概率
一、高考要求
理解随机事件的概率，会求等可能事件的概率，能用加法公式和乘法公式求互斥事件有一个发生和相互独立事件同时发生的概率．
二、两点解读
重点：掌握随机事件、等可能事件，互斥事件、独立事件、独立重复试验中恰好发生n次等五种事件的概率．
难点：正确区分五种事件，并作正确运算，培养学生的观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化的思维方法． 三、课前训练
1．一批零件10个，其中有8个合格品，2个次品，每次任取一个零件装配机器，若第一次取得合格品的概率是P1，第二次取得合格品的概率是P2，则 ( )
(A)P1>P2 (B)P1=P2 (C)P1
2．某人射击一次击中的概率为0．6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（ ）
81(A) 125
3．在大小相同的6个球中，2个红球，4个白球．若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有1个红球的概率是_____．（结果用分数表示）
4．一台X型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0．8000，有四台这中型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是 ．
四、典型例题
例1 六位身高全不相同的同学拍照留念，摄影师要求前后两排各三人，则后排每人均比前排同学高的概率是_____．
例2 某班有52人，男女各半，男女各自平均分成两组，从这个班中选出4人参加某项活动，这4人恰好来自不同组别的概率是_________．
例3 如图32—1，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1，N2．当元件A、B、C都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作．已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0．80、0．90、0．90．则系统N1正常工作的概率P1为 ，N2正常工作的概率P2为 ．
54(B)125
36(C) 125
27(D) 125
例4 甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记下国徽面朝上的次数为m；乙用一枚硬币掷2次，记下国徽面朝上的次数为n． ⑴计算国徽面朝上不同次数的概率并填入下表：
国徽面朝上次
3
数m P(m) 国徽面朝上次
2
数m P(m)
1
2
1
⑵现规定：若m>n，则甲胜；若n≥m，则乙胜．你认为这种规定合理吗？为什么？
例5 盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率： （1）取到的2只都是次品；
（2）取到的2只中正品、次品各一只； （3）取到的2只中至少有一只正品．
11
例6 甲、乙两人独立地破译1个密码，他们能译出的密码的概率分别为和，求：
43（1）恰有1人译出的密码的概率；（2）至多1人译出的密码的概率；（3）若达到译出的密码的概率为
99
，至少需要多少个乙这样的人． 100
典型例题部分
例1 答案：
1 . 20
3
A33·A3=36
解析：因为后排每人均比前排人高，因此应将6人中最高的3个人放在后排，其余3人站前排.故所有排法有
3
A313⋅A3
=. 6
A620
种.故后排每人均比前排同学高的概率为
4
(C113)例2 答案： 4C52
解析：因为每组人数为13，因此，每组选1人有
C1所以所求概率为13种方法，
4
(C113)P=. 4C52
例3 解析：分别记元件A、B、C正常工作为事件A、B、C，由已知条件 P（A）＝0．80，P（B）＝0．90，P（C）＝0．90.
（Ⅰ）因为事件A、B、C是相互独立的，系统N1正常工作的概率 P 1＝P（A·B·C）＝P（A）·P（B）·P（C）＝0．80×0．90×0．90＝0．648. 故系统N1正常工作的概率为0．648．
（Ⅱ）系统N2正常工作的概率P2=P(A)⋅[1-P(B⋅C)]=P(A)⋅[1-P(B)⋅P(C)]. ∵P（）＝1－P（B）＝1－0．90＝0．10. P（）＝1－P（C）＝1－0．90＝0．10.
∴P2＝0．80×［1－0．10×0．10］＝0．80×0．99＝0．792. 故系统N2正常工作的概率为0．792.
