因式分解讲解

因式分解是这学期期中考试和期末考试的重点，也是初二学分式，初三学一元二次方程及二次函数的基础，所以一定要掌握好。

因式分解的方法与技巧

一、巧拆项：在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。

例1、因式分解 ab4a2b3

解析：根据多项式的特点，把3拆成4+（-1），

则ab4a2b3=a2b24a2b41(a24a4)(b22b1) =(a2)2(b1)2(ab1)(ab3)

例2、因式分解 x6x11x6

解析：根据多项式的特点,把6x拆成2x4x；把11x拆成8x3x

则x6x11x6=(x32x2)(4x28x)(3x6)

=x2(x2)4x(x2)3(x2)(x2)(x24x3)(x1)(x2)(x3)

二、巧添项：在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可谓方法独特，新颖别致。

例3、因式分解x44y4

解析：根据多项式的特点,在x4y中添上4xy,4xy两项，

则x44y4=(x44x2y24y4)4x2y2(x22y2)2(2xy)2

=(x22xy2y2)(x22xy2y2)

例4、因式分解 x3x4

解析：根据多项式的特点，将3x拆成4xx，再添上4x,4x两项，则 [***********]3222

x33x24=x34x24xx24x4

222=x(x4x4)(x4x4)(x4x4)(x1)

=(x1)(x2)2

三、巧换元：在某些多项式的因式分解过程中，通过换元，可把形式复杂的多项式变形为形式简单易于分解的多项式，会使问题化繁为简，迅捷获解。

例5、因式分解(x23x4)(x2x6)24

解析：(x23x4)(x2x6)24=(x1)(x4)(x2)(x3)24

=(x1)(x2)(x3)(x4)24(xx2)(xx12)24

设yx2x2，则x2x12y10

于是，原式= 22

y(y10)24y210y24(y4)(y6)(x2x24)(x2x26) =(x2x6)(x2x8)(x2)(x3)(x2x8)

2例6、因式分解(xy2xy)(xy2)(xy1)

解析：设xym,xyn，则

(xy2xy)(xy2)(xy1)2=(m2n)(m2)(n1)2

222=m2mnn2m2n1(mn)2(mn)1

2=(mn1)2(xyxy1)2(x1)(1y)(x1)2(y1)2

四、展开巧组合：若一个多项式的某些项是积的形式，直接分解比较困难，则可采取展开重组合，然后再用基本方法分解，可谓匠心独具，使问题巧妙得解。

例7、因式分解 mn(xy)xy(mn)

解析：将多项式展开再重新组合，分组分解 2222

mn(x2y2)xy(m2n2)=mnx2mny2xym2xyn2

=(mnx2xym2)(mny2xyn2)mx(nxmy)ny(nxmy)(nxmy)(mxny)

例8、因式分解 (mxny)2(nxmy)2

解析：(mxny)2(nxmy)2=m2x22mnxyn2y2n2x22mnxym2y2

=(m2x2n2x2)(m2y2n2y2)x2(m2n2)y2(m2n2)

=(m2n2)(x2y2)

五、巧用主元：对于含有两个或两个以上字母的多项式，若无法直接分解，常以其中一个字母为主元进行变形整理，可使问题柳暗花明，别有洞天。

例9、因式分解x43x3x2y2x22xy

解析：将多项式以y为主元，进行整理

x43x3x2y2x22xy=(x22x)y(x43x32x2)

=x(x2)yx2(x2)(x1)x(x2)(x2xy)

222222例10、因式分解ababacacbcbc2abc

解析：这是一个轮换对称多项式，不妨以a为主元进行整理

a2bab2a2cac2b2cbc22abc

=a2(bc)a(b22bcc2)bc(bc)

=a2(bc)a(bc)2bc(bc)

22=(bc)[aa(bc)bc](bc)(aabacbc)

=(bc)[a(ab)c(ab)](ab)(ac)(bc)

从以上几例可以看出，因式分解题型众多，方法灵活，有较强的技巧性。若能根据多项式具体的结构特征，选用恰当的方法与技巧，不仅可以化难为易，迅速求解，而且有助于培养同学们的创新思维，有效地激发学生的学习兴趣。

巧用提公因式解题

提公因式法是分解因式的基本方法，借助提公因式法可解决许多有关的题目，一起看看.

