关于洛伦兹变换的推导

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第1 6卷

第 5期 

周 口师 范 高 等专 科学 校学 报 

J OURNAL    HOUKOU  OF Z TEACHERS COLLEGE    

Vo . 6 No 5 11   . 

S p 99 e .1 9  

19 9 9年 9月 

1   c i  

关于洛伦兹变换的推导  

王 治 国 

( 州 毒炽 工学院基 础部 郑 }

0纠 』  l  

张朝 钦  

郑 ,  5 0 7  l4 0 0 ) 1

河 南 崔 建 筑 工程 荦 筏

针 对 现 行 教 材 中驶 j 相 对 论 时 空 坐 标 洛 伦 营 变 换 推 导 的 缺 点 . 文 蛤 出 了 一 十 垒 面 简 单 的  L 奉 推 导 过 程 . 个推 导 过 程 能 够 使 得 学 生 真 正 理 解 驶 义 相 对 话 的 轴 理 意 叉 . 这  

关 键词 兰竺苎  

洛伦 提方   营变 程

..  

.  

.  

分号0 类 4  

夫  相对范

  。

4对   = 乓 目

在 国 内外 现 行 的各 种 包 括 狭 义 相 对 论 的教 材 中 , 于 洛 伦兹 变 换 公 式 的 导 出 , 关 多是 为 了   简 单 明 了 , 没有 采 用 爱 因 斯 坦 当 年 的 方 法 . 然 大 家 都 说 是 以爱 因斯 坦 狭 义 相 对 论 的两 条  均 虽 基 本 假 设 为 基 础 , 在导 出过 程 中 , 没 有 完 全 体 现 出 两 条 假 设 的精 髓 . 得 学 生 对 此 产 生  但 却 使 误 解 . 因斯 坦 的推 导 过 程存 在 着 深 奥 的数 学 问 题 , 便 于 作 为 教 材 . 此 本 文 给 出 一 个 狭  爱 不 为 义 相 对 论 中 洛 伦兹 变 换 的全 面 的推 导 , 推导 过 程 中严 格 按 照 两 条基 本 假 设 , 且 推 导 过 程  在 并 简 单 明 了 , 得 学 生 能 够 真 正地 全 面 理解 两 条基 本 假 设 . 使   通 常 , 因斯 坦 狭 义 相 对 论 的基 础 表 述 为 如 下 两条 基 本 假 设 : 爱   ( )相 对 性 原 理 . 理 定 律 对 所 有 的惯 性 系都 表 述 为 相 同 的形 式 ; 1 物   ( )光 速 不 变原 理 . 空 中光 的传 播 速 度 与 光 源 的运 动 状 态 无 关 . 2 真   相 对 性 原 理 要 求 在 两个 相对 运 动 的 惯 性 参 照 系 中去 观 测 同 一 个 事 件 的发 生 , 测 结 果  观 在 这 两 个 参 照 系 中 的表 达 形 式应 该 一 致 , 即联 系 两 个 参 照 系 对 应 物 理 量 之 间 的 一 切 变 换 形  式 是 线 性 的. 相对 性 原 理 不 仅 是 狭 义 相 对 论 的基 础 , 也是 牛顿 力 学 的 基 础 ; 顿 力 学 中 的  它 牛 伽 里 略 变换 就是 在 相 对 性 原 理 和 时 间 、 度 的绝 对 性 原理 的基 础 上 导 出 的 . 长   光 速 不 变 原 理要 求在 任何 惯 性 参 照 系 中测得 的光 在各 个 方 向的 速度 都 是 同样 大

