明士教育格式化学案
课题:自由落体运动
一、匀变速直线运动的公式
备知识
a
①由加速度的定义式
vt v 0
t
变形得到：
vt
笔记：
v v
t
0
at
v0
s 得： t
②由右图求得所谓面积为 s
v v
t
0
2
t ，结合 v
t
v
v v
t
0
2
vt
V
③由 s
vt v0
2
t 和 vt
1 2 v0 at 得： s v0 t a t 2
v0 t
④由
v
t 2
t a v0 a 和 2
vt v 0
t
得
v
0
t 2
v
v v
t
0
2
a
⑤由
v v
t
0
t
变形得到 t
v v
t
a
代入 s
v t 2 at
0
1
2
得到：
v v
2 t
2 0
2as
2
⑥由
v
2 s 2
s s 2 2 2 2 2 2 2 v0 2a 和 vt v s 2a 得到： v s v0 vt v s 即 v s 2 2 2 2 2 2
v 2 v0 2
推论： （1）两相邻的相等时间（T）内的位移之差等于恒量。该公式可用于测定加速度， 也可作为判断初速度不为零的匀变速直线运动的重要条件。
s s 2 s1 s3 s 2 ~~~~ s m s n a T
2
（ 2）初 速 度 为零 的 匀 加速 直 线 运动 的 特点 ：(从 运 动 开 始时 刻 计时 ，且设 t 为 时间单位) ① ts 末、2ts 末、3ts 末、…nts 末瞬时速度之比为： v 1 ： v 2 ： v 3 ： … v n ＝ 1 ׃ … ׃3 ׃2 ׃n ② t s 内 、 2 t s 内 、 3 t s 内 、 … nt s 内 位 移 之 比 为 ： x 1 ׃x 2 ׃x 3 ׃ … ׃x n =1 2 … ׃ 2 3 ׃ 2 2 ׃n 2 ③在 连 续 相 等 的 时 间 间 隔 内 的 位 移 之 比 为 ： x Ⅰ ׃x Ⅱ ׃x Ⅲ ： … ׃x N =1： 3： 5： … ： (2 n － 1) ④经过连续相同位移所用时间之比为： t Ⅰ ∶ t Ⅱ ∶ t Ⅲ ∶ … ∶ t N =1:( 2 1 ):( 3 2 ):… ( ׃N N 1 ) 二、临界问题及解题分析 1.追及和相遇问题 在两物体同直线上的追及、相遇或避免碰撞问题中关键的条件是： 两物体能否同时到 达空间某位置.因此应分别对两物体研究，列出位移方程，然后利用时间关系、速度关系、 位移关系解出. （1）追及 追和被追的两者的速度相等常是能追上、追不上、二者距离有极值的临界条件.
如匀减速运动的物体追从不同地点出发同向的匀速运动的物体时，若二者速度相 等了，还没有追上，则永远追不上，此时二者间有最小距离.若二者相遇时（追上了） ， 追者速度等于被追者的速度，则恰能追上，也是二者避免碰撞的临界条件；若二者相 遇时追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相 等时二者的距离有一个较大值. 再如初速度为零的匀加速运动的物体追从同一地点出发同向匀速运动的物体时， 当二者速度相等时二者有最大距离，位移相等即追上. （2）相遇 同向运动的两物体追及即相遇，分析同（1）. 相向运动
的物体，当各自发生的位移的绝对值的和等于开始时两物体间的距离时 即相遇. 2.解题方法指导 （1）要养成根据题意画出物体运动示意图的习惯.特别对较复杂的运动，画出草 图可使运动过程直观，物理图景清晰，便于分析研究. （2）要注意分析研究对象的运动过程，搞清整个运动过程按运动性质的转换可分 为哪几个运动阶段，各个阶段遵循什么规律，各个阶段间存在什么联系. （3）由于本章公式较多，且各公式间有相互联系，因此，本章的题目常可一题多 解.解题时要思路开阔，联想比较，筛选最简捷的解题方案.解题时除采用常规的公式 解析法外，图象法、比例法、极值法、逆向转换法（如将一匀减速直线运动视为反向 的匀加速直线运动）等也是本章解题中常用的方法. 典例剖析 例 1、 以速度为 10 m/s 匀速运动的汽车在第 2 s 末关闭发动机，以后为匀减速 2 运动，第 3 s 内平均速度是 9 m/s，则汽车加速度是_______ m/s ，汽车在 10 s 内的 位移是_______ m. 例 2、一物体放在光滑水平面上，初速度为零.先对物体施加一向东的恒力 F，历时 1 s；随即把此力改为向西，大小不变，历时 1 s；接着又把此力改为向东，大小不变， 历时 1 s；如此反复，只改变力的方向，共历时 1 min.在此 1 min 内 A.物体时而向东运动，时而向西运动，在 1 min 末静止于初始位置之东 B.物体时而向东运动，时而向西运动，在 1 min 末静止于初始位置 C.物体时而向东运动，时而向西运动，在 1 min 末继续向东运动 D.物体一直向东运动，从不向西运动，在 1 min 末静止于初始位置之东 例 3、跳伞运动员作低空跳伞表演，当飞机离地面 224 m 时，运动员离开飞机在 竖直方向做自由落体运动.运动一段时间后，立即打开降落伞，展伞后运动员以 12.5 2 m/s 的平均加速度匀减速下降.为了运动员的安全，要求运动员落地速度最大不得超过 5 2 m/s.取 g=10 m/s .求： （1）运动员展伞时，离地面的高度至少为多少?着地时相当于从多高处自由落下? （2）运动员在空中的最短时间为多少?