一、利用提公因式简化计算

例1 计算：0.23×255+3.65×23-2.3×27.5+0.23×655.

分析：观察算式含有小数，分别计算有效麻烦，如果能将算式适当变形可得到各项都有公因数0.23，可将0.23提出，简化运算.

解：0.23×255+3.65×23-2.3×27.5+0.23×655

=0.23×255+0.23×365-0.23×275+0.23×655

=0.23×（255+365-275+655）

=0.23×1000

=230.

二、利用提公因式变形求值

222 例2 已知a-b=-1，c-b=1，求a+b+c-ab-bc-ac的值.

分析：本题若直接求出a，b，c的值比较困难，若将要求值多项式重组，并提公因式，可采用整体代入法求值.

解：因为a-b=-1，c-b=1，所以a-c=-2，

222222所以a+b+c-ab-bc-ac=(a-ab)+(b-bc)+(c-ac)

=a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)

=-a-b+2c

=c-a+c-b

=2+1=3.

三、利用提公因式比较大小

例3 设a

分析:要比较x、y的大小，可以通过作差的方法比较x-y与0的大小，当x-y>0时,x>y;当x-y

解：x-y=(ca-ab)-(cd-bd)=a(c-b)-d(b-c)

=(a+d)(c-b)

因为a0,所以(a-d)(c-b)

所以x-y

四、利用提公因式说明整除

例4 说明257-512能被600整除.

分析：本题可利用提公因式法将257-512写成数字积的形式，并让其一个因数为600，这样就可以说明257-512能被600整除.

21010解：257-512=512(52-1)=51×24=5×25×24=600×5，

所以257-512能被600整除.

因式分解常见错误分析

一、提公因式法中的错误

1. 符号处理失误

例1 分解因式：10x35x15x

误解：原式5x(2x27x3)

分析：多项式的首项带有负号时，在解题时可先提出负号，使括号内第一项系数为正，再提公因式。

正解：原式(10x35x15x)

5x(2x7x3)

2. 有而不提

例2 分解因式：xx。

误解：原式(xx)(xx)

分析：如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式，但这里没有先提公因式x，导致原式分解后括号里仍有公因式。

正解：原式x(x1)

x(x1)(x1)

3. 忽略系数

例3 分解因式：3abc12abc9abc [**************]2

误解：原式abc(3ac212c9)

分析：系数也是因式，分解时要提取各项系数的最大公因数。

正解：原式3abc(ac24c3)

4. 提后丢项

例4 分解因式：3x2y6x3y23xy

误解：原式3xy(x2x2y)

分析：提公因式时易犯提后丢项的错误，认为把3xy提出来后，该项就不存在了，实际应为3xy3xy1。

正解：原式3xy(x2x2y1)

二、运用公式中的错误

1. 不理解公式中字母的含义，错用公式

例5 分解因式：9x4y。

误解：原式(9x4y)(9x4y)

分析：对平方差公式a2b2(ab)(ab)中a、b未理解其含义。公式中的a、b应分别为3x和2y。

正解：原式(3x2y)(3x2y)

2. 不记公式特点，乱用公式

例6 分解因式：3ma6ma12ma

误解：原式3ma(a2a4)

3ma(a2)

分析：对完全平方公式的特点认识不足，以至把a2a4误认为是完全平方式。 正解：原式3ma(a2a4)

3. 思维有局限，复杂式子中不会用公式

例7 分解因式：(mn)4(mn)4

许多同学对此题束手无策，或误解为原式(mn)(mn4)4

分析：公式中的字母可以表示任何数、单项式或多项式。要避免把公式中的字母看成222322222

一个数的局限性。

正解：原式(mn2)2

三、分解不彻底

分解不彻底是分解因式时最容易犯的错误，应注意分解因式要分解到每个因式不能再分解为止。

例8 分解因式(m21)24m2

误解：原式(m212m)(m212m)