小 的常  量, 即无 论 是从 与 光 源 同处 一 个 参 照 系 还 是 从 与 光 源 相 对 运 动 的参 照 系 来 看 , 的 传 播 速 度  光 都 是 光 速 . 这 里 我们 知 道 , 间 是 与 参 照 系 联 系在 一 起 的 , 能 对 几 个 参 照 系 模 糊 地 说 一  从 时 不 个 事 件 发 生 的时 间 是 多 少 .   下 面 我 们 严 格 按 照 以上 两 条 基 本 假 设来 推 导 洛 伦 兹 变 换 . 由于 要 讨 论 的是 在 不 同 的惯  性 参 照 系 中观 测 同 一 个 时 空 点 的 问 题 , 首 要 的 问题 是 建 立 各 自的坐 标 系. 们 建 立 如 下 的  则 我 坐标 系 系 统 : 两 个 相 对 运 动 的惯 性 参 照 系 中建 立 两 个 坐 标 轴 方 向一 致 的参 照 系 , 讨论 的  在 为 方 便 , 取 当 两 个 参 照 系 中的 时 钟 均 为 零 时 刻 时 , 个 坐 标 系 的原 点 重 舍 . 选 两   设 有 一 惯 性 系 s , 们 再 考 虑 一 个 对 s系作 匀 速 运 动 的另 一个 坐标 系 s 设 t t 我  , —  = 0  

收 藕 日期 : 鲫 9o — 6 王 治 国 男 ¨ 1 一3 2 4岁 . 学 博 士  理

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第 1 卷 第 5期    6

王 治 国 等 : 于 洛 伦 兹 变 换 的推 导  关

・1   7・

时 , 个 坐 标 系 是 重 合 的. 点 处 的 物体 的 位 置 矢 量 在 S 坐 标 系 中 用 r ( Y, 两 尸 = z,  )表 示 , 在  S  坐 标 系 中用 一一 ( ,  , ) 示 .S   Y   表  系 对 惯 性 系 S以速 度  沿  轴 的 正 方 向运 动 , 如 

图 1所 示 .  

按 照 相 对 性 原 理 , 于 S和 S 由  坐 标 系 是 相 互 作 匀速 直 线 运 动 的惯 性 参 照 系 , 们 的 空  它 间 与 时 间 之 间 就应 该 是 线性 关 系 . 就 是 说 ( ,    , ) 也   y , t 是  ,  ,)的 一 次 函 数 . 光    y, £ 在 速 不 变 原理 的 基 础 上 , 间 也 必 须 由每 个 惯性 系来 确 定 . t t 时 即 和  是 各 自对 应 坐标 系 中的 时  间 , 们 不 是 同一 个 量 . 它  

。  

S 

f  

.  

图 1 相 对 运 动 的 两 个 惯 性 系 

图 2 从 惯 性 襄  看 S  

在 光 速 不 变 原 理 基 础 上 , 论 是 时 间 还 是 空 间 都 不 是 绝 对 的东 西. 以 , 们要 注 意 研  无 所 我 究 一 下 这 个 问题 . 先 考 虑 Y坐标 . 惯 性 系 S 中 , 首 在 Y为 定 值 的 点 , 在 平 行 于 z 是  面 的 平 面 

上 . 以认 为 这 个 面 , S 可 在  上 看 也 是 在 平 行 于   的 平 面 上 . 此 , 行 于 Y轴 放 置 的 尺 的  因 平

() 1 

长 度 , 变 化 时 , 化 的 比也 只是 y的 函 数 , 比例 常数 a(

) 则 可 写 成  若 变 设 y ,

y 一 a( y   y)  

可是 , S 从  看 S时 , S是 以速 度 y 向 S  坐标 系 的 

轴 的负 方 向运 动 ( 2 , 是 在 两 个 坐  图 )于

() 2 

标 系中 , 分别 以 y轴 和 y  轴 为 旋 转 轴 旋转 1 0 , 坐 标 变 换 分 别 成 为  8 。则

三一 一 z, 一 Y,;一 一    及  ; 一 一    ,   = y  ,;一 一 g   () 3 

根 据此新坐标 系 , s则 是 以 大 小 为 y 的相 对 速 度 , s 向  坐 标 系 的 

的 关 系 式 

= d( y y)  

轴 的 正 方 向运 动. 种  这

情 况 , 和 用 原 来 的坐 标 系 从 S系 看 S 就  系 的情 况 一样 了. 因此 , 们 得 到 和 ( ) 同样 形 式  我 1式

() 4 

以 ( ) ( ) () 2 、 3 、 4 的顺 序 代 入 变 换 ( ) , 1 式 则 

y 一 a( y — d(   一 ( y)     y) y) n( ) 一  ( )y y)    

