多面体外接球问题1
1．三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各个顶点都在球O 的球面上，
且AB =AC =1, BC CC 1⊥平面ABC 。若球O 的表面积为3π，则这个三棱柱的体积是（ ）
111 B．C ． D．1 63 2
∆ABC 和∆DBC 所在的平面互相垂直，2．已知如图所示的三棱锥D -ABC 的四个顶点均在球O 的球面上，A ．
AB =
3，AC =
BC =CD =BD =O 的体积为（ ）
A ．4π32π B
C． D．36π 333．在三棱锥A -BCD 中，△ABC 与△BCD 都是边长为6的正三角形，平面ABC ⊥平面BCD ，则该三棱锥的外接球的体积为（ ） A. 5π B.60π C.π D.π
4．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积是（ ）
A ．16π B．81π27π C．9π D． 44
5．一个棱长为a 的正三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上，则此球的表面积为（ ）
A ．72114πa B．2πa 2 C．πa 2 D．πa 2 343
6．一个正三棱锥(底面积是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心) 的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则刻正三棱锥的体积是（ ）
A
C
D
AB =
2，CC 1=P , E 分别为AC 1, CC 1的中点，则三棱锥7．已知正四棱柱ABCD -A 1BC 11D 1中，
P -BDE 的体积为（ ）
A
B
．
8．三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC
，AC ⊥BC , AC =BC =1, PA =
积为（ ）
A ．5π B
C．20π D．4π
9．在三棱柱ABC -A 且三棱柱，1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，∠ACB =90, ∠BAC =30，BC =1
ABC -A 1B 1C 1的体积为3，则三棱柱ABC -A 1B 1C 1的外接球的表面积为（ ）
A ．16π B．12π C．8π D．4π
10．已知四棱锥S -ABCD 的所有顶点都在同一圆面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，若此四棱锥的最大体积为18，则球O 的表面积等于（ ）
A ．18π B．36π C．54π D．72π
11．球O 的球面上有四点S , A , B , C ，其中O , A , B , C 四点共面，∆ABC 是边长为2的正三角形，面SAB ⊥面ABC ，则棱锥S -ABC 的体积的最大值为（ ）
A
．．4 12．如图所示，直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1内接于半径为的半球O ，四边形ABCD 为正方形，则该四棱柱的体积最大时，AB 的长为（ ）
A ．1 B．2 C． D．2
13．在正三棱锥S -ABC 中，M 是SC 的中点，且AM ⊥SB ，
底面边长AB =则正三棱锥S -ABC 的外接球的表面积为（ ）
A ．6π B ．12π C ．32π D ．36π
14．已知三棱锥P -ABC , 在底面∆ABC 中, AB =
1∠A =60 , BC =PA ⊥
面ABC , PA =则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A ．1632ππ B
． C． D．16π 33
15．已知直三棱柱ABC -A1B1C 1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC =4，AB⊥AC ，AA1=12，则球O的表面积为为（ ）
A ．153π B ．160π C ．169π D ．360π
2216．在平行四边形ABCD 中，AB ⊥BD ，4AB +2BD =1，将此平行四边形沿BD 折成直二面角，则
三棱锥A -BCD 外接球的表面积为（ ）
A ．π B．π C．2π D．4π 2
若四面体ABCD 体积的最大值为17．点A , B , C , D
在同一个球的球面上，AB =BC =2, AC =则该球的表面积为（ ） 4，3
A ． 6π B．7π C．8π D．9π
18．
侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A ．4π B．8π C．12π D．16π
19．一个几何体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是下图．图中圆内有一个以 圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是（ ）
A ．2π B．3π C．4π D．5π
20．三棱柱ABC -A1B1C 1的各个顶点都在球O的球面上，且AB=AC =
1，BC =，CC 1⊥平面ABC ．若球O的表面积为3π，则这个三棱柱的体积是（ ）
111A ． B． C． D．1 632
参考答案
1．C
【解析】
试题分析
： AB =AC =1, BC AB ⊥AC , CC 1⊥平面ABC , 三棱柱ABC -A 1B 1C 1内接球O , ∴O 为距形BCC 1B 1的中心, 设球O 半径为r ,
则4πr 2=3π, ∴r =
,
即OC =r =, ∴三棱柱的
2211高h ==1, ∴三棱柱的体积V =S ∆ABC h =⨯1⨯1⨯1=, 故选C 。 22
考点：1. 棱柱外接球的性质；2. 球的表面积公式及棱柱的体积公式。
2．C
【解析】
试题分析：因为AB =
3，AC
，BC =CD =BD =AB 2+AC 2=BC 2, AC ⊥AB , ∴BC 的中点E 为∆ABC 的外心，连接DE ，则DE ⊥BC ，又∆ABC 和∆DBC 所在的平面互相垂直，所以 DE ⊥平面ABC ，DE 上的每一点到A , B , C 距离相等，因此正三角形DBC 的中心O 即是外接球球心，
其半径也是外接球半径，所以球半径R =432π，故选C. =2，求体积为⨯π⨯23=333
A
C
考点：1、外接球的性质及勾股定理；2、面面垂直及球的体积公式.