分析：分解出来的因式，没有继续分解彻底。

正解：原式(m212m)(m212m)

(m1)2(m1)2

总之，因式分解的错误原因很多，要认真审题，深刻理解公式，牢记分解方法，并能灵活运用。以下口诀同学们在分解过程中不妨试一试，希望对你有所帮助：

首项有负常提负，各项有公先提公；

某项提出莫漏1，公式特点要牢记；

各个因式看仔细，括号里面分到“底”。

因式分解几个典型难题

因式分解的难题除了应掌握教材中的分解因式的方法（提公因式法、公式法）外，还需要掌握十字相乘法、分组分解法、配方法、公式法中的立方和(差)公式[即a+b=(a+b)(a

233332－ab＋b) a－b＝（ab)(aabb)]。下面例析几道因式分解的难题，以帮助同学们学习因式分解和拓展同学们的思路。

一、直接考因式分解

这类题，无外乎就考因式分解的几种方法，试题比平时稍难一点而已。只要同学们认真观察，勤加练习，解起来问题都不会很大。

例1、已知(19x31)(13x17)(13x17)(11x23)可因式分解成(axb)(8xc)，其中a、b、c均为整数，则abc=？

A．12 B．32 C．38 D．72

分析：将给出的多项式运用提公因式法进行因式分解，再根据多项式相等就可求出a、b、c的值。 解：(19x31)(13x17)(13x17)(11x23)= (13x17)（19x31－11x＋23）＝(13x17)（8x－８）。所以a＝13、b=－１７、c＝－８．所以abc=－１２．选Ａ．

例2、分解因式x－2x－2y＋4y－xy=____．

分析:此题没有公因式，而且超过了三项，所以应考虑分组分解法。象这种五项的，一般按照“三、二”项分组即可，如果不成，再考虑其它分组方法。注意分组后一定要考虑下一步能够再分，直至将多项式分解成几个整式的乘积为止。 2222

一个数的局限性。

正解：原式(mn2)2

三、分解不彻底

分解不彻底是分解因式时最容易犯的错误，应注意分解因式要分解到每个因式不能再分解为止。

例8 分解因式(m21)24m2

误解：原式(m212m)(m212m)

分析：分解出来的因式，没有继续分解彻底。

正解：原式(m212m)(m212m)

(m1)2(m1)2

总之，因式分解的错误原因很多，要认真审题，深刻理解公式，牢记分解方法，并能灵活运用。以下口诀同学们在分解过程中不妨试一试，希望对你有所帮助：

首项有负常提负，各项有公先提公；

某项提出莫漏1，公式特点要牢记；

各个因式看仔细，括号里面分到“底”。

因式分解几个典型难题

因式分解的难题除了应掌握教材中的分解因式的方法（提公因式法、公式法）外，还需要掌握十字相乘法、分组分解法、配方法、公式法中的立方和(差)公式[即a+b=(a+b)(a

233332－ab＋b) a－b＝（ab)(aabb)]。下面例析几道因式分解的难题，以帮助同学们学习因式分解和拓展同学们的思路。

一、直接考因式分解

这类题，无外乎就考因式分解的几种方法，试题比平时稍难一点而已。只要同学们认真观察，勤加练习，解起来问题都不会很大。

例1、已知(19x31)(13x17)(13x17)(11x23)可因式分解成(axb)(8xc)，其中a、b、c均为整数，则abc=？

A．12 B．32 C．38 D．72

分析：将给出的多项式运用提公因式法进行因式分解，再根据多项式相等就可求出a、b、c的值。 解：(19x31)(13x17)(13x17)(11x23)= (13x17)（19x31－11x＋23）＝(13x17)（8x－８）。所以a＝13、b=－１７、c＝－８．所以abc=－１２．选Ａ．

