高三第二轮复习专题：
含参不等式恒成立与存在性问题
1、关于x 的不等式x 2-4x +m ≤0在区间［ 1,5］上恒成立, 求实数m 的取值范围
变式1：不等式x 2-4mx +1≤0对∀x ∈[1,5]恒成立, 求实数m 的取值范围.
变式2： 不等式x 2+4mx -1≤0对∀x ∈[-1, 5]恒成立, 求实数m 的取值范围.
变式3： 不等式x 2-mx +2≥0对∀m ∈[-1, 3恒成立, 求实数x 的取值范围. ]
2、已知函数f (x ) =x 2+x -2
（1）若f (x ) >a 在[1,3]上有解，求实数a 的取值范围；
（2）若f (x ) >a 在[1，3]上恒成立，求实数a 的取值范围.
3、已知两个函数f (x ) =8x 2+16x -k , g (x ) =2x 3+5x 2+4x , 其中k 为实数. （1）对任意x ∈[-3, 3]，都有f (x ) ≤g (x ) 成立，求实数k 的取值范围； （2）存在x ∈[-3, 3]，使f (x ) ≤g (x ) ，求实数k 的取值范围；
（3）对任意x 1, x 2∈[-3, 3]，都有f (x 1) ≤g (x 2) ，求实数k 的取值范围.
参考答案：
1、 (最值法) : 设f (x ) =x 2-4x +m , x ∈[1, 5]
问题等价于f (x ) max ≤0，
∵f (x ) =(x -2) 2+m -4≤f (5) =m +5
∴m +5≤0, 即m ≤-5
（分离参数法）
问题⇔m ≤-x 2+4x 在区间［1，5］上恒成立 记g (x ) =-x 2+4x x ∈ [1,5]， 则问题⇔m ≤g (x ) min ，
g (x ) =-(x -2) +4, x ∈[1, 5] g (x ) min =g (5) =-5, ∴m ≤-5
2
2
由x -4m x +1≤0得 m ≥(x +) x ∈[1, 5] 变式1、11
4x
令f (x ) =
14
14
(x +1x
1x
) f '(x ) =
14
(1-
1x
2
) ≥0对∀x ∈[1,5]都成立
∴f (x ) =(x +
) 在x ∈[1, 5]上是单调增函数
∴f (x ) m ax =f (5)=
1310
∴m ≥
1310
2
根据函数f(x)的图象可知，变式2、 设f (x ) =x +4m x -1, x ∈[-1, 5]，
⎧⎧
∴m ≤-问题等价于 即⎨⎨
f (-1) ≤0
4m ≤0
65
⎩f (5)≤0⎩20m +24≤0
2
变式3、 设f(m)=-x ⋅m +x +2, 则f (m ) ≥0
在m ∈[-1,3]上恒成立，它的图象是一条线段，
⎧f (-1) ≥0⎧x 2+x +2≥0⎪⇔ 得x ≤1或x ≥2 则问题⇔ ⎨⎨2f (3)≥0⎩⎪ ⎩x -3x +2≥0
2、解：（1）∴f (x ) =x 2+x -2=(x +) 2-
21
94
, 又x ∈[1, 3],
∴f (x ) 在[1，3]上有最大值f (3) =10, ∴a
（2）f (x ) =x 2+x -2在[1，3]上有最小值f (1) =0, ∴a
3、解：设F (x ) =g (x ) -f (x ) =2x 3-3x 2-12x +k .
（1）对任意x ∈[-3, 3]，都有f (x ) ≤g (x ) 成立，转化为x ∈[-3, 3]时，
F (x ) ≥0恒成立. 故[F (x )]min ≥0.
令F '(x ) =6x 2-6x -12=6(x +1)(x -2) =0, 得x =-1或x =2
∴F (x )
在[-3,-1]和[2,3]上是增函数, 在[-1,2]上是减函数, 由
F (-1) =7+k , F (2) =k -20, F (-3) =k -45, F (3) =k -9,
故[F (x )]min =k -45, 由k -45≥0, 得k ≥45
(2)存在x ∈[-3, 3], 使f (x ) ≤g (x ) 成立, 即F (x ) ≥0在x ∈[-3, 3]内有解,
故[F (x )]max ≥0
由(1)知[F (x )]max =k +7. 于是k +7≥0得k ≥-7.
(3)该问与(1)虽然都是不等式恒成立的问题. 但有很大的区别, 对任意的任意x 1, x 2∈[-3, 3]，都有f (x 1) ≤g (x 2) 成立，不等式的左右 两端函数的自变量不同, x 1, x 2的取值在[-3, 3]上具有任意性, 因而要使原不等式恒成立的充要条件是[f (x )]max ≤[g (x )]min , x ∈[-3, 3]. 由g '(x ) =6x 2+10x +4=0, 得x =-
23
或x =-1
易知[g (x )]min =g (-3) =21. 又f (x ) =8(x +1) 2-8-k , x ∈[-3, 3], 故[f (x )]max =f (3) =120-k , 由120-k ≤-21, 得k ≥141.