【方法点睛】本题主要考查外接球的性质及勾股定理、面面垂直及三棱锥外接球体积的求法，属于难题. 要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用
2224R 2=a 2+b 2+c 2（a , b , c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA =a ），则4R =4r +a （r 为∆ABC
外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径. 本题是根据方法④直接找出球心并求出半径进而得到求体积的.
3．D
【解析】取BC 的中点为M ，E 、F 分别是正三角形ABC 和正三角形BCD 的中心，O 是该三棱锥外接球的球心，连接AM 、DM 、OF 、OE 、OM 、OB ，则E 、F 分别在AM 、DM 上，OF ⊥平面BCD ，OE ⊥平面ABC ，OM ⊥BC ，AM ⊥BC ，DM ⊥BC ，所以∠AMD 为二面角A —BC —D 的平面角，因为平面ABC ⊥平面BCD ，所以AM ⊥DM ，又AM=DM=33，所以EM =FM =1AM =3，所以四边形OEMF 为正方形，所以OM=，在直角三角形OMB 中，球半径3
2224π() 3
OB=OM +BM =(6) +3=，所以外接球的体积为= π，故选D. 32
【命题意图】本题主要考查球的截面性质及球的体积计算，考查空间想象能力、运算求解能力、逻辑推理能力，是难题.
4．B
【解析】
试题分析：如图正四棱锥P -ABCD ，PM 是棱锥的高（M 是底面正方形ABCD 中心），O 是外接球球心，O 在高PM
上，由已知AM =R ，则OM =4-
R ，R 2=(4-R ) 2+2，R =99281π2，S =4πR =4π⨯() =．故选B ． 444
P
O
C
M
B
考点：棱锥与外接球，球的表面积．
【名师点睛】与外接球、内切球有关的问题，我们主要掌握一些特殊的几何体的外接球与内切球的位置，如正方体、长方体的外接球(内切球) 对角线的交点，对角线是球的直径，正棱锥的外接球(内切球) 的球心在其高上，圆柱、圆锥、圆台的外接球球心在其上下底中心连线上，当然解决此类问题，作几何体的轴截面也是解决问题的一个有用的途径．
5．A
【解析】
试题分析：因为正三棱柱的刘个顶点都在同一球面上，所以球心在上、下底面中心连线的中点处，
7a 27a 2a 2222，即R =，所以球AB =a , OA =R , 在∆
OAE 中OE =, AE =, 所以OA =OE +AE =121227πa 2
, 故选A. 的表面积为S =4πR =32
考点：多面体与球的组合体及球的截面性质.
6．C
【解析】
试题分析：由题意得知正三棱锥的顶点到底面的距离为1，因为底面是正三角形且球半径为1，所以底面边
1，所以体积为V =C. =3
考点：组合体问题及几何体的体积的计算.
7．A
【解析】
试题分析：由题意得，∆
BDP 为等腰三角形，其中BD =
，高h '=，所以∆
BDP 的面积为S ∆BDP =1E 为h =，所以三棱锥的体积
为⨯=2，三棱锥P -B D 的
2
112，故选A. V P -BDE =V E -PBD =⨯S ∆PBD ⨯h =⨯2=333
考点：三棱锥的体积的计算.
