函数单调性
一、单调性定义：
1、增函数：y =f (x ), x ∈I ，若D ⊆I , ∀x 1, x 2∈D ，当x 1＜x 2时， 都有f (x 1) ＜f (x 2) ，则y =f (x ) 在D 上是增函数。
2、减函数：
3、图像特征：
二、单调性证明：
1、函数f (x ) =x 2+1在(-∞， 0)上是减函数。
2、函数f (x ) =1-1在(-∞，0)上是增函数。 x
3、总结证明步骤：一“设”，二“作差化简”，三“判断”，四“下结论”
三、探索各类函数的单调性：（结合图象）
1、一次函数的单调性
（1）y =3x +2 （2）y =-2x -1 （3）y =ax +b (a ≠0)
2、二次函数的单调性
（1）y =x 2+2x +3 （2）y =-x 2+2x +3 （3）y =ax 2+bx +c (a ≠0)
3、反比例函数的单调性：
11a （1）y = （2）y =- （3）y =, (a ≠0) x x x
4、基本初等函数的单调性
1 （1）y =2x （2）y =() x （3）y =a x 2
x x （4）y =log 2 （5）y =log x (6) y =log 1a
2
四、单调性的应用：
（1）
（2）
五、练习：
1、若f (x ) 在[a , b ]上是增函数，∀x 1, x 2∈[a , b ], (x 1≠x 2) 则下列不正确的是（ ）
A 、f (x 1) -f (x 2) ＞0 B、(x 1-x 2) [f (x 1) -f (x 2) ]＞0 x 1-x 2
x 1-x 2＞0 f (x 1) -f (x 2)
f (a ) -f (b ) ＞0成立，则（ ） a -b C 、f (a ) ＜f (x 1) ＜f (x 2) ＜f (b ) D 、2、定义在R 上的f (x ) 对任意两个不等实数a , b 总有
A 、函数f (x ) 是先增后减函数 B 、函数f (x ) 是先减后增函数
C 、函数f (x ) 在R 上是增函数 D 、函数f (x ) 在R 上是减函数
3、下列满足“对任意x 1，x 2∈（0，+∞），当x 1f (x 2)
A ．f (x ) = 的是（ ）1x 2 B. f (x ) =(x -1) C .f (x ) =e D f (x ) =ln(x +1) x
4、下列函数中，在(-∞, 0)上为减函数的是（ ）
A 、y =1302 B 、 C 、 D 、 y =x y =x y =x 2x
5、函数y =(2k +1) x +b 在R 上是增函数，则k 的取值范围是（ ）
A 、k ＞1111 B、k ＞- C、k ＜ D、k ＜- 2222
6、若y =3x 2+2(a -1) x +b 在区间则k 的取值范围是（ ） (-∞，1)上是单调增函数，
A 、a =2 B、a =-2 C、a ≤-2 D、a ≥2
a 7、若f (x ) =-x 2+2ax 与g (x ) =在区间[1, 2]都是减函数，则a 的范围（ ） x
A 、(-1, 0) (0, 1) B 、(-1, 0) (0, 1] C 、(0, 1) D 、(0, 1]
8、f (x ) 为(-∞, +∞) 上的减函数，a ∈R ，则 （ ）
A 、f (a )
9、设偶函数f （x ）的定义域为R ，当x ∈[0,+∞) 时f （x ）是增函数， 则f (-2), f (π), f (-3) 的大小关系是（ ）
（A ）、f (π) ＞f (-3) ＞f (-2) （B ）、f (π) ＞f (-2) ＞f (-3)
（C ）、f (π) ＜f (-3) ＜f (-2) （D ）、f (π) ＜f (-2) ＜f (-3)
10、函数y =2x 2-mx +3, 当x ∈[-2, 2]时是增函数，则m 。
11、若log a 30，且a ≠1) ，则实数a 的取值范围。 4
12、函数y =a x 在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为（ ）
A 、11 B 、2 C 、4 D 、 24
13、若f (x ) =log a x (0
A 、2 4 B 、2 2 C 、1 4D 、1 2
14、、若函数f (x ) 在R 上是增函数，f (m ) ＜f (n ) ，则m n 。
15、若函数f (x ) 在R 上是减函数，则不等式f (x 2) ＜f (2x +3) 的解集为。
114、若函数f (x ) 在R 上是减函数，则满足f () ＜f (1) 的实数x 的取值范围（ ） x
A 、[0, 1) (1, 4] B 、[0, 1] C 、(0, 1) D 、[0, 1)
16、若函数f (x ) 是定义在(0, +∞)上是减函数，且f (x ) ＜f (2x -3) ，求x 的取值范围。
17、函数f (x ) 对x ＞0有意义，且满足f (2) =1, f (xy ) =f (x ) +f (y ) ，f (x ) 为增函数。
（1）求证：f (1) =0；（2）求f (4) ； （3）若f (x -3) ≤2，求x 的范围。