例2、分解因式x－2x－2y＋4y－xy=____．

分析:此题没有公因式，而且超过了三项，所以应考虑分组分解法。象这种五项的，一般按照“三、二”项分组即可，如果不成，再考虑其它分组方法。注意分组后一定要考虑下一步能够再分，直至将多项式分解成几个整式的乘积为止。 2222

解：x2－2x－2y＋4y－xy＝（x2－xy－2y）－（2x－4y） ＝（x－2y）22

（x＋y）－２（x－2y）＝（x－2y）（x＋y－２）

例3、把代数式（x＋y－2xy）（x＋y－2）＋（xy－1）分解成因式的乘积，应当是________. 2

分析：粗看这个多项式，采用哪种方法都不能分解因式。怎么办呢？那就将多项式进行整理，看能不能分解。对于这类题一般都如此处理。

解：原式＝［（x＋y）－２xy］［（x＋y）－２］＋x2y2－２xy＋１ ＝(xy)2－2(xy)－2xy(xy)＋４xy＋x2y2－２xy＋１ ＝(xy)2－2(1xy)(xy)＋(xy1)2

＝(xyxy1)2＝(xxy)(1y)2=(x1)2(y1)2

二、利用因式分解计算

例4、计算：1995×19941994+1996×19951995-1994×19951995-1995×19961996=______．

分析：此题看似很复杂，但仔细观察结合整数的表示方法，利用因式分解很容易求解。

解：1995×19941994+1996×19951995-1994×19951995-1995×1961996=1995×1994×10001+1996×1995×10001-1994×1995×10001-1995×1996×10001=0

例5、若ab10，ab100，则ab=（ ）

A、20 B、30 C、40 D、50

分析：此题要求ab的值，根据已知求a、b的值很困难。所以利用立方和公式进行变形可求出ab的值。

解：因为ab10，ab100，

所以a+b=(ab)(a2abb2)=(ab)[(ab)23ab]=100，所以，ab=30。 所以ab=(ab)22ab=102－230= 40。所以选C。

[1**********]233

因式分解是这学期期中考试和期末考试的重点，也是初二学分式，初三学一元二次方程及二次函数的基础，所以一定要掌握好。

因式分解的方法与技巧

一、巧拆项：在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。

例1、因式分解 ab4a2b3

解析：根据多项式的特点，把3拆成4+（-1），

则ab4a2b3=a2b24a2b41(a24a4)(b22b1) =(a2)2(b1)2(ab1)(ab3)

例2、因式分解 x6x11x6

解析：根据多项式的特点,把6x拆成2x4x；把11x拆成8x3x

则x6x11x6=(x32x2)(4x28x)(3x6)

=x2(x2)4x(x2)3(x2)(x2)(x24x3)(x1)(x2)(x3)

二、巧添项：在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可谓方法独特，新颖别致。

例3、因式分解x44y4

解析：根据多项式的特点,在x4y中添上4xy,4xy两项，

则x44y4=(x44x2y24y4)4x2y2(x22y2)2(2xy)2

=(x22xy2y2)(x22xy2y2)

例4、因式分解 x3x4

解析：根据多项式的特点，将3x拆成4xx，再添上4x,4x两项，则 [***********]3222

x33x24=x34x24xx24x4

222=x(x4x4)(x4x4)(x4x4)(x1)

=(x1)(x2)2

三、巧换元：在某些多项式的因式分解过程中，通过换元，可把形式复杂的多项式变形为形式简单易于分解的多项式，会使问题化繁为简，迅捷获解。

例5、因式分解(x23x4)(x2x6)24

解析：(x23x4)(x2x6)24=(x1)(x4)(x2)(x3)24

=(x1)(x2)(x3)(x4)24(xx2)(xx12)24

设yx2x2，则x2x12y10

于是，原式= 22

y(y10)24y210y24(y4)(y6)(x2x24)(x2x26) =(x2x6)(x2x8)(x2)(x3)(x2x8)

2例6、因式分解(xy2xy)(xy2)(xy1)