8．A
【解析】
试题分析：由题意得，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，所以BC ⊥平面PAC , PB 是三棱锥P -ABC 的外接圆的直径，因为Rt ∆
PBA 中，AB =PA
PB =
R =
2外接球的表面积为S =4πR =5π，故选A. ，所
考点：球的组合体及球的表面积公式.
【方法点晴】本题主要考查了特殊三棱锥中求外接球的表面积，着重考查了直线与平面垂直的判定与性质、勾股定理和球的表面积公式，同时考查了推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据题意，证得BC ⊥平面PAC , PB 是三棱锥P -ABC 的外接圆的直径，利用勾股定理几何体题中数据算得球的直径，得到球的半径，即可求解球的表面积.
9．A
【解析】
试题分析：由题意得
，AC =，
则1⨯1AA 1=
3，解得AA 1=，则外接球的半径为
2
R ==2，其表面积为S =4π⋅22=16π. 故正确答案为A.
考点：简单组合体的体积、表面积的计算.
10．B
【解析】
试题分析：由题意得，当此四棱锥的体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥，因为该四棱锥的体积为
18，设球的半径为R ，又底面ABCD 是正方形且和球心O
，高为R ，所以V =112Sh =⨯) 2⨯R =R 3=18⇒R =3，所以球的表面积为333
S =4πR 2=4π⨯32=36
π，故选B ．
考点：四棱锥的体积与球的表面积公式．
【方法点晴】本题主要考查了球内接多面体问题、四棱锥的体积和球的表面积公式的应用，解得关键在于确定球的半径，再利用公式求解，属于中档试题，着重考查了学生的空间想象能力和推理、运算能力，本题的解答中线确定当此四棱锥的体积取得最大值时，该四棱锥为正四棱锥，根据棱锥的体积公式，列出方程求解球的半径，利用球的表面积公式计算球的表面积．
11．A
【解析】
试题分析：设球心和∆ABC 的外心为O ，延长CO 交AB 于点P ，则由球的对称性可知PD ⊥AB ，继而由面SAB ⊥面ABC 可得PD ⊥∆ABC 所在的平面，所以PD 是三棱锥的高；再由O , A , B , C 四点共面可知O 是∆ABC 的中心，故OP =2，当三棱锥的体积最大时，其高为, R =33
PD =(122，应选A 。 ⨯22⨯1=) -() 2=1，故三棱锥的体积的最大值为⨯34333
考点：几何体的外接球等有关知识的运用。
【易错点晴】球与几何体的外接和内切问题一直是高中数学中题的重要题型，也高考和各级各类考试的难点内容。本题将三棱锥与球外接整合在一起考查三棱锥的体积的最大值无疑是加大了试题的难度。解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息，先确定球心O 的位置是三角形ABC 的外心，再求外接球的半径R =2并确定当PD
为三棱锥的高时，该三棱锥的体积最大并算出其最大值为。 33
12．D
【解析】
试题分析：设AB =x , 则OB =211x , BB 1=3-x 2, 所以直四棱柱的体积为V =x 23-x 2, 令2223-12x =t , 则x 2=6-2t 2, 则V =(6-2t 2) t =-2t 3+6t , 故V /=-6t 2+6=-6(t -1)(t +1) , 所以当2
t =1时, 即x =2时, 体积V 最大. 故应选D.
考点：导数的知识、四棱柱和球等知识的综合运用.