比较 此式 的最 左 边 和最 右边 , 可得 

( ) = 1 y)    

由此 可 见 , ( 是 一个 和 y无 关 的常 数 . 还 遗 留 一个 问题 , y = ± 1正 负 号 还 未 定.   y) 但 4( ) 这 

点 , 如 下 简 单 地 来 确 定 . 由 y一 0时 , 标 变 换 成 为 恒 等 变 换 , 以 ( ) 变 成 Y = 可 即 坐 所 1式  

4( ) ,   Oy 则

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・l   8・

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n( ) 一 l V  

19 9 9年 9月  

因此 , 点在 5 坐 标 系 的 y坐 标 和 5 尸  坐标 系 中 的 y  坐标 满 足 

y 一 y     ( ) 5 

同理 

一  

() 6 

其 次 ,我 们 研 究  坐标 和 , 7 2 标 之 间 的关 系 . 于 我们 假定 —  一 0时 ,  坐 由 两个 坐标 系  是重合 的. 后 5 然  系 以速 度 ' 沿 5的  轴 正 方 向作 匀 速 直 线 运 动 . 此 ,  的坐 标 原 点 , , 因 5 即 

7 2  一 Y  一 

= 0的 点 , 5来 看 它 的 坐 标  , 由  从 是

Vt  

() 7 

给 出 的.所 以 5 的坐 标 可 由变 换   

7 一 6(   C   V)

一 

)  

() 8 

给 出. 际上 , ( ) 中 令  实 在 8式

= 0 就 得 到 ( ) , 此 b(,只 是 相 对 速 度 ' 的 函 数 . 5 , 7式 在 ') , 把  

b (, ( ')   一 Vt    )

和 5 的立 场 交 换 一 下 , 行 ( ) ( ) 进 2 、 3 的变 换 , 可 得 变 换 式  则

将 ( ) ( ) 代 人 此 式 , 可 得 到  2 、3 式 就

7 2= 6 y) (  

+ 

)  

() 9 

再 将 ( ) 代

人 ( ) , 后 解 出  , 得  8式 9式 然 则

( O  1)

在此, 我们 可 用 光 速 不 变 原 理 , 出 b(, 的 函数 形 式 . 性 系 5和 5 求 ') 惯  都 是 在 真 空 中 , 假  设 在 原 点 0=0 的发 光 体 , f 于  一  一 0的 时 刻 发 出 光 . 依据 光 速 不 变 原 理 , 真空 中 的光 速  和 光 源 的运 动状 态 无关 . 以 , 光 体 无 论 是 在 5上 , 是在 5 所 发 还  上都 可 以 . 5上 看 , 过 时  在 经 间  后 光 达 到 的 位 置 是 以原 点 。 为 中 , 半 径 为 c 的 球 面 . 此 球 面 上 一 点 的 坐 标 为 (   t, l t 设 X, y, z), 满 足 球 面 方 程  它

X + y + Z 一 (f  c) ( 1  1)

因此 , 向  轴 正方 向传 播 的光 达 到 的  坐 标 为 

X 一 “  ( 2  1 )

另方 面 , 5 在  上 看 , 过 时 间 f 光 达 到 的 位 置 是 以原 点 o 经  后  为 中 , 半 径 为 “ l t,  的球  面 . 此 球 面 上 一 点 的 坐标 为 ( 设 x ,   z ) 它 满 足球 面 方 程  Y ,  ,

X   + y  + Z  一 (t   c ) ( 3) 1  

因此 , 向 

轴 正 方 向传 播 的光 达 到 的 

坐 标 为 

X  = “  ( ) 1   4

为 了简 单 起 见 , 们 考 虑 在  轴 上 光 的最 前 端 , 播 到 5和 s 我 传  共 同 的  轴 ( , =7 2 )  轴 上 

某 一 点 . 点 距 原 点 的距 离 , 5上 为 x, 5 该 在 在  上 为 x  并 且 光 到 达 该 点 的 时 刻 , 5上 为 f , 在 ,   在5  上 为  . 时 , X, 和 X , 这 在 t f 间 由 ( ) ( 0 给 出 的关 系式 是成 立 的. ( ) ( 0   之 8 和 1) 将 8 和 1) 代 人 ( 4 , 用 (2 1 )井 1 )式 消 去 x , 则得 