解析：设xym,xyn，则

(xy2xy)(xy2)(xy1)2=(m2n)(m2)(n1)2

222=m2mnn2m2n1(mn)2(mn)1

2=(mn1)2(xyxy1)2(x1)(1y)(x1)2(y1)2

四、展开巧组合：若一个多项式的某些项是积的形式，直接分解比较困难，则可采取展开重组合，然后再用基本方法分解，可谓匠心独具，使问题巧妙得解。

例7、因式分解 mn(xy)xy(mn)

解析：将多项式展开再重新组合，分组分解 2222

mn(x2y2)xy(m2n2)=mnx2mny2xym2xyn2

=(mnx2xym2)(mny2xyn2)mx(nxmy)ny(nxmy)(nxmy)(mxny)

例8、因式分解 (mxny)2(nxmy)2

解析：(mxny)2(nxmy)2=m2x22mnxyn2y2n2x22mnxym2y2

=(m2x2n2x2)(m2y2n2y2)x2(m2n2)y2(m2n2)

=(m2n2)(x2y2)

五、巧用主元：对于含有两个或两个以上字母的多项式，若无法直接分解，常以其中一个字母为主元进行变形整理，可使问题柳暗花明，别有洞天。

例9、因式分解x43x3x2y2x22xy

解析：将多项式以y为主元，进行整理

x43x3x2y2x22xy=(x22x)y(x43x32x2)

=x(x2)yx2(x2)(x1)x(x2)(x2xy)

222222例10、因式分解ababacacbcbc2abc

解析：这是一个轮换对称多项式，不妨以a为主元进行整理

a2bab2a2cac2b2cbc22abc

=a2(bc)a(b22bcc2)bc(bc)

=a2(bc)a(bc)2bc(bc)

22=(bc)[aa(bc)bc](bc)(aabacbc)

=(bc)[a(ab)c(ab)](ab)(ac)(bc)

从以上几例可以看出，因式分解题型众多，方法灵活，有较强的技巧性。若能根据多项式具体的结构特征，选用恰当的方法与技巧，不仅可以化难为易，迅速求解，而且有助于培养同学们的创新思维，有效地激发学生的学习兴趣。

巧用提公因式解题

提公因式法是分解因式的基本方法，借助提公因式法可解决许多有关的题目，一起看看.

一、利用提公因式简化计算

例1 计算：0.23×255+3.65×23-2.3×27.5+0.23×655.

分析：观察算式含有小数，分别计算有效麻烦，如果能将算式适当变形可得到各项都有公因数0.23，可将0.23提出，简化运算.

解：0.23×255+3.65×23-2.3×27.5+0.23×655

=0.23×255+0.23×365-0.23×275+0.23×655

=0.23×（255+365-275+655）

=0.23×1000

=230.

二、利用提公因式变形求值

222 例2 已知a-b=-1，c-b=1，求a+b+c-ab-bc-ac的值.

分析：本题若直接求出a，b，c的值比较困难，若将要求值多项式重组，并提公因式，可采用整体代入法求值.

解：因为a-b=-1，c-b=1，所以a-c=-2，

222222所以a+b+c-ab-bc-ac=(a-ab)+(b-bc)+(c-ac)

=a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)

=-a-b+2c

=c-a+c-b

=2+1=3.

三、利用提公因式比较大小

例3 设a

分析:要比较x、y的大小，可以通过作差的方法比较x-y与0的大小，当x-y>0时,x>y;当x-y

解：x-y=(ca-ab)-(cd-bd)=a(c-b)-d(b-c)

=(a+d)(c-b)

因为a0,所以(a-d)(c-b)

所以x-y

四、利用提公因式说明整除

例4 说明257-512能被600整除.

分析：本题可利用提公因式法将257-512写成数字积的形式，并让其一个因数为600，这样就可以说明257-512能被600整除.

21010解：257-512=512(52-1)=51×24=5×25×24=600×5，

所以257-512能被600整除.