13．
【解析】
试题分析：根据三棱锥为正三棱锥，可证明出AC ⊥SB ，结合SB ⊥AM ，得到SB ⊥平面SAC ，因此可得SA 、SB 、SC 三条侧棱两两互相垂直．最后利用公式求出外接圆的直径，结合球的表面积公式，可得正三棱锥S-ABC 的外接球的表面积．
取AC 中点，连接BN 、SN ，∵N 为AC 中点，SA=SC，∴AC ⊥SN ，
同理AC ⊥BN ，∵SN ∩BN=N，∴AC ⊥平面SBN ，
∵SB ⊂平面SBN ，∴AC ⊥SB ，∵SB ⊥AM 且AC ∩AM=A，
∴SB ⊥平面SAC ⇒SB ⊥SA 且SB ⊥AC ，
∵三棱锥S-ABC 是正三棱锥，
∴SA 、SB 、SC 三条侧棱两两互相垂直．
∵底面边长AB =∴侧棱SA=2，
∴正三棱锥S-ABC
的外接球的直径为：2R =∴R ，
2∴正三棱锥S-ABC 的外接球的表面积是S =4πR =12π，故选：B ．
考点：空间线面垂直的判定与性质；球内接多面体
14．D
【解析】
试题分析：底面三角形内，根据正弦定理，可得AC =2, AB 2+BC 2=AC 2, 满足勾股定理，∠ABC =900, PA ⊥底面ABC , 所以PA ⊥BC , 那么BC ⊥平面PAB , 所以BC ⊥PB , 那么直角三角形PAC , PBC 有公共斜边PC , 所以三棱锥的外接球的球心就是PC 的中点O , PC 是其外接球的直径，PC =4, 所以外接球的表面积S =4πR 2=16π, 故选D.
考点：球与几何体
15．C
【解析】
试题分析：由题意，三棱柱ABC -A1B1C 1为直三棱柱，底面ABC 为直角三角形，把直三棱柱ABC -A1B1C 1补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，
=13 则三棱柱ABC -A1B1C 11外接球的表面积是4πR 2=169πcm 2．故选C ．
考点：几何体的外接球
16．A
【解析】
试题分析：因为平行四边形ABCD 中，AB ⊥BD ，沿BD 折成直二面角A -BD -C ，所以三棱锥A -BCD
222222的外接球的直径为AC ，且AC =AB +BD +CD =2AB +BD =1，所以三棱锥A -BCD 的外接2
球的半径为2π2=；故选A ．
，所以三棱锥A -BCD 的外接球的表面积为4π⨯1624
考点：1. 平面图形的折叠问题；2. 多面体与球的组合．
17．D
【解析】
试题分析：根据题意知，∆ABC 是一个直角三角形，其面积为2．其所在球的小圆的圆心在斜边AC 的中点上，设小圆的圆心为Q ， 四面体ABCD 的体积的最大值，由于底面积S ABC 不变，高最大时体积最大, 所以DQ 与面A B C 垂直时体积最大，最大值为13⨯S ABC ⨯DQ =43，S ABC =12AC ⋅BQ =12⨯22⨯2=2．即13⨯12⨯2⨯22⨯DQ =43，∴DQ =2，如图． 设球心为O，
222222+（2-R ）半径为R ，则在直角∆AQO 中， OA =AQ +
OQ ，即R =，∴R =32则这个球的2表面积为：S =4π() =9π, 故选D. 3
2
考点：立体几何圆的有关问题.
【方法点睛】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD 的体积的最大值，是解答的关键. 在本题中，四面体ABCD 的体积的最大值，由于底面积S ABC 不变，高最大时体积最大，即DQ 与面ABC 垂直时体积最大，根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积.
18．B
【解析】
试题分析：因底面边长为, 故底面中心到顶点的距离是1, 即球的截面圆的半径为1, 所以R =+1=2, 其表面积为S =4π⨯2=8π, 故应选B.
考点：球的面积与简单几何体的关系．
19．B
【解析】
试题分析：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体，此四面体的外接球的半径为正方体的
s =4π2=3π，故选B ．
考点：球的结合体．
20．C
【解析】
试题分析：由题意可知S 球=4πr 2=3π, ∴r =，三棱柱ABC -A1B1C 1的底面是边长为1的等腰直角三2
答案第11页，总12页
角形，侧棱长为a
为长方体，可把其补为正四棱柱，则球的半径r =
以a =1，所以三棱柱的体积V =，所==2111V 正四棱柱=⨯1⨯1⨯1=，故选C. 222
考点：多面体与球的组合体及棱柱的体积、球的表面积.
【方法点睛】本题主要考查了多面体与球的组合体及棱柱的体积、球的表面积，考查了学生的空间想象能力，属于中档题. 本题解答的关键是根据题意确定三棱柱ABC -A1B1C 1的性质，从而把三棱柱补形为长方体，这样根据球的直径与长方体的对角线长相等及球的表面积，求出长方体的高，即三棱柱的高，求得其体积.