笔记
例 4、火车以速度 v1 匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距 s 处有另一列火车沿 同方向以速度 v2（对地、且 v1＞v2）做匀速运动，司机立即以加速度 a 紧急刹车.要使 两车不相撞，a 应满足什么条件?
笔记：
例 5、天文观测表明，几乎所有远处的恒星（或星系）都在以各自的速度背离我 们而运动，离我们越远的星体，背离我们运动的速度（称为退行速度）越大；也就是 说，宇宙在膨胀.不同星体的退行速度 v 和它们离我们的距离 r 成正比，即 v=Hr 式中 H 为一常量，称为哈勃常数，已由天文观察测定.为解释上述现象
，有人提出 一种理论， 认为宇宙是从一个大爆炸的火球开始形成的.假设大爆炸后各星体即以不同 的速度向外匀速运动，并设想我们就位于其中心，则速度越大的星体现在离我们越远， 这一结果与上述天文观测一致. 由上述理论和天文观测结果可估算宇宙年龄 T，其计算式为 T=_______.根据近期 －2 观测，哈勃常数 H=3×10 m/（s·光年） ，其中光年是光在一年中行进的距离，由此 估算宇宙的年龄约为_______年.
拓展习题 1、1991 年 5 月 11 日的《北京晚报》曾报道了这样一则动人的事迹：5 月 9 日下 午，一位 4 岁小男孩从高层塔楼的 15 层坠下，被同楼的一位青年在楼下接住，幸免于 难.设每层楼高度是 2.8 m，这位青年从他所在地方冲到楼下需要的时间是 1.3 s，则 2 该青年要接住孩子，至多允许他反应的时间是（g 取 10 m/s ） A.3.0 s B.1.5 s C.0.4 s D.1.3 s 2、由高处的某一点开始，甲物体先做自由落体运动，乙物体后做自由落体运动， 以乙为参考系，甲的运动情况是 A.相对静止 B.向下做匀速直线运动 C.向下做匀加速直线运动 D.向下做自由落体运动 3 如图所示，a、b 分别表示先后从同一地点以相同的初速 度做匀变速直线运动的两个物体的速度图象，则下列说法正确 的是（ ） A.4 s 末两物体的速度相等 B.4 s 末两物体在途中相遇 C.5 s 末两物体的速率相等 D.5 s 末两物体相遇 4、 v=36 km/h 的速度沿平直公路行驶的汽车， 以 遇障碍刹车后获得大小为 a=4 m/s 的加速度.刹车后 3 s 内，汽车走过的路程为（ ） A.12 m B.12.5 m C.90 m D.126 m
2
笔记：
5、一个物体从塔顶上下落，在到达地面前最后 1 s 内通过的位移是整个位移的 2 9/25，则塔高为_______.（g 取 10 m/s ） 6、马路旁每两根电线杆间的距离都是 60 m，坐在汽车里的乘客，测得汽车从第 1 根电线杆驶到第 2 根电线杆用了 5 s，从第 2 根电线杆驶到第 3 根电线杆用了 3 s.如 果汽车是匀加速行驶的，求汽车的加速度和经过这三根电线杆时的瞬时速度. 7、一质点由静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为 a1，经时间 t 后做匀减速 直线运动，加速度大小为 a2.若再经时间 t 恰好能回到出发点，则 a1∶a2 应为 A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4 8 如图所示， 质点甲以 8 m/s 的速度从 O 点沿 Ox 轴正方向运动， 质点乙从点 （0， 60）处开始做匀速运动，要使甲、乙在开始运动后 10 s 在 x 轴相遇，乙的速度大小为 _______ m/s，方向与 x 轴正方向间的夹角为_______.
