初中数学《最短路径问题》典型题型
一、两点在一条直线异侧
例：已知：如图，A ，B 在直线L 的两侧，在L 上求一点P ，使得PA+PB最小。
二、 两点在一条直线同侧
例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A 、B 提供牛奶，奶站应
建在什么地方，才能使从A 、B 到它的距离之和最短．
三、一点在两相交直线内部
例1：已知：如图A 是锐角∠MON 内部任意一点，在∠MON 的两边OM ，ON 上各
取一点B ，C ，组成三角形，使三角形周长最小.
例2：如图，A 、B 是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，为了方便灌
溉作物，•要在河边建一个抽水站，将河水送到A 、B 两地，问该站
建在河边什么地方，•可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。
例3：某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO ，BO) ，AO 桌面上摆满
了桔子，OB 桌面上摆满了糖果，坐在C 处的学生小明先拿桔子再拿糖果，
然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使所走的总路程最短
四、求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计
在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优设计方案。
例:一点到圆上的点的最大距离为9，最短距离为1，则圆的半径为多少？
五、点在圆柱中可将其侧面展开求出最短路程
例：如图所示，是一个圆柱体，ABCD 是它的一个横截面，AB=
从A 点爬行到C 点，那么，最近的路程长为（ ）
A ．7 B ． C． D．5 ，BC=3，一只蚂蚁，要· A . B · .
a
六、在长方体（正方体）中，求最短路程
1）将右侧面展开与下底面在同一平面内，求得其路程 2）将前表面展开与上表面在同一平面内，求得其路程 3）将上表面展开与左侧面在同一平面内，求得其路程了
例1：有一长、宽、高分别是5cm ，4cm ，3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长
方体的一个顶点A 处沿长方体的表面爬到长方体上和A 相对的顶点B 处，则需
要爬行的最短路径长为（ ）
A ．5cm B ．cm C ．4cm D ．3
cm
1
例2：如图是一个长4m ，宽3m ，高2m 的有盖仓库，在其内壁的A 处（长的四
等分）有一只壁虎，B 处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短
距离为（ ）（左、上）
C．5 D．
例3：有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大
树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树
米之外才是安全的．
例4：如图，在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根
长方体的木块，它的棱长和场地宽AD 平行且＞AD ，木块的正视图是边长
为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A 处，到达C 处需要走的最短路程是
米．（精确到0.01米）
七、题中出现一个动点。
只出现一个动点时, 作定点关于动点所在直线的对称点, 利用两点之间线段最短,
或三角形两边之和小于第三边求出最值.
例1：如图，在正方形ABCD 中，点E 为AB 上一定点，且BE=3,CE=5,P为BD 上一
动点，求PE+PC最小值。
例2：如图，AB 为⊙O 直径，AB=2，OC 为半径，OC ⊥AB,D 为弧AC 三等分点，点P
为OC 上的动点，求AP+PD的最小值。
八、题中出现两个动点。
当题中出现两个定点和两个动点时, 应作两次定点关于动点所在直线的对称点. 利用两点之间线段最短求出最值。
例：如图，在直角坐标系中有四个点, A(-8,3),B(-4,5)C(0，n),D(m,0),
当四边形ABCD 周长最短时, 求
九、题中出现三个动点时。
在求解时应注意两点：(1)作定点关于动点所在直线的对称点,
(2)同时要考虑点点, 点线, 线线之间的最短问题.
例1：如图，在菱形ABCD 中,AB=2,∠BAD=60,E,F,P分别为AB,BC,AC 上动点,
求PE+PF最小值
例2：如图，∠AOB=45，角内有一动点P ，PO=10，在AO ，BO 上有两动点Q ，
R ，求△PQR 周长的最小值。
A ．4.8 B．m 。 n
2
初中数学《最短路径问题》典型题型
一、两点在一条直线异侧
例：已知：如图，A ，B 在直线L 的两侧，在L 上求一点P ，使得PA+PB最小。
二、 两点在一条直线同侧
例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A 、B 提供牛奶，奶站应
建在什么地方，才能使从A 、B 到它的距离之和最短．
三、一点在两相交直线内部
例1：已知：如图A 是锐角∠MON 内部任意一点，在∠MON 的两边OM ，ON 上各
取一点B ，C ，组成三角形，使三角形周长最小.
例2：如图，A 、B 是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，为了方便灌
溉作物，•要在河边建一个抽水站，将河水送到A 、B 两地，问该站
建在河边什么地方，•可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。
例3：某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO ，BO) ，AO 桌面上摆满
了桔子，OB 桌面上摆满了糖果，坐在C 处的学生小明先拿桔子再拿糖果，
然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使所走的总路程最短
四、求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计
在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优设计方案。
例:一点到圆上的点的最大距离为9，最短距离为1，则圆的半径为多少？
五、点在圆柱中可将其侧面展开求出最短路程
例：如图所示，是一个圆柱体，ABCD 是它的一个横截面，AB=
从A 点爬行到C 点，那么，最近的路程长为（ ）
A ．7 B ． C． D．5 ，BC=3，一只蚂蚁，要· A . B · .
a
六、在长方体（正方体）中，求最短路程
1）将右侧面展开与下底面在同一平面内，求得其路程 2）将前表面展开与上表面在同一平面内，求得其路程 3）将上表面展开与左侧面在同一平面内，求得其路程了
例1：有一长、宽、高分别是5cm ，4cm ，3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长
方体的一个顶点A 处沿长方体的表面爬到长方体上和A 相对的顶点B 处，则需
要爬行的最短路径长为（ ）
A ．5cm B ．cm C ．4cm D ．3
cm
1
例2：如图是一个长4m ，宽3m ，高2m 的有盖仓库，在其内壁的A 处（长的四
等分）有一只壁虎，B 处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短
距离为（ ）（左、上）
C．5 D．
例3：有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大
树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树
米之外才是安全的．
例4：如图，在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根
长方体的木块，它的棱长和场地宽AD 平行且＞AD ，木块的正视图是边长
为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A 处，到达C 处需要走的最短路程是
米．（精确到0.01米）
七、题中出现一个动点。
只出现一个动点时, 作定点关于动点所在直线的对称点, 利用两点之间线段最短,
或三角形两边之和小于第三边求出最值.
例1：如图，在正方形ABCD 中，点E 为AB 上一定点，且BE=3,CE=5,P为BD 上一
动点，求PE+PC最小值。
例2：如图，AB 为⊙O 直径，AB=2，OC 为半径，OC ⊥AB,D 为弧AC 三等分点，点P
为OC 上的动点，求AP+PD的最小值。
八、题中出现两个动点。
当题中出现两个定点和两个动点时, 应作两次定点关于动点所在直线的对称点. 利用两点之间线段最短求出最值。
例：如图，在直角坐标系中有四个点, A(-8,3),B(-4,5)C(0，n),D(m,0),
当四边形ABCD 周长最短时, 求
九、题中出现三个动点时。
在求解时应注意两点：(1)作定点关于动点所在直线的对称点,
(2)同时要考虑点点, 点线, 线线之间的最短问题.
例1：如图，在菱形ABCD 中,AB=2,∠BAD=60,E,F,P分别为AB,BC,AC 上动点,
求PE+PF最小值
例2：如图，∠AOB=45，角内有一动点P ，PO=10，在AO ，BO 上有两动点Q ，
R ，求△PQR 周长的最小值。
A ．4.8 B．m 。 n
2