答案第12页，总12页
多面体外接球问题1
1．三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各个顶点都在球O 的球面上，
且AB =AC =1, BC CC 1⊥平面ABC 。若球O 的表面积为3π，则这个三棱柱的体积是（ ）
111 B．C ． D．1 63 2
∆ABC 和∆DBC 所在的平面互相垂直，2．已知如图所示的三棱锥D -ABC 的四个顶点均在球O 的球面上，A ．
AB =
3，AC =
BC =CD =BD =O 的体积为（ ）
A ．4π32π B
C． D．36π 333．在三棱锥A -BCD 中，△ABC 与△BCD 都是边长为6的正三角形，平面ABC ⊥平面BCD ，则该三棱锥的外接球的体积为（ ） A. 5π B.60π C.π D.π
4．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积是（ ）
A ．16π B．81π27π C．9π D． 44
5．一个棱长为a 的正三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上，则此球的表面积为（ ）
A ．72114πa B．2πa 2 C．πa 2 D．πa 2 343
6．一个正三棱锥(底面积是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心) 的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则刻正三棱锥的体积是（ ）
A
C
D
AB =
2，CC 1=P , E 分别为AC 1, CC 1的中点，则三棱锥7．已知正四棱柱ABCD -A 1BC 11D 1中，
P -BDE 的体积为（ ）
A
B
．
8．三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC
，AC ⊥BC , AC =BC =1, PA =
积为（ ）
A ．5π B
C．20π D．4π
9．在三棱柱ABC -A 且三棱柱，1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，∠ACB =90, ∠BAC =30，BC =1
ABC -A 1B 1C 1的体积为3，则三棱柱ABC -A 1B 1C 1的外接球的表面积为（ ）
A ．16π B．12π C．8π D．4π
10．已知四棱锥S -ABCD 的所有顶点都在同一圆面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，若此四棱锥的最大体积为18，则球O 的表面积等于（ ）
A ．18π B．36π C．54π D．72π
11．球O 的球面上有四点S , A , B , C ，其中O , A , B , C 四点共面，∆ABC 是边长为2的正三角形，面SAB ⊥面ABC ，则棱锥S -ABC 的体积的最大值为（ ）
A
．．4 12．如图所示，直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1内接于半径为的半球O ，四边形ABCD 为正方形，则该四棱柱的体积最大时，AB 的长为（ ）
A ．1 B．2 C． D．2
13．在正三棱锥S -ABC 中，M 是SC 的中点，且AM ⊥SB ，
底面边长AB =则正三棱锥S -ABC 的外接球的表面积为（ ）
A ．6π B ．12π C ．32π D ．36π
14．已知三棱锥P -ABC , 在底面∆ABC 中, AB =
1∠A =60 , BC =PA ⊥
面ABC , PA =则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A ．1632ππ B
． C． D．16π 33
15．已知直三棱柱ABC -A1B1C 1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC =4，AB⊥AC ，AA1=12，则球O的表面积为为（ ）
A ．153π B ．160π C ．169π D ．360π
2216．在平行四边形ABCD 中，AB ⊥BD ，4AB +2BD =1，将此平行四边形沿BD 折成直二面角，则
三棱锥A -BCD 外接球的表面积为（ ）
A ．π B．π C．2π D．4π 2
若四面体ABCD 体积的最大值为17．点A , B , C , D
在同一个球的球面上，AB =BC =2, AC =则该球的表面积为（ ） 4，3
A ． 6π B．7π C．8π D．9π
18．
侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A ．4π B．8π C．12π D．16π
19．一个几何体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是下图．图中圆内有一个以 圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是（ ）
A ．2π B．3π C．4π D．5π
20．三棱柱ABC -A1B1C 1的各个顶点都在球O的球面上，且AB=AC =
1，BC =，CC 1⊥平面ABC ．若球O的表面积为3π，则这个三棱柱的体积是（ ）
111A ． B． C． D．1 632
参考答案
1．C
【解析】
试题分析
： AB =AC =1, BC AB ⊥AC , CC 1⊥平面ABC , 三棱柱ABC -A 1B 1C 1内接球O , ∴O 为距形BCC 1B 1的中心, 设球O 半径为r ,
则4πr 2=3π, ∴r =
,
即OC =r =, ∴三棱柱的
2211高h ==1, ∴三棱柱的体积V =S ∆ABC h =⨯1⨯1⨯1=, 故选C 。 22
考点：1. 棱柱外接球的性质；2. 球的表面积公式及棱柱的体积公式。
2．C
【解析】
试题分析：因为AB =
3，AC
，BC =CD =BD =AB 2+AC 2=BC 2, AC ⊥AB , ∴BC 的中点E 为∆ABC 的外心，连接DE ，则DE ⊥BC ，又∆ABC 和∆DBC 所在的平面互相垂直，所以 DE ⊥平面ABC ，DE 上的每一点到A , B , C 距离相等，因此正三角形DBC 的中心O 即是外接球球心，
其半径也是外接球半径，所以球半径R =432π，故选C. =2，求体积为⨯π⨯23=333
A
C
考点：1、外接球的性质及勾股定理；2、面面垂直及球的体积公式.