6( ) 一 — —   _  y 一  

/l—  /  c

士 号 , '一0时 , 8 式 将成 为 恒 等 式 这 一 事 实 来 确 定 : 由 , ()  

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王 治 国 等 : 于 洛 伦 兹 变 换 的推 导  关

・1   9・

¨  

l — y一 /f一  

n 

将 ( ) 代 人 ( ) ( O 式 , 综 合 ( ) ( ) , 得 到 某个 事 件 在 S 和 S 1 式 5 8和 1) 并 5 、6 式 就  中 时 空 坐 标 的 变  换公式 :  

一 一 

、  

兰 二 

=  

y  =

一  

y 

( 6  1 )

,一

!   二

/r 

:  

从 这 些 公 式 解 出  ,  ,), 得 逆 变 换 式  Y, f 则

_ + Vt T    

三  

y = y 

一  

;  

(  ) 16  

: ±  :  

c — y。

T 止  这 就 是 洛 伦 兹 时 空 坐标 变 换 公 式 .   明显地 , 上述 洛 伦 兹 变 换 式 的 推 导 是 严格 建立 在爱 因斯 坦 的 两条 基 本 假设 上 的. 推导  从 过 程 中可 以 领 会 到 两 条 假 设 各 自的物 理 含 义 和 它 们 在 建 立 时 空 变换 中所 起 的 作用 .  

参 考 文 献 

1 范岱 年 , 中立 , 良英 编译 . 因斯 坦文集 t 赵 许 爱 第二 卷. 北京 : 务 印书馆 ,9 7 3 1   5 ~ 2 9 商 1 7 .8  ̄1 5I O 0   1

2 蔡 伯 濂 . 义 相 对 论 . 京 : 等 教 育 出 版 社 t9 1 4 4  狭 北 高 1 9 .3  ̄ 1

3 程守 诛 , 江之 泳. 普通 物理 学 ( 一册 )第 三 版.北京 : 第 . 高等 教育 出版社 ,1 7 .2 1 4  9 8 3 ~2 1 4 南京 工学 院 等. 物理 学 ( 册 )第 二版 . 下 . 北京 : 民教育 出版社 , 9 3 O ~2 1 人 1 8 .2 4 1 

5 Ge r e B  , v d F  ,Do al  K ,a   1   o g   A Da i   G n d C  te .Un v r iy Ph s c . Ac d mi  e s i e st   y i s a e e Pr s ,1 8 . 3 3 3 7 94 6 ~ 6 

6 费曼 , 登 , 兹.费曼物理 学讲 义 ( 一卷 ).上 海  莱 桑 第 上海 科 学技术 出版社 , 9 3 4  ̄1 0 1 8 .1 9 5 

D e i t o   f t   r nt   a f r a i ns r va i n o   he Lo e z Tr ns o m t o  

Wa   ng Zhi o gu  

( p rme t f o n a l nS i c  h n z o   x i   s i t  e g h u4 0 0 ) 1 a t n     u d t   ce e Z e g h u Te t eI t u eZh n z o   5 0 7    ̄ o F o n l n t

Zha   ng Cha qi   o n

( n n C n t u to   e o d r   p c z d S h o  h n z o   5 0 7   He a   o sr c in S c n a y s e l e   o l e g h u 4 0 0 )  l c Z

A b t ac   sr t

An a g b a c d rv t n o   h   r n z t a s o ma i n e u t n   m p i d b   n t i s p s u     l e r i  e i a i   f t e Lo e t   r n f r to   q a i s i l   y Ei s e n' o t . o o e  

