二次函数的图象和性质
主讲：赵东升 一周强化
一、一周知识概述
1、二次函数y=ax2＋c 的图象与性质
(1)抛物线y=ax2＋c 的形状由a 决定，位置由c 决定．
(2)二次函数y=ax2＋c 的图象是一条抛物线，顶点坐标是(0，c) ，对称轴是y 轴． 当a>0时，图象的开口向上，有最低点(即顶点) ，当x=0时，y 最小值=c．在y 轴左侧，y 随x 的增大而减小；在y 轴右侧，y 随x 增大而增大．
当a
抛物线y=ax2＋c 与y=ax2形状相同，只有位置不同．抛物线y=ax2＋c 可由抛物线y=ax2沿y 轴向上或向下平行移动|c|个单位得到．当c>0时，向上平行移动，当c
2、二次函数y=a(x－h) 2的图象与性质
①抛物线y=a(x－h) 2的对称轴为x=h，顶点为(h，0) ．
②y=a(x－h) 2的形状与y=ax2的图象的形状相同，只是位置不同，它们彼此可以通过平移而得到．
③把y=ax2的图象向左(或向右) 平移|h|个单位，即得y=a(x－h) 2的图象，由实践可知，当h ＞0时，向右平移，当h ＜0时，向左平移． 3、二次函数y=a(x－h) 2＋k 的图象与性质
一般地，抛物线y=a(x－h) 2＋k 与y=ax2的形状相同，只是位置不同．抛物线y=a(x－h) 2＋k 有如下特点：
①a ＞0时，开口向上；a ＜0时，开口向下； ②对称轴是平行于y 轴的直线x=h； ③顶点坐标是(h，k) ．
二次函数y=a(x－h) 2＋k 的图象可由抛物线y=ax2向左(或向右) 平移|h|个单位，再向上(或向下) 平移|k|个单位而得到．
4、二次函数y=ax2＋bx ＋c(a≠0)的图象和性质
即可化为y=a(x－h) 2＋k 的形式，因此y=ax2＋bx ＋c 与y=a(x－h) 2＋k 的图象具有一致
性，即y=ax2＋bx ＋c 的图象是一条抛物线，它的顶点坐标为，对称轴是
直线．
当a ＞0时，抛物线开口向上，有最低点(即顶点) ，当时，，
在对称轴的左侧x 的增大而增大．
，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随
当a ＜0时，抛物线开口向下，有最高点(即顶点) ，当时，．在
对称轴的左侧增大而减小．
，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随x 的
5、二次函数y=ax2＋bx ＋c(a≠0)的图象的画法
（2
）通过二次函数的图象进行平移得到抛物线y=ax2＋bx ＋c 的图象．
二、重难点知识讲解 1、二次函数的三种形式：
（1）一般式：y=ax2＋bx ＋c(a、b 、c 是常数，a≠0)； （2）顶点式：y=a(x－h) 2＋k ，（h ，k ）为函数图象的顶点；
（3）交点式：y=a(x－x 1)(x－x 2) ，(x1，0) ， (x2，0) 为函数图象与x 轴的交点. 2、图象的变换
二次函数的平移规律：任意抛物线y=ax2＋bx ＋c 都可转化为y=a（x －h ）2＋k ，便可23、根据已知条件正确求出二次函数的关系式
用待定系数法求函数解析式时，应当根据已知条件选择适当的二次函数的形式．如果知道函数图象与x 轴的交点，那么选择交点式；如果知道函数图象的顶点，那么选择顶点式；如果知道函数图象上三个一般的点，那么选择一般式． 三、典型例题讲解
例1、已知抛物线，求：
(1)函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； (2)作出草图；
(3)根据图象指出函数的最大值或最小值是多少？ 分析：
解本题的关键是作出已知函数的图象，再根据图象探讨相关性质，这比凭空思考，或单纯的计算更为形象、直观． 解：
(1)．∵，∴抛物线开口向上．
抛物线的对称轴是x=－6，顶点坐标为(－6，－8) ． (2)列表，描点作出图象略．
或由先作出的图象，再由抛物线向左平移6个单位，
再向下平移8个单位得到．草图如图所示．
(3)当x=－6时，y 有最小值，最小值是－8． 反思：
画二次函数y=ax2＋bx ＋c
的图象往往通过把解析式配方得到
，先确定对称轴和顶点，再在对称
轴的两边找出关于对称轴起来．
不少于两组的对应点，最后利用平滑的曲线把这些点连
例2、将抛物线y ＝2x 2如何平移可得到抛物线y ＝2(x－4) 2－1（ ） A ．向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B ．向左平移4个单位，再向下平移1个单位 C ．向右平移4个单位，再向上平移1个单位 D ．向右平移4个单位，再向下平移1个单位 分析：
根据抛物线y ＝ax 2和y ＝a （x －h ）2＋k （a≠0）的平移关系，可以得出结论． 解：
∵－h ＝－4
∴抛物线y ＝2（x －4）2－1是由抛物线y ＝2x 2向右平移4个单位，再向下平移1个单位而得到的． 答案：D
例3、一个二次函数，具有下列性质：①它的图象不经过第三象限；②图象经过点(－1，1) ；③当x ＞－1时，函数值y 随自变量x 增大而增大，试写出一个满足上述三条件性质的函数关系式：__________．
例5、求满足下列条件的二次函数的解析式 (1)图象经过A(－1，3) 、B(1，3) 、C(2，6) ；
(2)图象经过A(－1，0) 、B(3，0) ，函数有最小值－8； (3)图象顶点坐标是(－1，9) ，与x 轴两交点间的距离是6. 分析：
此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式. 可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式，列出方程或方程组来求解. (1)解：
设解析式为y=ax2＋bx ＋c ，把A(－1，3) 、B(1，3) 、C(2，6) 各点代入上式得
解得
∴解析式为y=x2＋2.