【方法点睛】本题主要考查外接球的性质及勾股定理、面面垂直及三棱锥外接球体积的求法，属于难题. 要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用
2224R 2=a 2+b 2+c 2（a , b , c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA =a ），则4R =4r +a （r 为∆ABC
外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径. 本题是根据方法④直接找出球心并求出半径进而得到求体积的.
3．D
【解析】取BC 的中点为M ，E 、F 分别是正三角形ABC 和正三角形BCD 的中心，O 是该三棱锥外接球的球心，连接AM 、DM 、OF 、OE 、OM 、OB ，则E 、F 分别在AM 、DM 上，OF ⊥平面BCD ，OE ⊥平面ABC ，OM ⊥BC ，AM ⊥BC ，DM ⊥BC ，所以∠AMD 为二面角A —BC —D 的平面角，因为平面ABC ⊥平面BCD ，所以AM ⊥DM ，又AM=DM=33，所以EM =FM =1AM =3，所以四边形OEMF 为正方形，所以OM=，在直角三角形OMB 中，球半径3
2224π() 3
OB=OM +BM =(6) +3=，所以外接球的体积为= π，故选D. 32
【命题意图】本题主要考查球的截面性质及球的体积计算，考查空间想象能力、运算求解能力、逻辑推理能力，是难题.
4．B
【解析】
试题分析：如图正四棱锥P -ABCD ，PM 是棱锥的高（M 是底面正方形ABCD 中心），O 是外接球球心，O 在高PM
上，由已知AM =R ，则OM =4-
R ，R 2=(4-R ) 2+2，R =99281π2，S =4πR =4π⨯() =．故选B ． 444
P
O
C
M
B
考点：棱锥与外接球，球的表面积．
【名师点睛】与外接球、内切球有关的问题，我们主要掌握一些特殊的几何体的外接球与内切球的位置，如正方体、长方体的外接球(内切球) 对角线的交点，对角线是球的直径，正棱锥的外接球(内切球) 的球心在其高上，圆柱、圆锥、圆台的外接球球心在其上下底中心连线上，当然解决此类问题，作几何体的轴截面也是解决问题的一个有用的途径．
5．A
【解析】
试题分析：因为正三棱柱的刘个顶点都在同一球面上，所以球心在上、下底面中心连线的中点处，
7a 27a 2a 2222，即R =，所以球AB =a , OA =R , 在∆
OAE 中OE =, AE =, 所以OA =OE +AE =121227πa 2
, 故选A. 的表面积为S =4πR =32
考点：多面体与球的组合体及球的截面性质.
6．C
【解析】
试题分析：由题意得知正三棱锥的顶点到底面的距离为1，因为底面是正三角形且球半径为1，所以底面边
1，所以体积为V =C. =3
考点：组合体问题及几何体的体积的计算.
7．A
【解析】
试题分析：由题意得，∆
BDP 为等腰三角形，其中BD =
，高h '=，所以∆
BDP 的面积为S ∆BDP =1E 为h =，所以三棱锥的体积
为⨯=2，三棱锥P -B D 的
2
112，故选A. V P -BDE =V E -PBD =⨯S ∆PBD ⨯h =⨯2=333
考点：三棱锥的体积的计算.