1 r s i  r s n e . Th   e  ̄ i n i  i l ,c m p e e,a d e s   o u d r t n   a e  s p e e t d e d nv o  s s

mp e o lt n   a y t  n e sa d

K e w o ds Lo e t r n fr ain t et e r  frltvt  l ̄ nz ta s o m ain e u to s y r   rn zta s o m t   h  h o y o  eai i o y o e t r n fr to   q a in  

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关于洛伦兹变换的推导  

王 治 国 

( 州 毒炽 工学院基 础部 郑 }

0纠 』  l  

张朝 钦  

郑 ,  5 0 7  l4 0 0 ) 1

河 南 崔 建 筑 工程 荦 筏

针 对 现 行 教 材 中驶 j 相 对 论 时 空 坐 标 洛 伦 营 变 换 推 导 的 缺 点 . 文 蛤 出 了 一 十 垒 面 简 单 的  L 奉 推 导 过 程 . 个推 导 过 程 能 够 使 得 学 生 真 正 理 解 驶 义 相 对 话 的 轴 理 意 叉 . 这  

关 键词 兰竺苎  

洛伦 提方   营变 程

..  

.  

.  

分号0 类 4  

夫  相对范

  。

4对   = 乓 目

在 国 内外 现 行 的各 种 包 括 狭 义 相 对 论 的教 材 中 , 于 洛 伦兹 变 换 公 式 的 导 出 , 关 多是 为 了   简 单 明 了 , 没有 采 用 爱 因 斯 坦 当 年 的 方 法 . 然 大 家 都 说 是 以爱 因斯 坦 狭 义 相 对 论 的两 条  均 虽 基 本 假 设 为 基 础 , 在导 出过 程 中 , 没 有 完 全 体 现 出 两 条 假 设 的精 髓 . 得 学 生 对 此 产 生  但 却 使 误 解 . 因斯 坦 的推 导 过 程存 在 着 深 奥 的数 学 问 题 , 便 于 作 为 教 材 . 此 本 文 给 出 一 个 狭  爱 不 为 义 相 对 论 中 洛 伦兹 变 换 的全 面 的推 导 , 推导 过 程 中严 格 按 照 两 条基 本 假 设 , 且 推 导 过 程  在 并 简 单 明 了 , 得 学 生 能 够 真 正地 全 面 理解 两 条基 本 假 设 . 使   通 常 , 因斯 坦 狭 义 相 对 论 的基 础 表 述 为 如 下 两条 基 本 假 设 : 爱   ( )相 对 性 原 理 . 理 定 律 对 所 有 的惯 性 系都 表 述 为 相 同 的形 式 ; 1 物   ( )光 速 不 变原 理 . 空 中光 的传 播 速 度 与 光 源 的运 动 状 态 无 关 . 2 真   相 对 性 原 理 要 求 在 两个 相对 运 动 的 惯 性 参 照 系 中去 观 测 同 一 个 事 件 的发 生 , 测 结 果  观 在 这 两 个 参 照 系 中 的表 达 形 式应 该 一 致 , 即联 系 两 个 参 照 系 对 应 物 理 量 之 间 的 一 切 变 换 形  式 是 线 性 的. 相对 性 原 理 不 仅 是 狭 义 相 对 论 的基 础 , 也是 牛顿 力 学 的 基 础 ; 顿 力 学 中 的  它 牛 伽 里 略 变换 就是 在 相 对 性 原 理 和 时 间 、 度 的绝 对 性 原理 的基 础 上 导 出 的 . 长   光 速 不 变 原 理要 求在 任何 惯 性 参 照 系 中测得 的光 在各 个 方 向的 速度 都 是 同样 大