高三第二轮复习专题：
含参不等式恒成立与存在性问题
1、关于x 的不等式x 2-4x +m ≤0在区间［ 1,5］上恒成立, 求实数m 的取值范围
变式1：不等式x 2-4mx +1≤0对∀x ∈[1,5]恒成立, 求实数m 的取值范围.
变式2： 不等式x 2+4mx -1≤0对∀x ∈[-1, 5]恒成立, 求实数m 的取值范围.
变式3： 不等式x 2-mx +2≥0对∀m ∈[-1, 3恒成立, 求实数x 的取值范围. ]
2、已知函数f (x ) =x 2+x -2
（1）若f (x ) >a 在[1,3]上有解，求实数a 的取值范围；
（2）若f (x ) >a 在[1，3]上恒成立，求实数a 的取值范围.
3、已知两个函数f (x ) =8x 2+16x -k , g (x ) =2x 3+5x 2+4x , 其中k 为实数. （1）对任意x ∈[-3, 3]，都有f (x ) ≤g (x ) 成立，求实数k 的取值范围； （2）存在x ∈[-3, 3]，使f (x ) ≤g (x ) ，求实数k 的取值范围；
（3）对任意x 1, x 2∈[-3, 3]，都有f (x 1) ≤g (x 2) ，求实数k 的取值范围.
参考答案：
1、 (最值法) : 设f (x ) =x 2-4x +m , x ∈[1, 5]
问题等价于f (x ) max ≤0，
∵f (x ) =(x -2) 2+m -4≤f (5) =m +5
∴m +5≤0, 即m ≤-5
（分离参数法）
问题⇔m ≤-x 2+4x 在区间［1，5］上恒成立 记g (x ) =-x 2+4x x ∈ [1,5]， 则问题⇔m ≤g (x ) min ，
g (x ) =-(x -2) +4, x ∈[1, 5] g (x ) min =g (5) =-5, ∴m ≤-5
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由x -4m x +1≤0得 m ≥(x +) x ∈[1, 5] 变式1、11
4x
令f (x ) =
14
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(x +1x
1x
) f '(x ) =
14
(1-
1x
2
) ≥0对∀x ∈[1,5]都成立
∴f (x ) =(x +
) 在x ∈[1, 5]上是单调增函数
∴f (x ) m ax =f (5)=
1310
∴m ≥
1310
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根据函数f(x)的图象可知，变式2、 设f (x ) =x +4m x -1, x ∈[-1, 5]，
⎧⎧
∴m ≤-问题等价于 即⎨⎨
f (-1) ≤0
4m ≤0
65
⎩f (5)≤0⎩20m +24≤0
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变式3、 设f(m)=-x ⋅m +x +2, 则f (m ) ≥0
在m ∈[-1,3]上恒成立，它的图象是一条线段，
⎧f (-1) ≥0⎧x 2+x +2≥0⎪⇔ 得x ≤1或x ≥2 则问题⇔ ⎨⎨2f (3)≥0⎩⎪ ⎩x -3x +2≥0
2、解：（1）∴f (x ) =x 2+x -2=(x +) 2-
21
94
, 又x ∈[1, 3],
∴f (x ) 在[1，3]上有最大值f (3) =10, ∴a
（2）f (x ) =x 2+x -2在[1，3]上有最小值f (1) =0, ∴a
3、解：设F (x ) =g (x ) -f (x ) =2x 3-3x 2-12x +k .
（1）对任意x ∈[-3, 3]，都有f (x ) ≤g (x ) 成立，转化为x ∈[-3, 3]时，
F (x ) ≥0恒成立. 故[F (x )]min ≥0.
令F '(x ) =6x 2-6x -12=6(x +1)(x -2) =0, 得x =-1或x =2
∴F (x )
在[-3,-1]和[2,3]上是增函数, 在[-1,2]上是减函数, 由
F (-1) =7+k , F (2) =k -20, F (-3) =k -45, F (3) =k -9,
故[F (x )]min =k -45, 由k -45≥0, 得k ≥45
(2)存在x ∈[-3, 3], 使f (x ) ≤g (x ) 成立, 即F (x ) ≥0在x ∈[-3, 3]内有解,
故[F (x )]max ≥0
由(1)知[F (x )]max =k +7. 于是k +7≥0得k ≥-7.
(3)该问与(1)虽然都是不等式恒成立的问题. 但有很大的区别, 对任意的任意x 1, x 2∈[-3, 3]，都有f (x 1) ≤g (x 2) 成立，不等式的左右 两端函数的自变量不同, x 1, x 2的取值在[-3, 3]上具有任意性, 因而要使原不等式恒成立的充要条件是[f (x )]max ≤[g (x )]min , x ∈[-3, 3]. 由g '(x ) =6x 2+10x +4=0, 得x =-
23
或x =-1
易知[g (x )]min =g (-3) =21. 又f (x ) =8(x +1) 2-8-k , x ∈[-3, 3], 故[f (x )]max =f (3) =120-k , 由120-k ≤-21, 得k ≥141.