函数单调性
一、单调性定义：
1、增函数：y =f (x ), x ∈I ，若D ⊆I , ∀x 1, x 2∈D ，当x 1＜x 2时， 都有f (x 1) ＜f (x 2) ，则y =f (x ) 在D 上是增函数。
2、减函数：
3、图像特征：
二、单调性证明：
1、函数f (x ) =x 2+1在(-∞， 0)上是减函数。
2、函数f (x ) =1-1在(-∞，0)上是增函数。 x
3、总结证明步骤：一“设”，二“作差化简”，三“判断”，四“下结论”
三、探索各类函数的单调性：（结合图象）
1、一次函数的单调性
（1）y =3x +2 （2）y =-2x -1 （3）y =ax +b (a ≠0)
2、二次函数的单调性
（1）y =x 2+2x +3 （2）y =-x 2+2x +3 （3）y =ax 2+bx +c (a ≠0)
3、反比例函数的单调性：
11a （1）y = （2）y =- （3）y =, (a ≠0) x x x
4、基本初等函数的单调性
1 （1）y =2x （2）y =() x （3）y =a x 2
x x （4）y =log 2 （5）y =log x (6) y =log 1a
2
四、单调性的应用：
（1）
（2）
五、练习：
1、若f (x ) 在[a , b ]上是增函数，∀x 1, x 2∈[a , b ], (x 1≠x 2) 则下列不正确的是（ ）
A 、f (x 1) -f (x 2) ＞0 B、(x 1-x 2) [f (x 1) -f (x 2) ]＞0 x 1-x 2
x 1-x 2＞0 f (x 1) -f (x 2)
f (a ) -f (b ) ＞0成立，则（ ） a -b C 、f (a ) ＜f (x 1) ＜f (x 2) ＜f (b ) D 、2、定义在R 上的f (x ) 对任意两个不等实数a , b 总有
A 、函数f (x ) 是先增后减函数 B 、函数f (x ) 是先减后增函数
C 、函数f (x ) 在R 上是增函数 D 、函数f (x ) 在R 上是减函数
3、下列满足“对任意x 1，x 2∈（0，+∞），当x 1f (x 2)
A ．f (x ) = 的是（ ）1x 2 B. f (x ) =(x -1) C .f (x ) =e D f (x ) =ln(x +1) x
4、下列函数中，在(-∞, 0)上为减函数的是（ ）
A 、y =1302 B 、 C 、 D 、 y =x y =x y =x 2x
5、函数y =(2k +1) x +b 在R 上是增函数，则k 的取值范围是（ ）
A 、k ＞1111 B、k ＞- C、k ＜ D、k ＜- 2222
6、若y =3x 2+2(a -1) x +b 在区间则k 的取值范围是（ ） (-∞，1)上是单调增函数，
A 、a =2 B、a =-2 C、a ≤-2 D、a ≥2
a 7、若f (x ) =-x 2+2ax 与g (x ) =在区间[1, 2]都是减函数，则a 的范围（ ） x
A 、(-1, 0) (0, 1) B 、(-1, 0) (0, 1] C 、(0, 1) D 、(0, 1]
8、f (x ) 为(-∞, +∞) 上的减函数，a ∈R ，则 （ ）
A 、f (a )
9、设偶函数f （x ）的定义域为R ，当x ∈[0,+∞) 时f （x ）是增函数， 则f (-2), f (π), f (-3) 的大小关系是（ ）
（A ）、f (π) ＞f (-3) ＞f (-2) （B ）、f (π) ＞f (-2) ＞f (-3)
（C ）、f (π) ＜f (-3) ＜f (-2) （D ）、f (π) ＜f (-2) ＜f (-3)
10、函数y =2x 2-mx +3, 当x ∈[-2, 2]时是增函数，则m 。
11、若log a 30，且a ≠1) ，则实数a 的取值范围。 4
12、函数y =a x 在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为（ ）
A 、11 B 、2 C 、4 D 、 24
13、若f (x ) =log a x (0
A 、2 4 B 、2 2 C 、1 4D 、1 2
14、、若函数f (x ) 在R 上是增函数，f (m ) ＜f (n ) ，则m n 。
15、若函数f (x ) 在R 上是减函数，则不等式f (x 2) ＜f (2x +3) 的解集为。
114、若函数f (x ) 在R 上是减函数，则满足f () ＜f (1) 的实数x 的取值范围（ ） x
A 、[0, 1) (1, 4] B 、[0, 1] C 、(0, 1) D 、[0, 1)
16、若函数f (x ) 是定义在(0, +∞)上是减函数，且f (x ) ＜f (2x -3) ，求x 的取值范围。
17、函数f (x ) 对x ＞0有意义，且满足f (2) =1, f (xy ) =f (x ) +f (y ) ，f (x ) 为增函数。
（1）求证：f (1) =0；（2）求f (4) ； （3）若f (x -3) ≤2，求x 的范围。