二次函数测试题
一．选择题
1．抛物线y=-3(x+6)-1的对称轴是直线( )．
A ．x=-6 B ．x=-1 C．x=l D ．x=6 2．关于x 的一元二次方程向(a-1)x+x+a-1=0的一个根是0，则a 的值为( )
A ．0.5 B．1 C．-1 D．1或-1 3．将抛物线y=5x先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后，所得的抛物线的解析式为( )
A ．y=5(x+3)+2
2
2
2
2
2
2
2
B ．y=5(x+3)-2
2
C ．y=5(x-3)+2 D．y=5(x-3)-2
4．抛物线y=8x+2mx+m-2的顶点在x 轴上，则顶点坐标是( )
A ．(4，0) B．)
5、下列函数中是二次函数的是（ ）
（A ）y =4x 2+1；（B ）y =4x +1；（C ）y =4；（D ）y =
x
4
+1。 2x
2
2
C. D．(0，
6、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax+c的图象大致为（ ）
7、已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图，则a 、b 、c 满足 （ ）
2
（A ）a ＜0，b ＜0，c ＞0；（B ）a ＜0，b ＜0，c ＜0；
（C ）a ＜0，b ＞0，c ＞0；（D ）a ＞0，b ＜0，c ＞0。
2
8、抛物线y=x-3的顶点坐标、对称轴是( )
A (0，3) x=3 B (0，一3) x=0 C (3，0) x=3 D (一3，0 )x=0
9、二次函数y=x+6x-2的最小值为（ ） A 11 B -11 C 9 D -9 二．填空题
10、小明从右边的二次函数
y =ax 2+bx +c 图象中，观察得出了
2
下面的五条信息：①a
c =0
，③函数的最小值为-3，④
1
当x 0，⑤当0
1
>y 2（6）对称轴是直线x=2．你认为其中正确的个数为
（ ）Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．
5
10．抛物线y =3x 2的图象向右移动3个单位，再向下移动4个单位，它的顶点坐标是 ，对称轴是 解析式是 ；
11．二次函数y=x-2x-3的最小值是_______.
12．若关于x 的方程kx +2x-1=0有实数根，则k 的取值范围_______．
0) ，则此抛物线13. 抛物线y =ax 2+bx +c 过点A （-1，0），B (3，
2
2
的对称轴是直线x = ．
14、抛物线y =2（x －2）2－6的顶点坐标是 15、已知二次函数y =x 2+bx +3的对称轴为x =2，则b = 16. 若抛物线y =2x 2－4x +1与x 轴两交点分别是(x 1，0) ，(x 2，0) ，则x 12+x 22=______.
17、把抛物线y =-2x +4x +1沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由.
18、求二次函数y =-x -x +6的图象与x 轴和y 轴的交点坐标
19、已知一次函数的图象过抛物线y =x +2x +3的顶点和坐标原点 1） 求一次函数的关系式；
2） 判断点(-2, 5) 是否在这个一次函数的图象上
2
2
2
20、已知函数y =-3(x -2)+9.
2
（1） 确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2） 当x= 时，抛物线有最 值，是 .
（3） 当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小. （4） 求出该抛物线与x 轴的交点坐标及两交点间距离； （5） 求出该抛物线与y 轴的交点坐标；
（6） 该函数图象可由y =-3x 2的图象经过怎样的平移得到的？
21、已知函数y =(x +1)-4.