8．A
【解析】
试题分析：由题意得，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，所以BC ⊥平面PAC , PB 是三棱锥P -ABC 的外接圆的直径，因为Rt ∆
PBA 中，AB =PA
PB =
R =
2外接球的表面积为S =4πR =5π，故选A. ，所
考点：球的组合体及球的表面积公式.
【方法点晴】本题主要考查了特殊三棱锥中求外接球的表面积，着重考查了直线与平面垂直的判定与性质、勾股定理和球的表面积公式，同时考查了推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据题意，证得BC ⊥平面PAC , PB 是三棱锥P -ABC 的外接圆的直径，利用勾股定理几何体题中数据算得球的直径，得到球的半径，即可求解球的表面积.
9．A
【解析】
试题分析：由题意得
，AC =，
则1⨯1AA 1=
3，解得AA 1=，则外接球的半径为
2
R ==2，其表面积为S =4π⋅22=16π. 故正确答案为A.
考点：简单组合体的体积、表面积的计算.
10．B
【解析】
试题分析：由题意得，当此四棱锥的体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥，因为该四棱锥的体积为
18，设球的半径为R ，又底面ABCD 是正方形且和球心O
，高为R ，所以V =112Sh =⨯) 2⨯R =R 3=18⇒R =3，所以球的表面积为333
S =4πR 2=4π⨯32=36
π，故选B ．
考点：四棱锥的体积与球的表面积公式．
【方法点晴】本题主要考查了球内接多面体问题、四棱锥的体积和球的表面积公式的应用，解得关键在于确定球的半径，再利用公式求解，属于中档试题，着重考查了学生的空间想象能力和推理、运算能力，本题的解答中线确定当此四棱锥的体积取得最大值时，该四棱锥为正四棱锥，根据棱锥的体积公式，列出方程求解球的半径，利用球的表面积公式计算球的表面积．
11．A
【解析】
试题分析：设球心和∆ABC 的外心为O ，延长CO 交AB 于点P ，则由球的对称性可知PD ⊥AB ，继而由面SAB ⊥面ABC 可得PD ⊥∆ABC 所在的平面，所以PD 是三棱锥的高；再由O , A , B , C 四点共面可知O 是∆ABC 的中心，故OP =2，当三棱锥的体积最大时，其高为, R =33
PD =(122，应选A 。 ⨯22⨯1=) -() 2=1，故三棱锥的体积的最大值为⨯34333
考点：几何体的外接球等有关知识的运用。
【易错点晴】球与几何体的外接和内切问题一直是高中数学中题的重要题型，也高考和各级各类考试的难点内容。本题将三棱锥与球外接整合在一起考查三棱锥的体积的最大值无疑是加大了试题的难度。解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息，先确定球心O 的位置是三角形ABC 的外心，再求外接球的半径R =2并确定当PD
为三棱锥的高时，该三棱锥的体积最大并算出其最大值为。 33
12．D
【解析】
试题分析：设AB =x , 则OB =211x , BB 1=3-x 2, 所以直四棱柱的体积为V =x 23-x 2, 令2223-12x =t , 则x 2=6-2t 2, 则V =(6-2t 2) t =-2t 3+6t , 故V /=-6t 2+6=-6(t -1)(t +1) , 所以当2
t =1时, 即x =2时, 体积V 最大. 故应选D.
考点：导数的知识、四棱柱和球等知识的综合运用.