小 的常  量, 即无 论 是从 与 光 源 同处 一 个 参 照 系 还 是 从 与 光 源 相 对 运 动 的参 照 系 来 看 , 的 传 播 速 度  光 都 是 光 速 . 这 里 我们 知 道 , 间 是 与 参 照 系 联 系在 一 起 的 , 能 对 几 个 参 照 系 模 糊 地 说 一  从 时 不 个 事 件 发 生 的时 间 是 多 少 .   下 面 我 们 严 格 按 照 以上 两 条 基 本 假 设来 推 导 洛 伦 兹 变 换 . 由于 要 讨 论 的是 在 不 同 的惯  性 参 照 系 中观 测 同 一 个 时 空 点 的 问 题 , 首 要 的 问题 是 建 立 各 自的坐 标 系. 们 建 立 如 下 的  则 我 坐标 系 系 统 : 两 个 相 对 运 动 的惯 性 参 照 系 中建 立 两 个 坐 标 轴 方 向一 致 的参 照 系 , 讨论 的  在 为 方 便 , 取 当 两 个 参 照 系 中的 时 钟 均 为 零 时 刻 时 , 个 坐 标 系 的原 点 重 舍 . 选 两   设 有 一 惯 性 系 s , 们 再 考 虑 一 个 对 s系作 匀 速 运 动 的另 一个 坐标 系 s 设 t t 我  , —  = 0  

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第 1 卷 第 5期    6

王 治 国 等 : 于 洛 伦 兹 变 换 的推 导  关

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时 , 个 坐 标 系 是 重 合 的. 点 处 的 物体 的 位 置 矢 量 在 S 坐 标 系 中 用 r ( Y, 两 尸 = z,  )表 示 , 在  S  坐 标 系 中用 一一 ( ,  , ) 示 .S   Y   表  系 对 惯 性 系 S以速 度  沿  轴 的 正 方 向运 动 , 如 

图 1所 示 .  

按 照 相 对 性 原 理 , 于 S和 S 由  坐 标 系 是 相 互 作 匀速 直 线 运 动 的惯 性 参 照 系 , 们 的 空  它 间 与 时 间 之 间 就应 该 是 线性 关 系 . 就 是 说 ( ,    , ) 也   y , t 是  ,  ,)的 一 次 函 数 . 光    y, £ 在 速 不 变 原理 的 基 础 上 , 间 也 必 须 由每 个 惯性 系来 确 定 . t t 时 即 和  是 各 自对 应 坐标 系 中的 时  间 , 们 不 是 同一 个 量 . 它  

。  

S 

f  

.  

图 1 相 对 运 动 的 两 个 惯 性 系 

图 2 从 惯 性 襄  看 S  

在 光 速 不 变 原 理 基 础 上 , 论 是 时 间 还 是 空 间 都 不 是 绝 对 的东 西. 以 , 们要 注 意 研  无 所 我 究 一 下 这 个 问题 . 先 考 虑 Y坐标 . 惯 性 系 S 中 , 首 在 Y为 定 值 的 点 , 在 平 行 于 z 是  面 的 平 面 

上 . 以认 为 这 个 面 , S 可 在  上 看 也 是 在 平 行 于   的 平 面 上 . 此 , 行 于 Y轴 放 置 的 尺 的  因 平

() 1 

长 度 , 变 化 时 , 化 的 比也 只是 y的 函 数 , 比例 常数 a(

) 则 可 写 成  若 变 设 y ,

y 一 a( y   y)  

可是 , S 从  看 S时 , S是 以速 度 y 向 S  坐标 系 的 

轴 的负 方 向运 动 ( 2 , 是 在 两 个 坐  图 )于

() 2 

标 系中 , 分别 以 y轴 和 y  轴 为 旋 转 轴 旋转 1 0 , 坐 标 变 换 分 别 成 为  8 。则

三一 一 z, 一 Y,;一 一    及  ; 一 一    ,   = y  ,;一 一 g   () 3 

根 据此新坐标 系 , s则 是 以 大 小 为 y 的相 对 速 度 , s 向  坐 标 系 的 

的 关 系 式 

= d( y y)  

轴 的 正 方 向运 动. 种  这

情 况 , 和 用 原 来 的坐 标 系 从 S系 看 S 就  系 的情 况 一样 了. 因此 , 们 得 到 和 ( ) 同样 形 式  我 1式

() 4 

以 ( ) ( ) () 2 、 3 、 4 的顺 序 代 入 变 换 ( ) , 1 式 则 

y 一 a( y — d(   一 ( y)     y) y) n( ) 一  ( )y y)    

比较 此式 的最 左 边 和最 右边 , 可得 

( ) = 1 y)    