2
（1） 指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2） 若图象与x 轴的交点为A 、B 和与y 轴的交点C ，求△ABC 的面积； （3） 指出该函数的最值和增减性；
（4） 若将该抛物线先向右平移2个单位，在向上平移4个单位，求得到的抛物线的解析式；
二次函数的图象和性质
主讲：赵东升 一周强化
一、一周知识概述
1、二次函数y=ax2＋c 的图象与性质
(1)抛物线y=ax2＋c 的形状由a 决定，位置由c 决定．
(2)二次函数y=ax2＋c 的图象是一条抛物线，顶点坐标是(0，c) ，对称轴是y 轴． 当a>0时，图象的开口向上，有最低点(即顶点) ，当x=0时，y 最小值=c．在y 轴左侧，y 随x 的增大而减小；在y 轴右侧，y 随x 增大而增大．
当a
抛物线y=ax2＋c 与y=ax2形状相同，只有位置不同．抛物线y=ax2＋c 可由抛物线y=ax2沿y 轴向上或向下平行移动|c|个单位得到．当c>0时，向上平行移动，当c
2、二次函数y=a(x－h) 2的图象与性质
①抛物线y=a(x－h) 2的对称轴为x=h，顶点为(h，0) ．
②y=a(x－h) 2的形状与y=ax2的图象的形状相同，只是位置不同，它们彼此可以通过平移而得到．
③把y=ax2的图象向左(或向右) 平移|h|个单位，即得y=a(x－h) 2的图象，由实践可知，当h ＞0时，向右平移，当h ＜0时，向左平移． 3、二次函数y=a(x－h) 2＋k 的图象与性质
一般地，抛物线y=a(x－h) 2＋k 与y=ax2的形状相同，只是位置不同．抛物线y=a(x－h) 2＋k 有如下特点：
①a ＞0时，开口向上；a ＜0时，开口向下； ②对称轴是平行于y 轴的直线x=h； ③顶点坐标是(h，k) ．
二次函数y=a(x－h) 2＋k 的图象可由抛物线y=ax2向左(或向右) 平移|h|个单位，再向上(或向下) 平移|k|个单位而得到．
4、二次函数y=ax2＋bx ＋c(a≠0)的图象和性质
即可化为y=a(x－h) 2＋k 的形式，因此y=ax2＋bx ＋c 与y=a(x－h) 2＋k 的图象具有一致
性，即y=ax2＋bx ＋c 的图象是一条抛物线，它的顶点坐标为，对称轴是
直线．
当a ＞0时，抛物线开口向上，有最低点(即顶点) ，当时，，
在对称轴的左侧x 的增大而增大．
，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随
当a ＜0时，抛物线开口向下，有最高点(即顶点) ，当时，．在
对称轴的左侧增大而减小．
，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随x 的
5、二次函数y=ax2＋bx ＋c(a≠0)的图象的画法
（2
）通过二次函数的图象进行平移得到抛物线y=ax2＋bx ＋c 的图象．
二、重难点知识讲解 1、二次函数的三种形式：
（1）一般式：y=ax2＋bx ＋c(a、b 、c 是常数，a≠0)； （2）顶点式：y=a(x－h) 2＋k ，（h ，k ）为函数图象的顶点；
（3）交点式：y=a(x－x 1)(x－x 2) ，(x1，0) ， (x2，0) 为函数图象与x 轴的交点. 2、图象的变换
二次函数的平移规律：任意抛物线y=ax2＋bx ＋c 都可转化为y=a（x －h ）2＋k ，便可23、根据已知条件正确求出二次函数的关系式
用待定系数法求函数解析式时，应当根据已知条件选择适当的二次函数的形式．如果知道函数图象与x 轴的交点，那么选择交点式；如果知道函数图象的顶点，那么选择顶点式；如果知道函数图象上三个一般的点，那么选择一般式． 三、典型例题讲解
例1、已知抛物线，求：
(1)函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； (2)作出草图；
(3)根据图象指出函数的最大值或最小值是多少？ 分析：
解本题的关键是作出已知函数的图象，再根据图象探讨相关性质，这比凭空思考，或单纯的计算更为形象、直观． 解：
(1)．∵，∴抛物线开口向上．
抛物线的对称轴是x=－6，顶点坐标为(－6，－8) ． (2)列表，描点作出图象略．
或由先作出的图象，再由抛物线向左平移6个单位，
再向下平移8个单位得到．草图如图所示．
(3)当x=－6时，y 有最小值，最小值是－8． 反思：
画二次函数y=ax2＋bx ＋c
的图象往往通过把解析式配方得到
，先确定对称轴和顶点，再在对称
轴的两边找出关于对称轴起来．
不少于两组的对应点，最后利用平滑的曲线把这些点连
例2、将抛物线y ＝2x 2如何平移可得到抛物线y ＝2(x－4) 2－1（ ） A ．向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B ．向左平移4个单位，再向下平移1个单位 C ．向右平移4个单位，再向上平移1个单位 D ．向右平移4个单位，再向下平移1个单位 分析：
根据抛物线y ＝ax 2和y ＝a （x －h ）2＋k （a≠0）的平移关系，可以得出结论． 解：
∵－h ＝－4
∴抛物线y ＝2（x －4）2－1是由抛物线y ＝2x 2向右平移4个单位，再向下平移1个单位而得到的． 答案：D
例3、一个二次函数，具有下列性质：①它的图象不经过第三象限；②图象经过点(－1，1) ；③当x ＞－1时，函数值y 随自变量x 增大而增大，试写出一个满足上述三条件性质的函数关系式：__________．
例5、求满足下列条件的二次函数的解析式 (1)图象经过A(－1，3) 、B(1，3) 、C(2，6) ；
(2)图象经过A(－1，0) 、B(3，0) ，函数有最小值－8； (3)图象顶点坐标是(－1，9) ，与x 轴两交点间的距离是6. 分析：
此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式. 可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式，列出方程或方程组来求解. (1)解：
设解析式为y=ax2＋bx ＋c ，把A(－1，3) 、B(1，3) 、C(2，6) 各点代入上式得
解得
∴解析式为y=x2＋2.
