以α、β为根a a
的一元二次方程是x 2-10x +9=0.
8. ∵一元二次方程x 2+(2k-1)x +k 2+3=0有两个不相等的实数根,∴Δ>0. ∴(2k-1) 2-
114(k2+3) >0,即-4k -11>0. ∴k <-4
令其两根分别为x 1,x 2,则有x 1+x 2=1-2k ,x 1x 2=k 2+3,∵此方程的两个根分别是一直
222角三角形的两条直角边,且此直角三角形的斜边长为5,∴x 21+x 2=5. ∴(x1+x 2) -2x 1x 2=
1125. ∴(1-2k) 2-2(k2+3) =25. ∴k 2-2k -15=0. ∴k 1=5,k 2=-3. ∵k <-,∴k =-3. 把k 4
=-3代入原方程得到x 2-7x +12=0,解得x 1=3,x 2=4. ∴直角三角形的两直角边分别为3和4.
2229. (1)由题可得x 1+x 2=3,x 1x 2=1,x 21=7. 1+x 2=(x1+x 2) -2x 1x 2=3-2×
(2)证明:∵(x1-1)(x2-1) =x 1x 2-(x1+x 2) +1=1-3+1=-1<0,∴(x1-1) 与(x2-1) 异号.若x 1-1>0,则x 2-1<0,∴x 1>1,x 2<1,即两根中一根大于1,另一根小于1.
10. (1)存在.∵α+β=k +3,αβ=3k ,
α+β2k +32112112而+,∴∴解得k =3. 当k =3时,Δ=0,∴实数k =3+=成αβ3αβ33k 3αβ3
立.(2)解方程x 2-(k+3)x +3k =0得α=k ,β=3,当4为斜边时,α2+β2=42,即16+32=k 2,解得k 1=7,k 27(舍去) ,此时Rt △ABC 的周长为4+3+7=7+7;当4为直角边时,42+β2=k 2,即16+32=k 2,解得k 1=5,k 2=-5(舍去) ,此时Rt △ABC 的周长为4+3+5=12.
小专题(六) 一元二次方程根与系数关系的运用
【例】 (泸州中考) 已知x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2-2(m+1)x +m 2+5=0的两个实数根.
(1)若(x1-1)(x2-1) =28,求m 的值;
(2)已知等腰△ABC 的一边长为7,若x 1、x 2恰好是△ABC 另外两边的边长,求这个三角形的周长.
【思路点拨】 (1)根据根与系数的关系,求得m 的值,再由判别式确定m 的值;(2)根据等腰三角形的性质,边长为7分底边长、腰长两种情况求解.
b c 【方法归纳】 一元二次方程ax 2+bx +c =0(a≠0) 根与系数关系:x 1+x 2x 1x 2=,是a a
求解一元二次方程中未知字母的值的重要数量关系,可结合两根之差通过配方相互进行转化.另外,注意运用它们的前提条件是方程必须要有两个实数根.
1.(防城港中考)x 1,x 2是关于x 的一元二次方程x 2-mx +m -2=0的两个实数根,是否存
11在实数m 使=0成立?则正确的结论是( ) x 1x 2
A .m =0时成立 B .m =2时成立
C .m =0或2时成立 D .不存在
2.关于方程49x 2-98x -1=0的解,下列叙述正确的是( )
A .无解 B .有两正根
C .有两负根 D .有一正根及一负根
3.(西宁中考) 若矩形的长和宽是方程2x 2-16x +m =0(0<m≤32)的两根,则矩形的周长为________.
4.(江西中考) 若一个一元二次方程的两个根分别是Rt △ABC 的两条直角边长,且S △ABC =3,
请写出一个符合题意的一元二次方程____________________.
5.已知方程x 2-6x +m 2-2m +5=0的一个根为2,求另一个根及m 的值.
6.不解方程,判别方程2x 2+3x -7=0两根的符号.
7.小明和小红一起做作业,在解一道一元二次方程时,小明在化简过程中写错了常数项,因而得到方程的两个根是8和2;小红在化简过程中写错了一次项的系数,因而得到方程的两个根是-9和-1,你知道原来的方程是什么吗?
8.已知一直角三角形的两条直角边是关于x 的一元二次方程x 2+(2k-1)x +k 2+3=0的两个不相等的实数根,如果此直角三角形的斜边是5,求它的两条直角边分别是多少?
9.已知方程x 2-3x +1=0的两根分别为x 1和x 2,不解方程:
2(1)求代数式x 21+x 2的值;
(2)试证明两根中一根大于1,另一根小于1.