因式分解常见错误分析

一、提公因式法中的错误

1. 符号处理失误

例1 分解因式：10x35x15x

误解：原式5x(2x27x3)

分析：多项式的首项带有负号时，在解题时可先提出负号，使括号内第一项系数为正，再提公因式。

正解：原式(10x35x15x)

5x(2x7x3)

2. 有而不提

例2 分解因式：xx。

误解：原式(xx)(xx)

分析：如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式，但这里没有先提公因式x，导致原式分解后括号里仍有公因式。

正解：原式x(x1)

x(x1)(x1)

3. 忽略系数

例3 分解因式：3abc12abc9abc [**************]2

误解：原式abc(3ac212c9)

分析：系数也是因式，分解时要提取各项系数的最大公因数。

正解：原式3abc(ac24c3)

4. 提后丢项

例4 分解因式：3x2y6x3y23xy

误解：原式3xy(x2x2y)

分析：提公因式时易犯提后丢项的错误，认为把3xy提出来后，该项就不存在了，实际应为3xy3xy1。

正解：原式3xy(x2x2y1)

二、运用公式中的错误

1. 不理解公式中字母的含义，错用公式

例5 分解因式：9x4y。

误解：原式(9x4y)(9x4y)

分析：对平方差公式a2b2(ab)(ab)中a、b未理解其含义。公式中的a、b应分别为3x和2y。

正解：原式(3x2y)(3x2y)

2. 不记公式特点，乱用公式

例6 分解因式：3ma6ma12ma

误解：原式3ma(a2a4)

3ma(a2)

分析：对完全平方公式的特点认识不足，以至把a2a4误认为是完全平方式。 正解：原式3ma(a2a4)

3. 思维有局限，复杂式子中不会用公式

例7 分解因式：(mn)4(mn)4

许多同学对此题束手无策，或误解为原式(mn)(mn4)4

分析：公式中的字母可以表示任何数、单项式或多项式。要避免把公式中的字母看成222322222

一个数的局限性。

正解：原式(mn2)2

三、分解不彻底

分解不彻底是分解因式时最容易犯的错误，应注意分解因式要分解到每个因式不能再分解为止。

例8 分解因式(m21)24m2

误解：原式(m212m)(m212m)

分析：分解出来的因式，没有继续分解彻底。

正解：原式(m212m)(m212m)

(m1)2(m1)2

总之，因式分解的错误原因很多，要认真审题，深刻理解公式，牢记分解方法，并能灵活运用。以下口诀同学们在分解过程中不妨试一试，希望对你有所帮助：

首项有负常提负，各项有公先提公；

某项提出莫漏1，公式特点要牢记；

各个因式看仔细，括号里面分到“底”。

因式分解几个典型难题

因式分解的难题除了应掌握教材中的分解因式的方法（提公因式法、公式法）外，还需要掌握十字相乘法、分组分解法、配方法、公式法中的立方和(差)公式[即a+b=(a+b)(a

233332－ab＋b) a－b＝（ab)(aabb)]。下面例析几道因式分解的难题，以帮助同学们学习因式分解和拓展同学们的思路。

一、直接考因式分解

这类题，无外乎就考因式分解的几种方法，试题比平时稍难一点而已。只要同学们认真观察，勤加练习，解起来问题都不会很大。

例1、已知(19x31)(13x17)(13x17)(11x23)可因式分解成(axb)(8xc)，其中a、b、c均为整数，则abc=？

A．12 B．32 C．38 D．72

分析：将给出的多项式运用提公因式法进行因式分解，再根据多项式相等就可求出a、b、c的值。 解：(19x31)(13x17)(13x17)(11x23)= (13x17)（19x31－11x＋23）＝(13x17)（8x－８）。所以a＝13、b=－１７、c＝－８．所以abc=－１２．选Ａ．

例2、分解因式x－2x－2y＋4y－xy=____．

分析:此题没有公因式，而且超过了三项，所以应考虑分组分解法。象这种五项的，一般按照“三、二”项分组即可，如果不成，再考虑其它分组方法。注意分组后一定要考虑下一步能够再分，直至将多项式分解成几个整式的乘积为止。 2222