二次函数测试题
一．选择题
1．抛物线y=-3(x+6)-1的对称轴是直线( )．
A ．x=-6 B ．x=-1 C．x=l D ．x=6 2．关于x 的一元二次方程向(a-1)x+x+a-1=0的一个根是0，则a 的值为( )
A ．0.5 B．1 C．-1 D．1或-1 3．将抛物线y=5x先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后，所得的抛物线的解析式为( )
A ．y=5(x+3)+2
2
2
2
2
2
2
2
B ．y=5(x+3)-2
2
C ．y=5(x-3)+2 D．y=5(x-3)-2
4．抛物线y=8x+2mx+m-2的顶点在x 轴上，则顶点坐标是( )
A ．(4，0) B．)
5、下列函数中是二次函数的是（ ）
（A ）y =4x 2+1；（B ）y =4x +1；（C ）y =4；（D ）y =
x
4
+1。 2x
2
2
C. D．(0，
6、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax+c的图象大致为（ ）
7、已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图，则a 、b 、c 满足 （ ）
2
（A ）a ＜0，b ＜0，c ＞0；（B ）a ＜0，b ＜0，c ＜0；
（C ）a ＜0，b ＞0，c ＞0；（D ）a ＞0，b ＜0，c ＞0。
2
8、抛物线y=x-3的顶点坐标、对称轴是( )
A (0，3) x=3 B (0，一3) x=0 C (3，0) x=3 D (一3，0 )x=0
9、二次函数y=x+6x-2的最小值为（ ） A 11 B -11 C 9 D -9 二．填空题
10、小明从右边的二次函数
y =ax 2+bx +c 图象中，观察得出了
2
下面的五条信息：①a
c =0
，③函数的最小值为-3，④
1
当x 0，⑤当0
1
>y 2（6）对称轴是直线x=2．你认为其中正确的个数为
（ ）Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．
5
10．抛物线y =3x 2的图象向右移动3个单位，再向下移动4个单位，它的顶点坐标是 ，对称轴是 解析式是 ；
11．二次函数y=x-2x-3的最小值是_______.
12．若关于x 的方程kx +2x-1=0有实数根，则k 的取值范围_______．
0) ，则此抛物线13. 抛物线y =ax 2+bx +c 过点A （-1，0），B (3，
2
2
的对称轴是直线x = ．
14、抛物线y =2（x －2）2－6的顶点坐标是 15、已知二次函数y =x 2+bx +3的对称轴为x =2，则b = 16. 若抛物线y =2x 2－4x +1与x 轴两交点分别是(x 1，0) ，(x 2，0) ，则x 12+x 22=______.
17、把抛物线y =-2x +4x +1沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由.
18、求二次函数y =-x -x +6的图象与x 轴和y 轴的交点坐标
19、已知一次函数的图象过抛物线y =x +2x +3的顶点和坐标原点 1） 求一次函数的关系式；
2） 判断点(-2, 5) 是否在这个一次函数的图象上
2
2
2
20、已知函数y =-3(x -2)+9.
2
（1） 确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2） 当x= 时，抛物线有最 值，是 .
（3） 当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小. （4） 求出该抛物线与x 轴的交点坐标及两交点间距离； （5） 求出该抛物线与y 轴的交点坐标；
（6） 该函数图象可由y =-3x 2的图象经过怎样的平移得到的？
21、已知函数y =(x +1)-4.
2
（1） 指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2） 若图象与x 轴的交点为A 、B 和与y 轴的交点C ，求△ABC 的面积； （3） 指出该函数的最值和增减性；
（4） 若将该抛物线先向右平移2个单位，在向上平移4个单位，求得到的抛物线的解析式；