10.已知:关于x 的方程x 2-(k+3)x +3k =0的两根为α,β.
112(1)是否存在实数k 使=成立?若成立,求k 的值;若不成立,说明理由; αβ3
(2)若Rt △ABC 的一边长为4,另两边长恰好是此方程的两根α,β,求Rt △ABC 的周长.
参考答案
【例】∵x 1,x 2是关于x 的一元二次方程x 2-2(m+1)x +m 2+5=0的两实数根, ∴x 1+x 2=2(m+1) ,x 1x 2=m 2+5.
∴(x1-1)(x2-1) =x 1x 2-(x1+x 2) +1=m 2+5-2(m+1) +1=28.
解得m =-4或m =6.
又∵Δ=[-2(m+1)]2-4(m2+5) =4(m+1) 2-4(m2+5) =4m 2+8m +4-4m 2-20=8m -16≥0,解得m≥2.
∴m =6.(2)当7为底边时,此时方程x 2-2(m+1)x +m 2+5=0有两个相等的实数根, ∴Δ=4(m+1) 2-4(m2+5) =0,解得m =2.
∴方程变为x 2-6x +9=0,解得x 1=x 2=3.
∵3+3<7,∴不能构成三角形.
当7为腰时,设x 1=7,代入方程得49-14(m+1) +m 2+5=0,解得m =10或4; 当m =10时,方程变为x 2-22x +105=0,解得x =7或x =15.
∵7+7<15,∴不能组成三角形;当m =4时,方程变为x 2-10x +21=0,解得x =3或x =7.
此时三角形的周长为7+7+3=17.
针对训练
1.A 2. D 3. 16 4. x 2-5x +6=0(答案不唯一)
5. 设方程的另一个根为x 2,根据题意由根与系数关系,得x 1+x 2=-(-6) =6,x 1x 2=m 2-2m +5,
∵x 1=2,∴把x 1=2代入x 1+x 2=6,可得x 2=4. ∴把x 1=2,x 2=4代入x 1x 2=m 2-2m +5,可得m 2-2m +5=8,解得m 1=3,m 2=-1. ∴方程x 2-6x +m 2-2m +5=0的另一根为4,m 的值为3或-1.
6. ∵2x 2+3x -7=0,∴Δ=32-4×2×(-7) =65>0. ∴方程有两个不相等的实数根.设方程的
7两个根为x 1,x 2,∵x 1x 2=-<0,∴原方程有两个异号的实数根. 2
b c 7. 设此方程的两个根是α、β,根据题意,得α+β=-=10,αβ9,则以α、β为根a a
的一元二次方程是x 2-10x +9=0.
8. ∵一元二次方程x 2+(2k-1)x +k 2+3=0有两个不相等的实数根,∴Δ>0. ∴(2k-1) 2-
114(k2+3) >0,即-4k -11>0. ∴k <-4
令其两根分别为x 1,x 2,则有x 1+x 2=1-2k ,x 1x 2=k 2+3,∵此方程的两个根分别是一直
222角三角形的两条直角边,且此直角三角形的斜边长为5,∴x 21+x 2=5. ∴(x1+x 2) -2x 1x 2=
1125. ∴(1-2k) 2-2(k2+3) =25. ∴k 2-2k -15=0. ∴k 1=5,k 2=-3. ∵k <-,∴k =-3. 把k 4
=-3代入原方程得到x 2-7x +12=0,解得x 1=3,x 2=4. ∴直角三角形的两直角边分别为3和4.
2229. (1)由题可得x 1+x 2=3,x 1x 2=1,x 21=7. 1+x 2=(x1+x 2) -2x 1x 2=3-2×
(2)证明:∵(x1-1)(x2-1) =x 1x 2-(x1+x 2) +1=1-3+1=-1<0,∴(x1-1) 与(x2-1) 异号.若x 1-1>0,则x 2-1<0,∴x 1>1,x 2<1,即两根中一根大于1,另一根小于1.
10. (1)存在.∵α+β=k +3,αβ=3k ,
α+β2k +32112112而+,∴∴解得k =3. 当k =3时,Δ=0,∴实数k =3+=成αβ3αβ33k 3αβ3
立.(2)解方程x 2-(k+3)x +3k =0得α=k ,β=3,当4为斜边时,α2+β2=42,即16+32=k 2,解得k 1=7,k 27(舍去) ,此时Rt △ABC 的周长为4+3+7=7+7;当4为直角边时,42+β2=k 2,即16+32=k 2,解得k 1=5,k 2=-5(舍去) ,此时Rt △ABC 的周长为4+3+5=12.