第18课
小样本统计
小样本
当样本容量N 较小时，分布特性的估计量a （均值、 方差、90％百分位值等）通常不是正态分布的。
在这种情况下，估计值
和标准化统计量z 的
（用来得到置信区间和假设检验）可
以用随机模拟进行近似。
为了在随机模拟中产生随机复本，我们需要确定特性a 的值（或者是与它相关的参数）。
对于置信区间估计，我们假设对于假设检验，我们假设随机模拟用大量长度为N 的
（由实际数据计算出的估计值）；
（假定的参数值）。 随机样本复本生成
的估计值。通过所有这些估计
值，可以得出期望的估计值和标准化统计量的。
例子——指数分布的均值的小样本双边置信区间
考虑一个取自含有未知参数a 、已知符合指数分布的总体的小样本：
样本均值是a 的无偏估计量：
在大样本情况下，我们由标准化统计量z 得到a 的置信区间。z 的复本i 为：
其中
和
是由所有复本的估计值
是取
（例如i ＝
）计算得到的样本均值
和标准差。每个时的数值。 累积分布函数
时用MATLAB 的exprnd 函数计算得到的N=5
是通过函数或作出的复本图得到的。
这个例子中，在数值较小和较大的部分都明显偏离单位正态分布：
在大样本情况下，
用来确定
和
的值：
a 的小样本双边95％置信区间近似为：
为了进行比较，给出a 的大样本（正态分布）双边95％置信区间为：
就小的样本容量而言，差别是微小的。但a 的小样本和大样本的99％置信区间相比较，差别就较大了。
例子——指数分布的均值的小样本双边假设检验
考虑上面例子，假设：
与上面类似，我们可以利用随机模拟得到这个假设的拒绝域和p 值；不同的是，在这里，函数中取，并按下式由复本得到：
的图和上面例子中的图相同。 在这种情况下，
由观察到的样本的均值得到的检验统计量为：
这样得到的a 的p 值近似为0.004（如图），因此我们拒绝这个假设。
特殊情况：正态分布样本
如果随机样本符合正态分布，则得到某个标准化统计量的小样本的精确CDF 是可能的。
正态分布的小样本双边置信区间
均值
的置信区间：
标准化统计量：
的t 分布。
它有一个自由度为置信区间：
用MATLAB 的 方差
函数估计
。
的置信区间：
标准化统计量：
它有一个自由度为
置信区间：
的
分布。
用MATLAB 的函数估计。
正态分布的小样本双边假设检验
均值
的假设检验：
用t 检验统计量
：
P 值为：
用MATLAB
的 方差
的假设检验
用
分布检验统计量（
）：
函数估计
。
用MATLAB 的
函数估计
。
tCDF
分布
版权属于麻省理工学院 2003年
最后修改日期 2003年10月8日
第18课
小样本统计
小样本
当样本容量N 较小时，分布特性的估计量a （均值、 方差、90％百分位值等）通常不是正态分布的。
在这种情况下，估计值
和标准化统计量z 的
（用来得到置信区间和假设检验）可
以用随机模拟进行近似。
为了在随机模拟中产生随机复本，我们需要确定特性a 的值（或者是与它相关的参数）。
对于置信区间估计，我们假设对于假设检验，我们假设随机模拟用大量长度为N 的
（由实际数据计算出的估计值）；
（假定的参数值）。 随机样本复本生成
的估计值。通过所有这些估计
值，可以得出期望的估计值和标准化统计量的。
例子——指数分布的均值的小样本双边置信区间
考虑一个取自含有未知参数a 、已知符合指数分布的总体的小样本：
样本均值是a 的无偏估计量：
在大样本情况下，我们由标准化统计量z 得到a 的置信区间。z 的复本i 为：
其中
和
是由所有复本的估计值
是取
（例如i ＝
）计算得到的样本均值
和标准差。每个时的数值。 累积分布函数
时用MATLAB 的exprnd 函数计算得到的N=5
是通过函数或作出的复本图得到的。
这个例子中，在数值较小和较大的部分都明显偏离单位正态分布：
在大样本情况下，
用来确定
和
的值：
a 的小样本双边95％置信区间近似为：
为了进行比较，给出a 的大样本（正态分布）双边95％置信区间为：
就小的样本容量而言，差别是微小的。但a 的小样本和大样本的99％置信区间相比较，差别就较大了。
例子——指数分布的均值的小样本双边假设检验
考虑上面例子，假设：
与上面类似，我们可以利用随机模拟得到这个假设的拒绝域和p 值；不同的是，在这里，函数中取，并按下式由复本得到：
的图和上面例子中的图相同。 在这种情况下，
由观察到的样本的均值得到的检验统计量为：
这样得到的a 的p 值近似为0.004（如图），因此我们拒绝这个假设。
特殊情况：正态分布样本
如果随机样本符合正态分布，则得到某个标准化统计量的小样本的精确CDF 是可能的。
正态分布的小样本双边置信区间
均值
的置信区间：
标准化统计量：
的t 分布。
它有一个自由度为置信区间：
用MATLAB 的 方差
函数估计
。
的置信区间：
标准化统计量：
它有一个自由度为
置信区间：
的
分布。
用MATLAB 的函数估计。
正态分布的小样本双边假设检验
均值
的假设检验：
用t 检验统计量
：
P 值为：
用MATLAB
的 方差
的假设检验
用
分布检验统计量（
）：
函数估计
。
用MATLAB 的
函数估计
。
tCDF
分布
版权属于麻省理工学院 2003年
最后修改日期 2003年10月8日