例4 解析：⑴ 国徽面朝上次数m
P(m) 国徽面朝上次数m
P(m)
3 C331＝28
2
2 C23328
1 C121 22
1 C133＝ 28
0 C031＝280 C021 24
C221＝24
⑵这种规定是合理的.这是因为甲获胜，则m>n
11111
当m＝3时，n＝2，1，0，其概率为(＋)
842483119
当m＝2时，n＝1，0＝；
82432
3131931
当m＝1时，n＝0，其概率为×；∴甲获胜的概率为＋
8432832322乙获胜，则m≤n
13317
当n＝2时，m＝2，1，0，其概率为(＋)＝
4888321318
当n＝1时，m＝1，0＝；
28832
1117811
当n＝0时，m＝0，其概率为×；∴乙获胜的概率为＋＝[1**********]1
甲和乙获胜的概率老都是.
2
例5 解析：从6只灯泡中有放回地任取两只，共有6=36种不同取法 （1）取到的2只都是次品情况为2=4种，因而所求概率为
2
2
41=; 369
（2）由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品.因而所求概率为P=
4⨯22⨯44
+=; 36369
（3）由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件，因而所求概率为P=1-
18
=. 99
例6 解析：记“甲译出密码”为事件A，“甲译不出密码”这事件A；记“乙译出密码”为事件B，“乙译不出密码”为事件；“两人都译出密码”为事件C，“两人都译不出密码”为事件D；“恰有1人译出密码”为事件E；“至多1人译出密码”为事件F.
（1）“恰有1人译出密码”是包括2种情况：一种是A⋅，另一种是A⋅B.这两种情况不能同时发生，是互斥的.
11115∴ P(E)=P(A⋅)+P(⋅B)=P(A)⋅P()⋅P()⋅P(B)=(1-)+(1-)⨯=
343412 （2）“至多1人译出密码”包括两种情况：“2人都译不出密码”或“恰有1人译出密码”，即事件D+E，且事件D、E是互斥的.
∴ P(F)=P(D)+P(E)=P(A⋅)+P(A⋅)+P(A⋅B)=
1511
+=
21212
1199
（3）n个乙这样的人都译不出密码的概率为(1-)n，根据题意得：1-(1-)n=
44100 解得：n=17.
概率
一、高考要求
理解随机事件的概率，会求等可能事件的概率，能用加法公式和乘法公式求互斥事件有一个发生和相互独立事件同时发生的概率．
二、两点解读
重点：掌握随机事件、等可能事件，互斥事件、独立事件、独立重复试验中恰好发生n次等五种事件的概率．
难点：正确区分五种事件，并作正确运算，培养学生的观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化的思维方法． 三、课前训练
1．一批零件10个，其中有8个合格品，2个次品，每次任取一个零件装配机器，若第一次取得合格品的概率是P1，第二次取得合格品的概率是P2，则 ( )
(A)P1>P2 (B)P1=P2 (C)P1
2．某人射击一次击中的概率为0．6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（ ）
81(A) 125
3．在大小相同的6个球中，2个红球，4个白球．若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有1个红球的概率是_____．（结果用分数表示）
4．一台X型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0．8000，有四台这中型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是 ．
四、典型例题
例1 六位身高全不相同的同学拍照留念，摄影师要求前后两排各三人，则后排每人均比前排同学高的概率是_____．
例2 某班有52人，男女各半，男女各自平均分成两组，从这个班中选出4人参加某项活动，这4人恰好来自不同组别的概率是_________．
例3 如图32—1，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1，N2．当元件A、B、C都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作．已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0．80、0．90、0．90．则系统N1正常工作的概率P1为 ，N2正常工作的概率P2为 ．
54(B)125
36(C) 125
27(D) 125
例4 甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记下国徽面朝上的次数为m；乙用一枚硬币掷2次，记下国徽面朝上的次数为n． ⑴计算国徽面朝上不同次数的概率并填入下表：
国徽面朝上次
3
数m P(m) 国徽面朝上次
2
数m P(m)
1
2
1
⑵现规定：若m>n，则甲胜；若n≥m，则乙胜．你认为这种规定合理吗？为什么？
例5 盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率： （1）取到的2只都是次品；
（2）取到的2只中正品、次品各一只； （3）取到的2只中至少有一只正品．
11
例6 甲、乙两人独立地破译1个密码，他们能译出的密码的概率分别为和，求：
43（1）恰有1人译出的密码的概率；（2）至多1人译出的密码的概率；（3）若达到译出的密码的概率为
99
，至少需要多少个乙这样的人． 100
典型例题部分
例1 答案：
1 . 20
3
A33·A3=36
解析：因为后排每人均比前排人高，因此应将6人中最高的3个人放在后排，其余3人站前排.故所有排法有
3
A313⋅A3
=. 6
A620
种.故后排每人均比前排同学高的概率为
4
(C113)例2 答案： 4C52
解析：因为每组人数为13，因此，每组选1人有
C1所以所求概率为13种方法，
4
(C113)P=. 4C52
例3 解析：分别记元件A、B、C正常工作为事件A、B、C，由已知条件 P（A）＝0．80，P（B）＝0．90，P（C）＝0．90.