y/m 乙
O
甲
x/m
明士教育格式化学案
课题:自由落体运动
一、匀变速直线运动的公式
备知识
a
①由加速度的定义式
vt v 0
t
变形得到：
vt
笔记：
v v
t
0
at
v0
s 得： t
②由右图求得所谓面积为 s
v v
t
0
2
t ，结合 v
t
v
v v
t
0
2
vt
V
③由 s
vt v0
2
t 和 vt
1 2 v0 at 得： s v0 t a t 2
v0 t
④由
v
t 2
t a v0 a 和 2
vt v 0
t
得
v
0
t 2
v
v v
t
0
2
a
⑤由
v v
t
0
t
变形得到 t
v v
t
a
代入 s
v t 2 at
0
1
2
得到：
v v
2 t
2 0
2as
2
⑥由
v
2 s 2
s s 2 2 2 2 2 2 2 v0 2a 和 vt v s 2a 得到： v s v0 vt v s 即 v s 2 2 2 2 2 2
v 2 v0 2
推论： （1）两相邻的相等时间（T）内的位移之差等于恒量。该公式可用于测定加速度， 也可作为判断初速度不为零的匀变速直线运动的重要条件。
s s 2 s1 s3 s 2 ~~~~ s m s n a T
2
（ 2）初 速 度 为零 的 匀 加速 直 线 运动 的 特点 ：(从 运 动 开 始时 刻 计时 ，且设 t 为 时间单位) ① ts 末、2ts 末、3ts 末、…nts 末瞬时速度之比为： v 1 ： v 2 ： v 3 ： … v n ＝ 1 ׃ … ׃3 ׃2 ׃n ② t s 内 、 2 t s 内 、 3 t s 内 、 … nt s 内 位 移 之 比 为 ： x 1 ׃x 2 ׃x 3 ׃ … ׃x n =1 2 … ׃ 2 3 ׃ 2 2 ׃n 2 ③在 连 续 相 等 的 时 间 间 隔 内 的 位 移 之 比 为 ： x Ⅰ ׃x Ⅱ ׃x Ⅲ ： … ׃x N =1： 3： 5： … ： (2 n － 1) ④经过连续相同位移所用时间之比为： t Ⅰ ∶ t Ⅱ ∶ t Ⅲ ∶ … ∶ t N =1:( 2 1 ):( 3 2 ):… ( ׃N N 1 ) 二、临界问题及解题分析 1.追及和相遇问题 在两物体同直线上的追及、相遇或避免碰撞问题中关键的条件是： 两物体能否同时到 达空间某位置.因此应分别对两物体研究，列出位移方程，然后利用时间关系、速度关系、 位移关系解出. （1）追及 追和被追的两者的速度相等常是能追上、追不上、二者距离有极值的临界条件.
如匀减速运动的物体追从不同地点出发同向的匀速运动的物体时，若二者速度相 等了，还没有追上，则永远追不上，此时二者间有最小距离.若二者相遇时（追上了） ， 追者速度等于被追者的速度，则恰能追上，也是二者避免碰撞的临界条件；若二者相 遇时追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相 等时二者的距离有一个较大值. 再如初速度为零的匀加速运动的物体追从同一地点出发同向匀速运动的物体时， 当二者速度相等时二者有最大距离，位移相等即追上. （2）相遇 同向运动的两物体追及即相遇，分析同（1）. 相向运动
的物体，当各自发生的位移的绝对值的和等于开始时两物体间的距离时 即相遇. 2.解题方法指导 （1）要养成根据题意画出物体运动示意图的习惯.特别对较复杂的运动，画出草 图可使运动过程直观，物理图景清晰，便于分析研究. （2）要注意分析研究对象的运动过程，搞清整个运动过程按运动性质的转换可分 为哪几个运动阶段，各个阶段遵循什么规律，各个阶段间存在什么联系. （3）由于本章公式较多，且各公式间有相互联系，因此，本章的题目常可一题多 解.解题时要思路开阔，联想比较，筛选最简捷的解题方案.解题时除采用常规的公式 解析法外，图象法、比例法、极值法、逆向转换法（如将一匀减速直线运动视为反向 的匀加速直线运动）等也是本章解题中常用的方法. 典例剖析 例 1、 以速度为 10 m/s 匀速运动的汽车在第 2 s 末关闭发动机，以后为匀减速 2 运动，第 3 s 内平均速度是 9 m/s，则汽车加速度是_______ m/s ，汽车在 10 s 内的 位移是_______ m. 例 2、一物体放在光滑水平面上，初速度为零.先对物体施加一向东的恒力 F，历时 1 s；随即把此力改为向西，大小不变，历时 1 s；接着又把此力改为向东，大小不变， 历时 1 s；如此反复，只改变力的方向，共历时 1 min.在此 1 min 内 A.物体时而向东运动，时而向西运动，在 1 min 末静止于初始位置之东 B.物体时而向东运动，时而向西运动，在 1 min 末静止于初始位置 C.物体时而向东运动，时而向西运动，在 1 min 末继续向东运动 D.物体一直向东运动，从不向西运动，在 1 min 末静止于初始位置之东 例 3、跳伞运动员作低空跳伞表演，当飞机离地面 224 m 时，运动员离开飞机在 竖直方向做自由落体运动.运动一段时间后，立即打开降落伞，展伞后运动员以 12.5 2 m/s 的平均加速度匀减速下降.为了运动员的安全，要求运动员落地速度最大不得超过 5 2 m/s.取 g=10 m/s .求： （1）运动员展伞时，离地面的高度至少为多少?着地时相当于从多高处自由落下? （2）运动员在空中的最短时间为多少?