一个数的局限性。

正解：原式(mn2)2

三、分解不彻底

分解不彻底是分解因式时最容易犯的错误，应注意分解因式要分解到每个因式不能再分解为止。

例8 分解因式(m21)24m2

误解：原式(m212m)(m212m)

分析：分解出来的因式，没有继续分解彻底。

正解：原式(m212m)(m212m)

(m1)2(m1)2

总之，因式分解的错误原因很多，要认真审题，深刻理解公式，牢记分解方法，并能灵活运用。以下口诀同学们在分解过程中不妨试一试，希望对你有所帮助：

首项有负常提负，各项有公先提公；

某项提出莫漏1，公式特点要牢记；

各个因式看仔细，括号里面分到“底”。

因式分解几个典型难题

因式分解的难题除了应掌握教材中的分解因式的方法（提公因式法、公式法）外，还需要掌握十字相乘法、分组分解法、配方法、公式法中的立方和(差)公式[即a+b=(a+b)(a

233332－ab＋b) a－b＝（ab)(aabb)]。下面例析几道因式分解的难题，以帮助同学们学习因式分解和拓展同学们的思路。

一、直接考因式分解

这类题，无外乎就考因式分解的几种方法，试题比平时稍难一点而已。只要同学们认真观察，勤加练习，解起来问题都不会很大。

例1、已知(19x31)(13x17)(13x17)(11x23)可因式分解成(axb)(8xc)，其中a、b、c均为整数，则abc=？

A．12 B．32 C．38 D．72

分析：将给出的多项式运用提公因式法进行因式分解，再根据多项式相等就可求出a、b、c的值。 解：(19x31)(13x17)(13x17)(11x23)= (13x17)（19x31－11x＋23）＝(13x17)（8x－８）。所以a＝13、b=－１７、c＝－８．所以abc=－１２．选Ａ．

例2、分解因式x－2x－2y＋4y－xy=____．

分析:此题没有公因式，而且超过了三项，所以应考虑分组分解法。象这种五项的，一般按照“三、二”项分组即可，如果不成，再考虑其它分组方法。注意分组后一定要考虑下一步能够再分，直至将多项式分解成几个整式的乘积为止。 2222

解：x2－2x－2y＋4y－xy＝（x2－xy－2y）－（2x－4y） ＝（x－2y）22

（x＋y）－２（x－2y）＝（x－2y）（x＋y－２）

例3、把代数式（x＋y－2xy）（x＋y－2）＋（xy－1）分解成因式的乘积，应当是________. 2

分析：粗看这个多项式，采用哪种方法都不能分解因式。怎么办呢？那就将多项式进行整理，看能不能分解。对于这类题一般都如此处理。

解：原式＝［（x＋y）－２xy］［（x＋y）－２］＋x2y2－２xy＋１ ＝(xy)2－2(xy)－2xy(xy)＋４xy＋x2y2－２xy＋１ ＝(xy)2－2(1xy)(xy)＋(xy1)2

＝(xyxy1)2＝(xxy)(1y)2=(x1)2(y1)2

二、利用因式分解计算

例4、计算：1995×19941994+1996×19951995-1994×19951995-1995×19961996=______．

分析：此题看似很复杂，但仔细观察结合整数的表示方法，利用因式分解很容易求解。

解：1995×19941994+1996×19951995-1994×19951995-1995×1961996=1995×1994×10001+1996×1995×10001-1994×1995×10001-1995×1996×10001=0

例5、若ab10，ab100，则ab=（ ）

A、20 B、30 C、40 D、50

分析：此题要求ab的值，根据已知求a、b的值很困难。所以利用立方和公式进行变形可求出ab的值。

解：因为ab10，ab100，

所以a+b=(ab)(a2abb2)=(ab)[(ab)23ab]=100，所以，ab=30。 所以ab=(ab)22ab=102－230= 40。所以选C。

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