由此 可 见 , ( 是 一个 和 y无 关 的常 数 . 还 遗 留 一个 问题 , y = ± 1正 负 号 还 未 定.   y) 但 4( ) 这 

点 , 如 下 简 单 地 来 确 定 . 由 y一 0时 , 标 变 换 成 为 恒 等 变 换 , 以 ( ) 变 成 Y = 可 即 坐 所 1式  

4( ) ,   Oy 则

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n( ) 一 l V  

19 9 9年 9月  

因此 , 点在 5 坐 标 系 的 y坐 标 和 5 尸  坐标 系 中 的 y  坐标 满 足 

y 一 y     ( ) 5 

同理 

一  

() 6 

其 次 ,我 们 研 究  坐标 和 , 7 2 标 之 间 的关 系 . 于 我们 假定 —  一 0时 ,  坐 由 两个 坐标 系  是重合 的. 后 5 然  系 以速 度 ' 沿 5的  轴 正 方 向作 匀 速 直 线 运 动 . 此 ,  的坐 标 原 点 , , 因 5 即 

7 2  一 Y  一 

= 0的 点 , 5来 看 它 的 坐 标  , 由  从 是

Vt  

() 7 

给 出 的.所 以 5 的坐 标 可 由变 换   

7 一 6(   C   V)

一 

)  

() 8 

给 出. 际上 , ( ) 中 令  实 在 8式

= 0 就 得 到 ( ) , 此 b(,只 是 相 对 速 度 ' 的 函 数 . 5 , 7式 在 ') , 把  

b (, ( ')   一 Vt    )

和 5 的立 场 交 换 一 下 , 行 ( ) ( ) 进 2 、 3 的变 换 , 可 得 变 换 式  则

将 ( ) ( ) 代 人 此 式 , 可 得 到  2 、3 式 就

7 2= 6 y) (  

+ 

)  

() 9 

再 将 ( ) 代

人 ( ) , 后 解 出  , 得  8式 9式 然 则

( O  1)

在此, 我们 可 用 光 速 不 变 原 理 , 出 b(, 的 函数 形 式 . 性 系 5和 5 求 ') 惯  都 是 在 真 空 中 , 假  设 在 原 点 0=0 的发 光 体 , f 于  一  一 0的 时 刻 发 出 光 . 依据 光 速 不 变 原 理 , 真空 中 的光 速  和 光 源 的运 动状 态 无关 . 以 , 光 体 无 论 是 在 5上 , 是在 5 所 发 还  上都 可 以 . 5上 看 , 过 时  在 经 间  后 光 达 到 的 位 置 是 以原 点 。 为 中 , 半 径 为 c 的 球 面 . 此 球 面 上 一 点 的 坐 标 为 (   t, l t 设 X, y, z), 满 足 球 面 方 程  它

X + y + Z 一 (f  c) ( 1  1)

因此 , 向  轴 正方 向传 播 的光 达 到 的  坐 标 为 

X 一 “  ( 2  1 )

另方 面 , 5 在  上 看 , 过 时 间 f 光 达 到 的 位 置 是 以原 点 o 经  后  为 中 , 半 径 为 “ l t,  的球  面 . 此 球 面 上 一 点 的 坐标 为 ( 设 x ,   z ) 它 满 足球 面 方 程  Y ,  ,

X   + y  + Z  一 (t   c ) ( 3) 1  

因此 , 向 

轴 正 方 向传 播 的光 达 到 的 

坐 标 为 

X  = “  ( ) 1   4

为 了简 单 起 见 , 们 考 虑 在  轴 上 光 的最 前 端 , 播 到 5和 s 我 传  共 同 的  轴 ( , =7 2 )  轴 上 

某 一 点 . 点 距 原 点 的距 离 , 5上 为 x, 5 该 在 在  上 为 x  并 且 光 到 达 该 点 的 时 刻 , 5上 为 f , 在 ,   在5  上 为  . 时 , X, 和 X , 这 在 t f 间 由 ( ) ( 0 给 出 的关 系式 是成 立 的. ( ) ( 0   之 8 和 1) 将 8 和 1) 代 人 ( 4 , 用 (2 1 )井 1 )式 消 去 x , 则得 