笔记
例 4、火车以速度 v1 匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距 s 处有另一列火车沿 同方向以速度 v2（对地、且 v1＞v2）做匀速运动，司机立即以加速度 a 紧急刹车.要使 两车不相撞，a 应满足什么条件?
笔记：
例 5、天文观测表明，几乎所有远处的恒星（或星系）都在以各自的速度背离我 们而运动，离我们越远的星体，背离我们运动的速度（称为退行速度）越大；也就是 说，宇宙在膨胀.不同星体的退行速度 v 和它们离我们的距离 r 成正比，即 v=Hr 式中 H 为一常量，称为哈勃常数，已由天文观察测定.为解释上述现象
，有人提出 一种理论， 认为宇宙是从一个大爆炸的火球开始形成的.假设大爆炸后各星体即以不同 的速度向外匀速运动，并设想我们就位于其中心，则速度越大的星体现在离我们越远， 这一结果与上述天文观测一致. 由上述理论和天文观测结果可估算宇宙年龄 T，其计算式为 T=_______.根据近期 －2 观测，哈勃常数 H=3×10 m/（s·光年） ，其中光年是光在一年中行进的距离，由此 估算宇宙的年龄约为_______年.
拓展习题 1、1991 年 5 月 11 日的《北京晚报》曾报道了这样一则动人的事迹：5 月 9 日下 午，一位 4 岁小男孩从高层塔楼的 15 层坠下，被同楼的一位青年在楼下接住，幸免于 难.设每层楼高度是 2.8 m，这位青年从他所在地方冲到楼下需要的时间是 1.3 s，则 2 该青年要接住孩子，至多允许他反应的时间是（g 取 10 m/s ） A.3.0 s B.1.5 s C.0.4 s D.1.3 s 2、由高处的某一点开始，甲物体先做自由落体运动，乙物体后做自由落体运动， 以乙为参考系，甲的运动情况是 A.相对静止 B.向下做匀速直线运动 C.向下做匀加速直线运动 D.向下做自由落体运动 3 如图所示，a、b 分别表示先后从同一地点以相同的初速 度做匀变速直线运动的两个物体的速度图象，则下列说法正确 的是（ ） A.4 s 末两物体的速度相等 B.4 s 末两物体在途中相遇 C.5 s 末两物体的速率相等 D.5 s 末两物体相遇 4、 v=36 km/h 的速度沿平直公路行驶的汽车， 以 遇障碍刹车后获得大小为 a=4 m/s 的加速度.刹车后 3 s 内，汽车走过的路程为（ ） A.12 m B.12.5 m C.90 m D.126 m
2
笔记：
5、一个物体从塔顶上下落，在到达地面前最后 1 s 内通过的位移是整个位移的 2 9/25，则塔高为_______.（g 取 10 m/s ） 6、马路旁每两根电线杆间的距离都是 60 m，坐在汽车里的乘客，测得汽车从第 1 根电线杆驶到第 2 根电线杆用了 5 s，从第 2 根电线杆驶到第 3 根电线杆用了 3 s.如 果汽车是匀加速行驶的，求汽车的加速度和经过这三根电线杆时的瞬时速度. 7、一质点由静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为 a1，经时间 t 后做匀减速 直线运动，加速度大小为 a2.若再经时间 t 恰好能回到出发点，则 a1∶a2 应为 A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4 8 如图所示， 质点甲以 8 m/s 的速度从 O 点沿 Ox 轴正方向运动， 质点乙从点 （0， 60）处开始做匀速运动，要使甲、乙在开始运动后 10 s 在 x 轴相遇，乙的速度大小为 _______ m/s，方向与 x 轴正方向间的夹角为_______.
y/m 乙
O
甲
x/m