（Ⅰ）因为事件A、B、C是相互独立的，系统N1正常工作的概率 P 1＝P（A·B·C）＝P（A）·P（B）·P（C）＝0．80×0．90×0．90＝0．648. 故系统N1正常工作的概率为0．648．
（Ⅱ）系统N2正常工作的概率P2=P(A)⋅[1-P(B⋅C)]=P(A)⋅[1-P(B)⋅P(C)]. ∵P（）＝1－P（B）＝1－0．90＝0．10. P（）＝1－P（C）＝1－0．90＝0．10.
∴P2＝0．80×［1－0．10×0．10］＝0．80×0．99＝0．792. 故系统N2正常工作的概率为0．792.
例4 解析：⑴ 国徽面朝上次数m
P(m) 国徽面朝上次数m
P(m)
3 C331＝28
2
2 C23328
1 C121 22
1 C133＝ 28
0 C031＝280 C021 24
C221＝24
⑵这种规定是合理的.这是因为甲获胜，则m>n
11111
当m＝3时，n＝2，1，0，其概率为(＋)
842483119
当m＝2时，n＝1，0＝；
82432
3131931
当m＝1时，n＝0，其概率为×；∴甲获胜的概率为＋
8432832322乙获胜，则m≤n
13317
当n＝2时，m＝2，1，0，其概率为(＋)＝
4888321318
当n＝1时，m＝1，0＝；
28832
1117811
当n＝0时，m＝0，其概率为×；∴乙获胜的概率为＋＝[1**********]1
甲和乙获胜的概率老都是.
2
例5 解析：从6只灯泡中有放回地任取两只，共有6=36种不同取法 （1）取到的2只都是次品情况为2=4种，因而所求概率为
2
2
41=; 369
（2）由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品.因而所求概率为P=
4⨯22⨯44
+=; 36369
（3）由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件，因而所求概率为P=1-
18
=. 99
例6 解析：记“甲译出密码”为事件A，“甲译不出密码”这事件A；记“乙译出密码”为事件B，“乙译不出密码”为事件；“两人都译出密码”为事件C，“两人都译不出密码”为事件D；“恰有1人译出密码”为事件E；“至多1人译出密码”为事件F.
（1）“恰有1人译出密码”是包括2种情况：一种是A⋅，另一种是A⋅B.这两种情况不能同时发生，是互斥的.
11115∴ P(E)=P(A⋅)+P(⋅B)=P(A)⋅P()⋅P()⋅P(B)=(1-)+(1-)⨯=
343412 （2）“至多1人译出密码”包括两种情况：“2人都译不出密码”或“恰有1人译出密码”，即事件D+E，且事件D、E是互斥的.
∴ P(F)=P(D)+P(E)=P(A⋅)+P(A⋅)+P(A⋅B)=
1511
+=
21212
1199
（3）n个乙这样的人都译不出密码的概率为(1-)n，根据题意得：1-(1-)n=
44100 解得：n=17.