6( ) 一 — —   _  y 一  

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士 号 , '一0时 , 8 式 将成 为 恒 等 式 这 一 事 实 来 确 定 : 由 , ()  

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第 1 6卷 第 5期 

王 治 国 等 : 于 洛 伦 兹 变 换 的推 导  关

・1   9・

¨  

l — y一 /f一  

n 

将 ( ) 代 人 ( ) ( O 式 , 综 合 ( ) ( ) , 得 到 某个 事 件 在 S 和 S 1 式 5 8和 1) 并 5 、6 式 就  中 时 空 坐 标 的 变  换公式 :  

一 一 

、  

兰 二 

=  

y  =

一  

y 

( 6  1 )

,一

!   二

/r 

:  

从 这 些 公 式 解 出  ,  ,), 得 逆 变 换 式  Y, f 则

_ + Vt T    

三  

y = y 

一  

;  

(  ) 16  

: ±  :  

c — y。

T 止  这 就 是 洛 伦 兹 时 空 坐标 变 换 公 式 .   明显地 , 上述 洛 伦 兹 变 换 式 的 推 导 是 严格 建立 在爱 因斯 坦 的 两条 基 本 假设 上 的. 推导  从 过 程 中可 以 领 会 到 两 条 假 设 各 自的物 理 含 义 和 它 们 在 建 立 时 空 变换 中所 起 的 作用 .  

参 考 文 献 

1 范岱 年 , 中立 , 良英 编译 . 因斯 坦文集 t 赵 许 爱 第二 卷. 北京 : 务 印书馆 ,9 7 3 1   5 ~ 2 9 商 1 7 .8  ̄1 5I O 0   1

2 蔡 伯 濂 . 义 相 对 论 . 京 : 等 教 育 出 版 社 t9 1 4 4  狭 北 高 1 9 .3  ̄ 1

3 程守 诛 , 江之 泳. 普通 物理 学 ( 一册 )第 三 版.北京 : 第 . 高等 教育 出版社 ,1 7 .2 1 4  9 8 3 ~2 1 4 南京 工学 院 等. 物理 学 ( 册 )第 二版 . 下 . 北京 : 民教育 出版社 , 9 3 O ~2 1 人 1 8 .2 4 1 

5 Ge r e B  , v d F  ,Do al  K ,a   1   o g   A Da i   G n d C  te .Un v r iy Ph s c . Ac d mi  e s i e st   y i s a e e Pr s ,1 8 . 3 3 3 7 94 6 ~ 6 

6 费曼 , 登 , 兹.费曼物理 学讲 义 ( 一卷 ).上 海  莱 桑 第 上海 科 学技术 出版社 , 9 3 4  ̄1 0 1 8 .1 9 5 

D e i t o   f t   r nt   a f r a i ns r va i n o   he Lo e z Tr ns o m t o  

Wa   ng Zhi o gu  

( p rme t f o n a l nS i c  h n z o   x i   s i t  e g h u4 0 0 ) 1 a t n     u d t   ce e Z e g h u Te t eI t u eZh n z o   5 0 7    ̄ o F o n l n t

Zha   ng Cha qi   o n

( n n C n t u to   e o d r   p c z d S h o  h n z o   5 0 7   He a   o sr c in S c n a y s e l e   o l e g h u 4 0 0 )  l c Z

A b t ac   sr t

An a g b a c d rv t n o   h   r n z t a s o ma i n e u t n   m p i d b   n t i s p s u     l e r i  e i a i   f t e Lo e t   r n f r to   q a i s i l   y Ei s e n' o t . o o e  

1 r s i  r s n e . Th   e  ̄ i n i  i l ,c m p e e,a d e s   o u d r t n   a e  s p e e t d e d nv o  s s

mp e o lt n   a y t  n e sa d

K e w o ds Lo e t r n fr ain t et e r  frltvt  l ̄ nz ta s o m ain e u to s y r   rn zta s o m t   h  h o y o  eai i o y o e t r n fr to   q a in  


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