13．
【解析】
试题分析：根据三棱锥为正三棱锥，可证明出AC ⊥SB ，结合SB ⊥AM ，得到SB ⊥平面SAC ，因此可得SA 、SB 、SC 三条侧棱两两互相垂直．最后利用公式求出外接圆的直径，结合球的表面积公式，可得正三棱锥S-ABC 的外接球的表面积．
取AC 中点，连接BN 、SN ，∵N 为AC 中点，SA=SC，∴AC ⊥SN ，
同理AC ⊥BN ，∵SN ∩BN=N，∴AC ⊥平面SBN ，
∵SB ⊂平面SBN ，∴AC ⊥SB ，∵SB ⊥AM 且AC ∩AM=A，
∴SB ⊥平面SAC ⇒SB ⊥SA 且SB ⊥AC ，
∵三棱锥S-ABC 是正三棱锥，
∴SA 、SB 、SC 三条侧棱两两互相垂直．
∵底面边长AB =∴侧棱SA=2，
∴正三棱锥S-ABC
的外接球的直径为：2R =∴R ，
2∴正三棱锥S-ABC 的外接球的表面积是S =4πR =12π，故选：B ．
考点：空间线面垂直的判定与性质；球内接多面体
14．D
【解析】
试题分析：底面三角形内，根据正弦定理，可得AC =2, AB 2+BC 2=AC 2, 满足勾股定理，∠ABC =900, PA ⊥底面ABC , 所以PA ⊥BC , 那么BC ⊥平面PAB , 所以BC ⊥PB , 那么直角三角形PAC , PBC 有公共斜边PC , 所以三棱锥的外接球的球心就是PC 的中点O , PC 是其外接球的直径，PC =4, 所以外接球的表面积S =4πR 2=16π, 故选D.
考点：球与几何体
15．C
【解析】
试题分析：由题意，三棱柱ABC -A1B1C 1为直三棱柱，底面ABC 为直角三角形，把直三棱柱ABC -A1B1C 1补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，
=13 则三棱柱ABC -A1B1C 11外接球的表面积是4πR 2=169πcm 2．故选C ．
考点：几何体的外接球
16．A
【解析】
试题分析：因为平行四边形ABCD 中，AB ⊥BD ，沿BD 折成直二面角A -BD -C ，所以三棱锥A -BCD
222222的外接球的直径为AC ，且AC =AB +BD +CD =2AB +BD =1，所以三棱锥A -BCD 的外接2
球的半径为2π2=；故选A ．
，所以三棱锥A -BCD 的外接球的表面积为4π⨯1624
考点：1. 平面图形的折叠问题；2. 多面体与球的组合．
17．D
【解析】
试题分析：根据题意知，∆ABC 是一个直角三角形，其面积为2．其所在球的小圆的圆心在斜边AC 的中点上，设小圆的圆心为Q ， 四面体ABCD 的体积的最大值，由于底面积S ABC 不变，高最大时体积最大, 所以DQ 与面A B C 垂直时体积最大，最大值为13⨯S ABC ⨯DQ =43，S ABC =12AC ⋅BQ =12⨯22⨯2=2．即13⨯12⨯2⨯22⨯DQ =43，∴DQ =2，如图． 设球心为O，
222222+（2-R ）半径为R ，则在直角∆AQO 中， OA =AQ +
OQ ，即R =，∴R =32则这个球的2表面积为：S =4π() =9π, 故选D. 3
2
考点：立体几何圆的有关问题.
【方法点睛】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD 的体积的最大值，是解答的关键. 在本题中，四面体ABCD 的体积的最大值，由于底面积S ABC 不变，高最大时体积最大，即DQ 与面ABC 垂直时体积最大，根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积.
18．B
【解析】
试题分析：因底面边长为, 故底面中心到顶点的距离是1, 即球的截面圆的半径为1, 所以R =+1=2, 其表面积为S =4π⨯2=8π, 故应选B.
考点：球的面积与简单几何体的关系．
19．B
【解析】
试题分析：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体，此四面体的外接球的半径为正方体的
s =4π2=3π，故选B ．
考点：球的结合体．
20．C
【解析】
试题分析：由题意可知S 球=4πr 2=3π, ∴r =，三棱柱ABC -A1B1C 1的底面是边长为1的等腰直角三2
答案第11页，总12页
角形，侧棱长为a
为长方体，可把其补为正四棱柱，则球的半径r =
以a =1，所以三棱柱的体积V =，所==2111V 正四棱柱=⨯1⨯1⨯1=，故选C. 222
考点：多面体与球的组合体及棱柱的体积、球的表面积.
【方法点睛】本题主要考查了多面体与球的组合体及棱柱的体积、球的表面积，考查了学生的空间想象能力，属于中档题. 本题解答的关键是根据题意确定三棱柱ABC -A1B1C 1的性质，从而把三棱柱补形为长方体，这样根据球的直径与长方体的对角线长相等及球的表面积，求出长方体的高，即三棱柱的高，求得其体积.
答案第12页，总12页